第6章 恒定磁场
1． 空间某点的磁感应强度B
的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？
（ C ）
（A ）小磁针北（N ）极在该点的指向；
（B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向；
（D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。
2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ）
（A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理
??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ）
a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数；
b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数；
c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内；
d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。
4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ）
（A ）Φ增大，B 也增大；
（B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变； （D ）Φ不变，B 增大。
5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ）
（A ）0； （B ）R I 2/0μ；
（C ）R I 2/20μ； （D ）R I /0μ。
6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ）
A 、等于零
B 、不一定等于零
C 、为μ0I
D 、为
i n
i q 1
1
=∑ε
7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，
磁感应强度应变为（B ）
A 、
B /2 B 、2B
C 、B
D 、–B
8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m
，
I
导线在磁场中的长度为L ，当水平导线内通有电流I 时，细线的张力大小为 ( A )
（A ）22)()(mg BIL +； （B ）2
2)()(mg BIL -； （C ）2
2)()1.0(mg BIL +； （D ）22)()(mg BIL +。
9 洛仑兹力可以 ( B )
（A ）改变带电粒子的速率； （B ）改变带电粒子的动量； （C ）对带电粒子作功； （D ）增加带电粒子的动能。
3． 如图所示，两种形状的载流线圈中的电流强度相同，则O 1、O 2处的磁感应强度大小关系是 ( A ) （A ）21O O B B <；（B ）21O O B B >；
（C ）21O O B B =；（D ）无法判断。
5． 一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，若这两个圆柱面的半径分别为R 1和R 2（R 1 通有等值反向电流，那么下列哪幅图正确反映了电流产生的磁感应强度随径向距离的变化关系？ （ C ） （A ） （C ） （D ） 6． 在同一平面上依次有a 、b 、c 三根等距离平行放置的长直导线，通有同方向的电流依次为1A 、2A 、3A ，它们所受力的大小依次为F a 、F b 、F c ，则F b /F c 为 ( B ) （A ）4/9； （B ）8/15； （C ）8/9； （D ）1。 7．.在无限长载流直导线AB 的一侧，放着一可以自由运动的矩形载流导线框，电流方向如图，则导线框将（ ） （A ）导线框向AB 靠近，同时转动（B ）导线框仅向AB 平动（C ）导线框离开AB ，同时转动（D ）导线框仅平动离开AB 答：B 9．在均匀磁场中，放置一个正方形的载流线圈使其每边受到的磁力的大小都相同的方法有（ ） （A ）无论怎么放都可以；（B ）使线圈的法线与磁场平行；（C ）使线圈的法线与磁场垂直；（D ）（B ）和（C ）两种方法都可以 答：B 15．一平面载流线圈置于均匀磁场中，下列说法正确的是（ ） （A ）只有正方形的平面载流线圈，外磁场的合力才为零。 （B ）只有圆形的平面载流线圈，外磁场的合力才为零。 （C ）任意形状的平面载流线圈，外磁场的合力和力矩一定为零 （D ）任意形状的平面载流线圈，外磁场的合力一定为零，但力矩不一定为零。 答：D B r 12R 1 12R 12R 1． 如图所示，均匀磁场的磁感应强度为B =0.2T ，方向沿x 轴正方向，则通过abod 面的磁通量为_____、0.024Wb ____，通过befo 面的磁通量为_____0_____，通过aefd 面的磁通量为___0.024Wb ____。 2． 真空中一载有电流I 的长直螺线管，单位长度的线圈匝数为n ，管内中段部分的磁感应强度为____nI 0μ____，端点部分的磁感应强度为______ nI 02 1 μ____。 3． 如图所示，两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为I 1和I 2。则 =??1 L l d B ____)(120I I -μ________，=??2 L l d B ____)(120I I +μ______。 17． 如图所示，ABCD 是无限长导线，通以电流I ，BC 段被弯成半径为R 的半圆环，CD 段垂直于半圆环所在的平面，AB 的沿长线通过圆心O 和C 点。则圆心O 处的磁感应强度大小为______ 20)1 (14π μ+R I _________，方向 _________________。 18．一段导线先弯成图（a ）所示形状，然后将同样长的导线再弯成图（b ）所示形状。在导线通以电流I 后，求两个图形中P 点的磁感应强度之比。 （a ） （b ） 解：图中（a ）可分解为5段电流。 处于同一直线的两段电流对P 点的磁感应强度为零，其他三段在P 点的磁感应强度方向相同。 长为l 的两段在P 点的磁感应强度为 l I B πμ4201= （2分） 30 1 长为2l 的一段在P 点的磁感应强度为 l I B πμ4202= （2分） 所以 l I B B B πμ22012= += （2分） 图（b ）中可分解为3段电流。 处于同一直线的两段电流对P 点的磁感应强度为零，半圆弧在P 点的磁感应强度为 l I B 1602 πμ=' 所以 l I B B 1602πμ= ' =' （2分） 两个图形中P 点的磁感应强度之比 2 2 8π= 'B B （2分） 19．一长直导线ABCDE ，通有电流I ，中部一段弯成圆弧形，半径为a ,求圆心处的磁感强度。 解：载流导线BCD 段在O 点产生的磁感强度 ??=== 230 020201644π μθπ μπμa I a Iad r Idl B 方向垂直纸面向里。 （3分） AB 段在O 点产生的磁感强度 0221(sin sin )4I B d μββπ=- 式中32πβ-=,21πβ-=,0 cos 602a d a ==，代入得 02(1)2I B a μπ=+ 方向垂直纸面向里。 （2分） DE 段在O 点产生的磁感强度)sin (sin 4' 1'203ββπμ-=d I B 式中3'1πβ=，2' 2πβ=，代入得 )231(203-=a I B πμ 方向也是方向垂直纸面向里。 （2分） 整个载流导线在O 点产生的磁感强度 a I a I a I B B B B 00032121.0)23 1(22 6μπμμ=-+= ++= 方向垂直纸面向里 （3分） 20．一正方形载流线图，边长为a ,通以电流I 。试求在正方形线圈上距中心为x 的任一点的磁感强度。 解：导线AB 在P 点处产生的磁感强度 []βπμββπμsin 2)sin(sin 40 0001r I r I B =--= （2分） 由图可知 ,)2 (22 0a x r +=2 2)2 (2sin 2 22 2a x a a x a + = += β 所以 2 2 4 22 22 201a x a a x I B + ?+ = πμ （2分） 方向如图所示。正方形四条边在P 点处产生的磁感强度大小相等，但方向不同。由于四条边对于x 轴是对称的，所以磁感强度在垂直于x 轴的分矢量各自相消，只有在x 方向上相互加强。