弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积练习题

初中数学冀教版九年级上册第二十八章弧长和扇形面积的计算练习题一、选择题1.圆心角为的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是A. B. C. D.2.一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是，则圆锥的母线长是A. 8cmB. 12cmC. 16cmD. 24cm3.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为，扇形的圆心角为，则圆锥的全面积为A. B. C. D.4.如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为A. B. C. D.5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚如图，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为A. B. C. 4 D.6.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为A. 2cmB. 4cmC. 1cmD. 8cm7.一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是A. B. C. D.8.如图，在▱ABCD中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.9.圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是A. B. 10cm C. 6cm D. 5cm10.钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是A. B. C. D.二、填空题11.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为20cm，扇面BD的长为15cm，则弧DE的长是______．12.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为______．13.已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为______．14.一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______结果保留15.如图，中，，CD平分交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的分别交AC、BC于点E、F，，，则劣弧的长为______．三、解答题16.如图，在平面直角坐标系中，将点C顺时针旋转后得则．请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标；求线段AC旋转到时扫过的面积S．17.如图，的直径，半径，D为上一动点不包括B，C两点，，，垂足分别为E，F．求EF的长．若点E为OC的中点，求劣弧CD的长度；者点P为直径AB上一动点，直接写出的最小值．18.如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径，圆心角，求的长．19.已知：扇形的圆心角为，弧长为，求扇形面积．20.如图，AB是的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若，．求的半径；求图中阴影部分的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：扇形的面积公式，故选：B．根据扇形的面积公式计算可得答案．本题考查扇形的面积公式．2.【答案】B【解析】解：圆锥的底面周长为，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得，，解得，，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．根据圆锥侧面展开图的实际意义求解即可．本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．3.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据题意得，解得，，解得，所以圆锥的全面积．故选：A．设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用圆的周长公式得，解得，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后计算底面圆的面积与扇形的面积可得到圆锥的全面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4.【答案】A【解析】解：连接CD、OC、OD．，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，，，弧CD的长为，，解得：，又，、是等边三角形，在和中，，≌，．故选：A．连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．5.【答案】B【解析】解：如图：，，点从开始至结束所走过的路径长度为弧，故选：B．根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．6.【答案】A【解析】解：扇形的弧长是，设底面半径是r，则，解得：．故选：A．首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．7.【答案】C【解析】解：，故选：C．根据扇形的面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：在▱ABCD中，，的半径为3，，图中阴影部分的面积是：，故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，根据题意得，解得．即圆锥的母线长为10cm，圆锥的高为：．故选：A．10.【答案】B【解析】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是，则分针在钟面上扫过的面积是：故选：B．从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是，利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．11.【答案】【解析】解：弧DE的长为：．故答案为：．直接利用弧长公式计算得出答案．此题主要考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．12.【答案】【解析】解：圆锥的侧面积故答案为．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13.【答案】3【解析】解：设半径为r，由题意，得，解得，故答案为：3．根据扇形的面积公式，可得答案．本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．14.【答案】【解析】解：，故答案为．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积是扇形的半径，l是扇形的弧长．15.【答案】【解析】解：连接DF，OD，是的直径，，，，，平分交AB于点D，，，，，在中，，的半径，劣弧的长，故答案为连接DF，OD，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，根据三角函数的定义得到，根据弧长个公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．