目录
第一章数值积分计算的重述 (1)
1.1引言 (1)
1.2问题重述 (2)
第二章复化梯形公式 (3)
2.1 复化梯形公式的算法描述 (3)
2.2 复化梯形公式在C语言中的实现 (3)
2.3 测试结果 (4)
第三章复化simpson公式 (6)
3.1 复化simpson公式的算法描述 (6)
3.2 复化simpson公式在C语言中的实现 (6)
3.3 测试结果 (7)
第四章复化cotes公式 (8)
4.1 复化cotes公式的算法描述 (8)
4.2 复化cotes公式在C语言中的实现 (9)
4.3 测试结果 (10)
第五章Romberg积分法 (11)
5.1 Romberg积分法的算法描述 (11)
5.2 Romberg积分法在C中的实现 (12)
5.3 测试结果 (13)
第六章结果对比分析和体会 (144)
参考文献 (16)
附录 (16)
数值积分?-10
2
dx e
x （一）
第一章 数值积分计算的重述
1.1引言
数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。
在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式
()()
()
b
a
f x d x F b F a =-?
其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge 现象。如7n >时,Newton-Cotes 公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes 公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。本文主要
研究的公式有: 复化梯形公式﹑复化Simpson 公式﹑复化Cotes 公式﹑Romberg 积分法。
1.2 问题重述
本文主要介绍微积分方程的复化解法。通过运用复化梯形公式、复化Simpose 公式、复化cotes 公式和Romberg 积分法这四种积分法方法，解出微分方程的近似解。并进行误差分析和结果比较。
当积分区间[a,b]的长度较大,而节点个数n + 1固定时，直接使用Newton-Cotes 公式的余项将会较大，而如果增加节点个数,即n + 1增加时，公式的舍入误差又很难得到控制，为提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法。即将积分区间[a,b]分成若干个子区间，然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes 公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加。
将定积分的积分区间[a b]分割为n 等份
各节点为kh a x k += ,k=0,1,…n n
a
b h -=
在子区间],[1+k k x x (k=0,1,1…..n-1)上使用Newton Cotes 公式将子区间分割为l 等份,
节点为1,...2,,+=+++k k k k k x l
lh
x l h x l h x x
记为121,...,,++
+
+
=k l
l k l
k l
k k x x x x x
在子区间上作f(x)的l 阶Newton-Cotes 求积公式
)()()()()(0
)(0
)(1)(1
l
i k l
i l i l
i k l
i l i
k k k a
b x
f C h x
f C
x x I
x d x f +
=+=+∑∑?
=-=≈
由积分的区间可加性,可得
∑??-=+=101
)()()(n k x x a
b
k k
dx x f x d x f
复化求积公式n i k n k i i n k k I x f C h I
==≈+-==-=∑∑∑)(101
)1(1
0)(1
第二章 复化梯形公式
2.1 复化梯形公式的算法描述
复化求积公式n i k n k i i n k k I x f C h I
==≈+-==-=∑∑∑)(101
)1(1
0)
(1
当L=1时可得复化梯形公式：)()()(101
)1(i k n k i i a
b
x f C h Tn x d x f +-==∑∑?=≈
=)]()([21
11
+-=+∑k k n k x f x f h
复化梯形公式=)]()(2)([210
b f x f a f n a
b k n k ++-∑-=
2.2 复化梯形公式在C 语言中的实现
复化梯形公式运用的程序如下：
T0=(a-b)*(f_x(a)+f_x(b))/2;//n=1时的cotes 公式即梯形公式
for(i=1;i<=100;i++)
{
//计算sum_num 、xishu 、s_point(start point ）、d_point sum_num=pow(2,i-1); xishu=double(a-b)/sum_num;
s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i); d_point=double(a-b)/pow(2,i-1); for(j=1;j<=sum_num;j++) { add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);
}
add_T=add_T*xishu;
T1=(T0+add_T)/2;
err_T=(T1-T0)/3;
//output
printf("%d %d %10.8f %10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);
printf("\n");
if(err_T<=0)
err_T=(-1)*err_T;
if(err_T<=E)
break;
else
{
T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化梯形公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化梯形公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
2.3 测试结果
用复化梯形有效数字四位求得的结果如下：
用复化梯形有效数字七位求得的结果如下：
由以上结果可以看出取两个不同的精度相对误差比较小，但计算次数大大的
增加，复化梯形公式计算次数多。
第三章 复化simpson 公式
3.1 复化simpson 公式的算法描述
复化求积公式n i k n k i i n k k I x f C h I
==≈
+-==-=∑∑∑)(101
)1(1
)
(1
当L=2时可得复化梯形公式：
)(2)()(101
)(i k n k i i a
b
x f C h Sn x d x f +-==∑∑?
