第五章练习题参考解答 练习题 5.1 设消费函数为 i i i i u X X Y +++=33221βββ 式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；i u 为随机误差 项，并且2 22)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2 σ为常数） 。试回答以下问题： (1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程； (2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。 5.2 根据本章第四节的对数变换，我们知道对变量取对数通常能降低异方差性，但须对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。例如，设模型为u X Y 21β β=，对该模型中的变量取对数后得如下形式 u X Y ln ln ln ln 21++=ββ (1)如果u ln 要有零期望值，u 的分布应该是什么？ (2)如果1)(=u E ，会不会0)(ln =u E ？为什么？ (3)如果)(ln u E 不为零，怎样才能使它等于零？ 5.3 由表中给出消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题： （1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式； （2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。 Y X Y X Y X 55 80 152 220 95 140 65 100 144 210 108 145 70 85 175 245 113 150 80 110 180 260 110 160
79120135190125165 84115140205115180 98130178265130185 95140191270135190 90125137230120200 7590189250140205 741055580140210 1101607085152220 1131507590140225 12516565100137230 10814574105145240 11518080110175245 14022584115189250 12020079120180260 14524090125178265 13018598130191270 5.4由表中给出1985年我国北方几个省市农业总产值，农用化肥量、农用水利、农业劳动力、每日生产性固定生产原值以及农机动力数据，要求： （1）试建立我国北方地区农业产出线性模型； （2）选用适当的方法检验模型中是否存在异方差； （3）如果存在异方差，采用适当的方法加以修正。 地区农业总产值农业劳动力灌溉面积化肥用量户均固定农机动力（亿元）（万人）（万公顷）(万吨）资产（元）（万马力） 北京19.6490.133.847.5394.3435.3天津14.495.234.95 3.9567.5450.7河北149.91639 .0357.2692.4706.892712.6山西55.07562.6107.931.4856.371118.5内蒙古60.85462.996.4915.41282.81641.7辽宁87.48588.972.461.6844.741129.6吉林73.81399.769.6336.92576.81647.6黑龙江104.51425.367.9525.81237.161305.8山东276.552365.6456.55152.35812.023127.9河南200.022557.5318.99127.9754.782134.5陕西68.18884.2117.936.1607.41764 新疆49.12256.1260.4615.11143.67523.3 5.5表中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ?来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ?最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ?=i y ，只要使i i i y x -=)(?δ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ?。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(?δ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到 了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB实现： MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。 如下给定数据的拟合曲线： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程序如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560 图1 最小二乘法曲线拟合示例 对比检验拟合的有效性： 例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。 在MATLAB中输入如下代码： clear x=0:0.1:pi; y=sin(x); [p,mu]=polyfit(x,y,9)
Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=