16.【答案】解：如图所示，；由勾股定理得，，线段AC旋转到时扫过的面积．【解析】根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转后的对应点、的位置，再与点C 顺次连接即可，根据平面直角坐标系写出点的坐标；利用勾股定理列式求出AC，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．17.【答案】解：如图，连接OD，圆的半径为．，，，四边形OFDE是矩形，．点E为OC的中点，，，，劣弧CD的长度为．延长CO交于点G，连接DG交AB于点P，则的最小值为DG．，，，的最小值为．【解析】连接OD，由，，知四边形OFDE是矩形，据此可得；先求出的度数，再利用弧长公式求解可得；延长CO交于点G，连接DG交AB于点P，则的最小值为DG，再根据及可得答案．本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的相关性质．18.【答案】解：的长为：．【解析】弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长．本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．19.【答案】解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：，解得：，即扇形的面积是．【解析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积弧长半径．20.【答案】解：直径，．平分AO，．又，．．在中，的半径为2；连接OF．在中，，．．．，，．【解析】本题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式．根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得解直角三角形求解．先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．。

24.4 弧长和扇形面积同步练习卷一．选择题（共10小题）.1．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6π2．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（）A．60πcm2B．96πcm2C．132πcm2D．168πcm23．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2cm，绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积是（）A．16πcm2B．8πcm2C．4πcm2D．2πcm25．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（）A．B．C．πD．6．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（）A．200πcm2B．100πcm2C．100πcm2D．50πcm27．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（）A．6πm2B．3πm2C．2πm2D．πm28．如图，长方形ABCD中，AB＝3BC，且AB＝9cm，以点A为圆心，AD为半径作圆交BA 的延长线于点M，则阴影部分的面积等于（）A．（π+9）cm2B．（π+18）cm2C．（π+9）cm2D．（π+18）cm2二．填空题9．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是度．10．一个周长确定的扇形，要使它的面积最大，扇形的圆心角应为度．11．已知扇形的弧长为6π，它的圆心角为120°，则该扇形的半径为．12．已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为．13．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是．14．已知一个圆锥形零件的母线长为13cm，底面半径为5cm，则这个圆锥形的零件的侧面积为cm2．（结果用π表示）．15．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为cm2．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为．三．解答题17．计算下图中扇形AOB的面积（保留π）18．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长．19．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．20．如图，在半径为6cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OE为3cm．（1）求弦AB的长；（2）求劣弧的长．21．在扇形OAB中，C是弧AB上一点，延长AC到D，且∠BCD＝75°．（1）求∠AOB的度数；（2）扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，若OA＝12，求该圆锥的底面半径．22．如图所示，现有一圆心角为90°、半径为80cm的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒；如果用其它铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封．（接缝都忽略不计）．求：（1）该圆锥盖子的半径为多少cm？（2）制作这个密封量筒，共用铁片多少cm2．（注意：结果保留π）参考答案一．选择题1．解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长＝＝4π．故选：B．2．解：根据题意，这个圆锥的全面积＝×2π×6×10+π×62＝60π+36π＝96π（cm2）．故选：B．3．解：根据题意，重物的高度为＝4π（cm）．故选：D．4．解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2cm∴AB＝4，则圆锥的底面周长＝4π，旋转体的侧面积＝×4π×4＝8π，故选：B．5．解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，∴扇形AEF的面积＝＝．故选：A．6．解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴OD＝OA＝10，AD＝OD＝10，∴AB＝2AD＝20，∴扇形围成的圆锥的侧面积＝＝200π（cm2）．故选：A．7．解：∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，∴花圃的面积为＝3π，故选：B．8．解：阴影部分的面积＝扇形MAD的面积+矩形ABCD的面积﹣△CMB的面积＝+3×9﹣×3×12＝（π+9）cm2，故选：C．二．填空题9．解：设圆的半径为r，弧长等于半径的圆弧水对的圆心角是n°，根据题意得r＝，即得n＝，即弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是度．10．解：设扇形的半径为r，周长为C，圆心角为n°，面积为S，S＝（C﹣2r）r＝﹣r2+r＝﹣（r﹣）2+，∴当r＝C时，S取得最大值，∴C＝4r，∴＝4r﹣2r，解得，n＝，故答案为：．11．解：设扇形的半径为r，6π＝，解得，r ＝9，故答案为：9．12．解：l ＝＝2π， 故答案为2π．13．解：根据题意得，S 扇形＝lR ＝＝30（cm 2）． 故答案为30cm 2．14．解：圆锥的底面周长＝2π×5＝10π，圆锥形的零件的侧面积＝×10π×13＝65π，故答案为：65π．