学科教师辅导讲义
知识梳理
一、数列的概念
按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
如：2、5、8、11、14、17、20、L从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、L从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
二、等差数列与公差
一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
三、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2
项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+公差?（项数-1）
首项=末项-公差?（项数-1）
公差=（末项-首项）÷（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数
中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
典例分析
考点一：等差数列的基本认识
例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22， (98)
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③1，2，4，8，16，32，64；
④9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？
例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？
例4、2、4、6、8、10、12、L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．例5、5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？
例2、在11～45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？
例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍根。
例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
?课堂狙击
1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
8、观察下列四个算式：201 =20，202 =10，104 =52 ， 52 8 =5
16 。从中找出规律，写出第五个算式： 。
9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数），如
对于a ，差为7-5=2，所有差的总和为 。
1、（2005年，第3届，希望杯，4年级，1试）从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
2、（2006年，第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式： 2＋4＝6＝2×3， 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……
然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。
3、（2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1～N 中去掉一个数，剩下的(N 一1)个数的平均值是15.9，去掉的数是_____。
直击赛场
一、等差数列的定义
⑴定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式
（1）三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+
-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =-
-?（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2
（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
学霸经验
名师点拨
重点回顾
?本节课我学到了
?我需要努力的地方是
五年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那 么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数 的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？
五年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，......，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+......+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10， (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析： 设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析： 这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析： 观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析： 通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。
第二讲不规则图形面积的计算（二） 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。 例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。 解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。 解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。 例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。 分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。 例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
第二讲：等差数列 一，数列有关知识点： ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排 列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列 的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9” 是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项 是“1”，“3 1”是这个数列的第“3”项，等等 4．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d 表示 5．等差数列的通项公式：（每一项都可用通项公式来表示） d n a a n )1(1-+= 6．数列的前n 项和： 数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数 等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 等差数列的前n 项和公式2：2 )1(1d n n na S n -+ = 二．例题精讲 例1，认识数列：等差数列:3、6、9、 (96) 这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
例2，有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 例3.有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 例4，计算2+4+6+8+…+1990的和。 提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。 解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+… +1990=(2+1990)×995÷2=991020。 例5.计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。 解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。 例6，已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。 解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。
等差数列问题 1. 1+2+3+4+……+98+99+100= 2.2+4+6+8+……+96+98+100= 3.1+3+5+7+……+95+97+99= 4.5+10+15+20+………+90+95+100= 5.3+10+17+24+ (101) 6. 8+15+22+……+92+99= 7.1+2+3+4+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1= 8.(1+3+5+…+1991)-(2+4+6+……+1990)= 9.100+99-98-97+96+95-94-93+92….+4+3-2-1= 10.1992-1989+1986-1983+1980-1977+……+12-9+6-3=
11.1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104+103 -102-101= 12、1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+………+95-96+97+98+99-100= 13.1992+1991+1990-1989-1988-1987+1986+1985+1984-1983-1982- 1981+……+6+5+4-3-2-1= 14.5-3+10-8+15-13+……+1995-1993+2000-1998= 15.2000-3-6-9-……-51-54= 16.2000-2-4-6-8- (50) 17.1-2+3-4+…2+1997-1998+1999= 18.在1949、1950、1951…1997、1998这50个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少? 19.已知一列数2,5,8,11,14…问这列数的第20项是哪个数? 20.已知一列数4,6,8,10…..问64是这个数列的第几项？
数列计算 从第二项起，后一项与前一项的比值是同一个数，这样的数叫做等比数列。从1的立方开始的自然数的立方之和等于这些和的平方。 例题精讲 例1 计算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99。 【思路点拨】在计算时如果把所有的数看成是一个等差数列,那就错了,因为前几个数相邻两数之间相差0.2,而后面的数相邻两数的差是0.02,所以在求和时要分开考虑,从0.1到0.9是一个等差数列,而从0.11到0.99又是一个等差数列。 【详细解答】 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99 (0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2 =2.5+49.5÷2 =2.5+24.75 =27.25 【题后反思】首先观察时应该把小数分为两类:一位小数、两位小数。再分别求和,注意要理解并牢记等差数列求和公式。 例2计算:1+3+9+27+81+243+729+2187。
【思路点拨】加法算式中的数后一项总是前一项的3倍,构成一个等比数列。在求和时要根据等比数列的特点来做。把这些数的和用S来表示,如果把每项扩大3倍,则3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561。把3S的每项与原来等比数列的每项比较,很多项是相 同的,3S比S多的就是6561-1=6560,3s是S的3倍,比S多2倍,所以S=6560÷2 =3280。 【详细解答】 设S=1+3+9+27+81+243+729+2187,则 3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561 3S-S=6561-1,2S=6560 S=6560÷2=3280 【题后反思】扩倍法、缩倍法是等比数列求和的基本方法,扩的倍数就是公比。这远远比中学的公式法好理解。 同步练习 1.计算下列一组数的和：105，110，115，120…，195，200 2.有一列数:2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,…它的第2005项是几?前2005项的和是多少?
