第五章数值积分
§5.0 引言
§5.1 机械求积公式
§5.2 Newton-Cotes公式
§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4 Gauss公式
§5.5 小结
§5.0 引 言
1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。 然而在实际问题中，往往碰到以下问题： (a) 被积函数f (x )是用函数表格提供的；
(b)
被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算； (c)
大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如
2
1
0x e
dx -?，概率积分
1
0sin x
dx x ?, 正弦型积分
2
22
2
2
4()1sin Ir
x H x d r x r π
θθ??
=- ?-??
?
回路磁场强度公式
等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2 所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
而数值积分只需计算
()f x 在节点(1,2,,)i x i n = 上的值，计算方便
且适合于在计算机上机械地实现。
§5.1 机械求积公式
1 数值积分的基本思想 区间[a ,b ]上的定积分()b
a
f x dx
?
，就是在区间[a,b]内取n+1个点
01,,,n x x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合
来近似作为待求定积分的值，即
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑?
右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。 其中,x k 称为积分节点，A k 称为求积系数。
因此，一个数值积分公式关键在于积分节点x k 的选取和积分系数A k 的决定，其中A k 与被积函数f(x)无关。称为机械求积公式。 1.1 简单算例说明 例1 求积分1
()x x
f x dx ?
此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。
解：（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==
来近似代替()f x ,于是，
110
0001()(()))(x x x x f x dx f x dx
f x x x ≈
=-?
?
（为左矩公式）
推广:
110
1110()()()()x x x x f x dx f x dx
f x x x ≈
=-?
?
（为右矩公式）
110
01
01
10()(
)2(
)()2
x x x x x x f x dx f dx
x x f x x +≈
+=-?
?
（为中矩公式）
（2） 用f (x )的一次多项式
01
1010110
()()()
x x x x L x f x f x x x x x --=+-- 来近似代替()f x ,于是，
[]1
110
1010110
10011()()1
()()(()())2
x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dx
x f x f x ??--=
+
?--??
=-+≈
?
?
?
（为
梯形公式）
（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01x x x '<<
011200010101101()()()()
()()()
()()()()
()()()()()
x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--
来近似代替()f x ,于是，
11
2()()x x x x f x dx L x dx
≈?
?
特别地：当011
()
2
x x x '=
+时，有
10
100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+??
≈++?????
（为Simpson 公式）
2 代数精确度
定义：若积分
()b
a
f x dx ?的数值积分公式0
()()n
b
k k a k f x dx A f x =≈∑?对于任意一个次数不高于m 次的多项式都精确成立，且存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m 。
对于代数精确度为m 的求积公式，若f (x )是不超过m 次的代数多项式，求积公式是精确成立的。 2.1 算例 例1: 有积分公式:
[]11
1
12012
()()()()f x dx f f f -≈-++?
求该积分公式的代数精确度。
这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。
-1 0
1
X
Y
f(-1)
f(1)
f(0)
解：(1)取f (x )=1，定积分
11
12 dx -=?
,
而数值积分[]1
12122
++=，两端相等；
(2)取f (x )=x ，定积分1
10xdx
-=?
,
而数值积分1
120102
()????-+?+=，两端相等； (3)取2
()f x x =，定积分1
2
12
3
x dx -=?,
而数值积分221120112
()??-+?+=??，两端不相等； 只要取f (x )=1，f (x )=x 验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取
2()f x x =时求积公式不精
确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。
例2：在如下求积公式中，求积分节点12,x x 和相应的求积系数12,A A 使其
代数精确度尽可能高。
111221
()()()f x dx A f x A f x -=+?
解：(1) f (x )=1, 1
1 1 2dx -=?
,而数值积分为12A A +；
得到方程122A A +=；
(2) f (x )=x ，1
1 0x dx -=?
，而数值积分为1122A x A x +；
得到方程1122
0A x A x +=；
(3)
2
()f x x =，1212 3
x dx -=?，而数值积分为221122A x A x +；
得到方程2211
22
2
3
A x A x +=；
(4)
3
()f x x
=，1
31
0x dx -=?
