B 题： 交巡警服务平台的设置与调度
摘要
本题要根据实际情况分配交巡警平台的管辖范围，调度警务资源，合理设置交巡警平台的等问题。我们本着两个原则来设置管辖平台：1.尽可能使所有路口都能在3分钟内赶到；2.使平台间工作量较为平均。 本着最快封锁住全城，最快围堵住嫌犯的原则来调度警务资源。
针对问题一第一小问的分配管辖问题，我们用图论的知识将实际地图转化为无向图，再用matlab 求出每两个路口间的最短路径，最后用c++程序把每个路口分配到距离其最近的平台管辖范围内。分配结果见正文，有6个路口：28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到。
针对问题一第二小问的调度警员封锁路口问题，为了最快封锁完全区，封锁时间取决于交警最后达到的一个路口所花费的时间决定，用图论中的最大最小化模型，求出到达最远路口的最短时间。将原来的双目标最大最小化问题转化为单目标最优化问题，利用0-1规划，约束13个路口和13个不同的平台一一对应，求出所有交警在路途上花费的总时长最短，用lingo 得到调度方案，封锁全城需要时间8.0155分钟。
出入口标号 12 14 16 21 22 23 24 28 29 30 38 48 62 派往的平台
12
16
9
14
10
13
11
15
7
8
2
5
4
针对问题一第三小问，我们考虑到第一小问分配结果有6个路口28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到。所以我们以3分钟内到达6个路口为目标得到72种添加方法，在这些方案中，用平台间工作量不均衡度（即各个平台的工作量方差）决定最合理的增添方案。
针对问题二第一小问，我们看：1.所有路口是否能在3分钟内赶到；2.平台间工作量是否较为平均，来评判该城区的平台设置是否合理，发现有138个路口无法在3分钟内赶到，对于582个路口而言快达到四分之一了，并且平台之间的工作量差异巨大可以看出严重不合理。我们采用自己的方法用最大集合覆盖模型在平台数量不变的基础上重新设置平台。
针对问题五，我们对动态围堵逃犯的问题，我们先算出嫌犯t 3分钟内可能到达的路口合集，再让警方围堵住嫌犯可能到达的路口的毗邻路口，如果无法围堵，扩大范围，围堵下一圈可能到达的路口，通过lingo 算出能在11.28分钟内完成围堵，方案见正文。 关键字：0-1规划，图论，最大路径最小值，集合模型
一．问题重述：
“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A 的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h ）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
（2）针对全市（主城六区A ，B ，C ，D ，E ，F ）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。
如果该市地点P （第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二.符号说明：
ij a ：表示路口i 和路口j 之间的权值。
j i C ,：表示第i 个交警平台到第j 个出入口的最短路径长。
j i X ,：表示0-1变量，1,=j i X 表示第i 个交警平台调度去第j 个出入口，0,=j i X 表示不调
度。
max l ：表示交警达到最后一个出入口经过的路程。
j i m ,：表示0-1变量，1,=j i m 表示第j 个路口分配给第i 个交巡警平台，0,=j i m 表示第j
个路口不分配给第i 个交巡警平台。
i h ：表示第i 个路口的发案率。
j c ：表示j 平台的工作量，为j 平台所管辖的所有路口的案发率之和
f ：表示工作量不均衡度，为得到的各个平台工作量方差和
三.条件假设：
1.如果案件发生在道路之中，则案件归离事发点最近的路口所属的服务平台管辖。
2.每个服务平台最少管辖一个路口。
3.各条道路均不是单行线，均可以双向行驶。
4.不考虑每条道路上的拥挤情况，出警分配根据巡警平台和案发地点的距离决定。
5.考虑到出警时是特殊情况，出警时警车车速稳定在60千米每小时。
6.假设每条道路均为直线，路程长度按照直线距离推算。
7.嫌犯的逃跑速度和警车逃跑速度一样都为60千米每小时。
四.模型建立与求解：
4.1.1问题一的分析
问题一的第一小问给出了市中心城区A 的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图和相关数据，让我们根据警力资源分配管辖范围。我们先对已知图和数据进行预处理，并且根据图论知识，求出每段路的路程，并求出每两个路口的最短距离，将其转化为权重为路段长度的无向图，然后将每个路口划分到距离其最近的交巡警服务平台的管辖范围里。
问题一的第二小问让我们对特殊案件发生时进行路口封锁处理。首先，假设所有交警同
时从平台出发，13条交通要道全部封锁所需的时间，由所有出入口中，交警最后达到的一个所花费的时间决定，所以应当使得交警达到最后一个出入口经过路程最短，但是同时又应当使得所有交警在路途上花费时间尽量少。因此，我们考虑使用最大最小化问题的0-1规划方法，用lingo编程解决。
第三小问要针对出警时间过长和平台工作量不均衡的问题增加2-5个平台。针对出警时间过长，我们考虑到第一小问分配结果遗留了6个路口28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到，我们要让所有路口能在3分钟内赶到，确定至少要增添4个平台。用c++程序发现有72种增添平台方案，再定义工作量不均衡度=各个平台工作量方差和，求出不均衡度最小的平台增添方案。得到结果。
4.1.2 数据、图像预处理
1.每条路段长度的求解
根据附件给出的数据，可以对每个路口进行标号，A区共有92个路口，其中20个路口处设置了交巡警服务平台，13个路口是出入该区的路口节点。附件中给出了每个路口的横纵坐标值和哪两个路口之间存在道路，根据C++程序（见附录）可以得到每条道路的距离，部分道路距离可见下表。
表1-1 部分A区道路长度
路线起点(节点）标号路线终点（节点）标号相距距离（千米）1750.930054
1780.640312
2440.948683
345 4.24647
365 1.52398
439 4.56098
463 1.03078
5490.5
5500.848528
659 1.60312
732 1.14018
747 1.28062
89 1.15974
847 2.07966
9350.424264
1034 4.92164
1122 3.26956
11260.9
1225 1.78885
2.转换为无向图
根据图论的知识，该题中，市区的交通网络图可以转化成一个无向图，权重为路程长度。假设ij a 表示路口i 和路口j 之间的权值，可以得到： j i j i j i ≠??
