质因数的底数和指数
质因数分解是初中数学中的一个重点，它是指将一个正整数分解成质数的积的过程，这个分解过程实际上是数的一个分解方法，因为每一个正整数都可以表示成一定数目的质因数的乘积，而且质因数的底数和指数是唯一的。那么什么是质因数的底数和指数呢？本文将会对这一问题展开讲解。
一、什么是质因数？
首先，我们需要了解质因数的概念。我们把一个数分解成若干个质数的积，那么这些质数就叫做这个数的质因数。质因数是指只能被1和它本身整除的数。比如12可以分解为2和3的积，那么2和3就是12的质因数。
二、质因数的底数和指数
质因数的底数指的是质数的基数，比如在分解
12=2×2×3的式子中，2和3就是底数。而指数指的是底数出现的次数，比如在12=2×2×3中，2出现了两次，因此指数是2。
因此，质因数可以表示成aᵢ的形式，其中a为底数，i 为指数。通过计算，我们可以得知一个数的质因数分解式就可以表示为：
N=a₁^i₁×a₂^i₂×…×aₘ^iₘ
其中m是N的质因数个数，a₁,a₂,…,aₘ是N的m个质因数，i₁,i₂,…,iₘ是它们在分解中的指数。
以60为例，60可以分解为2×2×3×5，表示为
60=2²×3×5。
三、质因数分解的应用
质因数分解不仅是初中数学的重要内容，而且在数学中的很多应用中也占有重要地位。比如：
1、求最大公因数和最小公倍数
求最大公因数和最小公倍数可以通过质因数分解得出。例如，求12和18的最大公因数和最小公倍数。
首先分解12=2×2×3，18=2×3×3，然后取公共质因数和最大值，即2和3，可得12和18的最大公因数为6。
最小公倍数则取所有质因数和最大指数，即
2²×3²=36，可得12和18的最小公倍数为36。
2、约分
分数约分就是将分子和分母同时分解质因数，取公共质因数和最小指数，然后约掉即可。
比如，将16/24约分为最简分数。首先
16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，取公共质因数和最小指数，即2¹×2¹×2¹×2¹×3⁰,即16，那么16/24=2/3。
3、判断能否被除尽
如果一个数可以被一个数除尽，那么这个数必须包含这个数的所有质因数。因此，当被除数的所有质因子都是除数的质因子时，被除数能够被除数整除。
比如，判断24除以6是否能够被整除，分解得
24=2×2×2×3，6=2×3，可以看到6的质因子2和3都是24的质因数，因此24可以被6整除。
四、总结
质因数的底数和指数是质因数分解式中的两个概念，底数是指质数的基数，指数是底数出现的次数。质因数的分解过程在数学中有着重要的应用，如求最大公因数和最小公倍数，约分，判断是否能够被整除等。通过掌握质因数的底数和指数的概念，我们可以更好的理解质因数分解的应用，更好的运用数学知识解决实际问题。
质因数的底数和指数 质因数分解是初中数学中的一个重点，它是指将一个正整数分解成质数的积的过程，这个分解过程实际上是数的一个分解方法，因为每一个正整数都可以表示成一定数目的质因数的乘积，而且质因数的底数和指数是唯一的。那么什么是质因数的底数和指数呢？本文将会对这一问题展开讲解。 一、什么是质因数？ 首先，我们需要了解质因数的概念。我们把一个数分解成若干个质数的积，那么这些质数就叫做这个数的质因数。质因数是指只能被1和它本身整除的数。比如12可以分解为2和3的积，那么2和3就是12的质因数。 二、质因数的底数和指数 质因数的底数指的是质数的基数，比如在分解 12=2×2×3的式子中，2和3就是底数。而指数指的是底数出现的次数，比如在12=2×2×3中，2出现了两次，因此指数是2。 因此，质因数可以表示成aᵢ的形式，其中a为底数，i 为指数。通过计算，我们可以得知一个数的质因数分解式就可以表示为： N=a₁^i₁×a₂^i₂×…×aₘ^iₘ
其中m是N的质因数个数，a₁,a₂,…,aₘ是N的m个质因数，i₁,i₂,…,iₘ是它们在分解中的指数。 以60为例，60可以分解为2×2×3×5，表示为 60=2²×3×5。 三、质因数分解的应用 质因数分解不仅是初中数学的重要内容，而且在数学中的很多应用中也占有重要地位。比如： 1、求最大公因数和最小公倍数 求最大公因数和最小公倍数可以通过质因数分解得出。例如，求12和18的最大公因数和最小公倍数。 首先分解12=2×2×3，18=2×3×3，然后取公共质因数和最大值，即2和3，可得12和18的最大公因数为6。 最小公倍数则取所有质因数和最大指数，即 2²×3²=36，可得12和18的最小公倍数为36。 2、约分 分数约分就是将分子和分母同时分解质因数，取公共质因数和最小指数，然后约掉即可。 比如，将16/24约分为最简分数。首先 16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，取公共质因数和最小指数，即2¹×2¹×2¹×2¹×3⁰,即16，那么16/24=2/3。 3、判断能否被除尽
第二节质数、合数和分解质因数 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 判断一个数是质数还是合数的常用方法： 对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有 质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。 30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。 如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。 例题讲解 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 例7：有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？ 练习 1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？ 3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？ 4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？ 5、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数分别是多少 6、把 7、14、20、21、2 8、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
