参数方程(教案)A
一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()
()
x f t y g t =??
=?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都
在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方
程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =??
=?就是曲线的参数方程,在
参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数方程
设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ
=??
=?为参数。 这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+??=+?
为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为
22
221(0),x y a b a b +=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ???=??=?
为参数，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b
+=>>其参数方程为
cos (),sin x b y a ?
??=??
=?
为参数其中参数?仍为离心角，通常规定参数?的范围为?∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02
π
α≤≤
时，相应地也有02
π
?≤≤
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程（不要求掌握）
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为
22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ???
=??
=?为参数，其中
3[0,2),.2
2
π
π
?π??∈≠
≠
且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
cot ((0,2).csc x b e y a ?
??π?π?
=?∈≠?
=?为参数，其中且 以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为
2
2().2x pt t y pt
?=?
=?为参数
7．直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为
()2
π
αα≠的直线l 的普通方程是
00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
()t 为参数。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?()t 为参数，其中t 表示直线l 上以
定点M 0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M 0M ????????? 的数量，当点在M 上方时，t ＞0；当点M 在M 0下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数
轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
二、题型探究
探究一：把参数方程化为普通方程 例1：已知曲线C 1：{
x =?4+cost y =3+sint (t 为参数)， C 2：{x =8cosθ
y =3sinθ
(θ为参数)
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为t =π
2，
Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：{x =3+2t
y =?2+t
(t 为参数)的距离的最小值。
解答：（Ⅰ）C 1:(x +4)2+(y ?3)2=1,C 2 :x 2
64+y 29
=1
C 1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。 C 2为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当t =π
2时，
，故
C 3为直线x-2y-7=0，M 到C 3的距离
从而cos θ=45
,sin θ=3
5
时,d 取得最小值
8√5
5
探究二：椭圆参数方程的应用
例2：在平面直角坐标系xoy 中，点p(x,y)是椭圆x 2
3+y 2=1上的一个动点，求s=x+y 的最大值
解答： 因椭圆x 2
3+y 2=1的参数方程为{x =√3cos?y =sin?
(?为参数),
故可设动点P 的坐标为(√3cos?,sin?)，其中0≤?<2π因此，S=x+y=√3cos?+ sin? =2sin(?+π
3
)所以，当?=π
6
时，S 取最大值2
探究三：直线参数方程的应用 例3：过点
作倾斜角为
的直线与曲线x 2+2y 2=1交于点M,N ， 求|PM||PN|的最小值及相应的
的值。
解析：设直线为，代入曲线并整理得
，则
所以当
时，即α=π
2，|PM|?|PN|的最小值为3
4，此时α=π
2。
探究四：圆的参数方程的应用 例4：已知曲线C 的参数方程是
为参数)，且曲线C 与直线
=0
相交于两点A 、B
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）求弦AB 的垂直平分线的方程（3）求弦AB 的长
解答：（1）由
所以，曲线C 的普通方程为(x －2)2
+y 2
=2 (2）因为
，所以AB 的垂直平分线斜率为
又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=
（3）圆心到直线AB 的距离
，圆的半径为r=√2
所以
探究五：参数方程的综合应用
例5：已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点， 求 （1）2
2
y x +的最值， （2）x+y 的最值，
（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。
解：圆0124622=+--+y x y x 即1)2()3(22=-+-y x ，用参数方程表示为
θθsin 2cos 3{
+=+=y x
由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），
（1）)sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2222?θθθθθ++=++=+++=+y x (其中tan ? =1.5) ∴2
2
y x +的最大值为14+2 √13，最小值为14- 2√13 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ
（θ+π
4）∴ x+y 的最大值为5+ √2 ，最小值为5 -√2 。 （3）d =
√2
|4+√2(sinθ+π
4
)|
√2
显然当sin （θ+π
4）= ±1时，d 取最大值，
最小值，分别为
1+1-例6： 过点(2,1)的直线被圆x 2
+y 2
-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________；截得的最短弦所在的直线方程是__________；
例7：若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 。
四、反思感悟
五、课时作业 一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t
t y t
=+??
=-?为参数，则直线的斜率为（ D ）
A ．
23 B ．23- C ．32 D ．32
- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ
=??
=+?为参数上的点是（B ）
A
．1(,2 B ．31(,)42
- C
． D
．
3．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为（C ） A ．2y x =- B ．2y x =+
C ．2(23)y x x =-≤≤
D ．2(01)y x y =+≤≤ 4、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 二、填空题
5．直线34()45x t t y t
=+??=-?为参数的斜率为 ?5
4。
6．参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 7．已知直线113:()24x t
l t y t =+??
