28.2.2 解直角三角形的应用举例（1）
【学习目标】
1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的
实际问题.
2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形
的问题）.
3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】
重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题.
难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．
预习案
(一)温故知新
1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（1）锐角之间的关系：
边之间的关系：
角与边之间的关系(以∠A为例)：
(2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1
2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：
（二）问题导学
1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________.
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________.
图2
2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地
球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？
图3
探究案
探究：利用视角解直角三角形
例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？
变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
训练案
（C 级做1～4题，B 级、A 级全做）
1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD ?
O B
为100m,塔高CD
为50)
m，则下面结论中正确的是（）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
图1 图2 图3
2．如图2所示，从地面上的C，D两点测得树顶的仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）.
3.如图3所示，在离铁塔BE120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，?已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．
4．如图4所示,要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯.路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？
5．如图5所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）
.
图4
tan310.6,sin310.52,cos310.86?≈?≈?≈
图5
6．如图6所示，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°.请你帮助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）
.
图6
7.(2012河南中考）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31°，再沿DB 方向前进16米到达E 处，测得点A 的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC =7米，,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据 ）.
图
7
桃溪中学师生共用导学案 内容：解直角三角形（1） 执笔： 【学习目标】 ⑴： 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵： 通过综合使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的水平． ⑶： 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活使用 【导学过程】 一、自学提纲： 知识回顾： 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a ，b ，c ，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边， 则边之间的关系为 ，角之间的关系为 ， 角与边之间的关系为 ， 自主预习： 1．在三角形中共有几个元素？ 2、解直角三角的概念： 有直角三角形中 求出 元素的过程，叫做解直角三角形。 3、解直角三角形的两种情况。 （1）已知 ，求第三边及两锐角。 （2）已知 和一个 ，求其它两边及另一锐角。 导学探究： 1、在Rr △ABC 中，共有六个量，三条边a ，b ，c ，三个角∠A ，∠B ，∠C ，其中∠C 是已知的，其它的五个量都是未知的。 （1） 已知∠A ，∠B ，能求出其它的三个量a ，b ，c 吗？ （2） 已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？ （3） 已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？ 你有什么发现？ 2、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就能够写成. (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问： (1)使用这个梯子最高能够安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 b a A c b A c a A = = = ; tan ; cos ; sin a b B c a B c b B = = = ; tan ; cos ; sin ； 的邻边 的对边 ； 斜边 的邻边 ； 斜边 的对边 α α α α α α α ∠ ∠ = ∠ = ∠ = tan cos sin
浅谈初三数学“导学案”的编制与应用 浅谈初三数学“导学案”的编制与应用 民乐县第四中学：杨学贵 【关键词】共同参与；原则；要求；基本流程 今年我校制定了以“学案导学”来带动教师的教学方式转变、带动学生的学习方式转变的教改思路。数学组的老师们在学校领导的大力倡导和指导下，他们投入了大量的时间与精力编写导学案。一份好的导学案既能承载学生的学习目标，又能强化知识之间的紧密联系，是一个学科知识的循环系统。它能保证学生通过自主学习掌握知识，并逐步升华为一种学习能力。为此，“导学案”的科学、恰当的编制和应用显得极为重要。 一、导学案与传统的教案的不同之处 导学案是用于指导学生自主学习、主动参与、合作探究、优化发展的学习方案，也是教师指导学生学习的方案。如果用一个比喻来概括，导学案就是学生学会学习、学会创新、自主发展的路线图。好的导学案能将知识问题化，能力过程化，情感、态度价值观的培养潜移化。导学案与传统的教案不同。导学案的制定是基于学生的“学”，而非教师的“教”，所解决的重点问题是“学什么”、“怎样学”、“学到什么程度”，力求把学生放到主体地位上来。学案是师生共同参与、良好互动的载体。而传统的教案和讲学稿是从教师的“教”出发，重在解决“教什么”、“怎样教”的问题，强调的只是传授的结果而非学生“学”的过程。 二、编制导学案过程中需要遵循的原则和具体要求 导学案编写应遵循这样几个基本原则：一是主体性原则。导学案设计不同于教案，必须尊重学生，信任学生，留给学生时间，让学生自主发展，学生作为课堂唯一的主人，其主体地位应凸显出来。二是导学性原则。导学案重在引导学生自学，要做到目标明确，流
第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