?∞=，之间没有道路
和路口，当路口之间有道路和路口路口权值（路程长度），当
ij a (1-1)
n i a ii ,,2,1,0 == (1-2) 如果只代入A 区的92个路口作为顶点集，会发现matlab 运行会出现错误，因为存在几条道路例如12路口到471路口，22路口到372路口，23路口到383路口是跨区道路，这样会导致无向图不完整，因此我们将全市区的582个路口作为无向图的顶点集，929条道路作为边集构造出无向图。
4.1.3 管辖范围的分配模型的建立与求解 1.两两路口间的最短路径
两两路口间的距离显然是直线最短，但并不是每两个路口间都有道路，因此我们需要按照地图上的道路来确定最短路径，显然可以运用算法中的Dijkstra 算法。运用matlab 图论工具箱中的graphallshortestpaths 命令可以求出我们得到的无向图中所有路口对之间的最短距离。（matlab 代码见附录） （所有路口对间的距离见附件）
节选前10个路口两两之间的最短路径，如下：
表1-2 部分路口两两间最短路径
路口
标号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.0 19.0 38.8 45.4 93.7 95.4 115.
0 90.2 92.3
146.
5
2 19.0 0.0 21.1 56.9 78.
3 98.
4 97.3 72.
5 74.5 128.
8
3 38.8 21.1 0.0 40.
4 57.2 77.3 76.2 51.4 53.4 107.
7
4 45.4 56.9 40.4 0.0 49.2 50.0 76.6 83.3 89.9 144.
1
5 93.7 78.3 57.2 49.2 0.0 29.4 27.4 35.4 47.0 100.
4
6 95.4 98.4 77.3 50.0 29.4 0.0 27.
7 35.7 47.3 100.
7
7 115.
97.3 76.2 76.6 27.4 27.7 0.0 24.8 29.1 73.3
8 90.2 72.5 51.4 83.3 35.4 35.7 24.8 0.0 11.6 65.1
9 92.3 74.5 53.4 89.9 47.0 47.3 29.1 11.6 0.0 54.2
10 146.
5128.
8
107.
7
144.
1
100.
4
100.
7
73.3 65.1 54.2 0.0
表内数字为两两路口间距离，单位为百米。因为1-20路口处设置了交巡警服务平台，所以1-20号路口也可看做交巡警平台的位置。红色背景的表示该交巡警平台到该路口用时小于三分钟，为管辖范围。但是可以发现，28,28,38,39,61,92路口没有交巡警平台可以在3分钟之内赶到，因此人工调配，将其划分至离他们最近的交巡警平台管辖。
2.管辖范围分配结果
从实际出发，我们决定用顶点的集合，即路口的集合表示一个交巡警服务平台的管辖范围，如果案件发生在路口与路口间的道路上，那么它归属于离事发点最近的路口所属的平台管辖。并且，每个路口只被一个平台所管辖，不会出现重复管辖的现象，以防浪费人力物力和责任推脱。
因此根据上面求出的每两个路口间的最短路径，可以得到92个路口分别距离哪个服务平台最近，将路口划入离其最近的平台管辖范围中。利用C++程序可以得到分配结果：
表1-3 A 区交巡警平台管辖范围分配
巡警平台号 管辖范围
1 1 67 68 69 71 73 74 75
76
78
2 2 39 40 4
3 4
4 70
72
3 3 5
4 5
5 65 66
4 4 57 60 62 63 64
5 5 49
50
51
52
53
56
58
59
6 6
7 7 32 47 48
61
8 8 30 46
9 9 31
33
34
35
37
45
10 10
11 11 26 27
12 12 25 13 13 21 14 14 22
15 15 23 28 29
16 16 24 38
17 17 36 41 42
18 18 80 81 82
83
19 19 77 79
20
20
84
85
86 87 88 89 90 91 92
其中，28，28,38,39,61,92路口无法在3分钟之内赶到。
4.1.4 路口封锁模型的建立
由第一小问可以得到20个交警平台到13个出入口的最短路径长度，存入20*13的矩阵C 中，j i C ,表示第i 个交警平台到第j 个出入口的最短路径长。用j i X ,表示0-1变量，1,=j i X 表示第i 个交警平台调度去第j 个出入口，0,=j i X 表示不调度。 定义交警达到最后一个出入口经过的路程为max l
},max{1321max l l l l = (2-1) 调度方案中，我们希望交警达到最后一个出入口经过路程的最小，即求max min l ，用矩阵形式表示即矩阵C 与X 对应位置元素相乘（j i j i j i X C T ,,,?=）所得到矩阵T 中最大元素的最
小值，即)}132,1;202,1(min{max , ==j i T j i 。
同时，我们还应当使得所有交警达到各个出入口经过的总路程最短，即∑=13
1
i i
l
最小。
用上述矩阵表示为
∑∑∑===?=20113
1
,,131
i j j i j
i i i X C
l (2-2)
另外，每个出入口都有一个平台的警力负责，且每个平台的警力只调度去一个出入口或者不出动。
由此，可建立0-1规划模型如下：
目标函数： ?
?
????==∑∑==20113
1,,,min )}
132,1;202,1(min{max i j j i j i j i X C j i T (2-3)
约束条件： ????