，而数值积分为33
1122A x A x +；
得到方程33
11220A x A x +=；
综合上述方程：
1211
22
22
112233
11222 (1)
0 (2)
2 (3)
30 (4)
A A A x A x A x A x A x A x +=??+=??+=??+=? 解得:
1211,33
x x =-= 121A A ==。
于是我们得到积分公式
1
1
11()()(
)3
3
f x dx f f -=-
+?
。
再取
4
()f x x =，有1
4
12 5
x dx -=
?，
而数值积分为
44
112
9
33
????
-+=
? ?
????，两式不相等，求积公式不精确成
立了。
所以，该积分公式的代数精确度为3。
§5.2 Newton-Cotes 公式
1 公式的推导
Newton-Cotes 公式是由拉格朗日插值公式推导出来的数值积分公式。
将区间[a ,b ]等分n 等份,记b a h n
-=,分点为k x a kh =+,
k=0,1,...,n ,这n+1个节点上的函数值为
(),0,1,,k f x k n = ,
从而区间[a ,b ]上的拉格朗日插值多项式为
()()()
n
n k k k L x f x l x ==∑
其中,
()k l x 为插值基本多项式,与函数f (x )无关,k=0,1,...,n 。
()()b
b
n a
a
f x dx L x dx ≈?
?
()()n
b k k a k f x l x dx =∑?=
00
()()()
n
b k k a k n
k k k l x dx f x A f x ==??=???
?=∑?∑
由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简: 因为 k x a kh =+，x a th =+
故
()k j x x k j h -=-，()j x x t j h -=-
011011()()()()
()()()()()n k k k n k k k k k k x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=
----
(1)(1)(1)()(1)(1)(1)()
t t t k t k t n k k k k k k k n --+---=
--+---
0,(1)()!()!n
n k j j k t j k n k -=≠-=--∏
因 ()b
k k a
A l x dx =
?， 作积分变量代换x a th =+，b a
dx hdt dt n
-==， 当x a =时，t=0；当x=b 时，t=n ；
故
00,()1(1)()!()!n
n j j k
n k k b a t j dt A n k n k =≠----=?-∏? 记()(),0,1,,n k k A b a C k n =-= ，
我们称()
n k C 为柯特斯（Cotes ）系数，它不仅与函数f (x )无关，而且与积 分区间[a ,b ]无关。 例如：
当n=1时 (梯形积分公式中的系数)
11(1)0
0(1)1
(1)0! 1!2C t dt -=-=?, 01(1)
10(1)1(0)1! 0!2C t dt -=-=?;
当 n=2时 (抛物线积分公式中的系数)
22(2)00(1)1(1)(2)0! 2!26C t t dt -=--=??,
12(2)10(1)2(0)(2)1! 1!23C t t dt -=--=??,
02(2)
20(1)1(0)(1)2! 0!26C t t dt -=--=??;
当n=3时 (3/8积分公式中的系数)
33(3)00(1)1(1)(2)(3)0! 3!38C t t t dt -=---=??， 23(3)10(1)3(0)(2)(3)1! 2!38C t t t dt -=---=??， 13(3)20(1)3(0)(1)(3)2! 1!38C t t t dt -=---=??， 03(3)
30(1)1(0)(1)(2)3! 0!38C t t t dt -=---=??；
于是，由柯特斯（Cotes ）系数()
n k
C 公式出发，我们得到n 阶Newton —Cotes
公式：
()
()()()n
b
n k k a
k f x dx b a C f x =≈-∑?。
2 低阶公式及其余项
常用的Newton —Cotes 公式 a) 梯形公式 n=1时，积分节点为
0x a =，1x b =，则数值积分公式为：
[] ()()()2
b a
b a
f x dx f a f b -≈+?
其几何意义是曲边梯形的面积
()b a
f x dx ?
近似地用梯形面积
[]()()2
b a
f a f b -+来代替。 其余项3
1()()()
(,)
12
b a R f f a b ξξ-''=-∈
b) 抛物线公式（辛浦生Simpson 公式）
n=2时，积分节点为x 0=a ，12
a b x +=，x 2=b ；
柯特斯系数为(2)(2)(2)0
2
112,63
C
C
C ===； 则数值积分公式为:
Y
X
f(a)
f(b)
f(x)
a b
O
()()4()()62b a
b a a b f x dx f a f f b -+??