等差数列 学生姓名年级学科 授课教师日期时段 核心内容等差数列课型一对一/一对N 教学目标认识等差数列，认识首项、通项、项数、公差和相应公式，求和公式 重、难点等差数列的解答 课首沟通 和学生交谈。了解学生是否接触过等差数列。引起学生好奇心，增强学习兴趣 知识梳理 若干个数排成一列称为数列。 数列中的每一个数称为一项。 其中第一项称为首项。 最后一项称为末项。 数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。 后项与前项的差称为公差。 在这一讲要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 导学一：求项数 知识点讲解 1：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例 1. 有一个数列：4，10，16，22.…，52这个数列共有多少项？ 我爱展示 1.等差数列中，首项=1、末项=39、公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2、5、8、11、…，101这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11、16、21、26、…，1001这个等差数列共有多少项？ 导学二：求通项 知识点讲解 1：第n项=首项+（项数－1）×公差 例 1. 有一等差数列：3、7、11、15、……，这个等差数列的第100项是多少？ 我爱展示 1.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2.求1、4、7、10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2、6、10、14……的第100项 导学三：求数列之和 知识点讲解 1: 如果我们把1、2、3、4、…、99、100与列100、99、…、3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+… +（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2 倍，再除以2就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。 例 1. 求等差数列2，4，6，…，48，50的和 我爱展示 1. 2+6+10+14+18+22 2. 5+10+15+20+…+195+200
小学奥数等差数列练习及答案【三篇】 【篇一】 知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项- 首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 【篇二】 典例剖析： 例（1在数列3、6、9……,201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+ 1,便可求出 （2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1 ） 解：项数=（201-3）3+1=67 末项=3+3（201-1）=603 答：共有67 个数，第201 个数是603
练一练： 在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案:第48项是286，508是第85项 例（2）全部三位数的和是多少？ 分析：：所有的三位数就是从1 00~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）9002 =10999002 =494550 答：全部三位数的和是494550。 练一练： 求从1 到2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案:1000 例（3）求自然数中被10除余1 的所有两位数的和。 分析一：在两位数中，被1 0除余1最小的是1 1 ，的是91 。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9,我们可以根据求和公式来计算。 解一：11+21+31 + ??…+91 =（11+91）92 =459 篇三】 1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？ 2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从 1 号开始摸着排下去。小明 将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为 114，那么实际上全胡同有多少家？ 3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7 根园木，
1 【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是 ()09934 179916832 +?=?=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5 【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题 例题精讲 等差数列应用题
【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15 ?-只果，共有15只猴. 【答案】15只猴子 【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学． 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级 【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105 -=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123 -=（个），15645 --=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题 【答案】5位 【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答 【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 2
目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻
方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数
幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！
一、等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（）， n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 知识结构 等差数列的基本概念及公式
③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051= ++++++++共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101 ++++ +++=++++ +++=++++ +++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=（）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。 （2） 必要时调整数列顺序。 重难点