《解直角三角形（一）》学案 学习目标： 1、 理解三角函数的有关概念，掌握特殊角的三角函数值； 2、 弄清解直角三角形的含义，掌握直角三角形中的边角关系，会应用这些关系解直角三角形； 3、 能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题； 4、 在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时，不断归纳数学思想和方法，进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。 一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦：sin α= ∠α的余弦：cos α= ∠α的正切：tan α= 思考：根据三角函数的定义，你能正确填空吗你是怎样得到的 ① ＜sin α＜ ② ＜cos α＜ “ ③ ＜tan α＜ ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α（填“＜”或“＞”） ②观察表格，猜想：随着∠α的增大，sin α ；cos α ； tan α 。（填增大或减小） 3、由直角三角形中的已知元素（边和角），求出其它所有未知元素的过程，叫 做 。其主要依据如下： ⑴边的关系： ； ⑵角的关系： ； ⑶边角之间的三角函数关系： SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考：解直角三角形有哪几种基本类型在练习本上列举出来，并进行口头解答。 二、热点示例与题组练习 目标1、特殊角三角函数值 题组一 1、已知∠A 为锐角，且sinA= 23，则sin 2 A = . 2、计算：0 030 60sin cos -tan450 的值是 。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是 。 4、在△ABC 中，若-+A B cos 21 -（sin 2 3)2=0，则∠C 的度数是 。 目标2、解直角三角形 题组二 在Rt △ABC 中，∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ； ②已知a=10, ∠B=600，则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，BD=63，BC=9，求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C
人教版初中数学知识点总结目录 七年级数学（上）知识点(1) 第一章有理数(1) 第二章整式的加减(3) 第三章一元一次方程(4) 第四章图形的认识初步(5) 七年级数学（下）知识点(6) 第五章相交线与平行线(6) 第六章平面直角坐标系(8) 第七章三角形(9) 第八章二元一次方程组(12) 第九章不等式与不等式组(13) 第十章数据的收集、整理与描述(13) 八年级数学（上）知识点(14) 第十一章全等三角形(14) 第十二章轴对称(15) 第十三章实数(16) 第十四章一次函数(17) 第十五章整式的乘除与分解因式(18) 八年级数学（下）知识点(19) 第十六章分式(19) 第十七章反比例函数(20) 第十八章勾股定理(21) 第十九章四边形(22) 第二十章数据的分析(23) 九年级数学（上）知识点(24) 第二十一章二次根式(24) 第二十二章一元二次根式(25) 第二十三章旋转(26) 第二十四章圆(27)
第二十五章概率(28) 九年级数学（下）知识点(30) 第二十六章二次函数(30) 第二十七章相似(32) 第二十八章锐角三角函数(33) 第二十九章投影与视图(34) 1 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
28.2.1解直角三角形 【学习目标】 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系． 2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【重点难点】 重点：解直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 【新知准备】 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 、 ∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系． 【课堂探究】 一、自主探究 探究1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°.现有一个长6m 的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m ）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A ＝75°，斜边AB ＝6，求∠A 的对边 BC 的长． 问题（2）可以归结为在Rt △ABC 中，已知AC ＝2.4，斜边AB ＝6， 求锐角a 的度数 A B α C
AD 探究2 （1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？ （2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解直角三角形： . 注意： 二、尝试应用 1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b a ， 解这个三角形． 2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B =35°，b =20， 解这个三角形（结果保留小数点后一位）． 三、补偿提高 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =6， ∠BAC 的平分线 解这个直角三角形。 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B ＝72°，c = 14. 【学后反思】 1.通过本节课的学习你有那些收获? 2. 你还有哪些疑惑？ A B C 26 A B C a b =20 c 35° A C A B C b=20 a =30 c B A B C b a c=14
28.2.2 解直角三角形的应用举例（1） 【学习目标】 1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的 实际问题. 2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形 的问题）. 3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】 重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题. 难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型． 预习案 (一)温故知新 1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （1）锐角之间的关系： 边之间的关系： 角与边之间的关系(以∠A为例)： (2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1 2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值： （二）问题导学 1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________. 图2 2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地 球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？ 图3 探究案
探究：利用视角解直角三角形 例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？ 变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) 训练案 （C 级做1～4题，B 级、A 级全做） 1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD ? O B
课题：一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程（三） 编写教师： 学生姓名： 导学目标： 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型， 并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。 重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。 难点：把实际问题转化为数学问题。 教学过程： 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜，并思考下列问题： （1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析。 要解决问题（1）必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积 几分吗？你选择其中哪一行最能说明负一场积几分？ 通过观察积分榜，从最下面一行数据可以发现，负一场积1分，那么胜一场积几分呢？ 解：设胜一场积x 分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x 的值。 例如从第三行的方程：23159=?+x ，解得x=2. 用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分. （1） 如果一个队胜m 场，则负(14-m)场，胜场积分为2m ，负场积分为14-m ， 总积分为2m+(14-m)=m+14。 （2） 如果设一个队胜了x 场，则负了（14-x ）场，若这个队的胜场总积分等于负场总积 分，那么列方程为：x x -=142，解得3 14=x . 想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 这里x 表示一个队所胜得场数，它是一个整数，所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸： 如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗？ 设胜一场积x 分，则前进队胜场积分为10x ，负场积分为（24 -10x ）分，他负了4场，