分解质因数 1.【知识要点和基本方法】 一．质因数和分解质因数 （1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。 （3）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。 （4）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始 所以，675＝33×52 二、合数的约数个数与合数的约数和 以前的例子为例可知： （1）675的约数有1、2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：675＝33×52 其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积： （3+1）×（2+1）＝12 （2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240 但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系： 1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240 我们再举一个例子，比如18000＝24×32×53，不妨我们自己验证一下： （1）合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个（2）合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868 当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。 定理若自然数N分解质因数的结果是： N=p 1r1 .p 1 r2 ......p n rn 其中质数p 1 . p 2 ..... p N 为互补相同的质数， r 1 ，r 2。。。。。。 ，r n 为正整数，分别 是p 1,，p 2。。。。。。 ，p n 的指数，那么 （1） N的约数个数是：（r 1+1）×（r 2 +1）×.....×（r n +1） （2） N的所有约数的和是：（1+p 1+p 1 2+p 1 3+....+ p 1 r1）×（1+p 2 +p 2 2+p 2 3+....+ p 2r2）×....×（1+p n +p n 2 +p n 3 +....+ p n rn） 特别地，当N只有一个或若干个相同的质因数（即N=p r，p 为质数，r为自然数）时，N的约数有r+1个，所有约数的和为：1+p +p2 +p3 +....+ p r
一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要求的三个自然数分别是32、35和38。
数论分解质因数 一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身. 质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，…. 例9 ○＋（□+△）=209. 在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立. 解：209可以写成两个质数的乘积，即 209＝11×19. 不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17. 这个算式是 11×（17＋2）＝209， 11×（2＋17）＝ 209. 解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容. 一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数. 任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如 360＝2×2×2×3×3×5. 还可以写成360＝23×32×5. 这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方. 例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 解：我们先把5040分解质因数 5040＝24×32×5×7.
质数，因数，合数，倍数 1.因数与倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么a为b的倍数，b为a的因数。 2.最大公因数与最小公倍数：（1)几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。(2)几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 3.最大公因数与最小公倍数的性质 (1)最大公因数的性质 a：几个数除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数； b：几个数的公因数都是最大公因数的因数； C：几个数都乘以一个自然数，所得到的结果是这几个数的最大公因数乘以这个自然数 （2）最小公倍数的性质 a：两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。 b:两个互质数的最小公倍数是这两个数的乘积。 C：两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是较小的那一个，最小公倍数是较大的那一个。 1.将37拆成若干个不同质数的和，使得这些质数的和尽可能大，那么这个最大的乘积等于？
分析：本题应用枚举法，关键要把握好不重不漏，为此要选择一种顺序。我们首先将小于37的质数，由小到大排列出来：（共11个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31 由于2+3+5+7+11＜37，而2+3+5+7+11+13＞37。因此最多拆成5个不同质数之和。但由于37是奇数，拆除的5个不同质数中不能有偶质数2，否则其余4个奇数之和为偶数，这5个质数和为偶数，不可能等于奇数37，而3+5+7+11+13=39＞37。因此最多拆成4个不同质数之和，为此，我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究：（1）37=31+6（6不能用2，3，5相加得到）；（2）37=29+8=29+5+3，只有一种拆法； （3）37=23+14 共有两种拆法；37=23+11+3 37=23+7+5+2，（4）37=19+18，而1 8=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2 所以共有四种拆法37=19+13+5 37=19+13+3+2 37= 19+11+7 37=19+11+5+2 （5）37=17+20，而20=13+7=13+5+2=11+7+2，所以有三种拆法：37=17+13+7 37=17+13+5+2 37=17+11+7+2 综合以上可以得到10种不同的拆法，其中最大乘积的是：11×17×7×2=2618 2.