≈++????
?
其几何意义是曲边梯形的面积 ()b a
f x dx ?
近似地用由抛物线形成的曲边梯形
面积来代替。
其余项
5(4)2()()()
(,)
2880
b a R f f a b ξξ-=-∈
c) 柯特斯公式
n=4时，积分节点为0x a =，4x b =，,,1,2,34
k b a
x a kh h k -=+==； 柯特斯系数为440
4
790
()()C
C
==,44413232129090()()
(),C C C ===； 则数值积分公式为：
()b a
f x dx
?
012347()32()12()32()7()90
b a
f x f x f x f x f x ????-≈++++ 其余项
7(6)
48()()()
(,)
9454
b a R f f a b ξξ-=-∈
综上所述，Newton-Cotes 数值积分公式具有如下特点： (1) 建立在等距积分节点上，
(2) 是封闭型的，即两个端点a,b 也是积分节点，
(3) 是由拉格朗日插值公式推导而得到的。 2.1 Cotes 系数()n k
C
的性质
引理: n 阶Newton —Cotes 公式
()
()()()n
b
n k k a
k f x dx b a C f x =≈-∑?
的代数精确度至少是n 。
证明: 如果
()f x 是一个次数不超过n 次的多项式，则
(1)()0n f x +≡
其拉格朗日插值公式的插值余项为：
(1)1()()()()()0
(1)!
n n n n R x f x L x f x n ξω+=-=≡+ 故
()()n f x L x =，这是对一切x 均相等，精确成立。
所以，
()0
()()()()n
b
b
n n k k a
a
k f x dx L x dx b a C f x ===-∑?
?
即，数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故n 阶Newton —Cotes 公式的代数精确度至少是n 。 □ 性质1:
归一公式：
()
1, 1,2,3,n
n k k C n ===∑
证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为n ，故对于
()1f x =，数值积
分公式是精确成立的：
() 1()
b
b
a
a
f x dx dx b a ==-?
?，
而
()()
0()()()n
n
n n k
k k k k b a C
f x b a C ==-=-∑∑
由上述两式相等，得到：
()0
1, 1,2,3,n
n k k C n ===∑
□
性质2:
对称性：()()
n n k n k C C -=。
3 复合求积公式
随着n 的增加可以减少积分误差，但高阶N-C 公式又会造成数值不稳定，因而采用复合求积公式。
3.1 复合梯形公式
将区间等分n 等份,b a
h n -=,
分点是x k =x 0+kh,(k=0,1,...,n ),其中0, n a x b x ==。 在每个子区间1[,]k k x x +上用梯形公式
[]1 1 ()()()2
k k
x k k x h
f x dx f x f x ++≈+?
则
[]1
1 0()()()2
n a k k b
k h
f x dx f x f x -+=≈+∑?
[]
011()2()2()()2n n h
f x f x f x f x -=++++
1()2()()2n
k k h f a f x f b =??=++??
??∑
此公式就是复合梯形公式。
其几何意义是曲边梯形面积近似地用许多小的细条梯形来代替（如图）
从图中可以看出，n 越大，则h 越小，实际面积与近似面积的差，即求积误差也就越小。这与分段插值相类似，所不同的是分段插值函数是不光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不光滑的问题。 3.2 复合辛浦生公式
将区间[a ,b ]等分n 等份，n 为偶数（n=2n ），b a h n -=，
分点是0122,,,,m a x x x x b =
= ,1k k x x h +-=，简记()k k f x f =，
则在每两个子区间222[,]k k x x +(0,1,2,1k m =- )上用辛浦生公式:
[]222 22222122 ()46
k k
x k k
k k k x x x f x dx f f f ++++-≈
++?
[]221
22
43
k k k h
f f f
++=++
则
[]1
221
22
0()43
m a k k k b
k h
f x dx f f
f
-++=≈++∑?
()
01232221
2424243
m m m h
f f f f f f f --=+++++++
此公式就是复合辛浦生公式。 3.3 算例
分别利用梯形公式和Simpson 公式计算积分：
1
sin x
I dx
x
=?
