极坐标与参数方程
环节1 明晰高考要求
高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法，考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。 主要考查四类题型:
① 极坐标系中，极坐标的几何意义的应用
真题示例
题 1 (201７年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的
极坐标方程为cos 4ρθ=.
(1) M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (２） 设点A 的极坐标为2,
3π??
??
?
,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值. 【解析】（1）设()00,M ρθ,(),P ρθ,则0OM ρ=,OP ρ=，依题意016ρρ=,00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为()2
224x y -+=()0x ≠.
常规方法:曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ,则4tx y =
16=, 将2
2
4x y x +=(0x ≠），即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=()0x ≠.
(2)连接2AC ,易知2AOC ?为正三角形，OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,
如图,过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大
max 12S AO HB =
?()1
2
AO HC BC =
+2= 别解:设(),B ρθ(0ρ>)，由题意知2OA =,4cos ρθ=，
所以OAB ?的面积1sin 2S OA AOB ρ=?∠4cos sin 3πθθ?
?=?- ??
?
2sin 223πθ?
?
=-
≤+ ?
?
?当12
π
θ=-时,S
取得最大值2, 所以OAB ?
面积的最大值为2+.
题2 （2015年课标Ⅱ文理）选修44-：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1C ：cos sin x t y t α
α
=??
=?,(t 是参数，0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴
为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=，3C
:ρθ=. (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；
(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值．
【解析】（Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为22
20x y y +-=,曲线3C
的直角坐标方程为22
0x y +-=.
联立2
2
22
20
x y y x y ?+-=??+-=??,解得00x y =??=?
或32
x y ?
=????=??
, 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0
和322??
? ???
. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=(ρ∈R ,0ρ≠),其中0απ≤<． 因为A 的极坐标为()2sin ,αα，B
的极坐标为()
,αα，
所以2sin 4sin 3AB πααα??
=-=-
??
?
，当56
π
α=
时,AB 取得最大值，且最大值为4. ② 直角坐标系中,曲线参数方程的直接应用
真题示例
题 1 (2017年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方程为
4,
1,x a t y t =+??
=-? (t 为参数)．
(1） 若1a =-，求C 与l 的交点坐标；
（２) 若C 上的点到l
求a .
【解析】(1）1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2
219
x y +=, 联立方程22
430
1
9x y x y +-=???+=??,解得30x y =??=?或2125
2425x y ?=-????=??
，则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525??- ???. （2)直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ, 则P 到l
距离
d =
=
,其中3
tan 4
?=
. 当40a +≥
即4a ≥-
时，max d ==即917a +=,解得8a =． 当40a +<
即4a <-时,max
d ==解得16a =-. 综上,16a =-或8a =.
题2 （２017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t
y =-+??
?=??(t 为参数)，曲线C 的参数
方程为2
2x s y ?=??=??(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.
【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=,因为P 在曲线C
上，设(
)
2
2,P s ,
故点P 到直线l 的距离
2
24
s d +=
=
，当s
=
,min 5
d =
， 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P
到直线l 的距离取得最小值
5
. ③ 直角坐标系中,直线参数方程的参数t 几何意义的应用
真题示例
题1 【2018全国二卷2２】在直角坐标系
中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为
(为参数). （1)求和的直角坐标方程;
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率．
(1)曲线C 的直角坐标方程为
116
42
2=+y x . 当时，的直角坐标方程为， 当时,的直角坐标方程为.
(2）将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为,，则．
又由①得α
αα2
21cos 31)
sin cos 2(4++-
=+t t ,故, 于是直线的斜率
xOy C 2cos 4sin x θy θ=??=?
，
θl 1cos 2sin x t αy t α=+??
=+?
，
t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=?+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-
题2【２018全国三卷2２】在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线与交于两点.
（1）求的取值范围；
(２)求中点的轨迹的参数方程． （1)
的直角坐标方程为．
当时,与交于两点． 当时，记,则的方程为
与交于两点当且仅当，解得或,即或. 综上,的取值范围是
． （2）的参数方程为
为参数,． 设，,对应的参数分别为,，,则,且,满足． 于是,.又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数,． ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决
真题示例
题5 【201８全国一卷2２】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||
2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2
2cos 30ρρθ+-=. （１)求2C 的直角坐标方程；
xOy O ⊙cos sin x y θθ
=??