=-?
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点
(1,2)A ，则AB =__0.5__
8、已知)(sin cos 2为参数θθθ
??
?=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。 9．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθθ
?
?
?+==y x 10．直线1
22
()112
x t t y t
?
=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为_√14__
三、解答题
11.（2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程是???
?
?
x ＝2cos φy ＝3sin φ
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π
3
).
(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2
+ |PB|2
+ |PC| 2
+ |PD|2
的取值范围。 (23) 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为(2,
)3
π
、5(2,
)6π、4(2,)3
π
、11(2,
)6
π
. 所以点A ，B ，C ，D
的直角坐标分别为
、(
、(1,-
、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ??，则 2
2
2
2
||||||||PA PB PC PD +++
(
))2
2
12cos 3sin ??
=-+
(
)
()2
2
2cos 13sin ?
?++-
(
)()2
2
12cos 3sin ??
+--+
)
()2
2
2cos 13sin ?
?++--
2216cos 36sin 16??=++[]23220sin 32,52?=+∈.
所以2
2
2
2
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围为[]
32,52.
曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
圆的标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
第9课时双曲线的几何性质（1） 【学习目标】1?了解双曲线的简单几何性质，如范围?对称性?顶点?渐近线和离心率等. 2 ?能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 【问题情境】 1?椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2?双曲线的两种标准方程是什么？ 【合作探究】 双曲线的几何性质 【展示点拨】 2 2 X y 例1 ?求双曲线1的实轴长和虚轴长?焦点的坐标?离心率.渐近线方程.
例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16,离心率为-,求双曲线的方程. 3 变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上” 2 J 1有相同焦点且经过点(0,1)的双曲线的标准方程. 8 M,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率. 【学以致用】 1 ?说出下列双曲线的顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程: 2 2 2 2 /八 x y , y x . (1) 1 ; (2) 1 . 9 16 4 5 例3?求与椭圆 例4 ?过双曲线 X 2 a 2 2 ■y 2 1(a 0,b 0)的左焦点且垂直于 b 2 x 轴的直线与双曲线相交于
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x 轴上; (2) 焦距是10，虚轴长是8,焦点在y 轴上. 5 ，且与椭圆 —1 - 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程. 3 40 15 5.已知F 1 , F 2是双曲线的两个焦点， 以线段F 1F 2为边作正 MF 1F 2，若边MR 的中点在此 双曲线上，求此双曲线的离心率. 第9课时双曲线的几何性质(1) 【基础训练】 2 2 1?双曲线— y 1的焦点坐标为 49 25 2 2 2?双曲线— 1的两条渐近线的方程 16 9 3?等轴双曲线的中心在原点， 它的一个焦点为F(0，2(2)则双曲线的标准方程是 ______________ 4?双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 3?已知双曲线的两条渐近线的方程是 y 方程. 4 -x ，焦点为(5,0), (5,0)，求此双曲线的标准 3 4.双曲线的离心率为
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
圆的方程 ——最值问题（学案） 【学习目标】 1.掌握圆外一点与圆上动点的距离的最值问题的处理方法； 2.掌握圆上一动点到直线的距离的最值问题的处理方法； 3.理解数形结合思想与转化思想是解决最值问题的基本思想。 【学习重点】 1.圆上动点到圆外一点的距离的最值问题； 2.圆上动点到直线的距离的最值问题； 3.切线长最短问题。 【学习难点】 1.培养运用运动变化的观点解决问题的能力； 2.培养转化与化归的数学思想解决问题的能力。 【学习过程】 一．自拟提纲，自主复习 任务一：回顾并默写初中判断直线和圆的位置关系的方法； 任务二：回顾并罗列教材§4.1.1“圆的标准方程”的重要公式和结论；任务三：回顾并罗列教材§4.1.1“圆的标准方程”的重要思想和方法。 二．自主学习，讨论交流 1.讨论题组1： （1）判断点A（4,2），B（1,1）是否为圆C：(x-3)2+y2=5上的点？
（2）在（1）条件下，求A 、B 两点到原点的距离，它们是圆C 上所有点中到原点距离最近或最远的点吗？如果不是，请找出圆C 上到原点距离最近和最远的点，写出它们的坐标。 （3）已知实数x,y 满足方程(x-3)2+y 2=3，试求22y x 的最大值和最小值。 2.讨论题组2： （1）求圆C ：(x-1)2+(y-1)2=2的圆心到直线l ：x-y+3=0的距离。 （2）在（1）条件下，分别求圆C 上的点（0,0）和（0,2）到直线l 的距离。它们是圆C 上所有点中到直线l 距离最近或最远的点吗？如果不是，请探讨如何求出圆C 上的点到直线l 距离的最小值和最大值。
（3）已知圆C ：(x-4)2+(y-3)2=1和点A(-1,0)，B(1,0)，点P 在圆C 上，求△PAB 面积的最大值和最小值。 变式练习： 1.若实数x,y 满足(x+2)2+(y-1)2=9，则22y x +的最大值是（ ） A.35+ B.1456+ C.5-3 D.56-14 2.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是（ ） A. 2 B.21+ C.2 21+ D.221+ 3. 由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y 2=1引切线，试求切线长的最小值。 三．课后思考，能力提升 例题：若x 2+y 2=4，则x-y 的最大值和最小值分别是_______________。
《参数方程和普通方程的互化》导学案3 1. 了解参数方程化为普通方程的意义. 2 ?理解参数方程与普通方程的互相转化与应用. 课标解读 3 .掌握参数方程化为普通方程的方法 知识梳理 参数方程与普通方程的互化 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式?一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程, |x= f t 求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数 i y= g t 方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致. 思考探究 普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参 数不同，那么所得的参数方程的形式也不同 课堂互动 |x= a+1 cos 0 , 例题1在方程y= ?+ t sin 0, （a，b为正常数）中， (1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?