于是，AB 段在P 点处产生的磁感强度的x 分量 2 )4(8)2 (22 24 2sin 2 22 22 02 22 22 2011a x a x Ia a x a a x a a x I B B x ++ =+? + ? + = =πμπμθ （3分） 整个正方形线圈在P 点处的磁感强度 2 )4(8442 22 22 01a x a x Ia B B x ++ = =πμ 方向沿x 轴正向。 （3分） 21．A 和B 为两个正交放置的圆形线圈，其圆心相重合。A 线圈半径m R A 2.0=，10=A N 匝，通有电流A I A 10=；B 线圈半径m R B 1.0=，20=B N 匝，通有电流A I B 5=。求两线圈公共中心处的磁感应强度。 解：两线圈在各自圆心处的磁感应强度分别为 T R I N B A A A A 401014.32-?== μ （3分） T R I N B B B B B 401028.62-?==μ （3分） 两线圈在各自圆心处的磁感应强度相互垂直，所以在公共中心处的磁感应强度大小为 T B B B B A 42 21002.7-?=+= （3分） B 与B B 的夹角为 ?==56.26arctan B A B B α （1分） 22 宽为b 的无限长平面导体薄板，通过电流为I ，电流沿板宽度方向均匀分布，求：（1）在薄板平面内，离板的一边距离为b 的M 点处的磁感应强度；（2）通过板的中线并与板面垂直的直线上的一点N 处的磁感应强度，N 点到板面的距离为x 。 解：建立如图所示的坐标系，在导体上取 宽度为d y 窄条作为电流元，其电流为 y b I I d d = （1）电流元在M 点的磁感强度大小为 y b y b I y b I B d )5.1(2) 5.1(2d d 00-= -= πμπμ 方向如图所示 M 点的磁感强度大小为 2ln 2d )5.1(2d 022 0b I y b y b I B B b b πμπμ= -==??- 磁感强度方向沿x 轴负方向。 （2）电流元在N 点的磁感强度大小为 y y x b I y x I B d 22d d 2 2 02 2 0+= += πμπμ 根据电流分布的对称性，N 点的总的磁感强度沿y 由方向。 N 点的磁感强度大小为 x b arctg b I y y x b I y x x B y x x B B b b y 2d 2d d 022 2 2 02 2 2 2 πμπμ= ++== +==?? ??- 磁感强度方向沿y 轴正方向。 23． 两根长直导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点，并与很远的电源相连，如图所示，求环中心O 的磁感应强度。 解：设两段铁环的电阻分别为R 1和R 2，则 通过这两段铁环的电流分别为 2121R R R I I +=，2 11 2R R R I I += 两段铁环的电流在O 点处激发的磁感强度大小分别为 πθμπθμ22221 21201101R R R R I R I B += = π θμπθμ22222 2110 2202R R R R I R I B +== 根据电阻定律S r S l R θ ρρ==可知 2 121θθ=R R 所以 21B B = O 点处的磁感强度大小为 021=-=B B B 24． 一个塑料圆盘，半径为R ，电荷q 均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω。求圆盘中心处的磁感应强度。 解：在圆盘上取半径为r 、宽度为d r 的同心圆环， 其带电量为 r r R q q d 2d 2 ππ= 圆环上的电流为 I r r R q r r R q T r r R q t q I d 2d 2d 2d d d 2 22πω ω ππππ==== d I 在圆心处激发的磁感强度大小为 r R q r r R q r r I B d 2d 22d d 20200πωμπωμμ== = 圆盘中心处的磁感强度大小 R q r R q B B R πω μπωμ2d 2d 00 2 0===? ? 方向垂直于纸面。 25．一多层密绕螺线管，内半径为1R ，外半径为长为2R ，长为l ，如图所示。设总匝数为N ，导线中通过的电流为I 。试求这螺线管中心O 点的磁感强度。 解 在螺线管中取一原为dr 的密绕导线薄层,由螺线管磁场计算公式，得该薄层在其中心O 点的磁感强度 θμθθμcos )cos (cos 2 0120 ni ni dB =-= （3分） 其中n 为单位长度的匝数，则有 dr l R R N n )(12-=，2 2)2 (2cos l r l += θ 代入得 2 2 120 2 2 120 ) 2 () (2) 2 (2)(l r dr R R NI l r l dr l R R NI dB +-=+-=μμ （3分） 整个螺线管在O 点产生的磁感强度 2 2112 2 22120221 20)2 ()2(ln )(2)2()(221l R R l R R R R NI l r dr R R NI dB B R R ++++-=+-==??μμ （3分） 26．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R ，绕其轴线匀速转动，角速度为w 试求： （1）圆柱体内距轴线r 处的磁感强度 （2）两端面中心处的磁感强度 解 （1）体内均匀带电的长直圆柱体以角速度w 旋转时，等效为一个多层的同轴密绕螺线管。 在管外，r>R 处，B=0。在管内距轴线r 处，作如图所示的积分回路，由安培环路定理得 I dl ?=??0 μB （2分） 而π ρπ2)(2 2w l r R I ?-=?，代入得 )(2 1 220r R w B -= ρμ （2分） 将r=0代入，得中心轴线的磁感强度 202 1 R w B ρμ= （3分） （2）端面中心处的磁感强度为中心轴线处的一半，即2 041R w B ρμ= （3分） 27一长直圆柱状导体，半径为R ，其中通有电流I ，并且在其横截面上电流密度均匀分布。求导体内、外磁感应强度的分布。 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路 ∑?==?I rB l B L 0π2d μ 3分 当R r ≥ ∑I =I r I B π2 0μ= ∴ 3分 当R r ≤ ∑I =22 R Ir d 22 0R Ir l B r μ=?∴? 20π2 R Ir B μ= 28．一无限大均匀载流平面置于外磁场中，左侧的磁感强度为1B ，右侧的磁感强度为123B B =，方向如图12-19所示。试求： （1）载流平面上的面电流密度； （2）外磁场的磁感强度0B 解（1）作闭合回路abcda,由安培环路定理得 l j l B B l B l B dl ?=?-=?-?=??011 1 2 )3(μB （2分） 所以0 1 2μB j = 方向垂直纸面向外。 （2分） （2）面电流产生的磁场，在右边磁感强度的方向沿z 轴正向，左边沿z 轴负向，量值是j B 0' 2 1 μ=。 （1分） 设外磁场为k j i B z y x B B B 0000++=，由场强叠加原理：'02B B B +=，即 jk k j i k 000012 1 3μ+ ++=z y x B B B B （2分） 所以00=x B ，00=y B ，10 101022213B B B B z =-=μμk 即102B B = 方向沿z 轴正向。 （3分） 29一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱和一同轴的圆筒组成，设圆柱的半径为1R ，圆筒的内外半径为2R 和3R 。 在这两个导体中，有大小相等而方向相反的电流I 流过，如图。试求电缆产生的磁场磁感强度的分布,并用图形表示。 解： 在电缆的横截面内，以圆柱的轴为圆心，作不同半径的圆为环路。利用安培环路定理，可求得不同场点的磁感强度。 （1）当1R r <时，有 I R r r B l d B ? =?=?2 12 02ππμπ ， 2102R Ir B πμ= （2分） （2）当21R r R <<时，有 I r B l d B ?=?=?02μπ ，r I B πμ20= （2分） （3）当32R r R <<时 [] ??? ??? ?---=?=?I R R R r I r B l d B 2 2232220)(2ππμπ ， 2 2 232 2302R R r R r I B --=πμ （2分） （4）当3R r >时 ?=-=?=?0)(20I I r B l d B μπ ，0=B （2分） B-r 的关系如图所示。 （2分） 30．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体通过等值，反向的电流I ，电流在两个阴影所示的横截面内均匀分布。