第六章 定积分的应用
习题 6-2 (A)
求下列函数与x 轴所围部分的面积:
2
y x 6x 8, [0,3]
2
y 2x
x , [0, 3]
求下列各图中阴影部分的面积: 图6-1
求由下列各曲线围成的图形的面积:
与x 1;
2x x 2 与 x,
y 0 ;
y x 2 与 y x, y 2x;
y 2 sin x , y sin 2x (0 x );
2
y — , x 2 y 2
8 (两部分都要计算)
2
1. (1) (2)
2. 1.
3. (1)
(2)
(3)
(4) (5)
⑹
(7) (8)
In x 与 x
o, y
In a, y In b (b
a 0);
c
2
2x , y
(x
1); 4(1 x)与 y 2 x, y
4. 求由曲线y in x 与直线y 0, x e 1, x e 所围成的图形的面积
x 2 4x 3及其在点(0, 3)和(3, 0)处的切线所围成的图形 的面积。 求抛物线 求抛物线
缈及其在点&,p)处的法线所围成的图形的面积。
求曲线,x
,a 与两坐标轴所围成的图 形的面积。
x 2
求椭圆飞
a 求由摆线x
2
y
a(t 1所围图形的面积。
sint), y a(1 cost)的一拱(0
t 2 )与横轴所围图形的面积。
10.求位于曲线 e x 下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。
11.求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积:
(1) 2a sin (a 0); (2) 2a (2 cos ) (a 0);
(3)
2
2 cos 2 (双纽线);
12.把抛物线y 2
4ax 及直线x x 0 (x 0
0)所围成的图形绕 x 轴旋转,计算所得旋转
抛物体的体积。
13.由 y x 3 , x 体的体积。
2 , y 0所围成的图形,分别绕 x 轴及y 轴旋转,计算所得两个 旋转
(1) y a ch x 与 x a 0 ,x a , y 0,绕 x 轴;
(2) y
sin x 与 y
2x
绕x 轴;
(3) y
sin x 与 y
cos x (0 x
),绕 x 轴; 2
(4) y
In x,与 x
2, y 0绕y 轴;
(5) y
2x x 2 与
y
x, y 0绕y 轴;
⑹ (x
2 2
5)2
y 2
16, 绕y 轴;
15. 求由抛物线y 2
4(1
x)及其在(0,2)处的切线和 x 轴所围的图形
绕
产生的旋转体的体积
。
16. 求 x 2 y 2
4, x
3y 2所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体
积。
17. 一立体以椭圆
100
1为底,垂直于长轴的截 面都是等边三角形(图6
2),
25
求其体积。
14.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
x 轴旋转
2
2 X
18.求底面是半径为 R 的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积
19.计算曲线y In x 上相应于 3 x _8 的一段弧的长度。 20.计算曲线y
-x (3 x)上相应于1 x 3
3的一段弧(6
3)的长度
21.求对数螺线
e a 相应于
0到
的一段弧长。 22.求曲线
3
4
1相应于
3
到 —的一段弧长。 4
3
x arcta nt
23. 求曲线 1
2上自t 0到t 1的一段弧长。
y -1n(1 t 2)
2
24. 求摆线x 1 cost, y t sint 上相应于0 t 2的一拱的长度
习题 6-2 (B)
1 ?求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积:
(1) . 3a 与 2 a cos ;
(2) 3cos 与 1 cos
(3)
. 2 sin 与 2 cos 2
1 x
2 (0 x 1)与x 轴和y 轴所围区域被曲线
4),其中a 是大于零的常数,试确 定a 的值。
V H 2(R H ).