第五章 最小二乘问题的解法 1.最小二乘问题 1)回归方程问题 []T i i l i y t t )() ()(1 ,,...,,m i ,...,2,1=是m 个实验点。现要根据这些点确定y 与l 个物理量 l t t t ,...,,21之间的关系式。 设这种关系式为),...,,,...,(11n l x x t t F y =，其中n x x ,...,1是方程中需要待定的n 个参数(系数)。 因此问题是如何通过)(n m m >个实验点，确定方程中的系数。 由于实验点的个数大于待定系数的个数，因此方程中系数的确定是一个超静定问题，无法按一般的方法进行求解。 此时将实验点到曲面距离最短的那个曲面作为所求曲面，从而求取该曲面方程。 即求解[]∑=-m i i i y x t F 12 )()(),(min ，这就是最小二乘问题。 2)非线性方程组问题 求解非线性方程组?? ? ?? ??===0),...,(. 0 ),...,(0 ),...,(11211n n n n x x f x x f x x f 可转化为求解如下形式的最小二乘问题。 ∑ =m i n i x x f 1 12 ),...,(min 显而易见，最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T 最小二乘法问题实际上是具有n 个变量的无约束极小化问题，前面解无约束优化问题的方法均可应用。 但是最小二乘问题具有一定的特殊性，即目标函数的表达式是由多个表达
式的平方和组成，理应有更、更有效的方法。这正是最小二乘解法要解决的问题。 2.线性最小二乘问题的解法 最小二乘法的一般形式可写为)()(min x f x f T 特别地，当b Ax x f -= )(，即)(x f 为线性函数时，则最小二乘问题可表示为： 2 min b Ax - 1) 线性最小二乘问题解的条件 定理1:*x 是线性最小二乘问题极小点的充要条件是*x 满足b A Ax A T T =。 证明：(1)必要性 令2 )(b Ax x s -= ，于是有： b b Ax b b A x Ax A x b Ax b A x b Ax b Ax x s T T T T T T T T T T +--=--=--=))(()()()( 由于b A x T T 是一个数，而一个数的转置是它的本身，因此有： Ax b A x b b A x b A x T T T T T T T T T T ===) () ( 故上式可化为：b b Ax b Ax A x x s T T T T +-= 2)( b A Ax A x s T T 22)(-=? 若*x 是)(x s 的极小点，则必有0)(=?x s ，则必有：b A Ax A T T = (2)充分性 若*x 满足b A Ax A T T =* ，即0)(*=-b Ax A T 考虑任一点n R z x v ∈+=*，计算
上页下页返回结束 1 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材： 矩阵论与数值分析----理论及其工程应用 上页下页返回结束 2 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 邱启荣 华北电力大学数理系QQIR@https://www.doczj.com/doc/2015145557.html, 第三章矩阵的Jordan 标准型 与矩阵函数 上页下页返回结束 3 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 4 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 5 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 6 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数
上页下页返回结束7 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束8 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束9 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 10 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 11 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 12 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数
上页下页返回结束13 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束14 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束15 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 16 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 17 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 18 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数
第五章解线性方程组的直接方法 ?预备知识 ?消元法 ?矩阵分解法 ?追赶法 ?误差分析 线性代数是数值计算方法的基础，学习它对数值计算方法其它内容的学习会有很大的帮助。无论是插值公式的建立，还是微分方程的离散格式的构造，其基本思想都是转化为代数问题来处理，即归结为解线性方程组。MATLAB的强大功能是建立在矩阵和向量运算基础上的，线性代数的学习也可以大大提高对MATLAB的掌握程度。 线性方程组的基本解法： 直接解法：经过有限步算术运算,在不考虑舍入误差的情况下求得方程组的精确解； 迭代解法：用某种极限过程逐步逼近方程组的精确解。 5.1 预备知识: 矩阵和向量及线性方程组的解 方阵：m=n 的矩阵； 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。在MATLAB中零矩阵由zeros 命令定义。如A＝zeros（m,n）定义一个m×n 零矩阵，n×n 零矩阵可以用命令A＝zeros(n)定义。 单位矩阵：所有对角元为1而其余元素均为0的方阵。单位矩阵记为I。在MATLAB 中单位矩阵由eye命令定义。如A＝eye（n）定义一个n阶单位矩阵。 元素都是1的矩阵：在MATLAB中元素都是1的矩阵由ones命令定义。如 A＝ones（m,n）定义一个m×n阶的元素都是1的矩阵。 矩阵的加法和减法：行列数相同的矩阵之间才可以进行加法和减法。 矩阵的乘法：若A的行数和B的列数相等，则它们可以相乘C＝AB。其中C的第i 行第j列元素等于A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。 逆矩阵：若两个方阵A和B满足：AB＝I且BA＝I，则称A和B互为逆矩阵。在MATLAB 中M的逆矩阵由inv(M) 命令计算。对于任一非奇异矩阵都可用inv命令计算其逆矩阵。若MATLAB拒绝计算一个方阵的逆矩阵，则此矩阵一定是奇异的。一个奇异矩阵的行列式是0（或者至少有一行（列）可以用其它行（列）通过多次加法和减法表示）。 行列式：方阵A的行列式是一个标量值，用det(A)或|A|表示。在MATLAB中矩阵A