设两个导体横截面的面知皆为S ，两圆柱轴线间距为d 。试求两导体中部分交叠部分的磁感强度。 012I R μπ02 2I R μπ 解：初看起来，导体中的电流不具有柱对称性。但是若将两载流导体视为电流密度 S I 的圆柱体，由于其电流方向相反，则重叠部分的磁感强度可视为两个长直截流的完整圆柱体在场点的磁感强度的叠加。每个长直圆柱电流B 的磁场则分别具有对称性，并可用安培环路定理求得，因此 102110122r S I r S I r B μππμ== （2分） 202220222r S I r S I r B μππμ== （2分） 取垂直纸面向外的单位矢量为k 、d 沿1O 2O 指向2O ，则 1012r k S I B ?=μ， 202)(2r k S I B ?-=μ （2分） d k S I r r k S I B B B ?=-?=+=2)(2021021μμ （2分） 上式说明重叠部分空间的磁感强度与场点无关，即均匀分布的，其方向垂直1O 2O 向上，数值为 S Id 20μ.。 （2分） 31一橡皮传输带以速度v 匀速运动，如图所示。橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ，试求橡皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度。 解 由于所述场点位于传输带中部极靠近带平面，因此，相对于该场点，带有电荷的传输带可以视为无限大电流平板，电流线密度 σv j = （3分） 取如图所示的回路abcd ，由安培环路定理 ?==+=?lj I Bl Bl l d B 00μμ （3分） 所以 v B σμ02 1 = （2分） 设带电荷平面法线方向的单位矢量为n e ，则B 可表示为 n e v B ?=σμ02 1 （2分） 32．在半径为a 的金属长圆柱体内挖去一半径为b 的圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d,如图所示。今有电流I 沿轴线方向流动，且均匀分布在柱体的截面上。试求空心部分中的磁感强度。 解 圆柱中挖去了一部分后使电流的分布失去对称性。因此采用“补偿法”。将挖去部分认为同时存在电流密度为j 和j -的电流，这样，空心部分任一点的磁场B 可以看成由半径为a ，电流密度j 的长圆柱体 产生的磁场1B 和半径为b 、电流密度为j -的长圆柱体产生的磁场2B 的矢量和，即 21B B B += （2分） 由安培环路定理可求得 rj B 201μ= ，j r B '0 22 μ= （3分） 式中r 和' r 分别为由两圆柱体轴线到空心部分任一点P 的径矢。注意到1B 与1r 垂直，2B 与2r 垂直，可得 4)(2424)(4)(cos 22' 22 '22'2 02'020212 221dj rr d r r j rr j rr rj B B B B B μμμμθ=-+?-+=-+= （2分） 由于圆柱体剩余部分中的电流密度) (22b a I j -= π,代入得 ) (22 2 0b a Id B -= πμ （2分） 由几何关系可以得到，B 的方向与两轴线的连线相垂直，故此空心部分内为均匀磁场。 （1分） 33．如图所示的长空心柱形导体半径分别为1R 和2R ，导体内载有电流I ，设电流均匀分布在导体的横截 面上。求 （1）导体内部各点的磁感应强度。 （2）导体内壁和外壁上各点的磁感应强度。 解：导体横截面的电流密度为 ) (2 122R R I -= πδ （2分） 在P 点作半径为r 的圆周，作为安培环路。 由?∑=?I l d B 0μ 得 21 22 212021 2 0) ()(2R R R r I R r r B --= -=μδπμπ （2分） 即 ) (2) (212 22120R R r R r I B --=πμ （2分） 对于导体内壁，1R r =，所以 0=B （2分） 对于导体外壁，2R r =，所以 2 02R I B πμ= （2分） 34．厚度为2d 的无限大导体平板，体电流密度j 沿z 方向，均匀流过导体，求导体内外的磁感应强度。（10分） 解：厚为2d 的无限大导体平板其磁场的对称性特点与无限大平面相似，建坐标系OXYZ ，O 在板的中部，以O 1O 2为对称轴取回路ABCD 如图所示。 O 1A=O 1D=O 2B=O 2C ，AB=CD=h （1） 当O 1A>d 时，求得的是板外的磁场分布情况由环路定理 ()()分分2jd B ,dh 2j Bh 2,2dh 2j l d B 000L μμμ===?? 。B 为常数， 与距板的远近无关，左右两边分别为匀强磁场，在y>0的空间，B 的方向指向X 轴负方向，在y<0的空 间，B 的方向指向X 轴正方向 （2） 当O 1A ()jy B ,2yh 2j Bh 2,d y ,yh 2j l d B 000L μμμ==<=??' 分 （2分）。B 的方向：y>0， B 与X 轴正方向相反，y<0，B 与X 轴正方向相同（2分） 35.如图所示，载流直导线ab 段长L ，流有电流2I ，a 点与长直导线相距为d ，长直导线中流有电流I 1， 则段受到的磁力 答： d L d I I +ln 2210πμ 题号：31135009 分值：3分 36．一半径为 4.0 cm 的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T ，磁场的方向与环面法向成60°角．求当圆环中通有电流I =15.8 A 时，圆环所受磁力的大小和方向． 解：设X 轴水平向右，Y 轴竖直向上，原点在圆环的圆心处。 在圆环任取一 元段Idl ，其受力 IdlB B Idl dF =?= （2分） 方向和Y 轴成300 ，偏向Y 轴。 由对称性分析0=X F （2分） N RIB IBdl F F R Y 34.030cos 230cos 0 20 0=== =?ππ （4分） 方向垂直环面向上。（2分） 37． 截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴O O '转动，如图所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度θ而平衡。 求磁感应强度。若S =2mm 2，ρ=8.9g/cm 3 ，θ=15°，I =10A ，磁感应强度大小为多少？ 解：磁场力的力矩为 θθθcos cos cos 2212BIl l BIl Fl M F ===(3分) 重力的力矩为 θ ρθ ρθρsin 2sin 2 1 2sin 22221gSl l gSl l gSl M mg =?+?= （3分） 由平衡条件 mg F M M =，得 θρθsin 2cos 22gSl BIl = （2分） ) (1035.91510 1028.9109.82236 3T tg tg I gS B --?=? ??????==θρ 38． 半径为R =0.1m 的半圆形闭合线圈，载有电流I =10A ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。已知B =0.5T ，求线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）； '' 解： （1）由线圈磁矩公式 B p M m ?= (2分) ) (0785.05 .01.021 1021 sin 22m N B R I B p M m ?=????=??==ππθ （4分） 方向沿直径向上。 39．如图， 一平面线圈由半径为0.2 m 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2 A ，把它放在磁感强度为0.5 T 的均匀磁场中，求： (1) 线圈平面与磁场垂直时(如图)，圆弧AC 段所受的磁力． (2) 线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩． 解：（1）圆弧AC 段所受的磁力和直线AC 的相等，所以 N RIB B I C A F 283.02==??= （4分） 方向与AC 直线垂直 （1分） （2）m N B R I B P M m ??===-202 1057.130sin 4sin πα （4分） 磁力矩M 将驱使线圈法线转向与B 平行 （1分） 40．在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，线圈的长边与长直导线平行，如图所示。若直导线中的电流为A I 201=，矩形线圈中的电流为A I 102=，求矩形线圈所受的磁场力。 解：根据题意，矩形线圈的短边bc 和da 所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边ab 和cd 所受磁场力的合力。 （2分） ab 边所受磁场力的大小为1 2101212r L I I LB I F πμ= = 方向向左 （3分） cd 边所受磁场力的大小为2 21022r L I I F πμ= 方向向右。 （3分） 矩形线圈所受磁场力的合力的大小为 N r r L I I F F F 42 121021103.3)1 1(2-?=-= -=πμ 方向沿水平向左。（2分） 难度系数等级：5 41．一半径为R 的薄圆盘，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，B 的方向与盘面平行，如图所示.圆盘表面的电荷面密度为，若圆盘以角速度绕其轴线转动，试求作用在圆盘上的磁力矩. 分析 带电圆盘绕轴转动形成圆电流，又置于磁场中必受磁力矩作用．圆盘上电荷均匀分布，面密度为，但圆盘绕轴转动时，沿径向电流分布不均匀． B ? 解 在半径为r 处取宽为dr 的细圆环，所带的电荷量为 （1分） 当圆盘以角速度 转动时，细圆环上电荷运动形成圆电流，其电流强度为 （2分） 因此细圆环的磁矩方向沿轴线向上，大小为 （2分） 细圆环的圆电流在外磁场中所受的磁力矩为 （2分） 方向垂直纸面向里．圆盘所受磁力矩为 （2分） 方向垂直纸面向里． （1分） 42 螺绕环中心周长l =10cm ，环上均匀密绕线圈N =200匝，线圈中通有电流I =100mA 。 （1）求管内的磁感应强度B 0和磁场强度H 0； （2）若管内充满相对磁导率r μ=4200的磁性物质，则管内的B 和H 是多少？ （3）磁性物质内由导线中电流产生的0B 和由磁化电流产生的B '各是多少？ 解： （1） )/(2001.01 .02000m A I l N nI H =?== = )(105.220010447000T H B --?=??==πμ （2） )/(2000m A H H == )(05.1105.242004000T B H B r r =??===-μμμ （3） )(105.240T B -?= )(05.10T B B B ≈-=' 43． 在螺绕环上密绕线圈共400匝，环的平均周长是40cm ，当导线内通有电流20A 时，利用冲击电流计测得环内磁感应强度是1.0T 。试计算： （1）磁场强度；（2）磁化强度；（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。 （1） )/(102204 .04004m A I l N nI H ?=?== = （2） )/(1076.710210 40.15 47 m A H B M ?=?-?= -= -πμ （3） 8.38110 21040 .1114 70=-???=-= -=-πμμχH B r m （4） 8.3910 21040 .14 70=???= -πμμH B r )(101.34.01076.755A Ml l I s s ?=??===α 44． 磁导率为1μ的无限长圆柱形导线，半径为R 1，其中均匀地通有电流I ，在导线外包一层磁导率为2μ的圆柱形不导电的磁介质，其外半径为R 2，如图所示。试求 （1）磁场强度和磁感应强度的分布； （2）半径为R 1和R 2处表面上磁化面电流线密度。 解： （1） 由安培环路定理 r I H B r I H R r r I H B r I H R r R r R I H B r R I r R r I H R r πμμππμμππμμππππ2 2 2 2 2 221 0 0222122 111212121===>= == >>====< （2） 2)1( 2)1( 0221221 0111r I H M R r R r R I H M R r m m πμμχπμμχ-==>>-==< ??=?l l d M s α ，l l M M s ?=-α)(12，12M M s -=α 2 002222 1012121 011021211 20 22)1(2)1( R I M R r R I R R I R I M M R r πμμμαπμμμπμμπμμα-- =-==-=---=-== 45 在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显象管的取向使电子水平地由南向北运动。该处地球磁场的竖直分量向下，大小为5 105.5-?T 。问 （1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？ （2）电子的加速度是多少？ （3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm 时将偏移多远？ 解：（1）电子的运动速度为m E k 2= υ，（偏向东）。 （2）电子受到的洛仑兹力大小为 B e f υ= 电子作匀速圆周运动，其加速度大小为 )/(1028.6101.9106.1120002105.5101.9106.122143119 5 3119 s m m E B m e B m e m f a k ?=????? ????= ===-----υ （3）匀速圆周运动半径为 ) (72.6101.9106.1120002105.5106.1101.923119 51931m m E eB m eB m R k =????????== = -----υ 0298.072 .62 .0sin ===R l θ mm m R x 3)(1098.2)0298.011(72.6) cos 1(32≈?≈--?=-=-θ? ?? ? ? ? 第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量 和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ） 增大，B 也增大； （B ） 不变，B 也不变； （C ） 增大，B 不变； （D ） 不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0 ； （C ）R I 2/20 ； （D ）R I /0 。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I 大学物理竞赛指导-经典力学选例 一．质点运动学 基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动 1.运动学中的两类问题 (1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。 例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P ，另一艘船以速率v 自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为： ()()ααcos :cos v v ++u u 设航路均为直线，α为两直线的夹角。 证：设任一时刻船与码头的距离为x 、y ，两船的距离为l ，则有 α c o s 2222xy y x l -+= 对ｔ求导，得 ()()t x y t y x t y y t x x t l l d d c o s 2d d c o s 2d d 2d d 2d d 2αα--+= 将v , =-=t y u t x d d d d 代入上式，并应用0d d =t l 作为求极值的条件，则得 ααcos cos 0yu x y ux +-+-=v v ()()αα c o s c o s u y u x +++-=v v 由此可求得 ααc o s c o s v v ++=u u y x 即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为 ()()αα c o s c o s v : v ++u u (2)已知质点加速度函数a ＝a (x ，v ，t )以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。 例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a 0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为2a 0，经过时间2τ后，加速度为3 a 0 ,…求经过时间n τ后，该质点的速度和走过的距离。 解：设质点的加速度为 a = a 0+α t ∵ t = τ 时， a =2 a 0 ∴ α = a 0 /τ 即 a = a 0+ a 0 t /τ ， 由 a = d v /d t ， 得 d v = a d t t t a a t d )/(d 0 000τ??+=v v ∴ 2002t a t a τ +=v 《大学物理学》恒定磁场部分自主学习材料 要掌握的典型习题： 1． 