四个连续自然数的乘积是11880，求这四个数。 分析：11880=2×2×2×3×3×3×5×11 把这些质因数搭配成4个乘数，并且要求是连续的，11比较大，我们不妨从11入手，只能有8,9,10,11或是9,10,11,12，前者不成立。那么这四个数是9,10,11，12. 3.26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？ 考点：约数个数与约数和定理 专题：整除性问题 分析：首先将26460分解质因数，再进一步根据约数和的计算方法，找出含有6的质因数和不含6的质因数的数的个数即可． 解答：解：26460=22×33×5×27， 26460所有约数中6的倍数的数，即求26460÷6=4410的所有因数 4410=2×23×5×27， 故约数个数为（1+1）×（2+1）×（1+1）×（2+1）=36个， 也就是6的倍数有36个； 与6互质，即约数中不含质因子2和3 即所求为5×72=245的所有约数，
第二节质数、合数和分解质因数 第1课时 教学内容：质数、合数和分解质因数 教学目标：1、掌握质数、合数和分解质因数的基本知识，会判断一个数是质数还是合数； 2、能对一个合数进行质因数分解并用标准式表示； 3、能解决一些实际问题。 教学重难点：质数的判定方法和解决实际问题。 教学过程： 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 判断一个数是质数还是合数的常用方法： 对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。 30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。 如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。 二、例题讲解 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。
例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。 解：设a=2×3×4×…×10×11，则2～11的任意自然数都能整除a，根据整除的和差性质，a＋2, a＋3, a＋4,…, a＋11能分别被2、3、4、…、11整除。即a＋2, a＋3, a＋4,…, a＋11为10个连续自然数，且个个是合数。 三、练习 1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？ 3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？ 4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？
分解质因数 自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。 例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。 例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？ 分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数： 把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3）， 于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。 例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？ 分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。 从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。 2×5×11=110，13； 2×5×13=130，11； 11×13=143，2×5=10。 所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。 例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？ 分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33×7×13×37。
因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3× (40) 被90909整除。 例4 求72有多少个不同的约数。 分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下： 上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。 根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。 从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。 例如，2352=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有 （4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）； 又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有 （1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。 例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。 分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相反。 因为这个数有六个约数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；
数论-因数和倍数-因数的个数定理-3 星题 课程目标 知识提要 因数的个数定理 •因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。 •因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数． 精选例题 因数的个数定理 1. 一个自然数有10个不同的因数〔即约数，指能够整除它的自然数〕，但质因数〔即为质数的因数〕只有2与3．那么，这个自然数是． 【答案】162或48 【分析】设这个数为2a×3b〔a、b均为正整数〕，由题意可知 (a+1)×(b+1)=10=2×5 所以 a=1,b=4 或 a=4,b=1 所以这个自然数是 21×34=162 或 24×31=48 2. 自然数N有20个正约数，N的最小值为． 【答案】240