=≈
=)]()(4)([61
12
11
++
-=++∑k k k
n k x f x
f x
f h
复化simpson 公式=
)]()()(4)([61
022
110b f x f x f a f n a
b k n k k n k +++-∑∑-=+-=
3.2 复化simpson 公式在C 语言中的实现
复化梯形公式运用的程序如下：
T0=(a-b)*(f_x(a)+4*f_x((a+b)/2)+f_x(b))/6;//n=2的cotes 公式即simpson 公式 for(i=1;i<=100;i++) { //计算sum_num 、xishu 、s_point(start point ）、d_point //long powl (long double x, long double y) sum_num=pow(2,i-1); //the same as T xishu=double(a-b)/sum_num/6; s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i); d_point=double(a-b)/pow(2,i-1); sd_point=double(a-b)/sum_num/4; for(j=1;j<=sum_num;j++) {
add_T=add_T+2*f_x(s_point+(j-1)*d_point)-4*f_x(s_point-sd_point+(j-1)*d_point)-4*
f_x(s_point+sd_point+(j-1)*d_point);
} add_T=add_T*xishu; T1=(T0-add_T)/2; err_T=(T1-T0)/15;
//output
printf("%d %d %10.8f %10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);
printf("\n");
if(err_T<=0)
err_T=(-1)*err_T;
if(err_T<=E)
break;
else
{
T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化simpose公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化simpose公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
3.3 测试结果
用复化simpose迭代取有效数字四位求得的结果如下：
用复化simpose 迭代取有效数字七位求得的结果如下：
由以上结果可以看出两次不同精度要求的计算可以看出不同精度计算计算次数相差较多。精度为四和七间计算次数相差了三次。
第四章 复化cotes 公式
4.1 复化cotes 公式的算法描述
复化求积公式n i k n k i i n k k I x f C h I
==≈+-==-=∑∑∑)(101
)1(1
0)
(1
当L=4时可得复化梯形公式：)2
()()(104
)4(i x
f C h Cn x d x f k n k i i a
b
+-==∑∑?=≈
=
)](7)(32)(12)(32)(7[9014
342411
++++-=++++∑k k k k k n k x f x f x f x f x f h
复化cotes 公式=
)](7)](32)(12)(32[)(7[904
342411
0b f x f x f x f a f n b
a k k k n k ++++-+++-=∑
4.2 复化cotes 公式在C 语言中的实现
复化cotes 公式运用的程序如下：
T0=(a-b)*(7*f_x(1)+32*f_x(2)+12*f_x(3)+32*f_x(4)+7*f_x(5))/90;//四阶（n=4）cotes 公式。
for(i=1;i<=100;i++) { sum_num=pow(2,i-1); //the same as T xishu=double(a-b)/sum_num/90; s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i); d_point=double(a-b)/pow(2,i-1); sd_point=double(a-b)/sum_num/8; for(j=1;j<=sum_num;j++) {
add_T=add_T-2*f_x(s_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point-sd_point+(j-1)*d_point)+20*f_x(s_point-2*sd_point+(j-1)*d_point)-32*f_x(s_point-3*sd_point+(j-1)*d_poin t)-32*f_x(s_point+sd_point+(j-1)*d_point)+20*f_x(s_point+2*sd_point+(j-1)*d_poin t)-32*f_x(s_point+3*sd_point+(j-1)*d_point);
} add_T=add_T*xishu; T1=(T0-add_T)/2; err_T=(T1-T0)/63; //output
printf("%d %d %10.8f %10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T);
printf("\n"); if(err_T<=0) err_T=(-1)*err_T; if(err_T<=E) break; else { T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化cotes公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化cotes公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
4.3 测试结果
用复化cotes有效数字四位求得的结果如下：
用复化cotes有效数字七位求得的结果如下：
由以上结果可以两次不同精度计算的结果相差相对前面的方法要大，计算次数增加了三次。
第五章 Romberg积分法
5.1 Romberg积分法的算法描述
Romberg方法也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
对区间[a，b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/22]f(a+h/2）
把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22 =（b-a）/4，于是
T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................
