圆的基本图形研究——多切图
基本模型：
【例1】（2018武汉四调）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB、AD、DC相切，切点分别为E、G、F，其中点E为边AB的中点.
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）如图2，若AD=3，BC=6，求EF的长.
【例2】（2019武汉中考）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点
(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC
(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积
典题精炼：
1、已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，⊙O 分别与边AB 、BC 、CD 、AD 相切，切点分别为G 、F 、E 、H .
（1）若∠ABC=60°，求证：BF=3CF ；
（2）如图2，GE ，BC 的延长线交于点P ，若CD=4，BF=3，求GP 的长.
2、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB=4，BC=1，以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于点E .
（1）求CD 的长；
（2）连接AC ，OE 相交于点M ，求MA
CM 的值.
3、如图，△ABC 中，∠C=90°，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F .
（1）如图1，求sin ∠DFE 的值；
（2）如图2，若3
2 AF BF ，求sin ∠DEF 的值.
4、如图，在等边△ABC 中，AB=6，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 相切于点D .
（1）求⊙O 的半径长；
（2）点M 是⊙O 上的一点，且BM ⊥DM ，求BM 的长.
计 算 机 图 形 学 实验指导书 学号：1441901105 姓名：谢卉
实验一：图形的几何变换 实验学时：4学时 实验类型：验证 实验要求：必修 一、实验目的 二维图形的平移、缩放、旋转和投影变换（投影变换可在实验三中实现）等是最基本的图形变换，被广泛用于计算机图形学的各种应用程序中，本实验通过算法分析以及程序设计实验二维的图形变换，以了解变换实现的方法。如可能也可进行裁剪设计。 二、实验内容 掌握平移、缩放、旋转变换的基本原理，理解线段裁剪的算法原理，并通过程序设计实现上述变换。建议采用VC++实现OpenGL程序设计。 三、实验原理、方法和手段 1．图形的平移 在屏幕上显示一个人或其它物体（如图1所示），用交互操作方式使其在屏幕上沿水平和垂直方向移动Tx和Ty，则有 x’=x+Tx y’=y+Ty 其中：x与y为变换前图形中某一点的坐标，x’和y’为变换后图形中该点的坐标。其交互方式可先定义键值，然后操作功能键使其移动。 2．图形的缩放 在屏幕上显示一个帆船（使它生成在右下方），使其相对于屏幕坐标原点缩小s倍（即x方向和y方向均缩小s倍）。则有： x’=x*s y’=y*s 注意：有时图形缩放并不一定相对于原点，而是事先确定一个参考位置。一般情况下，参考点在图形的左下角或中心。设参考点坐标为xf、yf则有变换公式x’=x*Sx+xf*(1-Sx)=xf+(x-xf)*Sx y’=y*Sy+yf*(1-Sy)=yf+(y-yf)*Sy 式中的x与y为变换前图形中某一点的坐标，x’和y’为变换后图形中该点的坐标。当Sx>1和Sy>1时为放大倍数，Sx<1和Sy<1时为缩小倍数（但Sx和Sy
一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题；
圆设计及思维导图 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-
主题单元设计
学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程）一、创设生活情境、导入新课。 1、欣赏，走进圆的世界。 2、借助实物画圆 3、师：以往同学们在画图时都用的是尺子，今天你为什么不用尺子画圆呢(尺子边是直的，不好画圆) 二、动手操作、认识各部分名称。 1、画圆 2、观察、认识圆的各部分名称。 让学生自读课本例2，了解圆的各部分名称 ②认识圆的圆心。 ③认识圆的半径。。 三、合作探究，学习特征。 1、谈话：刚才我们通过学习知道了圆的各部分名称，那么圆有什么特征呢请同学们在纸上任意画一个圆，并将它剪下来。画一画，量一量，折一折手中的圆形纸片，看看有什么发现 2、学生自主探究。课件出示讨论题: ①在同一个圆里有多少条半径多少条直径 ②在同一个圆里半径的长度都相等吗直径的呢 ③在同一个圆里半径和直径有什么关系？ ④圆是轴对称图形吗它有几条对称轴 3、合作交流： ①用画、折的方法来验证半径、直径有无数条。 ②用画、折的方法来验证半径、直径相等。