【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题： ①20=20×1=19+1，N的最小值为：219=524288， ②20=2×10=(9+1)×(1+1)，N的最小值为：29×3=1536， ③20=4×5=(4+1)×(3+1)，N的最小值为：24×33=432， ④20=2×2×5=(4+1)×(1+1)×(1+1)，N的最小值为：24×31×51=240． 3. 自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是． 【答案】40、22、18、30或24 【分析】详解：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：29、24×5、24×7、2×74、79的10倍分别有22、18、24、30、40个约数． 4. 算式1×8×15×22×⋯×2010的乘积末尾有个连续的0． 【答案】72 【分析】详解：乘数15、50、85、⋯、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、⋯、402；其中10、45、⋯、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、⋯、79．其中30、65里还含 有因数5．我们第一次除掉了2010−15 35+1=58个5，第二次除掉了395−10 35 +1=12个5，最后还 剩下两个因数5．说明1×8×15×22×⋯×2010含有58+12+2=72个约数5，由于其中含 有的约数2是足够多的，因而的0的个数就等于约数5的个数，是72个． 5. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的1 3 ，那么符合条件的A最小是．【答案】12 【分析】设 A=2x×3y×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n, 那么 B=A÷3!=2x−1×3y−1×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n, 那么 (x+1)(y+1)(a1+1)(a2+1)⋯⋯(a n+1) =3[xy(a1+1)(a2+1)(a n+1)], 即 (x+1)(y+1)=3xy xy都取1不满足此式，所以取x=2，y=1，a1=a2=⋯=a n=0得到最小值12 6. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么B=． 【答案】108 【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，得k= 2所以B=22×33=108． 7. 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡 因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为． 【答案】672 【分析】〔解法一〕 2015=5×13×31 2015所有的约数和为 (50+51)×(130+131)×(310+311)=6×14×32=2688 2015的所有非平凡因数之和为 2688−1−2015=672
分解质因数求最小公倍数 什么是质因数分解？ 质因数分解，又称素因数分解，是将一个正整数分解成若干个质数相乘的形式。例如，24可以分解为2 × 2 × 2 × 3，其中2和3都是质数。 什么是最小公倍数？ 最小公倍数是指两个或多个整数的公共倍数中最小的那个数。例如，6和8的公倍数有24，48，72等，其中最小的公倍数是24。 如何通过分解质因数求最小公倍数？ 通过分解两个正整数的质因数，我们可以得到它们的素因数表达式。然后，将这两个数的素因数表达式中的质因数取并集，并且各质因数的指数取较大值，最后乘起来即可得到最小公倍数。 具体的步骤如下： 1.将两个正整数进行质因数分解。 2.找到两个正整数的所有质因数。 3.对这些质因数进行归并操作。 4.对于重复的质因数，取其较大指数。 5.将归并后的质因数和指数相乘，得到最小公倍数。 分解质因数的方法 分解质因数的方法有多种，下面将介绍两种常用的方法：试除法和筛法。 试除法 试除法是一种基本的质因数分解方法，可以通过反复试除得到目标整数的所有质因数。 具体步骤如下：
1.从最小的质数2开始，尝试将目标整数除以2。 2.如果能整除，那么2就是目标整数的一个质因数，并将目标整数除以2的商 作为新的目标整数。 3.如果不能整除，尝试下一个质数，继续尝试相同的步骤。 4.反复进行以上步骤，直到目标整数变为1。此时，得到的所有质因数即为目 标整数的质因数。 例如，对于目标整数24，使用试除法进行质因数分解的过程如下： 1.24 ÷ 2 = 12，所以2是24的一个质因数，商为12。 2.12 ÷ 2 = 6，所以2是24的一个质因数，商为6。 3. 6 ÷ 2 = 3，所以2是24的一个质因数，商为3。 将得到的质因数2，2，2和商3的乘积，即可得到原数24的质因数分解：2 × 2 × 2 × 3。 筛法 筛法是一种通过排除法来求解一定范围内所有数的质因数的方法。它的核心思想是利用合数一定能被它的最小质因数整除这一性质来进行筛选。 具体步骤如下： 1.创建一个数组，用于存储从2到目标整数之间的所有数。 2.将数组中除了2以及所有的偶数都标记为非质数。 3.从3开始，遍历数组中的每个数，如果该数还没有被标记为非质数，那么将 其标记为质数，并将它的倍数都标记为非质数。 4.继续遍历完整个数组，直到所有的数都被标记。 5.最后得到的标记为质数的数组元素即为目标整数的质因数。 例如，对于目标整数24，使用筛法进行质因数分解的过程如下： 1.创建一个从2到24的数组：2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24。 2.将数组中除了2以及所有的偶数都标记为非质数：2, 3, x, 5, x, 7, x, 9, x, 11, x, 13, x, 15, x, 17, x, 19, x, 21, x, 23, x。 3.从3开始，遍历数组中的每个数，如果该数还没有被标记为非质数，那么将 其标记为质数，并将它的倍数都标记为非质数：2, 3, x, 5, x, 7, x, 9, x, 11, x, 13, x, x, x, 17, x, 19, x, x, x, 23, x。 4.继续遍历完整个数组，直到所有的数都被标记。 5.最后得到的标记为质数的数组元素即为目标整数的质因数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。