等差数列基础知识 等差数列是小升初奥数的重点考点 1、数列定义： （1）1 ，2, 3, 4, 5, 6，7, 8,…（等差） （2）2 , 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…（等差） （3）1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49,…（非等差） 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项以此类推， 最后一个数叫做这个数列的末项， 数列中数的个数称为项数， 如：2, 4, 6, 8, , 100 2、等差数列： 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差 例如：等差数列：3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32, 公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式： （1）末项公式：第几项（末项）=首项+（项数—1）x公差 （2）项数公式：项数=（末项—首项）+公差+ 1 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例：求等差数列3, 5, 7, 的第10项，第100项，并求出前100项的和。
解：我们观察这个一个等差数列，已知：首项=3,公差=2, 所以由通项公式，得到 第10项：第几项=首项+（项数—1）X公差 第10项=3+ （10-1 ）X 2=21 第100项：第几项=首项+（项数—1）X公差 第 100项=3+（100-1 ） X 2=201 前100项的和：总和=（首项+末项）X项数一2 前100项的和=3+5+7+ 201= （3+201）100 2=10200. 练习1: 1、6+ 7+ 8+ 9+……+ 74 + 75=（2835 ） 2、2+ 6+ 10+ 14+……+ 122+ 126=（2112 ） 3、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项？（16） 项数=（末项—首项）+公差+ 1 16=（47 —2）一3+ 1 4、有一个数列：6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少？（20400） 第几项（末项）=首项+（项数—1）X公差
1.47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问：两门都得100分的有多少人？ 2一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？ 3.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少？ 4.全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。求两样都不会的人数。 5.五一小学举行小学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其它年级共展出多少幅画？ 6.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？ 7.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？ 8六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？.
9．三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组? 10．三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组，其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人? 11．二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有18人，拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，跳绳比赛获奖的有多少人? 12．有101个同学带着水壶和水果去春游，其中带水壶的有78人，带水果的有71人，只带水壶和只带水果的各有多少人? 13．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加? 年龄问题练习题： 1．小浩今年6岁，妈妈今年46岁。小浩多少岁时，妈妈的年龄是小浩年龄的5倍 2．小明今年16岁，奶奶今年80岁。奶奶多少岁时正好是小明年龄的9倍？ 3．小红今年16岁，姐姐今年21岁。当姐弟岁数的和是55岁时，两人各是多少岁？
等差数列 知识点 1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8， ，100 2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d 例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么？） 练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ?-+=)1(1 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：()21321÷?+=+++n a a a a a a n n 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例1：求等差数列3，5，7， 的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。 【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项 1a =3，公差d=2，直接代入通
项公式，即可求得21293)110(110=?+=?-+=d a a ， 2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a . 同样的， 我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：3+5+7+ 201=（3+201） ?100÷2=10200. 解：由已知首项 1a =3，公差d=2， 所以由通项公式d n a a n ?-+=)1(1，得到21293)110(110=?+=?-+=d a a 2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a 。 同理，由已知，1a =3，100a =201，项数n=100 代入求和公式得3+5+7+ 201=（3+201）?100÷2=10200. 练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。 2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？ 3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？ 4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？ 例2：在211、2 12两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。 解：根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差， 那么第三项 3a =1a +2d ，即：212=2 11+2d ，所以d=0.5 故等差数列是，211、2、2 12。 拓展：1、在12 与 60 之间插入3个数，使这5个数成为一个等差数列。 2、在6和38 之间插入7个数，使他们成为等差数列，求这9 个数的和是多少？ 例3：有10个朋友聚会，见面时如果每人都要和其余的人握一次手，那么共握了多少次手？
五年级课堂同步奥数第二讲——积的近似数与小数乘法应用【例1】妈妈给豆豆一些钱去买土豆，市场上1千克土豆86 .3元，后来妈妈打电话告诉豆豆不用买土豆了，买豆角。豆豆算了一下，这些钱能买到的土豆的质量正好是能买到的豆角的质量的2.1倍。你来算一算，市场上1千克豆角多少钱。 1、一个两位小数“四舍五入”后的近似数约是0.6，这个两位小数最大可能是（），最小可能是（）。 2、判断：近似数00 .6和0.6的大小相等，精确度也一样。（） 3、判断：把5.0 .2。（） .3 的积精确到千分位是000 999 4、每千克油菜籽可以榨47 .0千克油，105千克油菜籽大约可以榨多少千克油?（得数保留一位小数） 5、中心小学开展“勤工俭学”活动，同学们利用业余时间收集废纸。2015年5月份，全校共收集废纸685 1324千克。照这样计算，全校一年大约收集废纸多少千克？（得数保留整数）.