?????==≤==∑∑==10)202,1(1)132,1(1..,13
1
,20
1,或j i j j i i j i X i X j X t s (2-4)
使用lingo 进行求解（lingo 程序见附录）
4.1.5 路口封锁模型的求解
这是一个双目标最大最小化问题，在用LINGO 进行求解时，不好直接求解，因此考虑将双目标转化为单目标问题。
对于最大最小化问题，我们通常考虑将目标函数替换成约束条件，然后求满足约束条件的可行解，此问题中我们同样选择将第一个目标函数)}132,1;202,1(min{max ==j i T ij 转化为约束条件：
s j i T j i ≤==)132,1;202,1(max , (2-5) 其中s 是预估的交警达到最后一个出入口经过的路程，但是这样直接求出的满足所有约束条
件的可行解未必是最优方案，所以保留第二个目标函数∑∑
==?
20 113
1
,
,
min
i j
j
i
j
i
X
C作为唯一的目标
函数。
经过多次试验，80
=
s（单位换算为百米）时该模型无可行解，81
=
s时存在可行解，且可求得一个最优解如下：
表2-1调度方案
出入口
标号
12141621222324282930384862派往的
交警平
台编号
12169141013111578254
此调度方案下，交警完成封锁全区所需要的时间，由相距最远的7号交警平台到29号出入口所需要的时间决定，按警车时速60km/h估算，所需时间为
min
0155
.8
60
60
1000
100
155
.
80=
?
÷
÷
?
所有警车达到各个出入口经过的路程总和为46.1885km.
结果分析：通过上述模型，我们求出了尽快封锁全区出入口的条件下，警车达到各个出入口经过路程总和最小的调度方案，具有一定的科学性。
4.1.6 管辖范围的分配模型的进一步优化
对于问题一的第三小问，我们结合第一小问分配出的结果，可以看出，只按照路口距离平台的远近来分配管辖范围会导致交巡警平台工作量的不均衡；并且这20个平台无法在3分钟内赶到所有路口，28，29，38,39,61,92六个路口无法在3分钟内赶到。因此我们增加2-5个平台来重新分配管辖范围，使所有路口都能在3分钟内赶到并且每个平台工作量尽量均衡。
1.增加的平台个数
从附件《两两路口间最短路径.xls》中，运用筛选功能可以看出来，能够在3分钟内赶到28,29,38,39，61,92六个路口的路口，分别是：
表3-1 能在3分钟内赶到6个路口的平台候选处
路口能在3分钟内赶到该路口的路口
2828、29
2928、29
3838、39、40
3938、39、40
6148、61
9287、88、89、90、91、92
可以看出，至少需要新增4个平台才能使每个路口都在三分钟之内就有交巡警到达。实际生活中，多增添一个服务平台可能需要耗费比较大量的金钱资源和人力物力，因此我们选择增添4个平台，而不是增添5个平台。根据排列组合知识可以看出，有72种平台的增添方式。分别是：
表3-2 72种平台增添方式
新增平台新增平台新增平台
284838872861398729484087 284838882861398829484088 284838892861398929484089 284838902861399029484090 284838912861399129484091 284838922861399229484092 284839872861408729613887 284839882861408829613888 284839892861408929613889 284839902861409029613890 284839912861409129613891 284839922861409229613892 284840872948388729613987 284840882948388829613988 284840892948388929613989 284840902948389029613990 284840912948389129613991 284840922948389229613992 286138872948398729614087 286138882948398829614088 286138892948398929614089 286138902948399029614090 286138912948399129614091 286138922948399229614092
2.确定增添的平台位置
设每个路口的发案率为i h ，定义工作量j c ：j 平台的工作量为j 平台所管辖的所有路口的案发率之和。即
∑=
)j (平台管辖路口属于i h c i
j (3-1)
一共有24个平台，92个路口，计算出每个平台工作量的均值c 。
24
92
1
∑==
i i
h
c (3-2)
增添了4个平台后，一共有24个交巡警服务平台，将这24个平台代入模型一中重新分配他们的管辖范围，定义工作量不均衡度f 为得到的各个平台工作量方差和。当f 最小时，这种分配方案工作量最平衡，即 ))(min(
24
1
2∑=-=j j
c c
f (3-3)
利用c++程序（见附录）可以看出72种分配方案各自的f 值。 放入部分方案f 值表格：
表3-3 不同平台增添方式的不同f 值
平台增加方案 f 值 平台增加方案 f 值 28 48 38 87
20.6545 28 48 39 89
20.0878 28 48 38 88 20.6545 28 48 39 90 20.2712 28 48 38 89 20.6545 28 48 39 91 20.0878 28 48 38 90 20.8378 28 48 39 92 21.9995 28 48 38 91 20.6545 28 48 40 87 20.0878 28 48 38 92 22.5661 28 48 40 88 20.0878 28 48 39 87 20.0878 28 48 40 89 20.0878 28 48 39 88 20.0878 28 48 40 90 20.2712 28
48 38
87
20.6545
28
48 40
91
20.0878
最后得到，有16种方案f 值均为最小，分别是
表3-4 16种可行的平台增添方案
平台增添方案平台增添方案
28、48、39、87 29、48、39、87
28、48、39、88 29、48、39、88
28、48、39、89 29、48、39、89
28、48、39、91 29、48、39、91
28、48、40、87 29、48、40、87
28、48、40、88 29、48、40、88
28、48、40、89 29、48、40、89
28、48、40、91 29、48、40、90
本文最后只列出其中第一种平台增添方案。并给出增添后所有平台的新的管辖范围。
表3-5 24个平台新的管辖范围
巡警平台号管辖范围
11676869717374757678 2243447072
3354556566
445760626364
554950515253565859
66
773032
883346
9931343545
1010
11112627
121225
131321222324
1414
1515
16163637
17174142
181880818283
19197779
20208586
282829
48474861
39383940
8784878889909192
增添的平台为28、48、39、87.