质因数的底数和指数 质因数分解是数学中的一种基本方法，它可以将一个数分解成若干个质数的乘积。在质因数分解中，底数指的是质数，指数指的是质数在分解中的次数。本文将以质因数的底数和指数为标题，探讨质因数分解的相关知识。 一、底数 底数是指在质因数分解中，乘积中的质数。例如，将12分解成质因数，可以得到12=2×2×3，其中2和3就是底数。底数是质数，因为质数是只能被1和自身整除的数，所以它的因数只有1和它本身，因此质数只能被分解成1个质数的乘积。 在质因数分解中，底数的个数就是分解后的质因数个数。例如，将24分解成质因数，可以得到24=2×2×2×3，其中底数的个数为2和3，即分解后的质因数个数为2个。 二、指数 指数是指在质因数分解中，每个底数出现的次数。例如，将12分解成质因数，可以得到12=2×2×3，其中2的指数为2，3的指数为1。指数表示了底数在分解中的重要程度，指数越大，底数在分解中的作用就越大。 在质因数分解中，指数的和就是分解后的数的大小。例如，将24
分解成质因数，可以得到24=2×2×2×3，其中2的指数为3，3的指数为1，指数的和为4，即分解后的数的大小为24。 三、应用 质因数分解在数学中有着广泛的应用。例如，在求最大公约数和最小公倍数时，可以通过质因数分解来简化计算。另外，在密码学中，质因数分解也有着重要的应用，例如RSA加密算法就是基于质因数分解的原理。 质因数分解还可以用来判断一个数是否为质数。如果一个数只能被1和它本身整除，那么它就是质数。如果一个数可以被分解成多个质数的乘积，那么它就不是质数。 质因数分解是数学中的一种基本方法，它可以将一个数分解成若干个质数的乘积，底数指的是质数，指数指的是质数在分解中的次数。质因数分解在数学中有着广泛的应用，可以用来简化计算、判断质数等。
人教版五年级下册数学第二单元《质数和合数》教案 一、教学目标 1.了解质数和合数的定义及特征； 2.掌握判断质数和合数的方法； 3.能够进行简单的质因数分解。 二、教学重点难点 1.质数和合数的概念和判断方法； 2.质因数分解的方法。 三、教学过程 1. 导入新知识 1.1 学生导入 引导学生回顾上一节课所学内容，复习素数概念。 1.2 教师新知介绍 向学生介绍今天的新课——《质数和合数》。首先，引导学生了解质数和合数的定义及特征，以加深学生对这两个概念的理解： •质数：一般地，指大于1的整数，它除了1和它本身以外，没有其他的因数。比如：2、3、5、7、11等是质数。 •合数：一般地，指大于1的整数，除了1和它本身以外，还有其他的因数。比如：4、6、8、9等都是合数。 1.3 学生思考 老师引入质数和合数的定义后，让学生自己思考一下如何判断一个数是质数还是合数？
2. 质数和合数的判断 2.1 数字试除法 数字试除法判断方法：将可能的质因数依次从小到大地除过去，如果都无法整除，则该数是质数，否则是合数。 让学生自己试着用这个方法判断一下一些数是不是质数或合数。比如：7、11、15、22等。 2.2 作业巩固 将作业整理在一个表格里，让学生自己逐个判断作业中的数是不是质数或合数。 3. 质因数分解 3.1 概念介绍 引导学生了解质因数分解的定义，及两个重要概念——素因子和指数。 •质因数分解：把一个合数分解成几个质数的积的形式。 •素因子：指一种素数。一个合数可以有若干个素因子。 •指数：用来表示一个素数在质因数分解中出现的次数。 例如：24=2×2×2×3，可以将24分解为2的3次方×3，2和3就是素因子， 3是2的指数。 3.2 示例讲解 以一个具体的例子为引导，进行质因数分解的演示。比如分解12，我们可以 先将其分解为一个素数2和一个5的积，即12=2×6，然后再将6分解为2和3 的积，即12=2×2×3，因此12的质因数分解式为：12=2×2×3。 3.3 学生思考 让学生尝试分解几个较小的合数，如18、35等。 4. 课后作业 1.完成练习册《质数和合数》相关练习； 2.记忆和背诵22以内的所有质数。
3.数论——因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、最大公约数与最小公倍数 3.1因数、约数和倍数： 如果如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数，c就是a或b 的倍数。倍数和因数是相互依存的。因数相对乘法而言，不一定是整数，如0.9×8＝7.2。 如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的约数）。约数是建立在整除关系上的。 一个数的约数是有限的，其中最小1，最大的约数是它本身。一个数的倍数是无限，其中最小的倍数是它本身。没有最大倍数。 3.2奇数和偶数及奇偶性问题 自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。 奇偶性问题： 奇±奇=偶奇×奇=奇 奇±偶=奇奇×偶=偶 偶±偶=偶偶×偶=偶 3.3质数和合数及分解质因数： 一个数，如果只有1和它本身两个约数能整除它，这样的叫做质数。100 以
内的质数有：2、3、5、7、11 、13 、17 、19 、23 、29 、31 、37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、79 、83 、89 、97 。如果除了1和它本身还有别的约数的整数，这样的数叫做合数，例如，4、6、8、9、12 都是合数。1不是质数也不是合数。数论只是研究正整数，不包括0。 两个质数只有1这1个公因数，则这两个数互质。天然互质的情况：连续的两个自然数；连续两个奇数；两个质数；1和任何一个大于1的自然数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如28 分解质因数：28=2×2×7。注意数论中，分解质因数必须写成指数形式，如28=22×7。任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 a×p22a×...×p k ak，这被称为唯一分解定理。 1 分解质因数一般用短除法，一般先从最小的质数到逐渐变大的质数依次除，而且一般排除到不大于稍大于余数的完全平方数的平方根就可。 例如：