把[a，b] 2k等分，分点xi=a+（b-a）/ 2k ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2k ，由归纳法可得面所说的的第一个公式.
（二）计算公式如下：
整个程序就是循着这四个公式进行计算的。Sn,Cn, Rn 分别代表特例梯形积分,抛物线积分,龙贝格积分.当然,编程的时候统一处理即可。
5.2 Romberg积分法在C中的实现
Romberg公式运用的程序如下：
double T0=0,S0=0,C0=0,T1=0,S1=0,C1=0,R0=0,R1=0;
double err_T=10;
int i=0,j=0;
int sum_num=0;
double xishu=0;//系数
double s_point=0,d_point=0;
double add_T=0;
T0=(a-b)*(f_x(a)+f_x(b))/2;//n=1时的cotes公式即梯形公式。
for(i=1;i<=100;i++)//the first base number
{
sum_num=pow(2,i-1);
xishu=double(a-b)/sum_num;
s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);
d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);
for(j=1;j<=sum_num;j++)
{
add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);
}
add_T=add_T*xishu;
T1=(T0+add_T)/2;
add_T=0;
//计算S1
S1=4*T1/3-T0/3;
if(i>=2)
C1=16*S1/15-S0/15;
if(i>=3)
R1=64*C1/63-C0/63;
//check using the "1" data
err_T=(R1-R0)/255;
if(err_T<0)
err_T=(-1)*err_T;
if((err_T
break;
//完成计算后，准备下一次循环
T0=T1;
T1=0;
S0=S1;
S1=0;
C0=C1;
C1=0;
R0=R1;
R1=0;
}
在这个函数中我们将romboerg公式和的积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出romboerg公式的T0，进行迭代，分别算出S1，C1，R1直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
5.3 测试结果
用romboerg有效数字四位求得的结果如下：
用romboerg有效数字七位求得的结果如下：
由以上结果可看出，用romboerg取不同的精度对T1，S1，C1，R1的结果影响大小不相同，T1影响最大，R1影响最小，迭代次数越多精度影响大小越小。
第六章结果对比分析和体会
通过对不同精度的测试发现复化梯形公式的计算量增加最快，而romberg达到一定的精度要求结果无法正常计算显示。如下图所示当精度要求达到20时结果无法正常显示。
而其他可正常显示结果但是计算次数相对较大如复化梯形计算次数为三十三次，由以上程序测试的数据结果的对比显示可知不同求积公式各有特点.梯形求积公式和Simpson求积公式虽然计算简单、使用方便, 但是精度较差, 但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法更为有效。尤其梯形公式对被积函数是周
n>时,复化梯形公式和复化Simpson公式在保留了低期函数的效果更为突出。7
阶公式的优点, 又能获得较高的精度, 因此在实际计算中应用的最为广泛。
利用二分技术得到的Romberg方法的算法简单, 易于编程实现。当节点加密提高积分近似程度时, 前面计算的结果可以为后面所用, 对减少计算量很有好处, 并有比较简单的误差估计, 能得到若干积分序列, 如果在做收敛性控制时, 同时检查各行、各列, 对于不同性态的函数可以用其中最快的收敛序列来逼近积分。
参考文献
[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉.华中科技大学出版社，2006.7.