载流直导线的磁场：已知：真空中I 、1α、2α、x 。 建立坐标系Oxy ，任取电流元I dl v ，这里，dl dy = P 点磁感应强度大小：02 sin 4Idy dB r μα π= ； 方向：垂直纸面向里?。 统一积分变量：cot()cot y x x παα=-=-； 有：2 csc dy x d αα=；sin()r x πα=-。 则： 2022sin sin 4sin x d B I x μαααπα =?21 0sin 4I d x ααμααπ=?012(cos cos )4I x μααπ-=。 ①无限长载流直导线：παα==210，，02I B x μπ=；（也可用安培环路定理直接求出） ②半无限长载流直导线：παπα==212，，04I B x μπ=。 2．圆型电流轴线上的磁场：已知：R 、I ，求轴线上P 点的磁感应强度。 建立坐标系Oxy ：任取电流元Idl v ，P 点磁感应强度大小： 2 04r Idl dB πμ= ；方向如图。 分析对称性、写出分量式： 0B dB ⊥⊥==?r r ；??==20 sin 4r Idl dB B x x α πμ。 统一积分变量：r R =αsin ∴??==20sin 4r Idl dB B x x απμ?=dl r IR 304πμR r IR ππμ2430?=232220)(2x R IR +=μ。 结论：大小为2 022322032()24I R r IR B R x μμππ??= =+；方向满足右手螺旋法则。 ①当x R >>时，2 20033224IR I R B x x μμππ= =??； ②当0x =时，（即电流环环心处的磁感应强度）：00224I I B R R μμππ= = ?； ③对于载流圆弧，若圆心角为θ，则圆弧圆心处的磁感应强度为：04I R B μθπ=。 B v ? R I dl B v 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 故 q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=， dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (42 20R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E z 式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为 20π4R dq dE ε= ?ελ d R 0π4= ，方向沿半径向 外 根据电荷分布的对称性知，0=y E 故 R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。 解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L q dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为 2 02044x dx x dq dE πελπε== ，方向沿x 轴负方向。 大学物理课后习题答案第六章 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z 浙江工业大学学校 204 条目的4类题型式样及交稿式样 热力学第一定律、典型的热力学过程 一. 选择题 题号：20412001 分值：3分 难度系数等级：2 1 如图所示，一定量理想气体从体积V1，膨胀到体积V2分别经历的过程是：A→B等压过程，A→C等温过程；A→D绝热过程，其中吸热量最多的过程 (A) 是A→B. (B) 是A→ C. (C) 是A→D. (D) 既是A→B也是A→C, 两过程吸热一样多。 [ ] 答案：A 题号：20412002 分值：3分 难度系数等级：2 2 质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加一倍．那么气体温度的改变(绝对值)在 (A) 绝热过程中最大，等压过程中最小． (B) 绝热过程中最大，等温过程中最小． (C) 等压过程中最大，绝热过程中最小． (D) 等压过程中最大，等温过程中最小．［］ 答案：D 题号：20412003 分值：3分 难度系数等级：2 V 3 一定量的理想气体，从a 态出发经过①或②过程到达b 态，acb 为等温线(如图)，则①、②两过程中外界对系统传递的热量Q 1、Q 2是 (A) Q 1>0，Q 2>0． (B) Q 1<0，Q 2<0． (C) Q 1>0，Q 2<0． (D) Q 1<0，Q 2>0． ［ ］ 答案：A 题号：20413004 分值：3分 难度系数等级：3 4 一定量的理想气体分别由初态a 经①过程ab 和由初态a ′经 ②过程a ′cb 到达相同的终态b ，如p －T 图所示，则两个过程中 气体从外界吸收的热量 Q 1，Q 2的关系为： (A) Q 1<0，Q 1> Q 2． (B) Q 1>0，Q 1> Q 2． (C) Q 1<0，Q 1< Q 2． (D) Q 1>0，Q 1< Q 2． ［ ］ 答案：B 题号：20412005 分值：3分 难度系数等级：2 5. 理想气体向真空作绝热膨胀． (A) 膨胀后，温度不变，压强减小． (B) 膨胀后，温度降低，压强减小． (C) 膨胀后，温度升高，压强减小． (D) 膨胀后，温度不变，压强不变． ［ ］ 答案：A 题号：20412006 分值：3分 难度系数等级：2 6. 一定量的理想气体，从p －V 图上初态a 经历(1)或(2)过程到达末态b ，已知a 、b 两 态处于同一条绝热线上(图中虚线是绝热线)，则气体在 (A) (1)过程中吸热，(2) 过程中放热． (B) (1)过程中放热，(2) 过程中吸热． (C) 两种过程中都吸热． (D) 两种过程中都放热． ［ ］ 答案：B 题号：20412007 分值：3分 p p p V 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3 2 2 0) (41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z 式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ?+= 2 32 2 0) (4dq R x x E x πε 2 32210)(24R x R x +?= πλπε2 32201)(2R x x R += ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 dq E dF x =dx R x x R 2 3 22021)(2+= ελλ 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 ?=dF F dx R x x R l ?+= 02 3220 21)(ελλ2 ()?? ????+- = 2/1220211 1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为 20π4R dq dE ε= ?ελ d R 0π4= ，方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知，0=y E ??ελ ?d R dE dE x sin π4sin 0= = R d R E x 000 π2sin π4ελ ??ελπ ==? 故 R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 例 有一外半径R1=10 cm ，内半径R2=7 cm 的金属球壳，在球壳中 放一半径R3=5 cm 的同心金属球，若使球壳和球 均带有q=10-8 C 的正电荷，问两球体上的电荷 如何分布？球心电势为多少？ 解：作球形高斯面 例1 把一块相对电容率 r =3的电介质，放在相距d=1 mm 的 两平行带电平板之间. 放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求两板间电介质内的电场强度E ，电极化强度P ，板和电介质的电荷面密度，电介质内的电位移D. 例2 图中是由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成，其间充以相对电容率为 r 的电介质. 设直 导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+和- . 求(1)电介质中的 1 R 2 R 3 R q +q +1R 1 R 2 R 3 R q +q +r 2S r ε d + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - U 电场强度、电位移和极化强度； (2)电介质内外表面的极化电荷 面密度. 