非零常数时，利用平方关系消参数 0，化成普通方程，进而判定曲线形状. x = a + t cos 0 , ① 【自主解答】 方程* (a , b 是正常数)， |y = b + t sin 0 , ② (1) ①x sin 0 —②x cos 0 得 x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0. ■/ cos 0、sin 0不同时为零， ???方程表示一条直线. (2) ( i )当t 为非零常数时， 即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆. (ii)当t = 0时，表示点(a , b ). 1?消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程， 关键是消去参数，如果参数方程是整式方程， 常用的消元法 有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要 做必要的变形?另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e — x )2 2 x —x 2 1 — k 2 2k 2 -(e -e ) =4,("+ E=1 等. 2?把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线. 将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状: x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n ); |y = 2s in 0 r 4 4 x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2 ( 0为参数)； |y = 1 — 2sin 0 cos 0 2 2 x — a ③2+④得 —cos 0， —sin 0 . 2 y — b 2 ■=1, ④ 「X — a I t 原方程组为\ ￥
第14课时曲线与方程 【学习目标】 1?了解曲线方程的概念 2 ?能根据曲线方程的概念解决一些简单问题 【问题情境】 前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线，例如直线的方程，圆的方程以及圆锥曲线 的方程，那么什么是曲线的方程？ 1、曲线的方程，方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一 个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是___________________ ? (2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ，那么，方程f (x, y)=0叫做曲 线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线. 1.点与曲线 如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 ? 【合作探究】 问题1:观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？
问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ . 问题4?至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .
例1?判断下列结论的对错，并说明理由： (1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2; (3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k. 例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上； (2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值. 例3.设圆C： (x 1)2y2 1，过原点0作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹 方程. 变式：过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点，交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4?已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直 y 平分线为y轴，建立直角坐标系x O y (如图)，求圆拱的方程.*
《双曲线的参数方程》教学案2 一、教学目标 (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 (3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、教学重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、教学指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、教学过程 （阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程 1双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 2双曲线)0,0(122 22>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题 、 的轨迹方程。 ，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o A M
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
2.1.1 曲线与方程（1） 【学习目标】 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 【重点难点】 重点:曲线的方程、方程的曲线 难点：求曲线的方程． 【学习过程】 一、自主预习 （预习教材理P 34~ P 36，找出疑惑之处） 复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象． 复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、合作探究 归纳展示 探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？ 三、讨论交流 点拨提升 曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之
间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 四、学能展示 课堂闯关 ※ 典型例题 例1. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？ 例2.设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．
参数方程的概念学案 第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静 【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义； 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 【学习重点】曲线参数方程的定义及求法 【学习难点】曲线参数方程的探求。 一、【课前预习】 引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？ 思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方 程进行比较，体会参数方程的作用。 二、【新知探究】 1、参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ??? ，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、【预习检测】 1、曲线2 1,(43x t t y t ?=+?=-? 为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16 D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=? 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22 D 、（1，0）