[2] 清华大学、北京大学计算方法编写组.计算方法[M] .北京.科学出版社，1980
[3] 吕同斌《复化梯形公式及其应用》[期刊论文] 《安徽水利水电职业技术学院学报》 2002 年4 期
[4] 溪梅成《数值分析方法》 [M] 合肥：中国科学技术大学，2003
附录
1.复化梯形源程序
#include
#include
#define a 5
#define b 1
#define E 0.00000005 //即保留七位有效数字0.5*10^-7
//原函数
double f_x(double x)
{
double y;
y=exp(-(x*x));
return(y);
}
int pow(int x,int y)
{
int z=1;
int i;
for(i=0;i { z=z*x; } return z; } void main() { //计算T1,T2,T4,T8...... double T0=0,T1=0; double err_T=10; int i=0,j=0; int sum_num=0; double xishu=0; double s_point=0,d_point=0; double add_T=0; T0=(a-b)*(f_x(a)+f_x(b))/2;//n=1时的cotes公式即梯形公式 printf("\n"); printf("========================数值积分_利用复化梯形公式========================\n"); printf("\n"); printf("i 2^i T_2^i (T_2^i-T_2^(i-1))/3 \n"); printf("\n"); printf("0 %d %10.8f 0",pow(2,0),T0); printf("\n"); for(i=1;i<=100;i++) { //计算sum_num、xishu、s_point(start point）、d_point sum_num=pow(2,i-1); xishu=double(a-b)/sum_num; s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i); d_point=double(a-b)/pow(2,i-1); for(j=1;j<=sum_num;j++) { add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point); } add_T=add_T*xishu; T1=(T0+add_T)/2; err_T=(T1-T0)/3; //output printf("%d %d %10.8f %10.8f",i,pow(2,i),T1,err_T ); printf("\n"); if(err_T<=0) err_T=(-1)*err_T; if(err_T<=E) break; else { T0=T1; T1=0; add_T=0; err_T=0; } } //result printf("\n"); printf("T1=%9.7f",T1); printf("\n"); printf("\n"); } 2.复化simpose源代码 #include #include #define a 5 #define b 1 #define E 0.00000005 //即保留七位有效数字0.5*10^-7 //原函数 double f_x(double x) { double y; y=exp(-(x*x)); return(y); } int pow(int x,int y) { int z=1; int i; for(i=0;i { z=z*x; } return z; } void main() { //计算T1,T2,T4,T8...... double T0=0,T1=0; double err_T=10; int i=0,j=0; int sum_num=0; double xishu=0; double s_point=0,d_point=0,sd_point=0; double add_T=0; Runge-Kutta 法的历史发展与应用 摘要Runge-Kutta 法是极其重要的常微分方程数值解法，本文仅就其起源及发展脉络加以简要研究。对Runge 、Heun 以及Kutta 等人的贡献做出适当评述，指出Runge-Kutta 方法起源于Euler 折线法。同时对Runge-Kutta 法的应用做简要研究。 关键词 Euler 折线法 标准四阶Runge-Kutta 法 应用 一、发展历史[1] 1.1 Euler 折线法 在微分方程研究之初，瑞士数学家L.Euler(1707.4—1783.9)做出了开创性的工作。他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，Euler 在1743年发表的论文中，用代换kx y e =给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的概念。 1768年，Euler 在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题 00 (,), (1.1)() (1.2)y f x y x x X y x a '=<≤??=? 的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。欧拉的想法如下：我们选择0h >，然后在00x x x h ≤≤+情况下用解函数的切线 0000()()(,)l x y x x f x y =+- 代替解函数。这样对于点 10x x h =+ 就得到 1000(,)y y hf x y =+。 在11(,)x y 重复如上的程序再次计算新的方向就会得到所谓的递推公式： 11, (,),m m m m m m x x h y y hf x y ++=+=+ 毕业论文管理系统分析与设计 班级：信息管理与信息系统 1102 指导教师：黄立明 学号： 0811110206 姓名：高萍 毕业论文管理系统 摘要 (3) 一．毕业论文管理系统的系统调研及规划 (3) 1．1 项目系统的背景分析 (3) 1．2毕业论文信息管理的基本需求 (3) 1．3 毕业论文管理信息系统的项目进程 (4) 1．4 毕业论文信息管理系统的系统分析 (4) 1.4.1系统规划任务 (4) 1.4.2系统规划原则 (4) 1.4.3采用企业系统规划法对毕业论文管理系统进行系统规划 (5) 1.4.3.1 准备工作 (5) 1.4.3.2定义企业过程 (5) 1.4.3.3定义数据类 (6) 1.4.3.4绘制UC矩阵图 (7) 二．毕业论文管理系统的可行性分析 (8) 2.1.学院毕业论文管理概况 (8) 2.1.1毕业论文管理的目标与战略 (8) 2.2拟建的信息系统 (8) 2.2.1简要说明 (8) 2.2.2对组织的意义和影响 (9) 2.3经济可行性 (9) 2.4技术可行性 (9) 2.5社会可行性分析 (9) 2.6可行性分析结果 (10) 三．