步长h =1/8。 解：设
0,1,,8i x ih
i == ,
由复合梯形公式有：
[] 1
017sin (0)2()2()(1)2
0.94569086
x
I dx
x h
f f x f x f =≈++++=?
由复合Simpson 公式有：
[]
1
03221
22
0sin 43
0.94608331
k k k k x I dx
x h
f f f
++==≈++=?∑
积分的相对精确值为
1
sin 0.94608309
x
I dx x
=≈?
。
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
实验二数值方法计算积分 学号：姓名：指导教师：实验目的 1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法； 2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积 方法计算积分的原理。 一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94. (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关 于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小 的h，使得精度不能再被改善？ (2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。 二、实现实验 1、流程图： 下图是龙贝格算法框图：
2、 算法： (1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h 2∑-=1 1 )](n k xk f ； (2) 复合辛普森公式：Sn=6h [f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1 )2/1(n k x f ]； 以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。 (3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式 1、Sn= 34T2n-31 Tn 2、 Cn=1516S2n-151 Sn 3、 Rn=6364C2n-631 Cn 从而实现算法。 3、 程序设计 （1）、复合梯形法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0. 001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); （2）、复合辛普森法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0 .001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); （3）龙贝格法： function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4; end; M=1; tol=10; k=0; T=zeros(1,1); h=b-a; T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),
实验二数值积分实验 一. 实验目的 （1）熟悉数值积分与数值微分方法的基本思想，加深对数值积分与数值微分方法的理解。 （2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的数值积分与数值微分方法。 二. 实验要求 用Matlab软件实现复化梯形方法、复化辛甫生方法、龙贝格方法和高斯公式的相应算法，并用实例在计算机上计算。 三.实验内容 1. 实验题目 已知x e x f x4 sin 1 ) (- + =的数据表 分别编写用复化梯形法、复化辛甫生公法、龙贝格法、三点高斯法求积分?=1 ) (dx x f I 近似值的计算机程序。 A.复化梯形法: a．编写文件Trapezoid.m,代码如下所示：
b．编写文件f2.m: c.运行： B．复化辛甫生公法 a．编写文件FSimpson.m,代码如下所示：
b．编写文件f2.m: function f=f2(x) f=1+exp(-x).*sin(4*x); c.运行： C．龙贝格法
a．编写文件Romberg.m,代码如下所示： b.运行：
D.三点高斯法 a.编写文件TGauss.m文件，如下所示：
b．运行： 2. 设计思想 要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。 总体的思想是化复杂为简单的重复 A．复化梯形法使用直接法，通过递归，缩减规模； B．复化辛甫生也是使用直接法，根据公式直接进行编程，通过递归缩减规模； C．龙贝格算法应该在做了的几个中最体现了“化复杂为简单的重复”的思想，多个循环通过变量的适当递增，和一个for循环语句来实现，循环主体只有一句话，但确是整个程序中的亮点和难点； D．三点高斯法直接通过一条简单的公式来编写程序，难度不大； 四.实验体会 对实验过程进行分析总结，对比不同方法的精度，指出每种算法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对数值积分方法的理解。
.证明： (1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵 (2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。 证明： (1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1 -i λ也皆大于0。因此 1-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。又 111)()(---==A A A T T 则1-A 也是对称正定矩阵。 (2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解 U L A ~ =。又 022211111 1222 11111DU u u u u u u u u u U n n nn =? ???? ???? ???????? ?=????????? ?? ?=M O ΛΛO 其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是 0~ ~DU L U L A == 由A 的对称性，得 ~ T T T L D U A A == 由分解的唯一性得 ~ L U T = 从而 ~~ T L D L A = 由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i Λ=表示A 的各阶顺序主子式，则有 011>=D d ，01 >= -i i i D D d ，n i ,,3,2Λ=
故 2 12 12 1 2 121D D d d d d d d d d d D n n n =?????? ? ?????? ?????????????? ?=????????????=O O O 因此 T T T LL D L D L L D D L A ===)(21~ 2 1~ ~2 121~ ， 其中2 1~ D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。 .用列主元消去法解线性方程组 ??? ??=++-=-+-=+-6 1531815331232 1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。 解 ?? ?? ??????----?→?-=???? ??????----?→??? ??? ?????----??→?- =-=?113/110053/7101513 186 76/3118/176/7053/7101513 186111153312151318)(323 2 18 1 21312 1m b A m m r r 所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。