③通过测量和推理的方法验证直径是半径的2倍，并让学生理解用字母表示直径与半径的关系。④通过把圆沿不同方向对折来理解圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 (四)、实践运用，反馈内化。 我们知道了圆的画法，名称，特征，请同学们运用今天的知识解决几个问题。 1、你认为下面的说法对吗（课件展示） ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆有无数条对称轴。 ③半径3厘米的圆比直径4厘米的圆小。 ④画直径是6厘米的圆时，圆规两脚之间的距离为3厘米。 五、运用新知、解决实际问题。 圆的特征在生活中得到广泛的应用。车轮为什么做成圆形车轴为什么要安放在圆心（课件展示） 六、总结评价、拓展延伸。
《计算机图形学》实验报告姓名：郭子玉 学号：2012211632 班级：计算机12-2班 实验地点：逸夫楼507 实验时间：15.04.10 15.04.17
实验一 1 实验目的和要求 理解直线生成的原理；掌握典型直线生成算法；掌握步处理、分析实验数据的能力； 编程实现DDA 算法、Bresenham 中点算法；对于给定起点和终点的直线，分别调用DDA 算法和Bresenham 中点算法进行批量绘制，并记录两种算法的绘制时间；利用excel 等数据分析软件，将试验结果编制成表格，并绘制折线图比较两种算法的性能。 2 实验环境和工具 开发环境：Visual C++ 6.0 实验平台：Experiment_Frame_One （自制平台） 3 实验结果 3.1 程序流程图 （1）DDA 算法 是 否 否 是 是 开始 计算k ，b K<=1 x=x+1;y=y+k; 绘点 x<=X1 y<=Y1 绘点 y=y+1;x=x+1/k; 结束
（2）Mid_Bresenham 算法 是 否 否 是 是 是 否 是 否 开始 计算dx,dy dx>dy D=dx-2*dy 绘点 D<0 y=y+1；D = D + 2*dx - 2*dy; x=x+1; D = D - 2*dy; x=x+1; x 3.2程序代码 //-------------------------算法实现------------------------------// //绘制像素的函数DrawPixel(x, y); (1)DDA算法 void CExperiment_Frame_OneView::DDA(int X0, int Y0, int X1, int Y1) { //----------请实现DDA算法------------// float k, b; float d; k = float(Y1 - Y0)/float(X1 - X0); b = float(X1*Y0 - X0*Y1)/float(X1 - X0); if(fabs(k)<= 1) { if(X0 > X1) { int temp = X0; X0 = X1; X1 = temp; } 《圆》单元知识结构图 在《圆》这一单元中，通过对曲线图形——圆的特征和有关知识的探索与学习，初步认识研究曲线图形的基本方法，促进学生空间观念的进一步发展。下面，我将从以下几个方面来谈我对这一单元教材的认识和我的主要教学策略： 一、课标要求： 关于圆，在第一学段（1—3年级）的要求是： 1．会辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。2．能用简单的语言描述它的特征。初步了解它是轴对称图形。3．能对简单图形进行分类并会用各种平面图形拼图。 在本学段，即第二学段（4—6年级）的要求是： 1．通过观察、操作，认识圆，掌握圆的特征，会用圆规画圆；2．知道圆是轴对称图形，进一步认识轴对称图形，能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。 3．探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。4．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会圆的知识在生活中的广泛应用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统认识曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但只是直观的认识， 本册的第五单元《圆》，要认识圆的基本特征，会画圆，会计算圆的周长和面积并会灵活应用这些知识解决实际问题。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身、还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步认识探讨圆的轴对称特点，给出轴对称图形的概念，使学生关于轴对称图形的知识系统化，从而更好地发展学生的空间观察。 二、知识结构： 本单元教材主要内容有：认识圆、圆的周长和圆的面积等。 