3
2
抛物线y —, y — x 2 1与直线
10 10
5. 求y . x, y 2及x 0所围成的图形绕 (1) x 轴; (2) y 轴;
(3)直线 y 2; (4)直线 x 4
旋转而成的旋转体的体积。 6. 求x 2
y 2
a 2,绕x
b (b a 0)旋转所成旋转体的体积。
7. 求第一象限内由曲线 x y y 3和y 轴围成的平面图形绕直线
y 1旋转而成的旋转体
的体积。
2.假设曲线L 1 : y 的两部分(图6
L 2 : y ax 2分成面积相等
3.用积分方法证明图6
5中球缺的体积为 4. 一铁铸件,其形状为两 而成的旋转体,铁的密
10围成的图形绕 y 轴旋转
度是7.8 (g/cm 3),求铸件的质量。
8. 求由摆线 x a(t si nt), y a(1 而成的
旋转体
的体积。
9. 证明由平面图形 0 a X b,
b
x f (x) dx.
a
习题 6-3 (A)
1. 由实验知道,弹簧拉伸 即 F ks ( k 是比例系数),计算把 弹簧拉伸6(cm)所作的功。
2.
直径为20(cm),高为80(cm)的圆柱体内充满压强为
10 (N / cm 2)的蒸汽,设温度保持不 变,
要使蒸汽体积缩小一半,问需作多少功。
3. 一物体按规律 x ct 3作直线运动,介质的阻 力与速度的平方成正比,
计算物体由x 0
移至x a 时,克服阻力所作的功
。
板,设木板对铁钉的阻 力与铁钉击入木板的深 度成正
比,在 入木板1 (cm);
多少?
了水,问把池内的水完全吸尽,至少做多少功?
20(m),水面离池口有 1 (m),若要将水从池口全部
cost)的一拱(0 t 2 )与x 轴所围图形绕直线y 2a 旋转 0 y f(x)绕y 轴旋转而成的旋转体的 体积为
10.在摆线x a(t sin t), y
a(1 cost)上求分摆线第一拱的弧 段长为1 : 3的分点坐标。
11.求抛物线
被圆 x 2
y 2
3所截下的有限部分的弧 长。
12.计算半立方抛物线
2 3(x
1)3被抛物线y 2
彳截得的一段弧的长度。
13.证明曲线 y sin
x(0
)的弧长等于椭圆
x 2 2y 2 2的周长。
2
14 .求由星形线x 3 (1) 所围成的图形的面积;
(2) 所围成的图形的绕 (3) 整个弧长。
2
y 3 2
a 3 (或 x a cos 31,y
x 轴旋转而成的旋转体体 积;
a sin 3 t, a
0)
15.利用兀素法证明由
xoy 平面上一段曲线弧 y f (x) , ( f (x) (称为旋转曲面)的表 面积(或称为旋转体的侧面
产生的曲面
b
2
a
2
(x) dx .
0, 0 x b )绕x 轴旋转一周 积)为
并利用此公式证明半径
为R 的球体的表面积为
4 R 2 .
过程中,需要的力 F (单位:N )与伸长量s (单位:cm )成正比,
4. 用铁锤将一铁钉击入木 击第一次时,将铁钉击 第二次时,铁钉又击入
5. 半径为R(m)的半球形水池,其中充满
6. 设一正圆锥形贮水池, 深15(m),口径 吸尽,需要做多少功?
如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问锤击
8. 一底为8 (cm),高为6 (cm)的三角形薄片,垂直沉没在水中,顶在上离水面3(cm),底在下7. 设沙的比重为2g( kN / m3),现要堆成一个半径为R(m),高为h (m)的圆锥形沙堆,
问至少做多少功?
且底边与水面平行,试求它每面所受水压力的大小。
9. 水坝中有一直立的矩形闸门,阔10 (m),高6 (cm),闸门上边平行于水面;
(1) 求水面在闸门顶上8(m)时,闸门所受的水压力;
(2) 欲使闸门所受的压力加倍,水面应升高多少?
10. 一根长为I,线密度为的均匀细直棒,在棒的一端垂直距离为a单位处有一质量
为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力。
习题6-3 (B)
1. 半径为R (m)的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重与水相同,现将球从水中
取岀,需做多少功?若球的比重是水的两倍,问所做的功是多少?