例2 圆柱形空气电容器中，空气的击穿场强是Eb=3 106 V·m-1 ，设导体圆筒的外半径R2= 10-2 m . 在空气不被击穿的情况下，长圆柱导体的半径R1 取多大值可使电容器存储能量最多？ 例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为R1和R2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此 电容器贮存的电场能量为多少？ l + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ + +++ --- - 1 R 2 R 1 R 2 R 《大学物理A Ⅰ》恒定磁场习题、答案及解法 一．选择题。 1.边长为a 的一个导体边框上通有电流I ，则此边框中心的磁感应强度【C 】 （A ）正比于2a ； （B ）与a 成正比； （C ）与a 成反比 ； （D ）与2I 有关。 参考答案：()210cos cos 4ββπμ-= a I B a I a I B πμπππμ002243cos 4cos 2 44= ??? ??-?= 2.一弯成直角的载流导线在同一平面内，形状如图1所示，O 到两边无限长导线的距离均为a ，则O 点磁感线强度的大小【B 】 （A) 0 (B)a I π2u )221(0+ （C ）a I u π20 （D ）a I u o π42 参考答案：()210cos cos 4ββπμ-= a I B ??? ? ??+=??? ??-+??? ??-=+=2212cos 4cos 443cos 0cos 400021a I a I a I B B B πμπππμππμ 3．在磁感应强度为B 的均匀磁场中，沿半径为R 的圆周做一如图2所示的任意曲面S ，则通过曲面S 的磁通量为（已知圆面的法线n 与B 成α角）【D 】 （A ）B 2 r π （B ）θπcos r 2B I （C ）θπsin r -2B （D ）θπcos r 2 B - 参考答案：?-=?=ΦS M B r S d B απcos 2 4.两根长直导线通有电流I ，如图3所示，有3个回路，则【D 】 （A ）I B 0a l d μ-=?? （B) I B 0b 2l d μ=?? （C) 0l d =?? c B （D) I B C 02l d μ=?? 参考答案： ?∑==?L n i i I l d B 1 0μ 5.在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线的条数不同，但电流的代数和相同，则由安培环路定理可知【B 】 (A)B 沿闭合回路的线积分相同，回路上各点的磁场分布相同 (B)B 沿闭合回路的线积分相同，回路上各点的磁场分布不同 (C)B 沿闭合回路的线积分相同，回路上各点的磁场分布相同 (D)B 沿闭合回路的线积分不同，回路上各点的磁场分布不同 参考答案： 6.恒定磁场中有一载流圆线圈，若线圈的半径增大一倍，且其中电流减小为原来的一半，磁场强度变为原来的2倍，则该线圈所受的最大磁力矩与原来线圈的最大磁力矩之比为【 C 】 (A)1:1 (B)2:1 (C)4:1 (D)8:1 参考答案： S I m = B m M ?= ()()1 4 2420000000000 max max =??? ??==B S I B S I B S I ISB M M 第六章 真空中的静电场 习题选解 6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ 解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为 题6-1图 2 2 2 2 1004330cos 42r q r q f πεπε=??= 中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为 2 233200434r Qq r Qq f πεπε==??? ? ?? 由12f f =，得 Q =。 6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234 Th 的中心为159.010r m -=?。试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？ 解：（1）由反应 238 234492 902U Th+He → ，可知 α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==? Th 离子带90个单位正电荷，即 1929014410Q e C -==? 它们距离为159.010r m -=? 由库仑定律可得它们之间的相互作用力为： 19199 122152 0 3.21014410(9.010)5124(9.010) Q Q F N r πε---???==??=? （2）α粒子的质量为： 2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=??+?=? 由牛顿第二定律得： 28227512 7.66106.6810 F a m s m α--= ==??? 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。 解：由图可知，第3个电荷与其它各 电荷等距，均为2 2 r m = 。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为 题6-3 图 题6-3 图 N r q q F 22 133 10108.141 -?== πε 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45o 角。 6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-?=，B 点放置点电荷 C q 92108.4-?-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。 解：A 点电荷在C 点产生的场强为 1E ，方向向下 142 11 01108.141 -??== m V r q E πε B 点电荷在C 点产生的场强为2E ，方向向右 142 22 02107.241 -??== m V r q E πε 题7.1：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 3 2的上夸克和两个带e 3 1 -下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10-20 m ），中子内的两个下夸克之间相距2.60?10-15 m 。求它们之间的斥力。 题7.1解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律 r r 2 2 0r 2210N 78.394141 e e e F ===r e r q q πεπε F 与r e 方向相同表明它们之间为斥力。 题7.2：质量为m ，电荷为-e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E k 。证明电子的旋转频率满足 4 2k 202 32me E εν= 其中是0ε真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。 题7.2分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。电子、氢核的大小约为10-15 m ，轨道半径约为10-10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷。点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有 2 2 0241r e r v m πε= 由此出发命题可证。 证：由上述分析可得电子的动能为 r e mv E 2 02k 8121πε= = 电子旋转角速度为 3 02 2 4mr e πεω= 由上述两式消去r ，得 4 3k 20 222 324me E επων= = 题7.3：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl -与其最邻近的八个一价格离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。 题7.3分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。 