圆的认识包括圆的基本特征（认识圆心、半径和直径、半径和直径的长度间的关系）、掌握用圆规画圆的方法（加深对圆的认识）、圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 圆的周长和面积计算公式的教学，加强了启发性和探索性，注意让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。对于圆的周长，让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再通过填表，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念。对于圆的面积教学，则采用转化的方法，把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来计算。 三、教学目标： 1．知识与技能目标：认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径 山东建筑大学测绘地理信息学院 实验报告 （2016—2017学年第一学期） 课程：计算机图形学 专业：地理信息科学 班级：地信141 学生姓名：王俊凝 学号：20140113010 指 实验一直线生成算法设计 一、实验目的 掌握基本图形元素直线的生成算法，利用编程语言C分别实现直线和圆的绘制算法。 二、实验任务 在TurboC环境下开发出绘制直线和圆的程序。 三、实验仪器设备 计算机。 四、实验方法与步骤 1 运行TurboC编程环境。 2 编写Bresenham直线绘制算法的函数并进行测试。 3 编写中点圆绘制算法的函数并进行测试。 4 增加函数参数，实现直线颜色的设置。 提示： 1. 编程时可分别针对直线和圆的绘制算法，设计相应的函数，例如void drawline(…)和void drawcircle(…)，直线的两个端点可作为drawline的参数，圆的圆心和半径可作为drawcircle的参数。 2. 使用C语言编写一个结构体类型用来表示一个点，结构体由两个成员构成，x和y。这样，在向函数传入参数时，可使用两个点类型来传参。定义方法为： typedef struct{ int x; int y; }pt2; 此处，pt2就是定义的一个新的结构体数据类型，之后就可用pt2来定义其他变量，具体用法见程序模板。 3. 在main函数中，分别调用以上函数，并传入不同的参数，实现对直线的绘制。 4. 线的颜色也可作为参数传入，参数可采用TurboC语言中的预设颜色值，具体参见TurboC图形函数。 五、注意事项 1 代码要求正确运行，直线和圆的位置应当为参数，实现可配置。 2 程序提交.c源文件，函数前和关键代码中增加注释。 程序模板 #include 圆的典型基本图形 图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点。 （1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。 （3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则： ①CK=CD ；BK=DE ；CK=BE/2=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB （或AC 2=AD?AB ） （4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD 于E 时（如图5），则： ①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD?BG=DG 2/4=DC 2 图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有： （1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，知一推三。 （2）①G 是⊿BCD 的内心；② ③⊿BCO ∽⊿CDE(或BO?DE=CO?CE ） （3）如图（3 ），若①BC=CE ，则：②tan ∠ADE=AE/AD=1/2； ③BC ：AC ：AB =3 ：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH 图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有： 如右图：（1）DE 切⊙O ? E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则： DE=BE=CE ； 如图1：DE ∥AB ?⊿ABC 、⊿CDE 图5图4 图3图2图1CG=GD 圆是一种生活中最常见的平面图形，也是最简单的曲线图形。在教学中充分联系生活实际，让学生回答日常生活中圆形的物体，并通过观察、操作、讨论使学生认识圆的形状，掌握圆的画法及圆各部分的名称，特征。学生获取知识兴趣浓厚，积极主动。 一、从生活实际引入，并在进行新知的探究活动中密切联系生产、生活实际。 课的开始，通过屏幕显示生活中经常见到的圆，如钟面、车轮、硬币等，接着又让学生举例说出生活中圆形的物体。课的结尾让学生讨论车轮为什么要制成圆的，并出示小猴坐车的几个形象动画，使学生具体的感知数学应用的广泛性，调动了学生学习的积极性，潜移默化的对学生进行了学习目的教育。 