=?，
θ(0
，
αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y
+=2
απ
=
l O 2απ≠
tan k α=l y kx =-l
O ||1<1k <-1k
>(,)4
2
αππ
∈(,
)24
απ3π
∈α(,
)44
π3π
l cos ,
(sin x t t y t αα
=???
=??44απ3π<<)A B P A t B t P t 2
A B
P t t t +=
A t
B t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)x y cos ,
sin .P P
x t y t αα=???=??P 2,2cos 222x y αα
?=
???
?=--??
(α44απ3π<<)
（2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.
（１)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为2
2
(1)4x y ++=．
（2)由(1）知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆．
由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l .由于
B 在圆2
C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．
当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2
2=，故43k =-或0k =．
经检验，当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4
3
k =-
时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点. 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2,
2=,故0k =或43k =.
经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =时,2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4
||23
y x =-
+. 题6 (２0１7年深圳二模)已知直线l 的参数方程是)(242222
是参数t t y t x ???
???
?+==
,圆Ｃ的极坐标方程为)4
cos(2π
θρ+
=．
(1)求圆心C 的直角坐标;
(2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值． 解析:（I ）θθρsin 2cos 2-= ,
θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………(3分)
即1)22()22(22=++-
y x ，)2
2,22(-∴圆心直角坐标为.…………（５分） (ＩI ）方法1:直线l 上的点向圆C 引切线长是
6224)4(4081)242
222()2222(
2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分) ∴直线l 上的点向圆Ｃ引的切线长的最小值是62 …………（10分）
方法２：024=+-∴y x l 的普通方程为直线, …………（8分)
圆心C 到l 直线距离是
52
|242222|
=++,
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-
环节2 问题自主解决 １回归教材
题组１ 人教A 版选修4-４ P12 课本习题编选:
题1 在极坐标系中，132511(4,),(4,),(4,),(4,)6666ππππ
-表示的点有什么关系?你是如何刻画这些点的
位置的？
题２已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,),()4322ππππ，求它们的直角坐标
题3
已知点的直角坐标分别为7
),(,0),(2,2
--,求它们的极坐标 问题自主探索：
① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么？ ② 极坐标的几何意义是什么?
题组２人教A 版选修4－４ Ｐ1５ 课本习题编选：
题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？ (1)5ρ= （2）5()6
R π
θρ=
∈ （3)2sin ρθ= （４
)sin()124πρθ-= (5)2sin cos ρθθ= (6）2cos 24ρθ= 题2 将下列直角坐标方程化成极坐标方程
(1)4x = (２）2320x y +-= (
３）2
2
(1)(4x y -+= (４)22
148
x y +
= 题３ 在极坐标系中,求适合下列条件的曲线的极坐标方程
(1）过极点，倾斜角是3
π
的直线 (2)圆心在(1,)4π，半径为１的圆
(3）过点(2,)3π
，且和极轴垂直的直线 (4
）过点)4π，且与2320x y +-=垂直的直线
题４ 设点P 的极坐标为11(,)ρθ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程
题 5 已知椭圆的中心为O ，长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>，,A B 分别为椭圆上的两点,并且
OA OB ⊥，求证:2
2
11OA
OB
+
为定值
问题自主探索：
① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么?
