考点七 指数与指数函数
知识梳理
1.根式
如果a =x n ,那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *),当n 为奇数时,正数的n 次实数方根是一个正数,负数的n 次实数方根是一个负数,记为:n
a ;当n 为偶数时,正数的n 次实数方根有两个,它们互为相反数,记为:±n a .式子n
a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (1)两个重要公式
① n
a =?????a (n 为奇数),|a |=?????a (a ≥0),-a (a <0)(n 为偶数); ② (n a )n =a (注意a 必须使n
a 有意义). (2)0的任何次方根都是0. (3)负数没有偶次方根. 2.分数指数幂 (1)分数指数幂的概念:
①正分数指数幂:a m n
=n
a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1). ②负分数指数幂:a
m n -=
1
a m n
=
1n a m
(a >0,m ,n ∈N *,且n >1).
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质: ①a r a s =a r +
s (a >0,r ,s ∈Q ); ②(a r )s =a r s (a >0,r ,s ∈Q ); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂a r (a >0,r 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 4.指数函数的图象与性质
图象
定义域 R 值域
(0,+∞)
性质
过点(0,1),即x =0时y =1
当x >0时,y >1; 当x <0时,0
是R 上的减函数
典例剖析
题型一 指数幂的化简与求值 例1 的值是 .
答案 -3 解析
.
变式训练 下列各式正确的是 .(填序号) ① ②
④a 0=1
答案
解析 根据根式的性质可知
正确.
,a =1条件为(a ≠0),故①、②、④错.
例2 化简或求值
(1)
(2)
(a 2
3
·b -1
)
12
-·a
1
2
-
·b
1
3
6
a ·
b 5
解析 (1)原式=
=
.
(2)原式=
a
13
-
b 12
·a 12
-b
13
a 16
b
56
=a
111326
---·b
115
236
+-=1a
. 解题要点 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.题型二指数函数的图象和性质
例3函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是.(填序号)
①a>1,b<0 ②a>1,b>0 ③00 ④0 答案④ 解析由f(x)=a x-b的图象可以观察出函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0 变式训练指数函数y=恒过的定点为. 答案(,2) 解析由函数y=a x恒过(0,1)点, 可得当3x-2=0,即时,y=2恒成立, 故函数恒过点(,2). 故答案为:(,2). 题型三指数值的大小比较 例4设,则y1、y2、y3的大小关系是. 答案y1>y3>y2 解析. 因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数,所以y1>y3>y2. 变式训练若,则x的取值范围是. 答案(-∞,-3) 解析原不等式可化为,而指数函数y=是定义在R上的减函数, 所以x<-3. 解题要点比较大小时,首先要观察有无同底或是同指数的,①若指数相同,底数不同,则利用幂函数的单调性;②若底数相同,指数不同,则利用指数函数的单调性;③若底数不同,指数也不同,应寻找中间值(常用0,1)进行比较. 当堂练习 1. 11 2 22 111 323 ?????? ? ? ? ?????? ,,的大小关系是________. 答案 11 2 22 111 332?????? << ? ? ??????? 解析函数 1 3 x y ?? = ? ?? 是减函数,由 1 2 3 >,知 1 2 2 11 33 ???? < ? ? ???? ; 又 11 22 1 2 1 2 11 3 22 1 12 1 3 3 ???? ? ??? ??==> ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ,由函数 3 2 x y ?? = ? ?? 的性质,知 1 2 3 1 2 ?? > ? ?? ,故 11 22 11 23 ???? > ? ? ???? ; 所以 11 2 22 111 332 ?????? << ? ? ???????. 2.函数y=a x-3+3恒过定点________. 答案(3,4) 解析当x=3时,f(3)=a3-3+3=4,所以f(x)必过定点(3,4). 3. 已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域. 答案[1,9] 解析由f(x)过定点(2,1)可知b=2,因f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9. 4.化简的结果是. 答案 解析 5.若指数函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数,那么解得. 答案A 解析 ∵指数函数y =(a -2)x 在(-∞,+∞)上是减函数, ∴0<a -2<1,解得2<a <3. 课后作业 一、 填空题 1.设集合A ={x ||x -1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B = . 答案 [1,3) 解析 由|x -1|<2,解得-1 2.若a =????341 3-,b =????341 4-,c =????321 4 -,则a 、b 、c 的大小关系是 . 答案 c 解析 由y =????34x 在R 上单调递减,知????341 4-???341 3 -, 而????321 4 -<1???341 4-,所以????321 4-???341 4-???3413-. 即c 3.的值为 . 答案 0 解析 . 4. 的值是 . 答案 0或2(a -b ) 解析 当a -b ≥0时,原式=a -b +a -b =2(a -b ); 当a -b <0时,原式=b -a +a -b =0. 5.设a =40.7,b =0.30.5,c =log 23,则a 、b 、c 的大小关系是 . 答案 b 解析 a =40.7>41 2=2,0 6.函数f (x )=1-2x + 1 x +3 的定义域为 . 答案 (-3,0] 解析 若使函数有意义,则? ??? ? 1-2x ≥0x +3>0,解得-3 7.已知f (x )=2x +2- x ,若f (a )=3,则f (2a )等于 . 答案 7 解析 由f (a )=3得2a +2- a =3,两边平方得22a +2-2a +2=9,即22a +2 -2a =7, f (2a )=7. 8.如果指数函数y =(a 2)x 在x ∈R 上是减函数,则a 的取值范围是 . 答案 (2,3) 解析 因为指数函数y =(a 2)x 在x ∈R 上是减函数,所以有0<a 2<1,解得2<a <3,即a 的取值范围为(2,3). 9.函数y =a x - 1+1过定点 . 答案 (1,2) 解析 ∵函数f (x )=a x 过定点(0,1),∴当x -1=0时,x =1,∴此时y =a x - 1+1=1+1=2, 故y =a x - 1+1过定点(1,2).故答案为:(1,2). 10.函数119x y ?? =- ??? 的定义域是________. 答案 (-∞,0] 解析 由题意得(19)x -1≥0,即(1 9)x ≥1,x ≤0. 11.计算:23×31.5×6 12=________. 答案 6 解析 原式=2×312 ×(3 2 )1 3×121 6=2×31 2×31 3×21 3-×31 6×21 3=2×3111 236++×211 33-+=6. 二、解答题 12.计算下列各式的值 (1)×+80.25×+(×)6- ; (2) . 解析 (1) 原式=×1+×+(×)6-=2+4×27=110; (2)原式 . 13.函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2,求a 的值. 解析 当a >1时,f (x )=a x 为增函数,在x ∈[1,2]上,f (x )最大=f (2)=a 2,f (x )最小=f (1)=a . ∴a 2-a =a 2.即a (2a -3)=0.∴a =0(舍)或a =32>1.∴a =3 2 . 当0 2.∴a (2a -1)=0, ∴a =0(舍)或a =1 2 . ∴a =12.综上可知,a =12或a =32 .