二、思维往往是从动手开始的，在教学中，引导学生用多种感官参与到知识的生成过程中。 要解决数学知识抽象性与学生思维形象性之间的矛盾，关键是引导学生动手操作。本节课在认识圆的各部分名称，理解圆的特征，教学圆的画法时，安排了让学生折一折、化一化、指一指、比一比、量一量等动手实践活动，引导学生用眼观察，动脑思考，动口参与讨论，收到了较好的教学效果。 三、重视激发学生求知欲。 教学圆的认识时，注重给学生创设思维的空间，注意引导学生积极体验，自己产生问题意识，自己去探究、尝试，总结，从而主动获取知识。 四、本节课，计算机直观形象、动静结合、节省教学时间的功能充分得到发挥，展现了知识发生、发展过程，加深了学生对知识的理解和掌握。 但本节课让学生画圆时，由于学生比较感兴趣，不停的想用圆规画，耽误时间较长，占用教学时间多了，导致课的总结时间不够 圆的认识》教学反思 教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级上册，学生在认识了长方形、正方形、平行四边形等平面图形，并直观认识了圆的基础上进行学习的。它是研究曲线图形的开始，也是后继学习圆的周长、面积、扇形、圆柱、圆锥的基础。本课让学生学会用圆规画标准圆，并一步认识深刻体会圆的特征及其内在联系，这既是本课的重点也是难点所在。学生在低年级虽然也认识了圆，但只是直观的，对于掌握圆的特征还是有难度的。由认识直线图形到认识曲线图形，是认识发展的一次飞跃。 本节课做的好的地方有：课始创设了“抢坐游戏”的情境导入新课，一下子激发了学生的学习兴趣。这一比赛，唤醒学生的生活经验，同时又富于思考性和挑 《利用圆设计图案》教学设计 浙江省诸暨市暨阳小学余寿华（初稿） 浙江省诸暨市实验小学教育集团陈菊娣（修改） 浙江省诸暨市教育局教研室汤骥（统稿） 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。 教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。 教学重点：利用圆设计图案。 教学难点：确定圆心与半径。 教学准备：课件。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 教师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 教师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？ 【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。 二、教学例题，探究画法 1．出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 2．探究画法。 教师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 学生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 教师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 学生：他画的圆太大了。 教师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 学生：半径。 教师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 学生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 教师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 教师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。） 《计算机图形学》 实验报告 学号：0908610211 姓名：宋雪英 班级：计算机0961 项目： 1.利用其它两种画直线方法实现放大10陪显示方法，交互式画直线，预先定义直线段的起止端点，每点击一次鼠标左键，画出直线上的一点，直到终点为止。 2.利用方形、线性两种画刷来绘制圆和椭圆。 3.实现交互式二维图形的放缩，旋转和对称变换 2012年12月25日 基本图形的生成技术 一、实验目的 在一个图形系统中，基本图形（也称为图元、图素等）的生成技术是最基本的，任何复杂的图形都是由基本图形组成的，基本图形生成的质量直接影响该图形系统绘图的质量。所以，需要设计出精确的基本图形生成算法，以确保图形系统绘图的精确性。本次实验的目的就是利用Bresenham 算法和中心画线法两种画直线方法实现放大10陪显示方法，交互式画直线，预先定义直线段的起止端点，每点击一次鼠标左键，画出直线上的一点，直到终点为止。利用方形、线性两种画刷来绘制圆和椭圆。实现交互式二维图形的放缩，旋转和对称变换。 二、实验任务 1.利用其它两种画直线方法实现放大10陪显示方法，交互式画直线，预先定义直线段的起止端点，每点击一次鼠标左键，画出直线上的一点，直到终点为止。 2.利用方形、线性两种画刷来绘制圆和椭圆。 3.实现交互式二维图形的放缩，旋转和对称变换。 