6、明明去水果店买水果，他拿的钱正好可以买6.2千克荔枝。现在荔枝的单价是苹果的3.2倍，明明如果用这些钱都买苹果，他大约可以买多少千克苹果?（得数保留一位小数） 【例2】为了鼓励节约用电，某地电力公司规定了以下的电费计算方法：每月用电不超过150度时，按每度6.0元收费；每月用电超过150度时，超过的部分按每度65 .0元收费。小明家七月份用电216度，他家应付电费多少钱？ 【例3】邮局邮寄信函的收费标准如下表： （1）小亮寄给本埠同学一封135g的信函，应付邮费多少钱？ （2）小琪要给外埠的叔叔寄一封262g的信函，应付邮费多少钱？
1、某地电费收取办法规定如下：每月用电在200千瓦时（含200千瓦时）以内的，每千瓦时电收费0. 55元；每月用电超过200千瓦时的，超过部分每千瓦时电优惠0. 10元。小强家10月份用电情况如图，他家10月份应付电费多少元？ 2、某地每次打固定电话前3分钟内收费22.0元，超过3分钟的部分，每分钟收费11.0元（不足1分钟按1分钟计算）。萌萌一次通话9分49秒，应付多少钱？ 课外奥数拓展 1、为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1. 2元收费，超过15吨的部分按3. 5元收费，欢欢家上月缴水费28. 5元，欢欢家上月用水多少吨？ 0781 1049 10月1日 11月1日 电表读数 电表读数
六年级奥数习题及答案等差数列 1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少? 2、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少? 3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少? 4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少? 5、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。 6、下面的各算式是按规律排列的： 1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，……，那么其中第多少个算式的结果是1992? 7、如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差(大数减小数)最小是多少? 8、有19个算式：那么第19个等式左、右两边的结果是多少? 9、已知两列数： 2、5、8、11、……、2+(200-1)×3; 5、9、13、17、……、5+(200-1)×4。它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对? 10、如图，有一个边长为1米的下三角形，在每条边上从顶点开始，每隔2厘米取一个点，然后以这些点为端点，作平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形。求⑴边长为2厘米的小正三角形的个数，⑵所作平行线段的总长度。 11、某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日(一人工作一天为1个工作日)，且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人? 12、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了;第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页? 13、7个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种了多少棵? 14、将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少?
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
学科教师辅导讲义 知识梳理 一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如：2、5、8、11、14、17、20、L从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
典例分析 考点一：等差数列的基本认识 例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22， (98) ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③1，2，4，8，16，32，64； ④9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？ 例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？ 例4、2、4、6、8、10、12、L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．例5、5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？
六年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 【题-001】抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、
商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同． 【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【题-007】浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓
小学奥数等差数列(经 典) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
八分之七（打一成语）（答案在最后一页做完题就看见了）若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其 中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项 数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等 差数列，后项与前项的差称为公差。 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差 项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 随堂学案 一.巧解应用题 1.3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千 克？ 2.买3个篮球和5个足球共、用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元？ 3.育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排球，共用去了141元；第二次买了5个篮球和4个排球，共用去180元。每个篮球和每个排球各多少元？ 二.高斯行，我更行！！
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 （4）2+6+10+14+18+22 （5）5+10+15+20+…+195+200 （6）9+18+27+36+…+261+270 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有 多少项？ 2、有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有 多少项？ 3、 4、已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共 有多少项？ 5、 家庭作业
1、一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3、求等差数列2，6，10，14……的第100项。 4、数列4，7，10，……295，298中，198是第几项？ 5、蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多少米？ 6、在树立俄，10，13，16，…中，907是第几个数第907个数是多少 7、