4.2.1问题二的分析
问题二的第一小问是让我们根据全市的道路情况去判断现有的交巡警平台设置是否合理。可以由1.路口可否有交警平台在3分钟内赶到，2.交警平台工作量是否均衡两条原则来判断。判断出这两条不合理之后，我们假设平台个数不变，更换平台位置来使得平台设置的更合理。
问题二的第二小问让我们围堵一个罪犯。由于罪犯的逃跑路线我们并不知道，所以这是一个动态问题。由于围堵时间要短，可以用第一问的第二小问中的最大距离搜索最短模型，求出要封锁的路口。先算出嫌犯3+t分钟可能达到的路口集合，再找出这些路口的毗邻点，使用lingo求出警察最快封堵所有毗邻点的方案。如果无法在嫌犯到达之前封锁，则扩展一级毗邻点。重复操作直至可以封锁。
4.2.2现有交警平台的辖区分配
这里可以套用问题一第一小问的模型，沿用582个路口间的距离，将每一个路口按其与全市80交警平台的距离分配路口。（c++程序见附录）可以发现，共有138个路口没有任何交警平台可以在3分钟内到达，138个路口快达到582个路口的四分之一了，这个数量非常巨大。可以认为交警平台的设置是很不合理的。
表4-1 138个3分钟无法到达路口
28 210 300 370 445 516
29 215 301 371 446 517
38 238 302 387 451 518
39 239 303 388 452 519
61 240 304 389 455 522
92 247 312 390 458 523
122 248 313 391 459 524
123 251 314 392 464 525 124 252 315 393 469 526 151 253 316 395 471 527 152 257 317 407 474 529 153 259 318 408 486 533 183 261 319 409 487 540 199 262 329 411 505 541 200 263 330 412 506 559 201 264 331 413 507 560 202 268 332 417 508 561 203 269 336 418 509 566 205 285 337 419 510 569 206 286 339 420 512 574 207 287 344 438 513 575 208 288 362 439 514 578 209
299 369 443 515 582
4.2.3现有分配下的每个平台工作量
我们依旧套用问题一第一小问的分配方法，即将3分钟内无法到达的路口按其距交警平台的距离就近分配给交警平台。下面给出全市80个平台中部分平台的工作量。
表4-2 80个平台中部分平台工作量
平台号 工作量 平台号 工作量 平台号 工作量 平台号 工作量
平台1 10.3 平台6 2.5 平台71 13.6 平台76 8.6 平台2 9.7 平台7 9.6 平台72 18.3 平台77 5.5 平台3 5.6 平台8 5 平台73 15.6 平台78 4.4 平台4 6.6 平台9 8.2 平台74 9.9 平台79 5.3 平台5
9.7 平台10 1.6 平台75 7.2 平台80 3.3
从上表中可以看出，平台10工作量只有1.6，而平台72却有18.3的工作量，差距非常大，平台间工作量非常不均衡，可以看出来该城区平台的设置非常不合理。 4.2.4 城区平台的重新设置 主要设置原则如下：
1.三分钟之内交警无法到达的平台数量尽量少
2.各个平台之间工作量的差异度尽量小
首先建立待管辖平台集合：}512
3,2,1{ =J ，待设置平台集合}5123,2,1{ =I ，然后从
待设置平台集合中选出80个点，使得待管辖平台集合中三分钟之内无法到达的数量尽量少，并且各个平台之间工作量的方差尽量小。可建立0-1规划模型如下： 目标函数： ∑∑∈∈=J
j I
i j ij
x k
f max
(4-1)
约束条件： ????
???≤-==∑∑∈∈J
j j j J j j M a a x x 80/)(10802
或 (4-2)
其中，???=不设置交警平台，路口设置交警平台
路口j j x j 0,1，其中J j ∈
??
?=j i j i k ij 内不可到达路口
在路口内可到达路口
在路口min 3,0min 3,1，其中J j I i ∈∈, j a 为平台j 的工作量,a 为所有平台平均工作量，M 为一个限定值，使得各个平台工作量
差异度尽量小。
利用lingo 对上述模型求解，可以得到重新设置交警平台结果如下： 平台位置 工作量 平台位置 工作量 平台位置 工作量 平台位置 工作量 3 8.6 185 8.1 330 2.7 440 3.5 21 6.3 190 4.7 333 8.6 448 9.4 24 8.7 201 2.1 338 8.6 453 16.1 27 7.8 204 4.7 352 24.6 472 9.2 31 8.3 208 4.1 362 0.1 474 3 42 8.1 210 1.5 363 10.1 485 2.1 46 12.3 216 18.1 369 3.4 486 6.2 48 13.9 237 13.8 373 4.1 488 4.4 57 12.2 239 5.1 374 11.6 499 8.6 70 18.6 240 4.5 381 5.6 509 4.6 90 17.6 250 3.9 382 10.8 511 3.3 98 19.1 254 3.4 386 5.5 515 7.7 115
14.3
261
6.6
389
1
532
15.9
127 15.9 263 1.4 393 3.6 539 11.1 135 22.7 271 16.6 397 1.6 550 5.3 150 13.4 276 17.6 407 5 561 6.6 167 4.5 289 12.9 416 7.9 565 17.2 174 12.1 305 9.1 419 2.5 570 7.4 175 8.7 314 5.4 421 3.3 573 4.4 181 9.5
315
7.3
423
8.3
581
6.1
结果分析： 新的巡警平台设置方案下，全市三分钟之内无法到达的路口个数为20个，远小于原来的138个，工作量也明显比之前均衡很多。
4.2.5嫌犯围堵模型的建立与求解
假设罪犯的逃跑速度和警车的速度一样为60千米每小时。由于罪犯的逃跑路线我们并不知道，所以这是一个动态问题。我们不需要围堵他经过的路线，而是要围堵他有可能即将到达的路口。而且围堵条件是交巡警要到达这些路口的时间至少比嫌犯早三分钟以上。定义即将嫌犯时刻t 可能所处的路口集合为t P 。则警察时刻t 所要封锁的路口是集合t P 的邻点。设警察要时刻t 要封锁的路口集合为t Q 。 对于集合t P 、t Q ，建立模型如下：
设0-1变量j i m ,，1表示第j 个路口分配给第i 个交巡警平台，0表示第j 个路口不分配给第
i 个交巡警平台。 设j i C ,表示第i 个交巡警平台到第j 个路口的距离。
目标： ),(max min ,j i m C j i (5-1) 表示80个交巡警平台到围堵路口的最长距离最短。 约束条件：
∑==80
1
1),(i j i m (5-2)
表示每个路口只需要一个交巡警平台来围堵。
∑=≤m
j j i m 1
1),( (5-3)
表示每个交巡警平台最多围堵一个路口。
3)
,32(),(),(-≤v
j C v j i m j i C (5-4)
表示每个平台到达封锁路口的时间至少比嫌犯到达的时间早3分钟。
???=1
),(j i m (5-5) 对模型进行求解：选用固定步长搜索来得到集合t Q 。 步骤1.初始化3=t ，计算t P 、t Q 。
步骤2.利用约束条件对模型求解，若有可行解，结束，否则到步骤3
步骤3. ...05.0,04.0,03.0,02.0,01.0,=+=m m t t 若t Q 发生了变化转至步骤2，否则继续步
骤3 求解结果：
在34.7=t 时，得到最优解，此时需要围堵的路口数量为18个，目标值为12.36.即得到报警后最迟11.28分钟可以完成围堵。需要围堵的路口和用于围堵的交巡警平台如下：
表5-1 18个平台封堵嫌犯可能出现的18个路口路线
1414?→? 626?→? 248321?→?