毕业论文文献综述 信息与计算科学 导数的数值计算方法 一、 前言部分 导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示． 导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具 ] 1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但 当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数] 2[．最简单 的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有 [3] ． ()()() 'f x h f x f x h +-≈ ， ()()() 'f x f x h f x h --≈， ()()() '2f x h f x h f x h +--≈ ． 需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化] 4[．
目录 第一章数值积分计算的重述 (1) 1.1引言 (1) 1.2问题重述 (2) 第二章复化梯形公式 (3) 2.1 复化梯形公式的算法描述 (3) 2.2 复化梯形公式在C语言中的实现 (3) 2.3 测试结果 (4) 第三章复化simpson公式 (6) 3.1 复化simpson公式的算法描述 (6) 3.2 复化simpson公式在C语言中的实现 (6) 3.3 测试结果 (7) 第四章复化cotes公式 (8) 4.1 复化cotes公式的算法描述 (8) 4.2 复化cotes公式在C语言中的实现 (9) 4.3 测试结果 (10) 第五章Romberg积分法 (11) 5.1 Romberg积分法的算法描述 (11) 5.2 Romberg积分法在C中的实现 (12) 5.3 测试结果 (13) 第六章结果对比分析和体会 (144) 参考文献 (16) 附录 (16)
数值积分?-10 2 dx e x （一） 第一章 数值积分计算的重述 1.1引言 数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。 在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 ()() () b a f x d x F b F a =-? 其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge 现象。如7n >时,Newton-Cotes 公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes 公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。本文主要
习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ， 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度： （1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ； （2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。 解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右； 当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。
基础实验二 定积分数值计算 一、实验目的 学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。 二、实验材料 2.1定积分的数值计算 计算定积分?b a dx x f )(的近似值，可将积分区间n 等分而得矩形公式 n a b n a b i a f dx x f n i b a ---+≈∑?=]) 1([)(1 或 n a b n a b i a f dx x f n i b a --+≈∑?=][)(1 也可用梯形公式近似计算 n a b b f a f n a b i a f dx x f n i b a -++-+≈∑?-=]2)()()([)(11 如果要准确些，可用辛普森公式 n a b b f a f a b i a f n a b i a f dx x f n i n i b a 6)]()()2)21((4)(2[)(111-++--++-+≈∑∑?=-= 对于?1 0sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica 程序为 a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x]; d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值） s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式） s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （取小区间中点的矩形公式） s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式） s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}]
计算方法实验报告(5) 学生姓名杨贤邦学号指导教师吴明芬实验时间2014.4.16地点综合实验大楼203 实验题目数值积分方法 实验目的●利用复化梯形、辛普森公式和龙贝格数值积分公式计算定积分的 近似植。 实验内容●梯形、辛普森、柯特斯法及其Matlab实现； ●变步长的梯形、辛普森、柯特斯法及其Matlab实现。 ●题目由同学从学习材料中任意选两题 算法分析梯形：function y=jifeng_tixing(a,b,n,fun) fa=feval(fun,a); fb=feval(fun,b); s=0; h=(b-a)/n; for k=1:n-1 xk=a+k*h; s=feval(fun,xk)+s; end y=(h/2)*(fa+fb+2*s); 辛普生：function y=jifeng_xingpu(a,b,n,fun) fa=feval(fun,a); fb=feval(fun,b); h=(b-a)/n; s=0; s2=feval(fun,a+0.5*h); for k=1:n-1 xk=a+k*h; s=feval(fun,xk)+s; s2=feval(fun,xk+(h/2))+s2; end
与源程序y=(h/6)*(fa+fb+2*s+4*s2); 龙贝格：function r2=jifeng_long(fun,a,b,e) h=b-a; t1=(h/2)*(feval(fun,a)+feval(fun,b)); k=1; r1=10; r2=0; c2=0; while abs(r2-r1)>e; s=0; x=a+h/2; while x=3 r1=r2; c2=s2+(1/15)*(s2-s1); r2=c2+(1/63)*(c2-c1); k=k+1;h=h/2; t1=t2;s1=s2; c1=c2; end end
第七章 数值积分 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹 公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?来求得定积分。然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。 一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很 复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 7.1 插值型求积公式 设?=b a dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使 ?=≈b a n dx x P I I )(* 。 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。
