三角函数的倒数关系推理过程
√(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
导数公式的推导过程
设f(x)=sinx；
(f(x+dx)-f(x))/dx=(sin(x+dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx+sindxcosx－sinx)/dx，
因为dx趋近于0，cosdx趋近于1，(f(x+dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx，根据重
要极限sinx/x在x趋近于0时等于一，(f(x+dx)-f(x))/dx＝cosx，即sinx的
导函数为cosx。
同理可得，设
f(x)=cos(f(x+dx)-f(x))/dx=(cos(x+dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsin dx－
sinx)/dx，因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx，
根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一(f(x+dx)-f(x))/dx ＝-sinx即cosx
的导函数为-sinx。
高中数学：三角函数 一、概述 三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。 二、三角函数的定义 三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。这些函数的定义如下： 1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离） 2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r 3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长 三、三角函数的基本性质
1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。正切 函数的周期性稍有不同，为π。 2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。例如，当角度增 加时，正弦函数的值也会增加。 3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。例如，正弦函数的相位 落后余弦函数相位π/2。 4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。例如，正弦函数的导 数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。 四、三角函数的实际应用 三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电 磁场等物理现象。例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长 度等物理量。例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
三角函数教案 三角函数教案（精选4篇） 三角函数教案篇1 1、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间,且满意不等式: 即:一角的正弦大于另一个角的余弦。 2、若,则, 3、的图象的对称中心为( ),对称轴方程为。 4、的图象的对称中心为( ),对称轴方程为。 5、及的图象的对称中心为( )。 6、常用三角公式: 有理公式: ; 降次公式: , ; 万能公式: , , (其中)。 7、帮助角公式: ,其中。帮助角的位置由坐标打算,即角的终边过点。 8、时, 。 9、。 其中为内切圆半径, 为外接圆半径。 特殊地:直角中,设c为斜边,则内切圆半径,外接圆半径。 10、的图象的图象( 时,向左平移个单位, 时,向右平移个单
位)。 11、解题时,条件中若有消失,则可设, 则。 12、等腰三角形中,若且,则。 13、若等边三角形的边长为,则其中线长为,面积为。 14、; 三角函数教案篇2 二、复习要求 1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念; 2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等; 3、三角函数的图象及性质。 三、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不肯定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x 轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。 在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 【知识点展示】 （一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛ ⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosx csinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法: ()2 22124 sin cos sin cos sin cos tan π θθθθθθ=+=+-=等. (3)和积转换法:利用()()2 2 212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化. （二）诱导公式 六组诱导公式
对于角“k π 2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 【常考题型剖析】 题型一：同角三角函数的基本关系式 例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________ 例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x x x x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____. 例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【规律方法】 1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2 α＋cos 2 α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意 ()2 22124 sin cos sin cos sin cos tan π θθθθθθ=+=+-=等； (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α ＝tan α可以实现角α的弦切互化． （1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2α c sin 2α＋ d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或 cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐． （2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解． 题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用 例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1 sin cos 5 θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（ ） A ．15 B ．15- C ．75 D ．7 5 -例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数
同角三角函数间的关系知识点 同角三角函数的基本关系式是三角函数基础知识的综合应用,是高考必考内容。本文是店铺整理同角三角函数间的关系的资料，仅供参考。 同角三角函数间的关系 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 互余角的三角函数间的关系： sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数基本关系
三类： 一)同角三角函数的基本关系： (sinθ)^2+(cosθ)^2=1; tanθcotθ=sinθcscθ=cosθsecθ=1; (secθ)^2-(tan^θ)^2=(cscθ)^2-(cosθ)^2=1 二)诱导公式，在360°内的变换(角度制)： 取值sinθ cosθ tanθ α sinα cosα tanα -α -sinα cosα -tanα 180+α -sinα -cosα tanα 180-α sinα -cosα -tanα 360+α sinα cosα tanα 360-α -sinα cosα -tanα 90+α cosα -sinα -cotα 90-α cosα sinα cotα 270+α -cosα sinα -cotα 270-α -cosα -sinα cotα 三)两个角的变换关系，不属于初中内容： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 同角三角函数公式起源 “三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学：解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还
高考数学答题技巧公式 数学解题讲究效率，如果没有效率，高分便也成为了奢望。那么高考数学有哪些答题技巧公式呢?下面是由小编为大家整理的“高考数学答题技巧公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。 高考数学答题技巧公式 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数; 正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴; 求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;
中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用; 1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范; 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围; 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。 高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。 证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。 直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则
高中三角函数公式归纳总结 想要了解高中三角函数公式有哪些的小伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“高中三角函数公式归纳总结”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多资讯！ 高中三角函数公式归纳总结 倍角公式 Sin2A=2SinA·CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 半角公式 sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2） cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2） tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα 降幂公式 sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2 cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=vercos（2α）/2 tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α）） 辅助角公式 Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中 sint=B/（A^2+B^2）^（1/2） cost=A/（A^2+B^2）^（1/2） 三角函数常用公式 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x