毕业论文管理系统的结构化分析建模 (10) 3.1组织结构分析 (10) 3.2业务流程分析 (11) 3.3数据流程分析 (11) 四．毕业论文管理系统的系统设计 (13) 4.1毕业论文管理系统业务主要包括 (13) 4.2毕业论文管理系统功能结构图 (13) 4.3代码设计 (14) 4.4，输入输出界面设计 (15) 4.4.1输入设计 (15) 4.4.2输出设计 (15) 4.5 数据库设计 (15) 4.5.1需求分析 (15) 4.5.2数据库文件设计 (16) 4.5.2数据库概念结构设计 (17) 五．毕业论文管理系统的系统实施 (18) 5.1 开发环境 (18) 5.2 调试与测试过程 (19) 不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为 ?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1. “数值分析”课程 第一次小论文 郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。 要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！ 数值分析在微流控芯片研究领域的应用 摘要： 作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。发展该领域的数值计算，成为重中之重。本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。 微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。 通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。 1）微流体力学计算[3]： 对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。 由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程： 文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。 微流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将宏观流体力学的基本模型，结合微纳效应，直接用于模拟各种实际流动，解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。 2）微传热方程计算： 常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。由传热学的相关知识，我们可以达到如下的传热学基本方程： 该方程在二维情况下经过简化和离散，可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组，从而采取数值方法求解[5]。 除此之外，微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题，例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中，就有大量的类似问题的解决。 3）微电磁学计算： 由于外加电场的作用，电渗流道中会产生焦耳热效应。许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上，考虑了与温度有关的物理系数，在固一液祸合区域内利用 毕业论文管理规定 （2008） 安徽建筑工业学院法律与政治系 目录 1、法律与政治系本科毕业论文管理办法（2008）------------------------------- 1 附件： （1）法律与政治系毕业论文文本规范---------------------------------------------- 8 （2）法律与政治系本科毕业论文工作进程----------------------------------------13 （3）法律与政治系本科毕业论文答辩程序----------------------------------------16 附表： （3）法律与政治系本科毕业论文任务书-------------------------------------------19 （4）法律与政治系本科毕业论文开题报告----------------------------------------21 （5）法律与政治系本科毕业论文承诺书-------------------------------------------25 （6）法律与政治系本科毕业论文成绩考核表-------------------------------------26 （7）法律与政治系本科毕业论文评分表-------------------------------------------28 （8）法律与政治系本科毕业答辩成绩评定表-------------------------------------31（9）法律与政治系本科毕业答辩成绩汇总表-------------------------------------32（10）法律与政治系本科毕业论文答辩会议记录--------------------------------33 （11）法律与政治系本科毕业论文指导教师变更申请表------ ----------------35 定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样， 中北大学 《数值分析》 常微分方程初值问题的数值解法 专业： 班级： 学号： 姓名: 日期: 2012.12.26 常微分方程初值问题的数值解法 摘 要 微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。 Abstract The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula. 1.引言 科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题 000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如 果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。 2.