质因数的奥数问题 关于质因数的奥数问题 个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三 数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析：先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于 42560.40×40×40=64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数 在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 =25×(5×7)×(19×2) =32×35×38(合题意) 要求的三个自然数分别是32、35和38。 例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。 分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数， ∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。 解：∵1080×a=23×33×5×a， 又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数， ∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。 ∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。 答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。 例9问360共有多少个约数？ 分析360=23×32×5。
为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5 （=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有 多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5 的所有约数。 解：记5的约数个数为Y1， 32×5的约数个数为Y2， 360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知： Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1， 显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。 因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。 所以360共有24个约数。 说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数， 也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2 的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也 就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此 Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。 对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的'约数个 数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重 要结论： 一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。 例10求240的约数的个数。 解：∵240＝24×31×51， ∴240的约数的个数是
因式分解知识梳理 一、 因式分解与分解质因数。 那么为什么要分解质因数呢？目前的需要就是进行分数的运算， 例如：403 1209 1204 1205 301 241 ==+=+ 我们来分析计算过程，120是怎样来的呢？是求24和30 的最小公倍数。短除法。 而化简就是求最大公约数。 分解质因数就是把一个整数写成几个质因数积的形式，分解因式和分解质因数在本质上是一回事，分解因式是把一个整式写成几个因式积的形式。它将在以后的分式运算、根式运算、解方程得过程中起重要作用，在整个初中数学的内容中占有基础的重要地位。 需要注意的是：分解因式是把一个整式写成几个整式积的形式。它和我们前面的整式乘法的逆变形，判断一种变形是不是因式分解首先要看最后是不是整式的积的形式。 例如：41)1(41 2+ +=++x x x x 不是分解因式，因为等号的右面不是积的形式。而应该把它分解为：22)21(41 +=++x x x 我们可以采取乘法还原的方法对分解的结果进行检验。 二、 提公因式法 什么是提公因式？我们来看原来的简便运算：=⨯+⨯32117423130742 分析：在这个运算式中，74 2是31 30和32 11的公因式，运算的过程中利用的乘法 分配律实际上就是提公因式。 我们可以同样的把这个运算规律用在代数式的运算上。 例1：)43(242328622223-=⋅-⋅=-x x x x x x x ， 分析：公因式22x 是怎样得到的呢？先来看系数，6和8的最大公约数是2，再看相同的字母，而3x 和2x 的较低的指数项是2x ，所以公因式是22x 。 三、 平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-我们称为平方差公式，我们来观察这个式子的特点：前面22b a -中是两个平方项，并且符号相反。只要式子拥有这样一个特点就可以利用平方差公式。 例如：例1：)2)(2()2(42222b a b a b a b a -+=-=- 四、 完全平方公式 222)(2b a b ab a +=++和222)(2b a b ab a -=+-我们称之为完全平方公式，这两个式子的特点我们可以简单的记忆为：“首（项）平方，尾（项）平方，首（项）
小学数学精讲(5)约数倍数、质数合数、分解质因数 一、知识地图 二、基础知识 （一）1．质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。显然，在自然数范围内，最小的质数是2，2也是惟一的偶质数。最小的合数是4。我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：0和1，质数和合数。因此，除0和1以外的自然数，不是质数就是合数。自然数的个数是无限的。早在2000多年前古希腊数学家欧几里德就证明了质数有无限多个。 2. 质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，12=2×2×3。 常用的是100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数，这也是多年考试的一个重点。 分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。 注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式，这对