第4讲 三个“二次”及关系
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
●难点磁场
已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程
2
+a x =|a －1|+2的根的取值范围.
●案例探究
［例1］已知二次函数f (x )=ax 2
+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ；
(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.
(1)证明：由???-=++=bx
y c
bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0
Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2
)=4［(a +4
3)2
2+
c c 2
］
∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴
4
3c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a
b 2,x 1x 2=
a
c .
|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2
－4x 1x 2
]
43)2
1[(
4]1)[(
44)(4444)2(2
22
2
2
2
2
+
+
=++=---=
-=
-
-=a
c a
c a c a ac
c a a
ac
b a
c a b
∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－
2
1)
∵]1)[(4)(2++
=a
c a
c
a
c
f 的对称轴方程是2
1-
=a c .
a
c ∈(－2,－
2
1)时，为减函数
∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).
［例2］已知关于x 的二次方程x 2
+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
?????
???
?
?
?
->-<
∈-
????
>+=<+=>=-<+=6
5,21,2
10
56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f
m f f m f
∴2
16
5-
<<-
m .
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组?????
??<-<≥?>>1
0,0,
0)1(,0)0(m f f
?
??
???
??
?
<<--≤+≥->->?.
01,
2121,2
1,21m m m m m 或
(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计
1.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法：
y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .
(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=2
1 (p +q ).
若－
a
b 2
若p ≤－
a
b 2 a b 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2 a b 2)=m ; 若－ a b 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m . 2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件. (1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ????????>?>->-=?0)(, 2,042r f a r a b ac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根??????? ??>?>?<- <>-=??; 0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p a c b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根?f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验) 检验另一根若在(p ,q )内成立. (5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p ?>? )(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略 (1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)?a <0且f (α)=f (β)=0; (2)当a >0时，f (α) b 2|<|β+a b 2|,当a <0时，f (α) b 2|> |β+ a b 2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0 在［p ,q ］恒成立?? ???><- ?,0)(,2p f p a b 或 ?????≥≥-??? ??? ? >-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立? ? ?<==???==????.00 ,0,00)(;0,0,0, 0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2) 2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2 －x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 二、填空题 3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2 －2(p －2)x －2p 2 －p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________. 4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2) ),则x 的取值范围是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式3 3 log log a y a t a a = (a >0且a ≠1) (1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式； (2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值. 6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围. 7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足m r m q m p +++ +1 2 =0,其中 m >0,求证： (1)pf ( 1 +m m )<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解. 8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元. (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案 难点磁场 解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－2 3≤a ≤2 (1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －2 1)2+ 4 25. ∴a =－2 3时，x mi n = 4 9,a = 2 1时，x max = 4 25. ∴ 4 9≤x ≤4 25. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +2 3)2－ 4 1 ∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12. 综上所述, 4 9≤x ≤12. 歼灭难点训练 一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足?? ? 02a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2. 答案：C 2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =2 1,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A 二、3.