15．解：S ＝S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE ＝﹣＝π（cm 2）． 故答案是：π16．解：连接OE ，如图，∵CE ∥OA ，∴∠BCE ＝90°，∵OE ＝4，OC ＝2，∴CE ＝OC ＝2，∴∠CEO ＝30°，∠BOE ＝60°，∴S阴影部分＝S 扇形BOE ﹣S △OCE ﹣S 扇形BCD ＝﹣×2×2﹣＝π﹣2．故答案为π﹣2三．解答题17．解：如图，因为∠ACO＝60°，OC＝OA＝4cm，所以△ACO是等边三角形，所以∠AOC＝60°，所以∠AOB＝120°，＝π（cm2）答：扇形AOB的面积是πcm2．18．解：如图，由题意得：2πr＝，而r＝2，∴AB＝6，∴由勾股定理得：AO2＝AB2﹣OB2，而AB＝6，OB＝2，∴AO＝4．即该圆锥的高为4．19．解：由图形可知，∠AOB＝90°，∴OA＝OB＝＝2，∴扇形OAB的面积＝＝2π，弧AB的长是：＝π∴周长＝弧AB的长+2OA＝π+4．综上所述，扇形OAB的弧长是π，周长是π+4，面积是2π．20．解：（1）∵OE⊥AB，∴E为AB的中点，即AE＝BE，在Rt△AOE，OA＝6cm，OE＝3cm，根据勾股定理得：AE＝＝3cm，则AB＝2AE＝6cm．（2）在直角△OAE中，OA＝6cm，OE＝3cm，则OA＝2OE，所以∠OAE＝30°，∴∠AOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧的长是：＝4π（cm）．21．解：（1）作出所对的圆周角∠APB，∵∠APB+∠ACB＝180°，∠BCD+∠ACB＝180°，∴∠APB＝∠BCD＝75°，∴∠AOB＝2∠APB＝150°；（2）设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5，∴该圆锥的底面半径为5．22．解：（1）圆锥的底面周长是：＝40πcm ．设圆锥底面圆的半径是r ，则 2πr ＝40π．解得：r ＝20cm ；（2）S ＝S 侧+S 底＝×π×802+400π＝2000π（cm 2）． 答：共用铁片2000πcm 2．。

弧长与扇形面积练习题1. 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π2. 如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cmB．35cm C．8cm D．53cm3．如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．180°12cm 6cm7.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π8.如图,圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC= 6cm，点P是母线BC上一点,且PC=23 BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（64π+）cm B．5cm C．35cm D．7cm9.如图，半径为1的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（）A . 17πB . 32πC . 49πD . 80π10. 如图，AB切⊙O于点B，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧⌒BC的弧长为（）．A．33πB．32πC．πD．32π11. 在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．12. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。

（结果用π表示）13.如图，圆锥的底面半径OB为10cm，它的展开图扇形的半径AB为30cm，则这个扇形的圆心角a的度数为____________．14. 如图,点A、B、C在直径为32的⊙O上,∠BAC=45º,则图中阴影的面积等于______________,(结果中保留π).2、如果一条弧长等于l，它的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1o，则它的弧长增加（）Ａ．lnＢ．180RπＣ．180lRπＤ．360l3、已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的面积为（）A、18πcm2B、36πcm2C、12πcm2D、9πcm24、圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加到（）A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍5、一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A、1.5cmB、7.5cmC、1.5cm或7.5cmD、3cm或15cm8、扇形的周长为16，圆心角为360πo，则扇形的面积是（）Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π10、如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与12∠BOC相等的角共有（）A、2个B、3个C、4个D、5个15、如图，将三角尺ABC（其中∠B=60°，∠C=90°，AB=6）绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，点A所经过的路程是（）A、2πB、4πC、8πD、12π16、如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长为（ ）13、如图，扇形OAB 的圆心角为90o，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（）Ａ．P Q = Ｂ．P Q > Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定17、如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点。

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】【考点二已知弧长，求圆心角的度数】【考点三求某点的弧形运动路径长度】【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】【考点五求图形旋转后扫过的面积】【考点六求弓形的面积】【考点七求其他不规则图形的面积】【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】【考点十圆锥侧面上最短路径问题】【过关检测】22【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，则该扇形的弧长为cm ．【答案】52π/2.5π【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：∵L =n πr180，扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，∴扇形的弧长L =150π×3180=52π，故答案为：52π．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L =n πr180是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江湖州·统考一模)一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．