② 求解曲线极坐标方程,你是怎么处理的？它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗? ③ 极坐标的几何意义是如何应用的？
题组3 人教A 版选修4-４ P25－34 课本例题编选
题1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线
（
1)1
1x y ?=??=-??t 为参数） (2） sin cos 1sin 2x y θθθ=+??=+?（θ为参数)
题2把下列普通方程化为参数方程,并说明它们各表示什么曲线
(1）2
2
(1)(2)4x y -+-= (2)22
1169
x y +
=
题3 在椭圆22
194
x y +
=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小,并求出最小距离。
题3 （选讲）已知椭圆22
221x y a b
+=上任意一点M （除短轴两端点外)与短轴两端点12,B B 的连线分别
与x 轴交于,P Q 两点，O 为椭圆的中心，求证:OP OQ 为定值
问题自主探索：
① 用参数表达曲线的普通方程,意义何在？通过消参得到普通方程需要注意什么? ② 常见圆锥曲线的参数方程怎么表达？
③ 比较用圆锥曲线参数方程与几何通法解决问题，优劣势在哪里? 题组4 人教A 版选修４－4 P ３6-3７ 课本例１例2
题1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积。
题 2 经过点(2,1)M 作直线,l 与交椭圆22
1164
x y +
=于,A B 两点,如果M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程
问题自主探索:
① 直线参数方程如何求解?标准的直线参数方程指的是什么?
② 参数t 的几何意义是什么?怎么证明？是不是所有直线参数方程t 都具备几何意义? ③ 参数t 的几何意义如何应用？
④ 比较用直线参数方程与几何通法解决问题,优劣势在哪里? 2高考真题精编
题 1 (2０17年全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2x t
y kt
=+??
=?(t 为参数),直线2l 的参数方程为
2x m m y k =-+??
?
=??
(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (１） 写出C 的普通方程；
（２） 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(
)cos sin 0ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.
【解析】（１)将参数方程转化为一般方程,得1l :()2y k x =-…① 2l :()1
2y x k
=+…② ①?②消k 可得2
2
4x y -=，即P 的轨迹方程为2
2
4x y -=. ⑵将参数方程转化为一般方程3l
:0x y +=…③
联立220
4
x y x y ?+=??
-=??，消去y
得6=,
解得x =
所以M
的坐标为2
2??
- ? ???,
所以ρ==M
. 题2 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ２ｃｏs2θ=8,曲线Ｃ２的极坐标方程为,曲线C 1、C 2相交于
A 、
B 两点．（p ∈R ）
（Ⅰ)求A 、B 两点的极坐标;
(Ⅱ）曲线C 1与直线(t 为参数)分别相交于Ｍ，N 两点，求线段ＭＮ的长度.
【解答】解:(Ⅰ)由得:,
∴ρ2＝16, 即ρ＝±4．
∴Ａ、B 两点的极坐标为：
或
．
（Ⅱ）由曲线C １的极坐标方程ρ2ｃos2θ=8化为ρ2（cos 2θ﹣s ｉn 2θ)=８， 得到普通方程为x 2﹣y 2＝８.
将直线代入ｘ2﹣y 2
=8，
整理得．
∴｜MN|=
＝．
题3.(2０１5年湖南理)已知直线l
:512
x y t ?=+????=??(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
(Ⅰ) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ） 设点M
的直角坐标为(,直线l 与曲线C 的交点为,A B ,求MA MB ?的值． 【解析】(Ⅰ) 2cos ρθ=即2
2cos ρρθ=，即2
2
2x y x +=,所以曲线C ：2
2
20x y x +-=．
(Ⅱ)将直线l
:5212
x y t
?=+????=??代入曲线C
中可得2180t ++=,设这个方程的两个实数根分别为12
,t t ,则1218MA MB t t ?==.
题4选修44-:坐标系与参数方程选讲(20１6年全国Ⅲ理）
在直角坐标系xOy 中,曲线1C
的参数方程为sin x y θ
θ
?=??=??(θ为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为
极轴,建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为sin 4πρθ??
+
= ??
?
（Ⅰ） 写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
(Ⅱ） 设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
【解析】(Ⅰ）1C 的普通方程为2
213
x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (Ⅱ)依题意,
设)
,sin P
αα,因为2C 是直线,所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离d
的最小值，
23d πα?
?=
=+- ??
?，
当且仅当26
k π
απ=+
(k ∈Z )时，d
,此时P 的直角坐标为31,22??
???
. 环节3 经典考题选讲
题１ 在极坐标系中，极点为坐标原点O ,已知圆C
的圆心坐标为4C π?
??
,
，直线l
的极坐标方程为sin()4
2
πρθ+=.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）若圆C 和直线l 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.