三、画直线的实验内容 任务一：利用其它两种画直线方法实现放大10陪显示方法交互式画直线，预先定义直线段的起止端点，每点击一次鼠标左键，画出直线上的一点，直到终点为止。 1、设计思路 第一步：建立DDAMouseLine工程文件； 第二步：向视图类中添加自定义的成员变量 用鼠标右键单击视图类，选择“Add Member Variable…”,添加下面三个成员变量。 proctected : CPoint m_p1; //起点 CPoint m_p2; //起点 CPoint m_p; //点击鼠标时点的取值 第三步：向视图类中添加自定义的成员函数原型： 圆的基本图形研究——多切图 基本模型： 【例1】（2018武汉四调）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB、AD、DC相切，切点分别为E、G、F，其中点E为边AB的中点. （1）求证：BC与⊙O相切； （2）如图2，若AD=3，BC=6，求EF的长. 【例2】（2019武汉中考）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点 (1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC (2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积 典题精炼： 1、已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，⊙O 分别与边AB 、BC 、CD 、AD 相切，切点分别为G 、F 、E 、H . （1）若∠ABC=60°，求证：BF=3CF ； （2）如图2，GE ，BC 的延长线交于点P ，若CD=4，BF=3，求GP 的长. 2、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB=4，BC=1，以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于点E . （1）求CD 的长； （2）连接AC ，OE 相交于点M ，求MA CM 的值. 3、如图，△ABC 中，∠C=90°，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F . （1）如图1，求sin ∠DFE 的值； （2）如图2，若3 2 AF BF ，求sin ∠DEF 的值. 4、如图，在等边△ABC 中，AB=6，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 相切于点D . （1）求⊙O 的半径长； （2）点M 是⊙O 上的一点，且BM ⊥DM ，求BM 的长. 圆在生活中有哪些应用Prepared on 21 November 2021 圆在生活中有哪些应用？ 圆是几何图形中最普通、最实用，而又最完美的图形。在日常生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面，都可以见到圆的形象，圆的有关性质被广泛应用。 为什么草原上的蒙古包是圆形的? 蒙古包为天穹式，呈圆形，木架外边用白羊毛毡覆盖。因为它是圆形的，所以立在草原上，大风雪中阻力小，再大的地震中也不会变形，顶上又不积雨雪，寒气不易侵入，是非常安全的住所。 为什么绝大多数植物的根和茎的横截面是圆形的？ 因为在周长相等的情况下，围成圆的面积最大，所以绝大多数植物的根和芝的横面的圆形的，这使收水分和养料的面积更大. 圆在生活中有什么应用为什么绝大多数植物的根和茎的横截面是圆形的 用最小的材料得到最大的表面积。植入就能更多地吸取养分。 另外，从力学角度讲，圆的受力四周是一样的。（根生长要钻下去） 你看看下水道阴井盖子，也是圆的。 1.是掉不下去。 2.是相同材料，做的面积最大。（水每秒通过速度也最大） 3.随便哪个角度都能放好。 4.。。。。。就不说了。还有很多。 在我们的日常生活中有不少的物体是圆形的，如：硬币、瓶盖、钟面、圆桌、钮扣、圆形饼干、铁饼、光盘，还有那草原上的蒙古包和交通工具上的轮胎。在这生活中众多的圆形用具中，你们有没有想过，它们为什么是圆形的？ 首先蒙古包为天穹式，呈圆形，木架外边用白羊毛毡覆盖。因为它是圆形的，所以立在草原上，大风雪中阻力小，再大的地震中也不会变形，顶上又不积雨雪，寒气不易侵入，是非常安全的住所。 然后说说轮胎吧。最开始的轮是实心的,边缘也不是磨圆光滑的,而是不规则多边形的。但是这样不仅在行进中颠簸得厉害,而且由于是实心的原因,十分耗材和沉重并且容易坏。后来历经多年的诸多木匠和工匠以及勤劳智慧的劳动人民的努力改进,不规则多边形逐渐被接近圆形的轮取代,轴和轮的关系在同时期也得到了改进,轴的出现使材料大为节省,车辆也变得轻盈起来。 西方数学、哲学史上历来有这么种说法：“上帝是按照数学原则创造这个世界的”。而现在想来，石子入水后浑然天成的圆形波纹，阳光下肆意绽放的向日葵，天体运行时近似圆形的轨迹，甚至于遥远天际悬挂的那轮明月、朝阳……而所有这一切，给予我们的不正是一种微妙的启示吗？ 圆以它柔美、对称的线条，成为每个人心中最完美的事物的代表。