解：（l ）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故 01=F （2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离 子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力2F 的值为 N 1092.13492 022 0212-?== = a e r q q F πεπε 2F 方向如图所示。 第十一章 恒定电流的磁场 11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。 （1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。 （2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。 … 解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离 为1 3OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应 强度的大小为 012(cos cos )4πBC I B d μββ=- ^ 00(cos30cos150)4π/34πI I h h μ??=-= 方向垂直于纸面向外。 另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的 大小和方向都与BC B 相同。因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即 3BC B B === 方向垂直于纸面向外。 （2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式 012(cos cos )4πI B d μββ=- 可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为 01(cos0cos30)4cos60) I B R μ?= ?-? π(0(12πI R μ= 031(cos150cos180)4πcos60 I B B R μ?== ?- ?0(12πI R μ= 】 I B 2 图11–2 图11–1 … B （a ） A E （b ） 第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 ??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ）Φ增大，B 也增大； （B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变； （D ）Φ不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0μ； （C ）R I 2/20μ； （D ）R I /0μ。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 =∑ε 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I 6-1频率为、?. =1.25 104H Z的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量E =1.90 10N/m2，棒的密度匸=7.6 103Kg/m3.求该纵波的波长. 分析纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。 解：波速u = . E /「，波长，=u / ：. ' - . E / '；、?：= 0.4m 6-2 一横波在沿绳子传播时的波方程为：y = 0.04COS（2.5二t _「:x）（SI） （1）求波的振幅、波速、频率及波长； （2）求绳上的质点振动时的最大速度； ⑶分别画出t=1s和t=2s的波形，并指出波峰和波谷?画出x=1.0m处的质点的振动曲线并 讨论其与波形图的不同? 分析与标准方程比较即可确定其特征参量。 2兀 解：（1）用比较法，由y =0.04COS（2.5二t - 二x）= Acosjt x）得 A=0.04m 、=，/2二-2.5二/2二-1.25H Z 2 ■: ,，=2.0m u = =2.5m/s （2）、m = A = 0.314m/s 题图6-2 （3）t=1（s）时波形方程为：％ = 0.04COS（2.5二-二x） t=2（s）时波形方程为：y2=0.04COS?.-x） x=1（m）处的振动方程为：y = 0.04COS（2.5二t - 二） 6-3 一简谐波沿x轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6- 3所示虚线，若各点的振 动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-n , n ].求各点的初相. o 9j o 分析 由t=T/4时的波形图（图中虚线）和波的传播方向，作出t=0时的波形图。依旋转矢量 法可求t=0时的各点的相位。 解：由t=T/4时的波形图（图中虚线）和波的传播方向，作出 t=0时的波形图（图中实线）,依旋转矢量法可知 质点1的初相为n ； 质点2的初相为n 12; 质点3的初相为0； 质点4的初相为-n /2. 题图6-3 6-4有一平面谐波在空间传播，如题图6-4所示.已知A 点的振动规律为 讨=A cos （ 1 ），就图中给出的四种坐标，分别写出它们波的表达式?并说明这四个表达 式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样 ？ 分析无论何种情况，只需求出任意点 x 与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方 向（只考虑相对于坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。只要把各种情况中 b 的坐标 值分别代入相应的波动方程就可求得 b 点的振动规律。 解：设其波长为入，选o 点处为坐标原点，由方程y = A cos （?t 川：：「） 可得取图中a 所示的坐标，则x 处质点的振动比 A 点滞后△ 2二，故 点,波的表达式在形式上有所不同 但b 点的振动方程却不变.即 x a. y = Acos （. 2窪：：；；「） 同理可得 x 小 b. y = Acos （ t 2：，：；'：） k c. y=Acos （ t _ ~~ 2 ‘ 亠「） x - | d. y = Acos （ t 2 ■亠 '■'） k 要求距A 为b 的点的振动规律,只要 把各种情况中b 的坐标值分别代入相 应的波动方程就可求得?从结果可知 取不 \y —A U X o A b 题图6-4 i v 习 题 六 6-1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建 立坐标系 rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010 30602=== ==?=-m k A k ω 设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos 0=t 时 1.0=x φc o s 1.01.0= 0=φ 故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x = (2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则 ()()x x k x k F +=?=0 其中 m 2.0200 400===k mg x 因而有 ()N 3005.02.0200=-?=F (3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则 ()107.7cos 1.00t = 07.75.01π=t 第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则 ()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322?=πt 故所需最短时间为： s 074.012=-=?t t t 6-2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速 率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知42 1=T s 由于4/2s 8/1,s 81ππνων====-T t=0s t=2s v A B v B t=4s ωφA x 第六章 习题解答（仅供参考） 6．