余割函数cscθ=r/y 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α） cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α） tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a） 三角和 sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα） 两角和差 cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ） tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ） 和差化积 sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2] sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2] cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2] cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2] tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB） tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。 积化和差 sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2
5.2.2 同角三角函数的基本关系 教学目标： 1.通过三角函数的定义推导出同角三角函数的的基本关系,会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明. 2.通过“猜想-- 验证--应用”的学习过程，掌握化归与转换及分类讨论的数学思想方法，培养学生的探究精神以及分析解决问题的能力. 3.通过学习培养学生勇于探索的思维品质，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式及应用 教学过程： 一、情境引入 南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，它本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题. （设计意图：激发学生兴趣，使学生明白看似不相关的事物实则有密切联系，那么““同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系，从而引入课题.） 二、探究新课 探究活动1 完成下列填空： （1）22sin 30cos 30+=__________； （2）22sin 45cos 45+=__________； （3） sin 60cos 60 =_____；tan 60=_____； （4） sin 120cos 120 =_____；tan 120=_____. 由此猜想：22sin cos αα+=________； sin cos α α = __________. 思考1：如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？ 证：设角α的终边一点P （x,y ）,则 r =，sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===
《直角三角形的边角关系》复习教案 教学要求: 1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA ， cosA ，tanA ，cotA 表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三 角数值说出这个角. 2、理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识. 3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力. 知识讲解: 1．直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝ c a ， cosA ＝sinB ＝c b tanA ＝cotB ＝b a ， cotA ＝tanB ＝a b 锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，∠C 为直角， 则锐角A 的各三角函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝c a (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝c b (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ， 即tanA ＝b a (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ， 即cotA ＝a b 2．三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA ＝1
同角三角函数的基本关系说课稿3篇 同角三角函数的基本关系说课稿1 一、教材分析 1、教材的地位与作用：《同角三角函数的基本关系》是学习三角函数定义后安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值，化简三角函数式，证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。 2、教学目标的确定及依据 A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。 B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索
的乐趣，增强学习数学的兴趣。 3、教学重点和难点 重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。 难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。二、学情分析： 学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。 三、教法分析与学法分析： 1、教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。 ２、学法分析：从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。 四、教学过程设计 强调：sin是（sin）并不是sin 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换 2、思考： 问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
三角函数课程标准 诱导公式推导 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。 说明与建议 1．在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型（参见例1）。 2．在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。 3．提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。 4．弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的1/2π所对的圆心角或周角的1/2π）。随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。 6．在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练。 学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 说明与建议 1．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。
同角三角函数的基本关系 一、教材分析 本节课来自北师大版《高中数学--必修4》第三章三角恒等变形第一节同角三角函数的基本关系p113-p115的内容。是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。 二、教学目标的及重难点 1．教学目标 知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。 过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 2.教学重点和难点 重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。 难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。 三、学情分析 学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。 四、教法分析与学法分析 1．教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。 2．学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。 五、教学过程设计
三角公式总表 ⒈L 弧长=α R=n πR 180 S 扇=21L R=2 1R 2α=3602 R n ⋅π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿= 21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =2 1 ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++= , r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg = x y =θ θ cos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅== =y x ctg ③θθθtg r y ⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅== =tg x r ⑤θθθctg r x ⋅== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 2 2 2 2 2 2 =-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++= +b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且 a b tg = ϕ） ⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
初中数学π-α的三角函数诱导公式大全 紧接着上一章节的知识，我们可以利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系。 公式四 弧度制下的角的表示： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα 角度制下的角的表示： sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα tan(180°-α)=-tanα cot(180°-α)=-cotα sec(180°-α)=-secα csc(180°-α)=cscα 以上的内容就是π-α与α的三角函数值之间的关系转化公式，是大家必须掌握的重点内容。 初中数学正方形定理公式