初三数学应知应会的知识点 一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=>有两个不等的实根； Δ=0<=>有两个相等的实根； Δ＜0 <=>无实根；Δ≥0 <=>有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2a c 4b b x ) 1(212122 ,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2 -4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数?a b -= 0且Δ≥0?b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数?a c =1且Δ≥0?a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根?a c = 0且a b -≠0?c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ?a c = 0且a b -= 0?c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ?a c =0?c=0； （6）两根异号 ?a c ＜0 ?a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值?a c ＜0且a b -＞0?a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且a b -＜0?a 、c 异号且a 、b 同号； （9）有两个正根 ?a c ＞0，a b -＞0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0； （10）有两个负根 ?a c ＞0，a b -＜0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解. ax 2 +bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2 +bx+c=??? ? ?? ----???? ? ?-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式： x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： . 0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母 两边同乘最简 去分母法
解直角三角形及其应用 导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
九年级（上）数学导学案 课题：23.2 解直角三角形及其应用（2）编号9S046 教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏）学习目标： 1.知道仰角、俯角等有关概念； 2.能把实际问题转化为数学问题来解决. 学习重点：利用三角函数解决实际问题； 学习难点：把实际问题转化为数学问题. ☆预习导航☆ 一、链接：什么叫解直角三角形在解直角三角形时用到的边、角数量关系有哪些 二、导读： 1.阅读课本126页，重点思考如何把实际问题转化为数学问题来解答，边角之间的关系有： sinA = ______ , cosA = ________ , tanA = _______ . 2.仰角、俯角的定义： 从低处观测高处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做仰 角； 从高处观测低处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做俯 角． ☆合作探究☆ 1. 上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第一、世界第 三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相 望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜 收．运用本章所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？ 为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′． A B E C D
根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′ 根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长吗？ 2. 如图，厂房屋顶人字架的跨度为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0 . 01 米）. ☆归纳反思☆ ☆达标检测☆ 1 ．如图，在电线杆上离地面6 米处 用拉线固定电线杆，拉线和地面之间的 夹角为60° , 求拉线AC 的长和拉线下 端点A 与线杆底部D 的距离（精确到 0 . 1 米）. 2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶 端到地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙 根的距离AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小(精确到1 ' ) ; (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米，那么梯子与地面所成的角是多少？ 6 米 A B C D A C B
人教版初中数学知识点总 结总复习 Prepared on 22 November 2020
一、考试指导思想 初中毕业数学学业考试是依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践能力；有利于减轻学生过重的课业负担，促进学生生动、活泼、主动地学习。 数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，面向全体学生，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况。 数学学业考试要重视对学生学习数学的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价；学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能，试题设计必须与其评价的目标相一致，加强对学生思维水平与思维特征的考查，使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等。 二、考试内容和要求 （一）考试内容 数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用的内容为依据，主要考查基础知识、基本技能、基本体验和基本思想。 1．关注基础知识与基本技能 了解数的意义，理解数和代数运算的算理和算法，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题。 能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。 正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的涵义，能够借助概率模型或通过设计活动解释事件发生的概率。 有条件的地区还应当考查学生能否借助计算器进行较复杂的运算和从事数学规律的探究活动。 2.关注“数学活动过程” 包括数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究的意识、能力和信心等。也包括能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的语言有条理地表达数学的思考过程。 3．关注“数学思考”