2 在空气中做杨氏双缝干涉实验，缝间距为d = 0.6mm ，观察屏至双缝间距为D = 2.5m ，今测得第3级明纹与零级明纹对双缝中心的张角为2.724×10-3rad ，求入射光波长及相邻明纹间距． [解答]根据双缝干涉公式sin θ = δ/d ，其中sin θ≈θ，d = kλ = 3λ，可得波长为 λ = d sin θ/k = 5.448×10-4(mm) = 544.8(nm)． 再用公式sin θ = λ/d = Δx/D ，得相邻明纹的间距为 Δx = λD /d = 2.27(mm)． [注意]当θ是第一级明纹的张角时，结合干涉图形，用公式sin θ = λ/d = Δx/D 很容易记忆和推导条纹间隔公式． 6．4 用某透明介质盖在双缝干涉装置中的一条缝，此时，屏上零级明纹移至原来的第5条明纹处，若入射光波长为589.3nm ，介质折射率n = 1.58，求此透明介质膜的厚度． [解答]加上介质膜之后，就有附加的光程差 δ = (n – 1)e ， 当δ = 5λ时，膜的厚度为 e = 5λ/(n – 1) = 5080(nm) = 5.08(μm)． 6．5 折射率为1.50的两块标准平板玻璃间形成一个劈尖，用波长λ = 5004nm 的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．当劈尖内充满n = 1.40的液体时，相邻明纹间距比劈尖内是空气时的间距缩小Δl = 0.1mm ，求劈尖角θ应是多少？ [解答]空气的折射率用n 0表示，相邻明纹之间的空气的厚度差为 Δe 0 = λ/2n 0； 明纹之间的距离用ΔL 0表示，则 Δe 0 = θΔL 0， 因此 λ/2n 0 = θΔL 0． 当劈尖内充满液体时，相邻明纹之间的液体的厚度差为 Δe = λ/2n ； 明纹之间的距离用ΔL 表示，则 Δe = θΔL ， 因此 λ/2n = θΔL ． 由题意得Δl = ΔL 0 – ΔL ，所以劈尖角为 000()11( )22n n l n n lnn λλθ-=-=?? = 7.14×10-4(rad)．． 6．11 光源发出波长可继续变化的单色光，垂直射入玻璃板的油膜上（油膜n = 1.30），观察到λ1 = 400nm 和λ2 = 560nm 的光在反射中消失，中间无其他波长的光消失，求油膜的厚度． [解答]等倾干涉光程差为 δ = 2nd cos γ + δ`， 其中γ = 0，由于油膜的折射率比空 习题6 6.1选择题 (1)置于容器内的气体，如果气体内各处压强相等，或气体内各处温度相同，则这两种情况下气体的状态 (A)一定都是平衡态． (B)不一定都是平衡态． (C)前者一定是平衡态，后者一定不是平衡态． (D)后者一定是平衡态，前者一定不是平衡态．［］答：B;. (2)用公式T C E V ?=?ν(式中V C 为定体摩尔热容量，视为常量，为气体摩尔数)计算理想气体内能增量时，此式 (A)只适用于准静态的等体过程． (B)只适用于一切等体过程． (C)只适用于一切准静态过程． (D)适用于一切始末态为平衡态的过程． ［］ 答：D;(3)一定量的理想气体，经历某过程后，温度升高了．则根据热力学定律可以断定： ①该理想气体系统在此过程中吸了热． ②在此过程中外界对该理想气体系统作了正功． ③该理想气体系统的内能增加了． ④在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功． 以上正确的断言是： (A)①、③．(B)②、③． (C)③．(D)③、④． (E)④．［］答：C; (4)如题6.1(4)图所示,理想气体经历abc 准静态过程，设系统对外作功W ，从外界吸收的热量Q 和内能的增量E ?，则正负情况是：(A)ΔE >0，Q >0，W <0．(B)ΔE >0，Q >0，W >0．(C)ΔE >0，Q <0，W <0．(D)ΔE <0，Q<0，W <0．［］答：B; (5)有人设计一台卡诺热机(可逆的)．每循环一次可从400K 的高温热源吸热1800J，向300K 的低温热源放热800J．同时对外作功1000J，这样的设计是 (A)可以的，符合热力学第一定律．p O a b 题6.1(4)图 V c 大学物理典型例题分析 第13章 光的干涉 例13-1如图将一厚度为l ，折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为λ，测量中点C 处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时，该点的强度为0I ，试问： (1)点C 的光强与片厚l 的函数关系是什么； (2)l 取什么值时，点C 的光强最小。 解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为 22(1)n l π π ?δλ λ ?= = - 点C 的光强为： 2 14cos 2I I ??= 其中：I 1为通过单个狭缝在点C 的光强。 014I I = (2)当 1(1)()2 n l k δλ =-=-时 点C 的光强最小。所以 1() 1,2,3,21l k k n λ=-=-L 例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1，T 2为一对完全相同的玻璃管，长为l ，实验开始时，两管中为空气，在 P 0 处出现零级明纹。然后在T 2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。 设l =20cm,光波波长589.3nm λ=，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移 动200条，求这种气体的折射率。 解 当两管同为空气时，零级明纹出现在P 0处，则从 S 1和S 2 射出的光在此处相遇时，光程差为零。T 2管充以某种气体后，从S 2射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要 S 1 L 1 L 2 T 2 T 1 S 2 S E P 0 P 0 ' 例13-2图 例13-1图 习题六 6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖 直向下为正方AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 向，建立坐标 系 rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010 30602=== ==?=-m k A k ω设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos 0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ 故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x = (2)设此时弹簧对物体作用力为F ， AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 则 ()()x x k x k F +=?=0 其中 m 2.020040 0===k mg x AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 因而 有 ()N 3005.02.0200=-?=F (3)设第一次越过平衡位置时刻为1 t ，则 ()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t 第一次运动到上方5cm 处时刻为2 t ，则 ()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322?=πt 故所需最短时间为： s 074.012=-=?t t t AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 6-2 一质点在x 轴上 作谐振动，选取该质点向 右运动通过点 A 时作为 计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ， 再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知 42 1=T s大学物理第六章-恒定磁场习题解劝答
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