主要算法 数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散 毕业论文管理规定 （2008） 安徽建筑工业学院法律与政治系 目录 1、法律与政治系本科毕业论文管理办法（2008）-------------------------------1 附件： （1）法律与政治系毕业论文文本规范----------------------------------------------8 （2）法律与政治系本科毕业论文工作进程----------------------------------------13 （3）法律与政治系本科毕业论文答辩程序----------------------------------------16 附表： （3）法律与政治系本科毕业论文任务书-------------------------------------------19 （4）法律与政治系本科毕业论文开题报告----------------------------------------21 （5）法律与政治系本科毕业论文承诺书-------------------------------------------25 （6）法律与政治系本科毕业论文成绩考核表-------------------------------------26 （7）法律与政治系本科毕业论文评分表-------------------------------------------28 （8）法律与政治系本科毕业答辩成绩评定表-------------------------------------31（9）法律与政治系本科毕业答辩成绩汇总表-------------------------------------32（10）法律与政治系本科毕业论文答辩会议记录--------------------------------33 （11）法律与政治系本科毕业论文指导教师变更申请表----------------------35 插值方法总结 摘 要：本文是对学过的插值方法进行了总结使我们更清楚的知道那一种方法适合那一种型。 关键词：插值；函数；多项式；余项 （一）Lagrange 插值 1．Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0 = 称为Lagrange 插值基函数 2．Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 2．Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为 0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，' 1f ，…，' n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(' '1212 ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若],[22b a C f n +∈，插值误差为 220) 22(12)()()! 22() ()()(n x n n x x x x n f x H x f --+= -++ ξ，),()(b a x x ∈=ξξ （四）分段插值 设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<= 10 和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ?，具有性质 毕业论文管理系统设计研究 2020年4月 毕业论文管理系统设计研究本文关键词：管理系统，毕业论文，研究，设计 毕业论文管理系统设计研究本文简介：毕业论文管理工作现状当前，大多数的高校的毕业论文管理状况如下。（1）学生无法及时准确选题选题初期的大多数学生不能在前期及时、清晰且全面的了解导师的课题研究方向，也不能准确的选择合适的题目，导致了学生在选题时仅考虑到个人兴趣，盲目的进行选题，未根据自己个人能力做出正确的选择，一些学生可能会错失选题的时 毕业论文管理系统设计研究本文内容： 毕业论文管理工作现状 当前，大多数的高校的毕业论文管理状况如下。（1）学生无法及时准确选题选题初期的大多数学生不能在前期及时、清晰且全面的了解导师的课题研究方向，也不能准确的选择合适的题目，导致了学生在选题时仅考虑到个人兴趣，盲目的进行选题，未根据自己个人能力做出正确的选择，一些学生可能会错失选题的时间和机会。（2）论文各阶段需要提交大量文件，师生无法及时交流首先，学生必须先提交论 文开题报告，指导教师同意开题后，方可继续完成论文。然后，需要在一段时间内将完成论文的阶段性成果提交给导师，方便导师及时了解学生论文完成的进度，以便导师督促学生及时完成论文。如今，很多大学的论文指导方式仍旧以纸质文件进行师生之间的交流，在这种情况下，一会导致资源浪费，也会由于时间和空间限制，导致沟通不畅。（3）统计论文选题工作复杂在毕业论文管理工作中，教师的工作量较大，其中，有很多重复的工作量，处于管理工作的各级人员需要统计学生选题状况、毕业论文完成状态以及答辩成绩等信息，在这样大量的工作状态下，就会产生失误。而毕业论文对于学生来也十分重要，关系能否毕业问题，责任巨大，不容有失。毕业论文管理系统设计意义毕业论文管理系统的最大优势就是学生可以远程在陷上选题，将复杂的工作流程简单化，也会减轻毕业论文指导教师工作中不必要的压力，具有很强的现实意义，具体可以表现为以下功能。（1）缩短毕业论文题目审核时间审核毕业论文题目是为了防止出现选题过大、不切实际或与专业特点不相关的现象。各教学单位在前期的主要任务就是审核已提交的论文题目，若论文题目不合条例，审核不通过，需要单位给指导教师反馈是否通过的信息，之后审核过的信息，需要由教师通知给学生，学生需要结合实际情况以及自身的兴趣选择毕设题目，督促学生积极与指导教师沟通。通过系统可以在线随时随地审核， 课程设计（论文） 题目: 三次样条插值问题 学院: ___ 理学院 _ 专业: __ _ 数学与应用数学 班级：数学08-2班 学生姓名: 魏建波 学生学号: 080524010219 指导教师：李文宇 2010年12月17日 课程设计任务书 目录 摘要……………………………………………………………………… 一、前言………………………………………………………………… （一）Lagrange插值的起源和发展过程……………………………………… （二）本文所要达到的目的……………………………………………………… 二、插值函数…………………………………………………………… （一）函数插值的基本思想…………………………………………………… （二）Lagrange插值的构造方法……………………………………………… 三、MATLAB程序………………………………………………………… （一）Lagrange程序…………………………………………………………… （二）龙格程序………………………………………………………………… 四、理论证明…………………………………………………………… 五、综述……………………………………………………………………谢辞………………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………… 摘要 前言 要求：500字以上，宋体小四，行距20磅，主要内容写该算法的产生及发展、应用领域等。 