第五章最小二乘法与曲线拟合小结 一、本章知识梳理 1、 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差 平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合 中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函 数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小 的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即
(3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 3、曲线拟合： 曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。
6 数值积分 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且原函数为)(x F ，则可用牛 顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?计算定积分。然而很多函数 无法用牛顿―莱布尼兹公式求定积分。 一个简单被积函数，例如错误!未找到引用源。dx cx bx a ?++2，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数)(x P n 来近似代替被积分函数)(x f ，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 6.1 插值型求积公式 设?=b a dx x f I )(* ，插值型求积公式就是构造插值多项式)(x P n ，使 ?=≈b a n dx x P I I )(*。 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。
第七章 微积分的数值计算方法 7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题 求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。 2．定积分计算问题 计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I b a ?= )( 当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算： )()()(a F b F dx x f I b a -==? 然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。 3．数值积分的基本形式 数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式 ∑?=≈n k k k b a x f A dx x f 0 )()( (7.1.1) 或记成 ∑?=+=n k n k k b a f R x f A dx x f 0 ][)()( (7.1.2) ∑==n k k k x f A I 0 * )( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其 余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。 这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数 k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论* I 的算法设计及其数值稳定 性。 4．插值型求积公式 如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式 )(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点
数值分析第五章答案 【篇一：数值分析第五版计算实习题】 第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); or j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp(4次牛顿插值多项式); p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp(三次样条函数); for i=1:4 s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; s=vpa(collect(s),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(p4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot);
y3=eval(p4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co); title(4次牛顿插值及三次样条); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下 2-3（1） 程序： clear; clc; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点 n=length(y1); a=ones(n,2); a(:,2)=-x1; c=1; for i=1:n c=conv(c,a(i,:)); end q=zeros(n,n); r=zeros(n,n+1); for i=1:n [q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end dw=zeros(1,n); for i=1:n dw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数 end p=dw*q; syms x l8; for i=1:n
第四章 数值积分 一．问题提出： （1）针对定积分()b a I f x dx =? ，若()5 f x x =,a=0,b=1，即有1 61 500166 x I x dx == =?，但当()sin x f x x = ，()2sin f x x =，……，时，很难找到其原函数。 （2）被积函数并没有具体的解析形式，即()f x 仅为一数表。 二．定积分的几何意义 定积分()b a I f x dx =?的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面 积，这四条曲线分别是()y f x =，y=0，x=a ，x=b 。 x y 三．机械求积公式 1.中矩形公式 ()()2b a a b I f x dx b a f +?? =≈- ??? ?； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
x y 2 2.梯形公式 ()()()2b a b a I f x dx f a f b -=≈ +??? ?? 梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积： x y 3.辛普生公式 ()()()462b a b a a b I f x dx f a f f b -? +??? =≈ ++ ? ?????? ? 辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由 ()(),(),,,,()22a b a b a f a f b f b ?++? ?? ? ????? 三点构成。