MATLAB机械工程 最小二乘法曲线拟合的应用实例 班级: 姓名: 学号: 指导教师:
一，实验目的 通过Matlab上机编程，掌握利用Matlab软件进行数据拟合分析及数据可视化方法 二，实验内容 1.有一组风机叶片的耐磨实验数据，如下表所示，其中X为使用时间，单位为小时h，Y为磨失质量，单位为克g。要求： 对该数据进行合理的最小二乘法数据拟合得下列数据。 x=[10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 2 0000 21000 22000 23000]; y=[24.0 26.5 29.8 32.4 34.7 37.7 41.1 42.8 44.6 47.3 65.8 87.5 137.8 174. 2] 三，程序如下 X=10000:1000:23000; Y=[24.0,26.5,29.8,32.4,34.7,37.7,41.1,42.8,44.6,47.3,65.8,87.5,137.8,17 4.2] dy=1.5; %拟合数据y的步长for n=1:6 [a,S]=polyfit(x,y,n); A{n}=a;
da=dy*sqrt(diag(inv(S.R′*S.R))); Da{n}=da′; freedom(n)=S.df; [ye,delta]=polyval(a,x,S); YE{n}=ye; D{n}=delta; chi2(n)=sum((y-ye).^2)/dy/dy; end Q=1-chi2cdf(chi2,freedom); %判断拟合良好度 clf,shg subplot(1,2,1),plot(1：6,abs(chi2-freedom),‘b’) xlabel(‘阶次’)，title(‘chi2与自由度’) subplot(1,2,2),plot(1：6,Q,‘r’,1：6,ones(1,6)*0.5) xlabel(‘阶次’),title(‘Q与0.5线’) nod=input(‘根据图形选择适当的阶次（请输入数值）’)； elf,shg, plot(x,y,‘kx’)；xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)； axis([8000,23000,20.0,174.2])；hold on errorbar(x,YE{nod},D{nod},‘r’)；hold off title(‘较适当阶次的拟合’) text(10000,150.0,[‘chi2=’num2str(chi2(nod))‘~’int2str(freedom(nod))])
第三章 习题解答 1．求矩阵 1141?? =???? A 的谱分解. 解：(1) 求特征值 ()()12310E A λλλ-=-+=，所以特征值为123,1λλ==-. (2) 求特征向量：13λ=对应的特征向量为()11,2;T p = 21λ=-对应的特征向量为()21,2T p =-. （3）谱分解：令1211(,)22P p p ??==?? -??，则1 121124.1 124T T P ωω-?? ????==????????-???? 令1111 124,112T A p ω????==? ?????? ?2221 124,112T A p ω??-??==???? -???? 故谱分解式为123A A A =- 2 求单纯矩阵 296182051240825A -?? ?=- ? ?-?? 的谱分解式. 3.设()1,2,i i n λ= 是正规矩阵n A ∈C 的特征值，证明：()2 1,2,i i n λ= 是H A A 与H AA 的特征值. 证：根据题设矩阵A ，则A 酉相似与对角矩阵，即 ()12diag ,,,H n A U U λλλ= 其中U 为酉矩阵，则 ()() ()() 121 2 diag ,,diag ,,H H H H n n A A U U U U λλλλλλ= ( )222 12diag ,,,H n U U λλλ= 即H A A 的特征值为()2 1,2,i i n λ= ，同理可证()2 1,2,i i n λ= 也是H AA 的特征值。
4 设A 是n n ?阶的实对称矩阵，并且20,A =你能用几种方法证明0.A = 证：（1）设λ是矩阵A 的一个特征值，x 是对应于λ的一个非零特征向量，即 ,Ax x λ=220,A x x λ==所以20,λ=即0,λ=所以矩阵A 的特征值全为零，又A 酉相似与 对角矩阵()12diag ,,,n λλλ 所以0.A = （2）设0,A ≠则20,H A A A =≠与题设矛盾，所以结论成立。 5 试证：对于每一个实对称矩阵A ，都存在一个n 阶方阵S ，使3 A S =。 证：矩阵A 是一个对称矩阵，则A 酉相似于一个对角矩阵，即 ()H 12diag ,,,,n λλλ= A U U 令12111 333diag ,,n λλλ??= ??? D ，则()3 12diag ,,.n λλλ= D 又由()()()3H H H H .==A UD U UDU UDU UDU 令H ,=S UDU 则3=A S 。 7 证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵. 证明参考课本101页引理3必要性的证明. 8 证明：正规矩阵是幂零阵() 2 0=A 的充要条件是0.=A 证：充分性：0.=A 则结论显然。 必要性：若() 2 0=A ，由题设矩阵A 是正规矩阵，则A 酉相似于一个对角矩阵，即 ()12diag ,,,H n λλλ= A U U () 222221diag ,,0,n H λλλ== A U U 即 () 22221diag ,,0n λλλ= 所以，可得 120,n λλλ==== 即0.=A 结论成立。 9 求矩阵324262423--????=--????--?? A 的谱分解式，并给出n A 的表达式。 解：矩阵A 的特征值：()()()2 det 27,λλλ-=+-E A 所以矩阵A 的特征值为 12,32,7λλ=-=。
