高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 习题3-1 1、计算下列第二类曲线积分： （1）? -L dx y x ,)(2 2L 为抛物线x y =2 上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧； （2） ,)()(22?+--+L y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2 22a y x =+； （3） ? ++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的 有向弧段; （4） ?-+++L dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线； （5）,? ?L dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针 方向； （6）? ?L dl F ,其中2 22 1y x xe ye F +-= ，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==. 解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2 ，x 从0到2，所以 ?-L dx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()( = ? --+π 202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1 t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π =ππ 2120 22-=-? dt a a （3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以 ? ++L xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20 t b td a t a btd t a td a ?++π = 220 22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ -=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0， 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 【 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（ ） （A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （ （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2++ 2．函数22y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ++=2 ，则=A div . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 10),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a 与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m -=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线? ? ?=--+=-+-04230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11 ,7,52 13132=--=k j i s 取平面的法向量为s n =，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ？并求出此法线方程. 高数微积分习题解答 1、计算下列第二类曲线积分： （1）?-L dx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧； （2）,)()(2 2? +--+L y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2 22a y x =+； （3）?++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到 t=2π的有向弧段; （4）?-+++L dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一 段直线； （5）,??L dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路， 取逆时针方向； （6） ??L dl F ,其中2 22 1y x xe ye F +-= ，L 按逆时针方向饶行的圆 t a y t a x sin ,cos ==. 解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以 ?-L dx y x )(2 2 =1556)5131()(20534 2 02-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()( =? --+π 20 2 )sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1 t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120 2?---+π = ππ 2120 22 -=-? dt a a （3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以 ? ++L xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20 t b td a t a btd t a td a ?++π =220 22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ -=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 ?-+++L dz y x ydy xdx )1( =?-+++++++1 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =1376)146(1 =+=+?dt t （5）三条直线段的方程分别为 y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??L dl F =?--L xdy ydx ???-+-+-=0 1 01 10 1xdx xdx dy =0 第六章定积分的应用 习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积： (1) y x 2 6x 8, [0, 3] ( 2) y 2x x2 , [ 0, 3] 2．求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1) y e x , y e x与x1; ( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ; (3) y 2x x2与 y x , y 0 ; ( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ; (5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ; (6) y x2 与 y x , y 2x ; (7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ; (8) y x 2 , x 2 y 2 （两部分都要计算） ; 2 8 4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。 5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积。 2 7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。 x 2 y 2 1 所围图形的面积。 8．求椭圆 2 b 2 a 9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。 10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： (1) 2a sin (a 0) ; ( 2) 2a (2 cos ) (a 0); (3) 2 2 cos 2 （双纽线） ; 12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x ( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。 13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转 体的体积。 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1) y ach x 0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ; 与 x a ( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ; (3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ; 2 ( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ; (5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ; (6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ; 15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积。 16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 17. 一立体以椭圆x 2 y2 1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25 求其体积。 《高等数学（一）》作业 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； X>=0 （2）)1ln(+=x y 。 X+1>0 X>-1 （1）;11 x y -=(<>是不等于的意思) 1-x<>0 X<>1 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x -1<=x-1<=1 [ 0,2 ] (3）41≤+x ； -4<=1+x<=4 [ -5,3 ] 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1( lim +∞ → (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4))12(lim 2 1x x x + - ∞ →; (5) x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6) 12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1 ---→x x x x (10）)1 3(lim 3 n n + ∞ →； (11）x x x 55sin ) sin(lim ∞→； (12）x x x 3tan lim ∞→； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; 习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2关于高等数学课后习题答案
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