题目 整体要求：报告页数，正文在8页以上 字体：宋体小四（行距20磅） 内容：1、理论依据 2、问题描述 3、问题分析 4、求解计算（程序） 5、结论 注：（1）页码编号从正文页开始 （2）标题可根据情况自己适当改动 示例见下： 2判别…………………… 2.1 判……………… 2.1.1 判别……………… 所谓的判别分析，………………………………………………方法[3]。 2.1.2 判………………………… 常用的有四种判别方法：…………………………………………………步判别法[6]。 1. 马氏……………… 本科生毕业论文（设计）撰写基本规范 毕业论文（设计）全文包括：封面、学士学位论文原创性申明、中英文摘要（中文摘要300字左右，外文摘要250个实词左右）、目录、正文、结论、参考文献、附录（可选）、致谢（可选）等）； 毕业论文（设计）字数：理工科5000字以上；文科6000字以上，其中外语专业4000单词以上，艺术类专业3000字以上（含图表、程序和计算数字等）。 一、毕业论文（设计）撰写的内容要求 （一）目录 目录按三级标题编写（即：1……、1.1 ……、1.1.1 ……），要求标题层次清晰。目录中标题应与正文中标题一致。 （二）标题 标题应简短、明确、有概括性。标题字数要适当，不超过20字。 （三）摘要 毕业论文（设计）摘要或总说明书要概括研究课题的内容、方法和观点以及取得的成果和结论，应反映整个内容的精华，字数在300字左右。 （四）前言部分 前言部分要说明本课题的意义、目的、研究范围及要求达到的技术参数；简述本课题应解决的主要问题。 （五）正文部分 正文部分是作者对研究工作的详细表述，其内容包括：问题的提出，研究工作的基本前提、假设和条件，基本概念和理论基础，模型的建立，实验方案的拟定，基本概念和理论基础，设计计算的方法和内容，实验方法、内容及其分析，理论论证，理论在课题中的应用，课题得出的结果及结果的讨论等。 撰写设计（设计）正文部分的具体要求是： 1.理论分析部分应写明所作的假设及其合理性，应以简练的文字概略地表达。所用的分析方法、计算方法、实验方法等，要写明哪些为人所用，哪些为己所改进，哪些为己所创造，以便指导教师审查和纠正。 2.对于用实验方法研究的课题，应具体说明实验用的装置、仪器的性能，并对所用装置、仪器做出检验和标定；对实验的过程和操作方法，力求叙述简明扼要；对于由理论推导达到研究目的的课题，内容要精心组织，做到概念准确，判断推理符合客观事物的发展规律。 3.结果与讨论是全文的心脏，对必要而充分的数据、现象、认识等要作为分析的依据进行具体撰写。在对结果作定性和定量分析时，应说明数据的处理方法以及误差分析，说明现象出现的条件及其可证性，交代理论推导中认识的由来和发展；对结果进行分析后得出的结论，应说明其适用的条件与范围。 此外，作为结果与分析的图、表，应精心制作、整洁美观。 （六）结论 结论包括对整个研究工作进行归纳和综合而得出的总结，所得结果与已有结果的比较和本课题尚存在的问题，以及进一步开展研究的见解与建议。 结论集中反映作者的研究成果，表达作者对所研究的课题的见解，结论要概括、简短。 结论撰写时应注意以下几点： § 1 定积分概念 教学要求： 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积； 2. 变力所作的功 二、定积分的定义 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义 定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数，在闭区间],[b a 上任取 n-1个分b x x x x a n i i =<<<<<<-ΛΛ11 把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T 表示, 分割的细度用}max {||||i x T ?=表示，在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点，作和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ 以后简记为 ∑)(T f 此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和（或黎曼和，设J 是一个确定的数，若对任意0>ε总存在某个0>δ，使得 ],[b a 上的任何分割T ，只要它的细度δ<||||T ，属于分割T 的所有积分和 ∑)(T f 都有 ε<-∑|)(|J T f 则称)(x f 在],[b a 上可积，称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积 分)，记作 ?b a f(x)dx 其中)(x f 称为积分函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分 的上限和下限。 利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为 ?=b a dx x f S )( 变力作功问题可表示为 ?=b a dx x F W )( 三．理解定积分定义要注意以下三点： 1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“δε-”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度||||T 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点i ξ仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。 2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关 ???==b a b a b a du u f dx x f dt t f )()()( 基于MATLAB曲线拟合对离散数据的处理和研究 摘要：曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法，求解拟合曲线的方法也有很多，这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理，并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比，突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点，并阐述了其适用的范围，最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。 