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
实验三 函数逼近与曲线拟合 一、问题的提出： 函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。主要内容有： （1）最佳一致逼近多项式 （2）最佳平方逼近多项式 （3）曲线拟合的最小二乘法 二、实验要求： 1、构造正交多项式； 2、构造最佳一致逼近； 3、构造最佳平方逼近多项式； 4、构造最小二乘法进行曲线拟合； 5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差； 6、探讨新的方法比较结果。 三、实验目的和意义: 1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程； 2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；
3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较； 4、掌握曲线拟合的最小二乘法； 5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组； 6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系； 四、 算法步骤： 1、正交多项式序列的生成 {n ?（x ）}∞ 0：设n ?（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ?（x ）} ∞0 满足关系式???=>≠==?.,0,, 0)()()()(),(k j A k j x d x x x k k j b a k j ??ρ?? 则称多项式序列{n ?（x ）}∞ 0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ?（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。 1）输入函数)(x ρ和数据b a ,; 2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j n ???的内积； 3）按公式①)()) (),(()) (,()(,1)(1 0x x x x x x x x j n j j j j n n n ??? ???∑-=- ==计算)(x n ?，生成正交多项式； 流程图： 开始
第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）
其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：
第一章 1 线性空间概念（封闭性） 2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换 5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间 6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程 7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3） 8 不变子空间，正交变换，酉交变化 例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α， T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与 12W W ?的维数，并求出12W W ? 解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+ ()????? ????????→??? ????????---==71 1022-203-5-30 121 -17110 30111112 121 1,,,2121行变换 ββααA B =???? ?????????????????000 310040101-0 0100 00 31007110121 -1
得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--?X ββαα.即0711******* 121211=???? ? ?????------X 解得 ()(){}. 4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T T k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即 例2 设3R 上线性变换T 为 ,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++= 求T 在基 T T T ) 111(,)110(,)101(321-===ααα 下的矩阵B. 解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为： , 10111012123213132321???? ??????????? ?-=????????+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵 , 101110121??? ? ????-
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题