解析：只需f (1)=－2p 2 －3p +9>0或f (－1)=－2p 2 +p +1>0即－3＜p ＜2 3或－ 2 1＜p ＜1.∴p ∈(－3, 2 3). 答案：(－3，2 3） 4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0 三、 5.解：(1）由log a 3 3 log a y a t t =得log a t －3=log t y －3log t a 由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=x x y a 3log - , ∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 3 32 +-x x (x ≠0). (2)令u =x 2－3x +3=(x － 2 3)2+ 4 3 (x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8， 则u =(x － 2 3)2+ 4 3在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值. ②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x － 2 3)2+ 4 3,x ∈(0,2]应有最小值 ∴当x = 2 3时，u mi n =4 3,y mi n =43 a 由43 a =8得a =16.∴所求a =16,x =2 3. 6.解：∵f (0)=1>0 (1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意. (2）当m >0时，则? ?? ??>-≥?030m m 解得0＜m ≤1 综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明：(1)])1()1 ( [)1 ( 2 r m m q m m p p m m pf ++++=+ ] ) 2()1()1()2([ ] 2 ) 1([ ]1 ) 1([ 2 2 2 2 2 +++-+=+- +=+++ +=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm ) 2()1(12 2 ++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf ( 1 +m m )＜0. (2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1 +m m )＜0 若r >0,则f (0)>0,又f ( 1 +m m )＜0,所以f (x )=0在(0， 1 +m m )内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2 )+r =m r m p -+2 >0, 又f ( 1 +m m )＜0,所以f (x )=0在( 1 +m m ,1)内有解. ②当p ＜0时同理可证. 8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2 +130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300 ∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x － 2 65)2+1612.5 ∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元. 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 2012年安徽省高考数学试卷分析与2013届高三复习建议一．近四年安徽高考考点分布（理科） 二．2012年安徽高考数学试卷分析 2012年高考安徽数学卷给人的第一感觉是“不难”、“常规”、“平稳”。应该说，今年的安徽卷是在前三年新课标自主命题基础上进一步深化课标理念，体现人文关怀的一套试题，让不同层次的考生在高考中一样能获得比较满意的分数，这样的成就感无疑成就他们心头的希望之火。我认为今年的这种命题理念是安徽高考命题发展的必然，也是在新一轮命题周期中的良好开端，进而坚持改革，坚持安徽特色，坚持深化素质教育。 课标高考安徽卷坚持的命题指导思想就是“稳定中逐步创新，不断深化新课标理念”，命题时强调依据新课标和考试说明，对于主干知识重点考查，不刻意追求覆盖，这些无疑是很好的。因为这实现了命题者、考生、教师在同一个平台上对话，容易实现双向沟通，也是稳定得以实现的前提。我们看到2012年的安徽卷很好地体现了这一指导思想，从题目上看，没有在客观题部分设置难度很大的试题，让考生以较平稳的心态进入到主观题的答题中去，同时在主观题部分，基本都是低起点，宽入口，设置多问，阶梯递进，让不同层次的学生都能在解答题中获得相应的分数，变一到两题把关为多题多问把关，即使最后一题的第一问多数学生还是可以拿下的。试卷整体难度比去年降低不少。 下面就今年年安徽高考数学主干知识考查题型略加分析： 1、三角函数：文理都设置了一大一小两题，重点考察三角函数的恒等变形、图像性质、解三角形等常规问题，理科第15题为多选题，结合余弦定理、均值不等式等知识点，难度很大。这已经是安徽省小题把关、小题创新的一大特色，正方体、四面体、概率、直线方程、函数、数列都可以入题，考查知识点全面、辩证思维、抽象思维能力要求都很高，稍有不慎就会整题丢分，这一直是学生一大薄弱环节。 15（理）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____ ①若2 ab c >；则3 C π < ②若2a b c +>；则3 C π < ③若3 33a b c +=；则2 C π < ④若()2a b c ab +<；则2 C π > ⑤若2 2222()2a b c a b +<；则3 C π > 【解析】正确的是①②③ ①2222 21cos 2223 a b c ab ab ab c C C ab ab π +-->?= >=?< 考点2：解析式 【思维导图】 【常见考法】 考点一：待定系数法 1.已知()f x 是一次函数，且()94f f x x =+????，求()f x 的解析式. 【答案】()31f x x =+或()32f x x =-- 【解析】设()()0f x kx b k =+≠，则()()()2 94f f x k kx b b k x kb b x ??=++=++=+??， 得294 k kb b ?=?+=?，解得31k b =??=?或3 2k b =-?? =-?.因此，()31f x x =+或()32f x x =--. 2.已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求：求 ()f x 的解析式； 【答案】 ()2 1f x x x =-- 【解析】设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则有()()22 11222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，对 任意实数x 恒成立，2222220a b a c =??∴=-??+=? ，解之得1,1,1a b c ==-=-，()2 1f x x x ∴=--. 考点二：换元法 1．已知 1()1x f x x = -，则()f x 的解析式为 。 【答案】．1 ()(01 f x x x = ≠-，且1)x ≠ 【解析】令t =1x ，得到x =1t ，∵x ≠1，∴t ≠1且t ≠0，∴()1 1(1111t f t t t t = =≠--且t ≠0) ∴()1 (01 f x x x = ≠-且x ≠0)， 2. 已知函数1)1f x =-，则函数()f x 的解析式为 。 【答案】2 ()2(1)f x x x x =+≥- 【解析】 (1)1f x x -=-令1t =则1t ≥-，且()2 1x t =+ ()2 1)()11f f t t ∴==+-，()1t ≥-2()2f x x x ∴=+，()1x ≥- 3.已知2 2 1111x x f x x --??= ?++??，则()f x 的解析式为 。 【答案】 2 21x x + 【解析】令11x t x -=+，得11t x t -=+，∴()2 2211211111t t t f t t t t -??- ?+??==+-?? + ?+?? ，∴()2 21x f x x =+． 4.已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x)＝ . 【答案】f (x )＝ln x ＋1 【解析】根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1。 5.设 若 ，则f(x)= .高考数学试题分类大全
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2021高考数学考点精讲精练《02 解析式》(讲解)(解析版)
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]