172?→? 6817?→? 375320?→? 2610?→? 31?→? 485477?→? 2915?→? 703?→? 562480?→? 4119?→? 200175?→? 240171?→? 4320?→?
273180?→?
549481?→?
五.模型的优缺点评价：
5.1 模型的优点
本题利用图论，0-1规划，线性规划，集合模型的知识，结合实际问题中的发案率，工作量，把所有路口都分配到能在3分钟内赶到其的平台管辖范围内，能很好的解决实际问题，所用算法简单高效，精度准确。
5.2 模型的缺点
本题并没有考虑到不同地区人口密度的不同对交巡警工作量的影响，而只是简单把发案率线性叠加成工作量，对交巡警工作量一部分的处理有比较大的问题。
5.3 模型的推广
本题所用算法不仅对交巡警平台可以使用，对一些无需考虑工作量的自动机器更可以使用，比如消防水栓的设置，自动贩卖机的位置设置等等。
六.参考文献：
[1]司奎守,孙玺菁.数学建模算法与应用[M].北京：国防工业出版社,2012.
[2] 林军,陈翰林.数学建模教程[M].北京：科学出版社,2011.
[3] 陈明,郑彩云,张铮.Matlab函数和实例速查手册[M].北京：人民邮电出版社,2014.
七.附录
1.第一问第一小问数据预处理的c++程序：
#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
ifstream fin("data.txt");
ifstream inf("datain.txt");
ofstream fout("dataout.txt");
float zuobiao[584][4];
float daolujuli[930][5];
int i,m,n;
float k;
for (i=1;i<=582;i++)
{
fin>>k;
zuobiao[i][1]=k;
fin>>k;
zuobiao[i][2]=k;
}
for (i=1;i<=582;i++)
cout< for (i=1;i<=928;i++) { inf>>k; daolujuli[i][1]=k; m=k; inf>>k; daolujuli[i][2]=k; n=k; daolujuli[i][3]=sqrt(pow((zuobiao[n][1]-zuobiao[m][1]),2)+pow((zuobiao[n][2 ]-zuobiao[m][2]),2)); } for (i=1;i<=928;i++) fout<<"a("< for (i=1;i<=928;i++) fout<<"a("< return 0; } 2.第一问第一小问求两两路口间最短路径的matlab程序： a(1,75)=9.30054; 省略读入数据的部分， a=a'; [i,j,v]=find(a); b=sparse(i,j,v,582,582); graphallshortestpaths(b,'Directed',false); 3.第一小问分配平台的管辖地区的程序： #include #include using namespace std; int main() { 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 一个给足球队排名次的方法 戚立峰毛威马斌 （北京大学数学系,100871） 指导教师樊启洪 摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型．它首先用来排名次的数据是否充分做出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,然后给出名次．文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序．文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名． 2014年数学建模美赛题目原文及翻译 作者：Ternence Zhang 转载注明出处：https://www.doczj.com/doc/206619811.html,/zhangtengyuan23 MCM原题PDF： https://www.doczj.com/doc/206619811.html,/detail/zhangty0223/6901271 PROBLEM A: The Keep-Right-Except-To-Pass Rule In countries where driving automobiles on the right is the rule (that is, USA, China and most other countries except for Great Britain, Australia, and some former British colonies), multi-lane freeways often employ a rule that requires drivers to drive in the right-most lane unless they are passing another vehicle, in which case they move one lane to the left, pass, and return to their former travel lane. Build and analyze a mathematical model to analyze the performance of this rule in light and heavy traffic. You may wish to examine tradeoffs between traffic flow and safety, the role of under- or over-posted speed limits (that is, speed limits that are too low or too high), and/or other factors that may not be Matlab dijkstra算法 function [distance,path]=dijkstra(A,s,e) % [DISTANCE,PATH]=DIJKSTRA(A,S,E) % returns the distance and path between the start node and the end node. % A: adjcent matrix % s: start node % e: end node % initialize n=size(A,1); % node number D=A(s,:); % distance vector path=[]; % path vector visit=ones(1,n); % node visibility visit(s)=0; % source node is unvisible parent=zeros(1,n); % parent node distance=D(e); % the shortest distance path if parent(e)==0, return; end path=zeros(1,2*n); % path preallocation t=e; path(1)=t; count=1; while t~=s && t>0 p=parent(t); path=[p path(1:count)]; t=p; count=count+1; end if count>=2*n, error(['The path preallocation length is too short.',... 'Please redefine path preallocation parameter.']); end path(1)=s; path=path(1:count); function [y,fval,flag]=Hungary(C) %********************************************************************** % >> C=[2 15 13 4;10 4 14 15;9 14 16 13;7 8 11 9] % >> [y,fval]=Hungary(C) % M = % 0 0 0 1 % 0 1 0 0 % 1 0 0 0 % 0 0 1 0 % y = % 28 % >> %********************************************************************** ***** [m,n]=size(C); tempC=C; for i=1:m 2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分) 1．