它与满字搭配，也只有它与满来组合，才能给人以成功的喜悦。 可你又是否发现，拥有这最完美外形的事物，却往往给人以失望、悲伤。夜幕下的圆月，它的阴晴圆缺，令人悲喜交加，每月中，它仅有一次让人感到圆满、团聚、幸福的外形，其余则或多或少的有些悲伤。还有那人为自己设计的游戏——足球，不仅圆，而且黑白交隔的外色又有几分神秘与严肃，足球在每 中南大学信息科学与工程学院 实验报告实验名称 实验地点科技楼四楼 实验日期2014年6月 指导教师 学生班级 学生姓名 学生学号 提交日期2014年6月 实验一Window图形编程基础 一、实验类型：验证型实验 二、实验目的 1、熟练使用实验主要开发平台VC6.0； 2、掌握如何在编译平台下编辑、编译、连接和运行一个简单的Windows图形应用程序； 3、掌握Window图形编程的基本方法； 4、学会使用基本绘图函数和Window GDI对象； 三、实验内容 创建基于MFC的Single Document应用程序（Win32应用程序也可，同学们可根据自己的喜好决定），程序可以实现以下要求： 1、用户可以通过菜单选择绘图颜色； 2、用户点击菜单选择绘图形状时，能在视图中绘制指定形状的图形； 四、实验要求与指导 1、建立名为“颜色”的菜单，该菜单下有四个菜单项：红、绿、蓝、黄。用户通过点击不同的菜单项，可以选择不同的颜色进行绘图。 2、建立名为“绘图”的菜单，该菜单下有三个菜单项：直线、曲线、矩形 其中“曲线”项有级联菜单，包括：圆、椭圆。 3、用户通过点击“绘图”中不同的菜单项，弹出对话框，让用户输入绘图位置，在指定位置进行绘图。 五、实验结果： 六、实验主要代码 1、画直线：CClientDC *m_pDC;再在OnDraw函数里给变量初始化m_pDC=new CClientDC(this); 在OnDraw函数中添加： m_pDC=new CClientDC(this); m_pDC->MoveTo(10,10); m_pDC->LineTo(100,100); m_pDC->SetPixel(100,200,RGB(0,0,0)); m_pDC->TextOut(100,100); 2、画圆： void CMyCG::LineDDA2(int xa, int ya, int xb, int yb, CDC *pDC) { int dx = xb - xa; int dy = yb - ya; int Steps, k; float xIncrement,yIncrement; float x = xa,y= ya; if(abs(dx)>abs(dy)) A C A B 圆的基本图形及综合训练 一、基础过关题 1、已知：四边形ABCD 内接与⊙O ，AC ⊥BD ,OE ⊥AB 。 求证：OE = 1 2 CD （圆内接四边形一边的弦心距等于对边的一半） 2、已知：△ABC 内接与⊙O ，高AD 、BE 交与点G , AD 的延长线交⊙O 与点F , 求证：DG = DF. 3、已知：AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB , BC = CE . 求证：(1) PC = PF = PB (2) CD = 1 2 BE. A B D 4、已知：等边△ABC 内接与⊙O ，点P 是AB 上任意一点。 求证：PA + PB = PC. 5、已知：等腰直角△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，点P 是BC 上任意一点。 求 PA PB PC -的值 6、已知：△ABC 内接与⊙O ，AD 、BI 是角平分线，AD 交BC 于点E 。 求证：DB = DI B C 7、在△ABC 中，DA =60，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC （或延长线）于点D 、E ，连接OD 、OE . 求证：△ODE 为等边三角形 8、AB 是⊙O 的直径，直线CD 交⊙O 于E 、F ，AC ⊥CD,BD ⊥CD . (1) 求证：CE = DF . (2) 设AC=1h ，BD=2h ,点O 到CD 的距离为 h ，分别求图（1）、图（2）中的1h 、2h ,、和h 的数量关系。 图（1） 图（2） 二、中档重点题 1、如图所示，AB.ＣＤ为圆０的弦，且ＡＢ⊥ＣＤ,ＡＢ与ＣＤ相交于M, （1）若EM⊥AC,E 为垂足，交BD于F,求证：DF=BF; （2）若ON⊥AC于N，求证:ON=1/2BD. 2、如图，AB为⊙0的一条直径，D为弧AB中点，点C在直径AB的另一半圆弧上，弦CD交∠BAC的角平分线于O1，（1）求证：DA=DO1;O1D=√2OA （2）过O1做O1M⊥AB于M,试探究O1M,OA与CD之间的关系，并证明。 3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC.BC,E为⊙O上一点，且BE=CE,点F在BE上，CF ⊥AB于D,（1）求证：CB=CF;（2）若CF=2，BF=1，求BD的长。 B B A 圆的基本图形 1、已知：四边形ABCD 内接与⊙O ，AC ⊥BD ,OE ⊥AB 。 