x y a+b 2 4.求积公式的一般形式 ()()0 n b k k a k f x dx A f x =≈∑?，其中k x 称为节点，k A 称为求积系数，或权。 5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法） 含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。 定义：若某积分公式对于()0,1,,k x k m = 均能准确成立，但对于1m x +不能准确成立。则称该公式具有m 次代数精度。 解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。 例1．研究中矩形公式()()2b a a b f x dx b a f +?? ≈- ??? ?的代数精度及几何意义。 解：当()01f x x ==时，公式左边()1b b a a f x dx dx b a ===-??，公式右边b a =-，左=右； 当()1 f x x =时，公式左边()2222 2 b b b a a a x b a f x dx x dx -=== =?? ， 公式右边()22 22a b b a b a +-??=-= ??? ，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()3332 33 b b b a a a x b a f x dx x dx -====?? ， 公式右边()2 2a b b a +?? =- ??? ，左≠右；
标题：数值计算及其应用随着计算机的迅速发展和广泛应用，在众多领域内，人们越来使越认识到科学计算是科学研究的第三种方法，数值计算是研究数学问题的数值解及其理论的一个数学分支，它涉及面很广，如：代数、微积分、微分方程、无穷级数、概率论等多方面数学基础知识。自计算机成为数值计算的主要工具来，人们主要研究适合于在计算机上用的数值计算方法及与此相关的理论，包括方法的敛散性、稳定性及误差分析，还要根据计算机的特点研究计算时间最短、需要内存最少的计算方法。它除了具有数学的抽象性与严格性外，还具有应用的广泛性与实际实验的技术性。 数值计算有很多重要的应用，下面举例说明： 1. 在科学技术工程和实验中，经常需要从实验数据中寻找拟合直线，如：天文学家通过对天体运行的观测数据进行分析和处理得到天体的运动轨迹，这就需要用到“多项式逼近”理论和“曲线拟合”的相关知识。 2. 现实生活中经常遇到最优化问题，如：商家寻求最大收益、投资者寻求最小风险等。这就需要用到“数值优化”的知识。 3. 很多数学物理问题都涉及到偏（常）微分方程、科学工程领域建立的许多数学模型也经常用到微分方程，但通常我们无法计算其解析解（事实上也没有必要计算解析解），那么此时数值近似解就具有重要的意义，要求得其数值解就要用到“微分方程求解”的相关理论。
4. 在很多关键领域：如航天领域要研究系统的稳定性，实际上就是研究“收敛”和“发散”，对与这些问题就要用到“方程根的求解”的相关知识。 5. 现实中还有很大一类问题需要求解线性方程组，这就需要“线性方程组求解”及“特征值与特征向量”理论。 综上所述：数值计算在现实生活中发挥着重要的作用，在高科技领域占中有举足轻重的地位！
第五章 数值拟合及最小二乘法 一、最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数； 二是误差绝对值的和 ∑=m i i r ，即误差向量r 的1—范数； 三是误差平方和∑=m i i r 2 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方 法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方， 因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 2 [] ∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 )(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 合中，函数类Φ可有不同的选取方法 .
5—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)， Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0)(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 ∑∑==-=m i n k i k i k y x a I 0 2 0)( 为n a a a ,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10n a a a I I =的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 n j x y x a a I m i j i n k i k i k j ,,1,0,0)(200 ==-=??∑∑== (2) 即 n j y x a x n k m i i j i k m i k j i ,,1,0, )(0 ==∑∑∑===+ (3) （3）是关于n a a a ,,10的线性方程组，用矩阵表示为 ???? ?? ???? ??????????=????????????????????? ??????????? +∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n m i n i m i n i m i n i m i n i m i i m i i m i n i m i i y x y x y a a a x x x x x x x x m 00010020 10 102000 1 (4) 式（3）或式（4 ）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出k a (k=0,1,…，n) ，从而可得多项式
若干数值积分的计算方法 黄海琼 （广西民族大学数计学院04数本1班 南宁 530006） 摘 要: 本文讨论了若干数值积分的计算方法。在一维情形下，介绍了Newton-Cotes 公式，Gauss 型等求积法则； 在二维情形下, 主要介绍了二元Newton-Cotes 积分方法。最后，对几类数值积分方法及其数值实验进行比较评述。 关键词: 牛顿-柯特斯公式；Gauss 型求积法则；二元数值积分；数值实验 Some Computational Methods of numerical integration Huang Haiqiong (College of Mathematics and Computer Science,Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006) Abstract: In this paper, some computational methods about numerical integration are discussed. under the univariate situation, the quadrature rule of Newton-Cotes formula, Gauss formula and so on is introduced. Under the two-dimensional situation, it mainly introduced the dual Newton-Cotes integral method. Finally, the numerical integration methods and numerical experiment were discussed. Key word: Newton-Cotes formula; Gauss integration principle; dual numerical integration; numerical experiment. 1 引 言 数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技 术计算中常常遇到的一个问题[1]。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。 在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 ()()()b a f x dx F b F a =-? 其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。