模型 模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。 2．数学模型 当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。 3．抽象模型 二、简答题（每小题满分8分，共24分） 1．模型的分类 按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。 2．数学建模的基本步骤 1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各种必要的信息。 2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。 3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。 4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。 5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结果是否稳定。 6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实际； 7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。 3．数学模型的作用 数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用定量的方法，分析和理解实际问题，正因为如此数学模型在科学发展，科学预见，科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。 三、解答题（满分20分） F 题(9n+5, 9n+1) 某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B 城公司则有12％支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形? 解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有： Ak+1=0.9Ak+0.12Bk Bk+1=0.1AK+0.88Bk k=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280 给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元） 2011年全国大学生数学建模B题 交巡警服务平台的设置与调度 题目警车配置及巡逻问题的研究 摘要： 本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。 在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目m,将全区划分成m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。 在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。 问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。 在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。 本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。 关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化 一问题的重述 110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。 现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。 该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要 城市交通巡警平台的设置与调度 摘要 由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。本文要解决的就是某市设置交巡警服务平台设置方案，以及如何处理在确保突发事件问题。 对于第一问，根据附件中的各点的坐标和图中所给的各标志点之间的相邻关系，我们求得任意两个相邻标志点的直线距离，根据附件中的全市交通路口的路线做出了邻接矩阵，再用Floyd算法求得任意两点间的最短距离。在此基础上，为了确定需要增加平台的具体个数和位置，采用主成分分析法。应用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法进行搜索得到了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 对于第二问，给出了设置交巡警服务平台的可量化的原则和任务，对现有方案进行评价然后进行优化；案发地点在A区，题目没有给出逃犯的车速，这里要处理好，怎样叫实现了围堵也是需要考虑的问题。 关键字：邻接矩阵、距离矩阵、整数线性规划、主成分分析、surfer作图 一．问题的重述 警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。 二、问题的分析 问题一中有三个小问题，分别讨论在现有巡警台不变的情况下，确定出每个巡警台的控制范围，要求在三分钟之内尽可能到达；当有案件发生时，各交巡警按预定的路线到达指定路口封锁该路口，要求我们给出各节点接到指示时他们的 2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头； 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 B 题： 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 本题要根据实际情况分配交巡警平台的管辖范围，调度警务资源，合理设置交巡警平台的等问题。我们本着两个原则来设置管辖平台：1.尽可能使所有路口都能在3分钟内赶到；2.使平台间工作量较为平均。 本着最快封锁住全城，最快围堵住嫌犯的原则来调度警务资源。 针对问题一第一小问的分配管辖问题，我们用图论的知识将实际地图转化为无向图，再用matlab 求出每两个路口间的最短路径，最后用c++程序把每个路口分配到距离其最近的平台管辖范围内。分配结果见正文，有6个路口：28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到。 针对问题一第二小问的调度警员封锁路口问题，为了最快封锁完全区，封锁时间取决于交警最后达到的一个路口所花费的时间决定，用图论中的最大最小化模型，求出到达最远路口的最短时间。将原来的双目标最大最小化问题转化为单目标最优化问题，利用0-1规划，约束13个路口和13个不同的平台一一对应，求出所有交警在路途上花费的总时长最短，用lingo 得到调度方案，封锁全城需要时间8.0155分钟。 出入口标号 12 14 16 21 22 23 24 28 29 30 38 48 62 派往的平台 12 16 9 14 10 13 11 15 7 8 2 5 4 针对问题一第三小问，我们考虑到第一小问分配结果有6个路口28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到。所以我们以3分钟内到达6个路口为目标得到72种添加方法，在这些方案中，用平台间工作量不均衡度（即各个平台的工作量方差）决定最合理的增添方案。 