2. 设有一个由抛物线y x2绕其对称轴旋转而成的容器,容积为72 (cm3),盛满了水,
现在要将水抽岀64 (cm3),问需做多少功?
3. 等腰三角形薄片垂直沉没在水中,其底与水面相齐,薄板的高为h,底为a,水比重为1
(1) 计算薄板一侧所受的水压力;
(2) 若倒转薄板,使顶点与水面相齐,而底平行于水面,则水对薄板一侧的压力增加多少?
4. 有两根匀质细杆,长度均为I,位于同一直线上,相间距离为a,A杆密度为,B杆密度
为,求两细杆之间的引力。
习题6-4
1. 某产品的边际成本P为产量x的函数
P(x) 100 0.002x
求产量从1000到2000时成本的增加量。
2. 某产品生产x个单位时,总收入R的变化率(边际收入) 为
x
R(x) 200 ,(x 0)
100
(1) 求生产50个单位时的总收入;
(2) 若已经生产了100个单位,则求再生产100个单位时的总收入。
3. 已知某产品的边际收益是R(x) 25 2x,边际成本是C (x) 13 4x,固定成本是
C010,求当x 5时的毛利和净利。
提示:净利毛利-固定成本
4. 设某种产品每天生产x单位的固定成本为20元,边际成本函数为
C (x) 0.4x 2 (元/单位),求总成本函数C(x);
如果这种产品规定的销售单价为18元,且产品可以全部售出,求总利润函数L(x),并问每天生产多少单位时才能获得最大利润。
8. 一底为8 (cm),高为6 (cm)的三角形薄片,垂直沉 没在水中,顶在上离水 面3(cm),底在下 5.设某产品的边际收益是 R (x) 8 x (万元/百台),边际成本是 C (x) 4 —(万元 4
求(1)
产量从1百台增加到 5百台的与总收入与总成 本的增量; (2)
产量为多少时,总利润 最大?
(3) 已知不变成本 C(0)
1 (万兀),求总成本、 总利润与产量 x 的函数关系式;
(4) 利润最大时的总成本与
总收入。
1
6. 已知某石油公司的收入 率(以每年亿元为单位)为R (t) 9 t 3 (时间t 以年为单位)
1
相应的成本率为C (t) 1 3t 3 ,试判断该石油公司应连续开发多少年?并问在停止 开发时,该公司所获总 利润为多少?
7. 某商品的需求量 Q 为价格p 的函数,假设该商品的 最大需求量为1000,已知需求量的
p
变化率(边际需求)为Q ( p)
1000 1 n3 1 ,求需求量 Q 与价格p 的函数关系。
3
8. 已知某商品的需求量Q 对价格p 的弹性
—,而市场对该商品的最大需求量为 4 p
400,试求需求函数和总收入函数。
总习题六
、选择题4.横截面为S ,深为H 的水池装满水,
把水全部抽到离池口高 为h 的水塔上,
/百台),
1.曲线y
b
(A) f (x)dx ;
a b
(C)
a
f (x)与 x
(B)
f(x)dx; (D)
2.连续曲线y
b
2
[f 22(x) a
f 1(x).
(A) (C)
b [f 2(X )
a
3.双纽线(x 2 (A) 2 2
cos2
(C) 2
a, x b 所围成的图形的面积 A ().
b f (x)dx ; a b
f(x)dx 0 0
f 2 (x)与 x
2
f 1 (x)] dx ;
2
f 1(x)] dx; 2\2
y )
x 2
(B)
(B) (D) y 2 (
2 4 coS2 0
4 COS2 d
a
f (x) dx.
a,x b 所围图形绕x 旋转所得旋转体的体积 V b 2 2 [f 2 (x) f 2 (x)]dx ;
a
2
9
f 2 (x)
f 2 (x) dx .
cos2 )所围成的面积A ().
;(D) - 4 (cos2 )2d . 2 0
().
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ 《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。 第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______. 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
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