【答案】2π【分析】利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：弧长为=90180π×4=2π；故答案为：2π【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．2(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】1(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为．【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S =12lR ，求出R ，再根据扇形面积公式求解.【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π，∴S =12lR ，即10π=12×10π3R ，解得：R =6，∴S =10π=n π×62360，解得：n =100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【变式训练】1(2023·江苏镇江·统考二模)扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为x °，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x °，由题意得，12πx180=6π，解得，x =90，故答案为：90．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l =n πr180是解题的关键．2(2023·浙江温州·校考三模)若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为．【答案】90°/90度【分析】设扇形圆心角的度数为n ，根据弧长公式即可得出结论．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n ，∵扇形的弧长为2π，∴n π×4180°=2π，∴n =90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．【考点三求某点的弧形运动路径长度】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将△AOB 顺时针旋转90°得到△A OB ，其中点A 与点A 对应，点B 与点B 对应．如果A -4,0 ，B -1,2 ．则点A 经过的路径长度为(含π的式子表示)【答案】2π【分析】A 点坐标为已知，求出OA 长度，再利用弧长公式l =n πr180求解即可．【详解】解：∵A -4,0如图，由题意A 点以原点O 旋转中心旋转了90°∴点A 经过的路径AA的长度=90⋅π×4180=2π故答案为：2π．【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．【变式训练】1(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3cm ，∠B =60°．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ，若点B 的对应点B 恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长是cm (结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．2(2023·广东东莞·校考一模)如图，△ABC 和△A B ′C ′是两个完全重合的直角三角板，∠B =30°，斜边长为12cm ．三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上时，则点A ′所转过的路径长为cm ．【答案】2π【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到∠A =60°,AC =12AB =6cm ，再根据旋转的性质得CA ′=CA ，于是可判断△CAA ′为等边三角形，所以∠ACA ′=60°，然后根据弧长公式计算弧AA ′的长度即可．【详解】∵∠ACB =90°，∠B =30°，AB =12cm ，∴∠A =60°,AC =12AB =6cm ，∵三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上，∴CA ′=CA ，∴△CAA ′为等边三角形，∴∠ACA ′=60°，∴弧AA ′的长度=60°π×6180°=2πcm ，即点A ′所转过的路径长为2πcm ．答案为：2π．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm ，则这个扇形的面积是cm 2．【答案】2π【详解】根据扇形的面积公式即可求解．【分析】解：扇形的面积=80π×32360=2πcm 2 ．故答案是：2π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测)一个扇形的弧长是8πcm ，圆心角是144°，则此扇形的面积是．【答案】40π【分析】设该扇形的半径为rcm ，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设该扇形的半径为rcm ，由题意得：144πr180=8π，解得：r =10，S 扇形=12lr =12×8π×10=40π，故答案为：40π．【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．2(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，正五边形ABCDE 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【答案】245π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵正五边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°，∵正五边形的边长为4，∴S 阴影=108⋅π×42360=245π，故答案为：245π．【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【考点五求图形旋转后扫过的面积】1(2023·河南安阳·统考一模)如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转36°，得到扇形OAB，则AB扫过的区域(即图中阴影部分)的面积为．【答案】π10【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得S 阴影=S 扇形BAB，然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】∵OA =OB =1，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =OA =1，由旋转性质可得，∠OAO =∠BAB =36°，S △AOB =S △AO B，则S 阴影=S 扇形BAB+S △AOB -S 扇形AOB +S 扇形AO B-S △AO B，=S 扇形BAB，=36π×12360，=π10，故答案为：π10．【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．【变式训练】1(2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△A B C ，已知AC =3，BC =2，则线段AB 扫过的图形(阴影部分)的面积为．【答案】5π3/53π【分析】由于将△ABC 绕点C 旋转120°得到△A B C ，可见，阴影部分面积为扇形ACA ′减扇形BCB ′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．