测试3 解直角三角形(一) 学习要求 理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型． 课堂学习检测 一、填空题 1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， 第1题图 ①三边之间的等量关系： __________________________________． ②两锐角之间的关系： __________________________________． ③边与角之间的关系： ==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______； == B A tan 1 tan _____； ==B A tan tan 1 ______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 第④小题图 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)． 第⑤小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式．
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一) 2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3 二、解答题 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ； (2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)已知：3 2 sin =A ，6=c ，求a 、b ； (4)已知：,9,2 3 tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ． 综合、运用、诊断 5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 一、新课导入 1.课题导入 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线 的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题. 2.学习目标 （1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. （2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 3.学习重、难点 重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形. 难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容. （2）自学时间：8分钟. （3）自学要求：完成探究提纲. （4）探究提纲： ①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90 °. b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2 . c.边角关系：sinA＝a c ，sinB＝ b c ； cosA＝b c , cosB＝ a c ； tanA＝a b , tanB＝ b a .
③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考） 已知其中两个元素（其中至少有一个是边）. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误. 4.强化 （1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）. （2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）. ①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边. ②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P73例1、例2. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠. （4）自学参考提纲： ①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC 、BC ，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B. 方法一：∵tanA = BC AC ∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °. ∵，,∴AB = 方法二：∵，,∴由勾股定理可得AB= sinA= BC AB A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °. 这里∠B 的度数也可用三角函数来求，你会吗？ ②比较上述解法，体会其优劣. ③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b 和一锐角B ，则要求的未知元素有直角边a 、斜边c 、锐角A. ④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.
初三知识整理 全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节： 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下： 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： （1）是一个非负数； （2）≥0）； （3） (a≥0)． 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)， (a≥0，b>0)， 并运用它们进行二次根式的化简。
“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 （1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 （3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
28．2．1 解直角三角形 【学习目标】 ⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精 确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 三、教师点拨： 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．
苏教版初中数学一轮复习资料（教师用） 目录 1、第1课时实数的有关概念....................................................................... (2) 2、第2课时实数的运算....................................................................... .. (4) 3、第3课时整式与分解因式....................................................................... (6) 4、第4课时分式与分式方程....................................................................... (8) 5、第5课时二次根式....................................................................... (10) 6、第6课时一元一次方程和二元一次方程 （组） (12) 7、第7课时一元二次方程....................................................................... (14) 8、第8课时方程的应用（一）...................................................................
(16) 9、第9课时方程的应用（二）................................................................... (18) 10、第10课时一元一次不等式（组） (20) 11、第11课时平面直角坐标系、函数及图 像 (22) 12、第12课时一次函数图像及性 质 (24) 13、第13课时一次函数应用....................................................................... (26) 14、第14课时反比例函数图像和性 质 (28) 15、第15课时二次函数图像和性 质 (30) 16、第16课时二次函数应用....................................................................... (32)