关键字：数值分析；MATLAB；曲线拟合；最小二乘法 一问题探究 在很多的实际情况中，两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来，通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点，需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓，并要得到任意未知数据点的具体数据，这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现，这里主要讨论拟合的方法。 曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成，通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改，对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件，运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。 二曲线拟合的最小二乘法理论 假设给定了一些数据点（Xi,Yi），人们总希望找到这样的近似的函数，它既能反映所给数据的一般趋势，又不会出现较大的偏差，并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。 曲线拟合和差值不同，若要求通过所有给定的数据点是差值问题，若不要求曲线通过所有给定的数据点，而只要求反映对象整体的变化趋势，拟合问题，曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下： 第一步：先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x),m 基于web的毕业论文管理系统毕业论文 1绪论 1.1 系统开发背景及现状 随着计算机网络技术的发展，给信息时代的人们带来了很大的方便。如今在Internet 上，你随处都可以看到很多的各类信息管理系统，如企业信息管理系统，电子商务系统，学校教务管理系统等各类信息管理系统的普及。而针对本科毕业设计的选题等相关事项，涉及到导师给出课题或学生自选课题，以及在各个阶段需要上交或是提交相关的文档资料等问题，目前主要还是由人为来处理操作，需要花费一定人力，这给整个工作带来了很多不便，而且容易出错。因此就需要一个对此流程进行管理的电子系统，使得此过程更加方便，更加透明，更加高效，以节省更多的人力和不必要的工作。 而目前的此类系统或多或少的存在以下的问题： 1、不清楚建立的目的或没有根据自己的目的详细策划的功能，只适应一时之需；结果页面的设计，包括系统的和功能未能真正提供方便； 2、缺少一个针对有效管理本科毕业设计（论文）工作的基于Web技术的B/S的管理系统，所以很多的管理系统远远达不到标准，没能很好地发挥管理系统应有的效果； 3、现实还没有一个适合我校关于毕业设计管理工作的管理系统，或是直接针对我校的毕业设计管理工作而编写的管理系统。 通过对毕业设计管理工作的初步了解，从系统结构的组织，功能的实现，技术的要求以及可行性等多方面进行考虑，认为本课题是一个适应现今毕业设计管理工作需求的计算机信息管理系统，具有一定的实际开发价值和使用价值。 1.2 系统开发关键技术与开发环境 1.2.1 Linux操作系统简介[1] Linux 是一个免费的类Unix操作系统，Linux操作系统是可以运行在许多不同类型的计算机上的一种操作系统的“核”,它是提供命令行或者程序与计算机硬件之间接口的软件的核心部分。 1.2.2 Apache服务器简介[1] Apache是世界使用排名第一的Web服务器软件,可以运行在几乎所有广泛使用的计算机平台上。因为它是自由软件，所以不断有人来为它开发新的功能、新的特性、修改原来的缺陷。Apache的特点是简单、速度快、性能稳定，并可做代理服务器来使用。 1.2.3 MySQL数据库简介[1] MySQL是一个小型关系型数据库管理系统，目前MySQL被广泛地应用在Internet上的中小型中。由于其体积小、速度快、总体拥有成本低，尤其是开放源码这一特点，许多中小型为了降低总体拥有成本而选择了MySQL作为数据库。 1.2.4 PHP语言简介[1] PHP独特的语法混合了 C、Java、Perl 以及 PHP 自创新的语法,用PHP做出的动 设计 （20 届） 定积分的数值计算方法 所在学院 专业班级信息与计算科学学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月 摘要:数值计算是许多科学与工程计算的核心.定积分的数值计算方法有很多，其中一些常用的计算方法有牛顿-科茨求积公式，梯形求积公式，辛普森求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等．本篇论文主要介绍定积分数值计算的多种方法，并对其中几种做了比较评述，最后给出了梯形求积公式，龙贝格积分法在Matlab环境中的编程实现. 关键词：牛顿-科茨求积公式；复合求积公式；高斯求积公式 Some numerical methods of definite integral Abstract: Numerical calculation is the core of many science and engineering calculation. There are many numerical calculation methods, including some commonly used numerical methods are Newton – Cotes Quadrature formula, Trapezoidal Quadrature formula, Simpson formula,Composite Quadrature formula, Romberg Quadrature method, Gaussian Quadrature formula, chebyshev Quadrature formula, and so on. This theies mainly introduces Some numerical methods of definite integral and compare several of these methods, finally gives the Trapezoidal Quadrature formula, Romberg Quadrature method in the Matlab environment for programming realize. Key words:Newton – Cotes Quadrature formula; Composite Quadrature formula; Gaussian Quadrature formula 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12数值分析_数值计算小论文
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