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。 正方形定理公式 正方形的特征： ①正方形的四边相等； ②正方形的四个角都是直角； ③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形。 希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。 初中数学平行四边形定理公式 同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。 平行四边形 平行四边形的性质： ①平行四边形的对边相等； ②平行四边形的对角相等； ③平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定： ①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
第二章数学科考试大纲导读 对知识要求导读： 数学科的考试内容以高中阶段的数学内容为主，对知识的考查从低到高分为三个层次，依次为：了解、理解和掌握、灵活和综合运用，并且高一级的要求包含低一级的层次要求. 在命题范围内，常见的数学方法如：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、数形结合法等等;常用的逻辑推理如：分析法、综合法、类比法、反证法、归纳和演绎法等等都是高考中考查的主要内容.常用的数学思想如：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等等都会通过具体的试题来考查，同时也测试考生数学能力的掌握程度.而淡化特殊技巧，重在通性通法的掌握与灵活运用是考试内容的主体思想. 对能力要求导读： 数学科的考试能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新能力. 在命题范围内，常将这几大能力贯穿于整个试卷.要求对给出问题或材料通过空间想象、直觉猜想，归纳抽象，运算求解，对公式的变式使用、数据的处理，整体代入、估算等简捷的运算，对图形进行直观想象，图形拆分、重组等等，运用所学知识来解决问题，而创新意识又是理性思维的高层次的表现，这些都会通过试题来考查考生的数学能力. 如何在冲刺阶段备考 细研考试大纲，构建知识网络，关注生活现象，克服紧张情绪，以平和的心态参加考试. Ⅰ.考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的 考生参加的选拔性考试，高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取，因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试要求 《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科·2009年版)》中的数学科部分，根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据国家教育部2002年颁布的《全
高一数学同角三角函数的基本关系式 【本讲主要内容】 同角三角函数的基本关系式 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：sin cos tan sec cot csc 2 2 2 2 2 2 111αααααα+=+=+=，， （2）商数关系：tan sin cos cot cos sin ααααα α = = ， （3）倒数关系：tan cot cos sec sin csc αααααα⋅=⋅=⋅=111，， 应用公式时需注意： ①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，等式中涉及的 角是同一个角，如sin cos 22 331αα+=，tan()cot()-⋅-=1001001 ，而 sin cos 221αβ+=就不一定成立。 ②利用平方关系进行开方运算，要注意结果的符号，必要时，要进行分类讨论。 ③这些关系式是对使它们有意义的那些角而言的。如：tan sin cos αα α = 是当αππ ≠+ ∈k k z 2 ()时才有意义。 ④在计算、化简、证明三角函数式时常用技巧有： i ）“1”的代换。根据需要，常将算式中的“1”用“sin cos 2 2 αα+”；“sec tan 2 2 αα-”；“sin csc αα⋅”；“tan cot αα⋅”代换。 ii ）切化弦。利用商数把正切、余切化为正弦、余弦函数。 iii ）整体代换。将算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。 ⑤公式应用非常广泛，因此除牢记公式原型外，还应注意公式的逆用，变形用。如： cos sin 2 2 1αα=-，sin tan cos ααα=⋅，sin cos (sin cos )αααα⋅=+-21 2 等等。 2. 同角三角函数基本关系式的应用 （1）已知一个角的某个三角函数值，求它的其他三角函数值。 ①尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号。 ②尽量避免使用平方关系（在一般情况下只能使用一次）。 ③必要时对问题要进行分类讨论，特别是对含有参数的问题。 （2）三角函数式的化简 化简实质上是不指定结果的恒等变形，结果要尽量简单，化简的一般要求是：
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解） 【学习目标】 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°． （1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=； （2）平方关系：22sin cos 1A A +=； （3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B =； （4）商数关系：i t n an s cos A A A =． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】 类型一、利用同角三角函数关系求值 1．计算： （1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++． 举一反三： 【变式1】 2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。 【变式2】 3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形． （2）当5AB =，3tan 4 ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长． 【变式3】 4．求值： (1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA -+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式 5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602 ⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________． 举一反三： 【变式1】 6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是： ___________ 【变式2】 7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________． 类型三、互余两角的三角函数的关系 8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35 ，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三： 【变式1】 9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35 ，求cos A 的值．
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z） 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα （以上k∈Z） 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α（k∈Z）的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan. （奇变偶不变）
第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 3.1任意角三角函数 一、知识导学 1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r l = α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3．弧度与角度的换算：rad π2360= ；rad 1745.01801≈=π ；1 30.57180≈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=πrad . 用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度() 不可省略. 4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α= 2||2 1 21r lr S α= ＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形. 5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是 ()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分 别是y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc ,sec ,co t ,t an ,co s ,sin .这六个函数统称为三角函数.
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各 象限注明的函数为正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析 1．在直角坐标系内讨论角 （1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与α角终边相同的角的集合表示. {} Z k k ∈+⋅=,360 αββ ，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一 定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差 360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法 “0 ～ 90间的角”指 900<≤θ；“第一象限角”可表示为 {} Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360 θθ；“小于90 的角”可表示为{} 90<θθ. 3．在弧度的定义中 r l 与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0. 5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与 )(360Z k k ∈⋅= β的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有 1s i n ,1c o s ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？ 三、经典例题导讲 [例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2 (π ≠ <