针对问题二第一小问，我们看：1.所有路口是否能在3分钟内赶到；2.平台间工作量是否较为平均，来评判该城区的平台设置是否合理，发现有138个路口无法在3分钟内赶到，对于582个路口而言快达到四分之一了，并且平台之间的工作量差异巨大可以看出严重不合理。我们采用自己的方法用最大集合覆盖模型在平台数量不变的基础上重新设置平台。 针对问题五，我们对动态围堵逃犯的问题，我们先算出嫌犯t 3分钟内可能到达的路口合集，再让警方围堵住嫌犯可能到达的路口的毗邻路口，如果无法围堵，扩大范围，围堵下一圈可能到达的路口，通过lingo 算出能在11.28分钟内完成围堵，方案见正文。 关键字：0-1规划，图论，最大路径最小值，集合模型 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 load B1.txt %巡警站点号、横坐标、纵坐标（前三列）load B2.txt %起始点，末端位置号（两列） hzb=B1(:,2);%横坐标 zzb=B1(:,3);%纵坐标 start=B2(:,1);%起始位置 fina=B2(:,2);%末端位置 n=length(hzb);%坐标个数 m=length(start);%起始点个数：含重复 a=ones(n,n);%n阶矩阵 b=10000.*a;%b为矩阵a的值乘上10000 for i=1:m %每个始点出去 x=start(i); y=fina(i); if y<=92 s=((hzb(x)-hzb(y))^2+(zzb(x)-zzb(y))^2)^0.5; b(x,y)=s; b(y,x)=s;%双向图距离 end end path=zeros(n,20);%终点前一个路劲节点 distance=b(:,1:20);%二十个站到其他点的最短距离 u=0; mindis=10000;%最短距离初始为10000 flag=1; s=zeros(n,1); for i=1:20 s=0.*s;%每次清零 flag=1;%bool型标量 for j=1:n if distance(j,i)<10000 path(j,i)=i;%若满足，就往下走 end end s(i)=1; for j=1:n % if flag==1 mindis=10000; for k=1:n if s(k)==0 & distance(k,i) 1998年全国大学生数学建模竞赛题目 B题灾情巡视路线 下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。(4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。 ? 灾情巡视路线模型 摘要 本文将求最佳巡视路线间题转化为图论中求最佳推销员回路（哈米尔顿回路）的问题,并用近似算法去寻求近似最优解。对赋权图中的路径分组问题定义了均衡度用以衡量分组的均衡性。对问题1和问题2先定出几个分的准则进行初步分组,并用近似算法求每一组的近似最佳推销员回路,再根据均衡度进行微调,得到较优的均衡分组和每组的近似最佳推销员回路。对问题1，运用求任意两点间最短路的Floyd算法,得出总路程较短且各组尽可能均衡的路线,各组的巡视路程分别为公里,公里,公里,总路程公里。对问题2,证明了应至少分为4组,并求出了分为4组时各组的较优巡视路线,各组的巡视时间分别为小时,小时,小时,小时。对问题3,求出完成巡视的最短时间为小时,并用较为合理的分组的准则,分成22个组对问题4，研究了在不影响分组的均衡条件下, T,t,V的允许变化范围,并得出了这三个变量的关系式,并由此对分三个组的情况进行了具体讨论。 关键词：最佳推销员回路问题哈米尔顿回路赋权图近似算法均衡度 一、问题重述 1998年夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各17个乡（镇）、35个村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时， 汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组； 给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时 间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 (4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳 巡视路线的影响。 二、问题分析 本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最分组方案和路线.将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回 题目 摘要 1问题的重述 基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。对于整个过程当中，任务的定价问题成为了核心关键。当定价过高时，商家所付出的代价太大；当定价过低时，会员拒接此类任务，最终导致商品检查（任务）失败。请讨论以下问题: 问题一根据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项目任务的定价规律，同时分析部分任务未完成的原因。 问题二根据问题一的情况为附件一中的项目设计一个新的任务定价方案，并且与原方案进行比较。 问题三考虑到实际情况中，绝大多数用户会争相竞争选择位置比较集中的多个任务，因此，商家（平台）考虑将这些任务联合在一起打包发布。基于这种条件，对问题二的定价模型进行相应的修改并且分析此类情形对最终任务的完成情况有什么影响。 问题四根据前三问分析所建立出来的定价模型给出附件三中新项目的任务定价方案，并且评价该方案的实施效果。 2问题分析 “拍照赚钱”的任务实际上就是通过劳务众包的方式进行工作，所谓众包就是将原本由企业内部员工完成的任务，以开放的形式外包给未知的且数量庞大的群体来完成。在本题所涉及到的自助式劳务众包平台，企业将所需搜集的信息通过APP这个平台，展现在大众面前，大众根据自身情况来对一系列任务进行选择性的完成，最终得到相应的奖金。 问题一中对于任务悬赏金额量的确定是由一系列因素决定的，包括任务发布者所期望得到的作品数量、同期不同发布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任务的期限等，对于问题一我们可以将这些因素都考虑进去，挖掘出各因素对于定价的影响规律，最终确定项目任务的定价规律，在综合分析实际情况和用户的信誉程度影响，来归纳出任务未完成的原因。 问题二中对于任务未完成情况的再分析，在问题一建立的模型的基础上，再考虑任务量，交通便利性等因素，将这些因素考虑进去之后，充分考虑任务点周围会员的信誉值情况，讨论任务未完成跟低信誉会员之间有什么关系，建立新的任务定价模型再给出新的任务定价方案，最后结合计算机对任务进行模拟仿真，得到在新任务定价条件下的各区域任务完成率和总完成率，将这个指标与之前的指标进行比较，可判断新任务定价方案是否优于模型一。 问题三中对于任务分布聚集规律提出打包的思想，将几个分布较近的任务进行捆绑，所以问题二中对于会员信誉值的考虑方法不再适用于本问题，所以要提出另一种思路对信誉值进行考虑，同时会员选取任务包时会被预定任务限额所限制，所以在该模型当中应该将这个因素考虑进去，充分结合任务包内各个任务的分类情况以及任务包与任务包之间的距离提出两个修正因子，将模型一进行修正， 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：北京大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 姚胜献 2. 许锦敏 3. 刘迪初 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘业辉 日期： 2011 年 9 月 12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 本文通过建立整数规划模型，解决了分配各平台管辖范围、调度警务资源以及合理设置交巡警服务平台这三个方面的问题；通过建立线性加权评价模型定量评价了某市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，并根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了重新分配全市警力资源的解决方案。