第五章线性参数的最小二乘处理 习题 5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示： x+ty+t2z=L 式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（℃）；L 为t℃基准器的长度的修正值（微米）。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表： 求未知参量x，y，z的最可依赖值。 5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下： x=0 y=0 z=0 x-y=0.92, -y+x=1.35 -x+z=1.00 试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。 5-3由等精度测定方程为： x+37y+1369z=36.3 x+32y+1024z=41.4 x+27y+729z=47.5 x+2y+484z=54.7 x+17y+289z=63.2 x+12y+144z=72.9 x+7y+49z=83.7
试用矩阵最小二乘法求x ，y ，z 的最可依赖值及其精度。 5-4交流电路的电抗x =ωL C ω1 - ， 在角频率ω1=3时，测得x 为x 1=0.8 ω2=2时，测得x 为x 2=0.2 ω3=1时，测得x 为x 3=-0.3 试求：(i) L ，C 及其方差；(ii) ω=3时（ωσ=0.1）电抗值及其方差。 5-5试求下列方程给出的x ，y 的最大或然值及其标准误差。 2x +y =5.1 x -y =1.1 4x -y =7.4 x +4y =5.9 5-6测得一直线上四段长度AB 、BC 、CD 、DE 分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD 准确长90厘米和BE 准确长100厘米。试求AB ，BC ，CD ，DE 的最大或然值。 5-7由方程组 3x +y =2.9 x -2y =0.9 2x -3y =1.9 试求x ，y 的最大或然值及其标准误差。 5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x 1，x 2的最可信赖值及其标准误差。 x 1=0 权： P 1=8 x 2=0 P 2=10 x 1+2x 2=0.25 P 3=1 x 1-3x 2=0.92 P 4=5 5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x ，y 的最大或然值及其标准误差。 x -3y =-5.6 权： P 1=1 4x +y =8.1 P 2=2 2x -y =0.5 P 3=3 5-10由下面的测定方程组，试求x ，y 的最可依赖值及其标准误差。 2x +y =5.1 权：P 1=1 x -y =1.1 P 2=3 4x -y =7.2 P 3=2 5-11试求满足下列方程的x ，y ，z 及其标准误差（假设它们是等权的）。 x +y +z =4.01
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
第三章 欧氏空间与酉空间 在线性空间中，向量之间只有加法与数量乘法这二种基本运算，而没有象几何空间2R 、 3R 那样引入向量的长度，两个向量的夹角等度量概念，而这些概念在实际应用中是非常重 要的。本章将对一般的实线性空间和复线性空间定义内积计算，从而引入向量的长度、夹角等度量概念。 §3.1 欧氏空间 定义1 设V 是实线性空间，如果对于任意V ∈βα,，按照某一法则有一个确定的实数记为（βα,）与它们对应，且满足下列条件： （1）),(),(αββα=； （2）),(),(βαβαk k =； （3）),(),(),(γβγαγβα+=+； （4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。 其中γβα,,为V 中任意向量，k 为任意实数，（βα,）称为α与β的内积，定义了内积的实线性空间V 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称欧氏空间。 例1 在线性空间n R 中，对于任意两个向量： ),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα 定义： n n b a b a b a +++=Λ2211),(βα （1） 容易验证以上定义满足内积定义中的四个条件，因而n R 对于（1）构成一欧氏空间，以后仍用n R 来表示这个欧氏空间。当2=n 或3时，（1）式就是几何空间中所称为向量的数量积或点积。 如果定义： n n b na b a b a +++=Λ22112),(βα
同样可以验证n R 也构成一个欧氏空间，因此对于同一线性空间，可以定义不同的内积，使它成为欧氏空间，以后用到欧氏空间n R ，内积总是指定义（1）。 例2 在实连续函数组成的线性空间],[b a C 中，对任意],[)(),(b a C x g x f ∈，定义： ((),())()()b a f x g x f x g x dx =? （2） 根据定积分基本性质，容易验证（)(),(x g x f ）满足定义1的四个条件，因此],[b a C 构成一个欧氏空间。同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积（2）也构成欧氏空间。 由内积的定义，容易得到内积的简单性质： （1）(,)(,)(,)αβγαβαγ+=+； （2）),(),(βαβαk k =； （3）0),0()0,(==βα； （4）∑∑∑∑=====m i n j j i j i n j j j m i i i l k l k 11 1 1 ),(),( βαβα。 在几何空间2R 、3 R 中，向量α的长度等于),(αα，在一般的欧氏空间中，对任意向量V ∈α,0),(≥αα,从而),(αα是有意义的，所以我们定义它为α的长度。 定义2 在欧氏空间V 中，非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α。 在例1和例2中，向量长度分别是： 22221n a a a +++=Λα， ? = b a dx x f x f )()(2。 特别地，若 1=α，则α称为单位向量，对任意非零向量α，由内积定义可知 α α 是单位向量，此单位向量称为将α单位化。 欧氏空间的长度具有以下性质： 定理1 设α、β是欧氏空间V 中的任意向量，k 是任意实数，则： （1） 0≥α，而α＝0充要条件是0=α；