求证：OE = 1 2 CD （圆内接四边形一边的弦心距等于对边的一半） 2、已知：△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 交与点G , AD 的延长线交⊙O 于点F , 求证：DG = DF. 3、已知：AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB , BC = CE . 求证：(1) PC = PF = PB ；(2) CD = 1 2 BE. D B A E B A 已知AB 是⊙O 的直径，点 C 是半圆上一点，C D 平分∠ACB ，交⊙O 于点D ，若CD=10，求四边形ADBC 的面积。 已知AB 是⊙O 的直径，点C CDO ，求∠ECB 的度数。 4、已知：等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上任意一点。 求证：PA + PB = PC. B C B B A 5、已知：等腰直角△ABC 内接于⊙O ，A B 是直径，点P 是B C 上任意一点。 求 PA PB PC -的值 6、已知：△ABC 内接于⊙O ，AD 、BI 是角平分线，AD 交BC 于点E 。 求证：DB = DI 7、在△ABC 中，∠ A =60，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC （或延长线）于点D 、E ，连接OD 、OE . 求证：△ODE 为等边三角形 图1 图2 F 8、AB 是⊙O 的直径，直线CD 交⊙O 于E 、F ，AC ⊥CD,BD ⊥CD . (1) 求证：CE = DF . (2) 设AC=1h ，BD=2h ,点O 到CD 的距离为 h ，分别求图（1）、图（2）中的1h 、2h ,、和h 的数量关系。 9、如图,⊙M 与x 轴交于A 、D 两点, 与y 轴正半轴交于B 点,C 是⊙M 上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC. (1) 求圆心M 的坐标; (2) 求四边形ABCD 的面积; (3) 过C 点作弦CF 交BD 于E 点，当BC=BE 时，求CF 的长. y 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： （1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O 的切线； 计算机图形学 实验报告 姓名：谢云飞 学号：20112497 班级：计算机科学与技术11-2班实验地点：逸夫楼507 实验时间：2014.03 实验1直线的生成 1实验目的和要求 理解直线生成的原理；掌握典型直线生成算法；掌握步处理、分析 实验数据的能力； 编程实现DDA算法、Bresenham中点算法；对于给定起点和终点的 直线，分别调用DDA算法和Bresenham中点算法进行批量绘制，并记 录两种算法的绘制时间；利用excel等数据分析软件，将试验结果编 制成表格，并绘制折线图比较两种算法的性能。 2实验环境和工具 开发环境：Visual C++ 6.0 实验平台：Experiment_Frame_One（自制平台）。 本实验提供名为 Experiment_Frame_One的平台，该平台提供基本 绘制、设置、输入功能，学生在此基础上实现DDA算法和Mid_Bresenham 算法，并进行分析。 ?平台界面：如错误！未找到引用源。所示 ?设置：通过view->setting菜单进入，如错误！未找到引 用源。所示 ?输入：通过view->input…菜单进入.如错误！未找到引用 源。所示 ?实现算法： ◆DDA算法：void CExperiment_Frame_OneView::DDA(int X0, int Y0, int X1, int Y1) Mid_Bresenham法：void CExperiment_Frame_OneView::Mid_Bresenham(int X0, int Y0, int X1, int Y1) 3实验结果 3.1程序流程图 1）DDA算法流程图：开始 定义两点坐标差dx，dy，以及epsl，计数k=0，描绘点坐标x,y，x增 量xIncre，y增量yIncre ↓ 输入两点坐标x1,y1,x0,y0 ↓ dx=x1-x0,dy=y1-y0; ＿＿＿＿＿＿＿＿＿↓＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ↓↓ 若|dx|>|dy| 反之 epsl=|dx| epsl=|dy| ↓＿＿＿＿＿＿＿＿...