在计算交巡警服务平台到各个路口节点的路程时，使用了图论里的floyd算法。 针对问题一的第一个子问题，首先假设交巡警服务平台对某个路口节点的覆盖度是二元的，引入决策变量，建立了0-1整数规划模型。交巡警出警应体现时间的紧迫性，所以选择平均每个突发事件的出警时间最短作为目标函数，运用基于MATLAB的模拟退火算法进行求解，给出了中心城区A的20个服务平台的管辖范围，求得平均每个案件的出警时间为1.013分钟。 针对问题一的第二个子问题，为了实现对中心城区A的13个交通要道的快速全封锁，以最短的封锁时间为目标，建立了0-1整数规划模型，利用lingo软件编程求解，给出了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案，并求得对13个交通要道实现全封锁最短需要8.02分钟。 问题一的第三个子问题是交巡警服务平台的选址问题。考虑到建设新的服务平台需要投入更多的成本和警务资源，还需平衡各个服务平台的工作量。因此，以增加最少的服务平台数和服务平台工作量方差最小为目标，采用集合覆盖理论，建立了双目标0-1整数规划模型，用基于MATLAB的模拟退火算法求解出增加的服务平台数为4个，新增 的服务平台具体位置为A 28,A 40 ,A 48 ,A 88 ，并得到各个服务平台的工作强度方差为2.28。 针对问题二的第一个子问题，通过建立线性加权评价模型定量评价了该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，结果发现全市服务平台覆盖率较低且各个区的工作量不均衡，得出全市服务平台的布局存在明显的不合理的结论。并确定各区域人口密度、各区域公路总长度以及各区域平均每天总的发案率为各区域对交巡警需求的指标，然后根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了较为合理的分配全市警力资源的解决方案。 对于问题二的第二个子问题，以围堵范围最小和调动警力最少的原则，通过分析案发后嫌疑犯可能到达的位置，给出了围堵方案。 关键词：交巡警服务平台 0-1整数规划模拟退火法 城市学院2010-2011学年第二学期《数学建模》课程 考试试题（开卷） 年级：09级 专业：机械1班 学号：20940501115 姓名：李明泽 1． 游泳队员分配问题 某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4*100m 混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。问 甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。 请建立数学模型，并写出用Lingo 软件的求解程序。 解：引入0-1变量Xij ，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛，记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij 应该满足两个约束条件： 第一， 每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1； 第二， 每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1 当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==414 1j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。 综上，这个问题的0-1规划模型可写作 Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ；S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2,3,4; ∑=41 i Xjy =1,i=1,2,3,4 将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ： Min =56*x11+74*x12+61*x13+63*x14 +63*x21+69*x22+65*x23+71*x24 +57*x31+77*x32+63*x33+67*x34 +55*x41+76*x42+62*x43+62*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1; x13+x23+x33+x43=1; 交巡警服务平台的设置与调度优化分析 摘要 本文综合应用了Floyd算法，匈牙利算法，用matlab计算出封锁全市的时间为1.2012小时。并在下面给出了封锁计划。 为了得出封锁计划，首先根据附件2的数据将全市的道路图转为邻接矩阵，然后根据邻接矩阵采用Floyd算法计算出该城市任意两点间的最短距离。然后从上述矩阵中找到各个交巡警平台到城市各个出口的最短距离，这个最短距离矩阵即可作为效益矩阵，然后运用匈牙利算法，得出分派矩阵。根据分派矩阵即可制定出封锁计划：96-151,99-153,177-177,175-202,178-203,323-264,181-317, 325-325,328-328，386-332,322-362,100-387,379-418,483-483, 484-541, 485-572。除此以外，本人建议在编号为175的路口应该设置一个交巡警平台，这样可以大大减少封锁全市的时间，大约可减少50%。 关键词: Floyd算法匈牙利算法 matlab 一、问题重述 “有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题： 警车的时速为60km/h, 现有突发事件，需要全市紧急封锁出入口，试求出全市所有的交巡警平台最快的封锁计划，一个出口仅需一个平台的警力即可封锁。 二、模型假设 1、假设警察出警时的速度相同且不变均为60/km h 。 2、假设警察出警的地点都是平台处。 3、假设警察接到通知后同时出警，且不考虑路面交通状况。 三、符号说明及一些符号的详细解释 A 存储全市图信息的邻接矩阵 D 任意两路口节点间的最短距离矩阵 X 01-规划矩阵 ij a ,i j 两路口节点标号之间直达的距离 ij d 从i 路口到j 路口的最短距离 ij b 从i 号平台到j 号出口的最短距离 ij x 取0或1，1ij x =表示第i 号平台去封锁j 号出口 在本文中经常用到,i j ，通常表示路口的编号，但是在ij d ，ij b ，ij x 不再表示这个意思，i 表示第i 个交巡警平台，交巡警平台的标号与附件中给的略有不同，如第21个交巡警平台为附件中的标号为93的交巡警平台，本文的标号是按照程序的数据读取顺序来标注的，在此声明；j 表示第j 个出口，如：第5个出口对应于附件中的路口编号为203的出口。但在论文给出的结果中使用的是附件中给的标号。 四、问题分析数学建模期末考试A试的题目与答案
数学建模-B题-球队排名问题-答案详解
2014年数学建模美赛题目原文及翻译
2011年全国大学生数学建模国赛B题程序
2011-2012第一学期《数学建模》试题卷及答案
2011年数学建模B题
2011全国数学建模B题论文
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题
数学建模题目及答案
2011年全国数学建模B题答案
2011年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题
2011年数学建模B题答案
1998年全国大学生数学建模竞赛题
2017全国数学建模B题
数学建模b题标准答案
2011数学建模试题及答案
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题(题目改变)参考答案
相关主题
文本预览