2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM | (2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2 ? + = 2 课题：参数方程与普通方程的互化 【学习目标】 1. 进一步理解参数方程的概念及参数的意义。 2. 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型 3. 能选择适当的参数将普通方程化成参数方程 【重点、难点】 参数方程和普通方程的等价互化。 自主学习案 【问题导学】阅读课本 P24—P26，然后完成下列问题： 1. 参数方程的概念 (1) 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数t ? x = f (t ) 的函数? y = g (t ) (t ∈ D ) , 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 ，联系变数 x 、 y 的变数 t 叫做 ，简称 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F (x , y ) = 0 叫做 。 (2) 是联系变数 x,y 的桥梁，可以是一个有 意义或 意义的 变数，也可以是 的变数。 2、 （ 1） 圆 心 在 原 点 O ， 半 径 为 r 的 圆 的 一 个 参 数 方 程 是 ； （2）圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的一个参数方程是 . 3、指出下面的方程各表示什么样的曲线： （1）2x+y+1=0 表示 (2) y = 3x 2 + 2x +1 表示 2 (3) x y 1表示 9 4 t ? (4) ?x = cos + 3(为参数) 表示 ? y = sin 【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ ?x = t +1 ?x = 2 c os 1、? y = 1- 2t （t 为参数） 2、? y = sin （为参数） ? ? 思考： 1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？ 2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？ 合作探究案 考向一、参数方程化普通方程 例 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 （1） ??x = ? + 1 ?x = sin + cos （t 为参数） （2） ? y = 1 + sin 2 （为参数） ?? y = 1 - 2 ? 小结： t 3.4.1 曲线与方程 学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。 学习重点：曲线与方程的一一对应关系。 学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。 学习过程： 一、复习： 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。 一、新旧知识连接： 复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。 二、我能自学： 1.认识角的概念： 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系 （1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程 曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程 三、巩固训练 1．22 :(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程 (1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上. 2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？ 3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1 例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程 f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( ) (A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件 2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨 迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。 《直线的参数方程》导学案 紫云民族高级中学高二数学组 学习目标： 1、了解直线的参数方程及参数的的意义 2、能选取适当的参数，求直线的参数方程 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 一、回忆旧知，做好铺垫 1.→a 与→b 共线向量的充要条件是什么？________________________ 2.直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 3.什么是单位向量？________________________ 4.斜率存在且为k 的直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 5.倾斜角为α的直线l 的单位方向向量怎样表示?________________________ 6直线方程的有几种形式？ 二直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为 ??? ??≠2παα 的直线l 的 普通方程是________________________; 合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线l 的参数方程如何建立？ 得出结论：定点 ) ,(000y x M 倾斜角 α直线的参数方程为 观察直线的参数方程，知道那些量可以把直线的参数方程写出来？ 练一练 1.写出满足下列条件直线的参数方程： （1）过点（2,3）倾斜角为4π （2）过点（4,0）倾斜角为32π 知识探究一： 由 t M 0 ,你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何 意义吗？ 知识探究二： 如图所示：请讨论参数t 的符号； 利用t 的几何意义，如何求过M0直线上两点AB 的距离？ 点A,点B 在M0同侧点A,点B 在M0异侧 e 2.4一些常见曲线的参数方程 [对应学生用书P37] [读教材·填要点] 1．摆线的概念 一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线． 2．渐开线的概念 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)摆线的参数方程：??? ?? x ＝a t －sin t ， y ＝a －cos t . (2)圆的渐开线方程： ? ?? ?? x ＝a t ＋t sin t ，y ＝a t －t cos t . [小问题·大思维] 1．摆线的参数方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆滚动时转过的角度． 2．渐开线方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指基圆的半径，参数t 是指OA ―→和x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)． [对应学生用书P38] [例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程． [思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可． [精解详析] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0， 由于a >0， 即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝ 1 k π (k ∈Z )． 又a >0，所以a ＝ 1 k π (k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1 π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ????? x ＝1πt －sin t ， y ＝1π －cos t (t 为参数)． 由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径． 1．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程． 解：x M ＝r ·θ－r ·cos(φ＋θ)－π 2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ? ?? ??φ＋θ－π2＝r [1－cos(φ＋θ)]． 圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程； 2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。 3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理： 1. 关于圆的知识：平面内到的距离等于的点的集合 ．．．．称为圆。 我们把定点称为，定长称为。确定了圆的位置, 确定了圆的大小。 在平面直角坐标系中，已知：圆心为) a A, 半径长为r，圆上的任意一点) (b , x M应该满 (y , MA= 足的关系式？r 2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。 题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程： ①圆心)1 ,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0 ,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。 1 2 圆心坐标 半径 6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________ 总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程： (1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________ (4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。 例1. 判断下列各点是否在以)3,2(-A 为圆心，半径为5的圆上？导学案：参数方程与普通方程的互化(可编辑修改word版)
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