＿＿＿＿＿＿＿＿↓ ↓ xIncre=dx/epsl; yIncre=dy/epsl ↓ 填充(强制整形)(x+0.5,y+0.5); ↓←←←← 横坐标x+xIncre; 纵坐标y+yIncre; ↓↑ 若k<=epsl →→→k++ ↓ 结束 2）Mid_Bresenham算法流程图开始 ↓ 定义整形dx,dy,判断值d,以及UpIncre,DownIncre,填充点x,y ↓ 输入x0,y0,x1,y1 ＿＿＿＿＿＿↓＿＿＿＿＿＿ ↓↓ 若x0>x1 反之 x=x1;x1=x0;x0=x; x=x0; 圆的基本概念和性质—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性； 2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 实验一 3D模型的加载、渲染与三维操作 学院： 专业班级： 指导老师： 学号： 姓名： 完成日期： 目录 一、实验目的 (3) 二、使用的工具软件及环境 (3) 三、实验内容 (3) 四、实验步骤 (3) 五、思考 (12) 一、实验目的 1、掌握在Microsoft Visual Studio环境中使用OpenGL、GLUT和GLUI； 2、了解计算机图形学固定流水线； 3、了解OpenGL编程基础； 4、掌握三维观察的数学表达和程序实现； 5、掌握多边形网格的绘制； 二、使用的工具软件及环境 Microsoft Visual Studio 2010、OpenGL、Glut、Glui 三、实验内容 1、在VS 2010中配置OpenGL环境； 2、编译简单的GLUT程序； 3、编译GLUI源代码，并在调试模式下执行6个示例程序； 4、在给定的工程中添加绘制简单几何体的代码； 5、在给定的工程中添加读取、绘制三维模型的代码； 6、在给定的工程中添加旋转、平移和缩放的控制代码； 四、实验步骤 1、安装Microsoft Visual Studio软件 版本选择：Microsoft Visual Studio 2010以上版本 2、VS2010中配置GLUT 1)下载GLUT。Windows环境下的GLUT下载地址： https://www.doczj.com/doc/202441865.html,/resources/libraries/glut/glutdlls37beta.zip 2)将下载的压缩包解开，将得到5个文件：glut.h、glut.lib、glut32.lib、 glut.dll、glut32.dll。3)将glut.h放到"%WinDir%\Program Files(x86)\Microsoft SDKs\Windows\v7.0A\Include\gl\"文件夹中。 4)将glut.lib和glut32.lib放到"%WinDir%\Program Files(x86)\Microsoft Visual Studio 10.0\VC\lib\"文件夹中。 5)将glut.dll和glut32.dll放到"%WinDir%\system32"文件夹（32位操作 系统）或者"%WinDir%\SysWOW64"文件夹（64位操作系统）。 3、测试GLUT配置环境 1如图。AB 为⊙O 直径，AE 与过C 点切线垂直，垂足为E 。 （1） 求证：AC 评分∠EAB ； （2） 若BC=8，sin ∠ECA= 53，求EC 2如图。AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，AC 平分∠EAB ，AE ⊥CE 于E ， （1） CE 为⊙O 的切线； （2） 若AB=10，sin ∠ACE=5÷5，求CE 3如图。AB 为⊙O 直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC=∠DAC ，CE ⊥AD 于E ，连BC ， （1） 求证：CE 是⊙O 的切线； （2） 若DE=1，BC=2，求劣弧BC 的长。 4如图。AB 为⊙O 直径，AB=10，玄AD=6，玄AC 平分∠BAD ，CE ⊥AD 于E ， （1） 求证；CE 为切线； （2） 求AC 的长。 B B B B 5如图。AB 为⊙O 直径，CE 与⊙O 相切于C ，AE ⊥CE 于E ，交 ⊙O 于D ，连CD ， （1）:求证：AC 平分∠DAB ； （2）若DE=2，sin ∠DAC=5÷5，求⊙O 的半径 6如图。AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，过C 的切线CE ⊥AE 于E ，交圆于点D ，连AC ，CD ，BC （1） 求证:AC 平分∠BAD ； （2） 若DC=4，tan ∠DCE 2 1，求半径OA 7如图。AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，AE 与过C 点的切线垂直于E ，交圆于D ，连CD ，CB ， （1） 求证：CD=CB ； （2） 若AC=25，CD=5，求AD 。 8．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=43，点E 为线段OB 上一 点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点 E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，A F ⊥PC 于点F ，连接CB ． （1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF=CE ； （3）当 CP CF =43时，求劣弧?BC 的长度（结果保留π） A B B B《圆》单元知识结构图
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