【详解】解：从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是120°，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积=120π×32-22 360=53π【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．2(2022秋·山东烟台·九年级统考期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AB =8，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△A B C 的位置，使C 、A 、B 三点在同一条直线上，则直角边BC 扫过的图形面积为．【答案】16π【分析】根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，因此直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，因为S △ABC=S △ABC ，因此S =S 扇形BAB-S 扇形CAC ，代入数值即可求得答案．【详解】解：根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，△ABC ≌△AB C ，所以直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，由于S △ABC=S △ABC ，所以S =S 扇形BAB -S 扇形CAC =120°×π×82360°-120°×π×42360°=64π3-16π3=16π，故答案为：16π．【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出BC 扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．【考点六求弓形的面积】1(2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，OA =6，则阴影部分的面积是．【答案】9π-18【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．【详解】∵OA =OB =6，∠AOB =90°，∴S 阴=S 扇形OAB -S △AOB =90π×62360-12×6×6=9π-18．故答案为：9π-18．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．【变式训练】1(2023·山东泰安·统考二模)如图C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，则阴影部分的面积是【答案】23π-3【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，用扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可得出结果．【详解】解：设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，∵C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，∴OD =OC =2，∠DOB =90°,∠COB =2∠BAC =30°，∴∠DOC =∠DOB -∠COB =60°，∴△COD 为等边三角形，∴CD =OD =OC =2，过点O 作OE ⊥CD ，则：CE =12CD =1，∴OE =OC 2-CE 2=3，∴阴影部分的面积=S 扇形COD -S △COD =60π×22360-12×2×3=23π-3；故答案为：23π-3．【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．2(2023·河南周口·校联考三模)如图，在△ABC 中，BC =BA =4，∠C =30°，以AB 中点D 为圆心、AD 长为半径作半圆交线段AC 于点E ，则图中阴影部分的面积为．【答案】4π3-3【分析】连接DE ，BE ，然后根据已知条件求出∠ABE =60°，AE =23，从而得到∠ADE =120°，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．【详解】解：如图，连接DE ，BE ．∵AB 为直径，∴∠BEA =90°．∵BC =BA ，∴∠BAC =∠BCA =30°，∴∠ABE =60°，BE =12AB =2，AE =3BE =32AB =23，∵BD =DE ，∴△BDE 是等边三角形，∴∠ADE =120°，∴阴影部分的面积=S 扇形DAE -S △ADE=120π×22360-12S △ABE=120π×22360-12×12×23×2=4π3-3=4π3-3．故答案为：4π3-3．【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七求其他不规则图形的面积】1(2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB =8，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 向右平移至扇形O A C ，如图2，其中O 是OB 的中点，O C 交BC于点F ，则图中阴影部分的面积为．【答案】8π3-23【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得O F 的长，再根据图形，可知阴影部分的面积=扇形COB 的面积∽△OO F 的面积-扇形OFC 的面积，计算即可．【详解】解：连接OF ，由题意可得，OB =4，OO =2，∠OO F =90°，∴∠OFO =30°，∴∠O OF =60°，∴O F =23，∴阴影部分的面积是：90π×42360-2×232-30×π×42360=8π3-23，故答案为：8π3-23．【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1(2023·河南信阳·统考一模)如图，正五边形ABCDE 的边长为1，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】32-π15【分析】连接CF ，DF ，由CF =DF =CD =1，得∠FCD =∠FDC =60°，求出∠FCD =∠FDC =60°，根据公式求出S 扇形BCF ，S 正△CFD ，S 扇形CDF ，即可得到阴影面积．【详解】如图，连接CF ，DF ，由题意，得∠BCD =(5-2)×180°5=108°，∵CF =DF =CD =1，∴∠FCD =∠FDC =60°，∴∠BCF =108°-60°=48°，∴S 扇形BCF =48π×12360=2π15，S 正△CFD =34×12=34，S 扇形CDF =60π×12360=π6，∴S 阴影BCF =2π15+34-π6=34-π30，∴S 阴影=34-π30 ×2=32-π15，故答案为：32-π15．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．2(2023·河南南阳·统考模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AD =2，AB =1，以D 为圆心，以AD 长为半径画弧，以C 为圆心，以CD 长为半径画弧，两弧恰好交于BC 上的点E 处，则阴影部分的面积为．【答案】12【分析】如图，连接DE ，根据勾股定理，得DE =2，根据阴影部分的面积S 1为：扇形AED 的面积减去S 2，根据S 2的等于扇形DCE 的面积减去S 3，即可求解．【详解】解：连接DE ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，AB =DC =1，∵EC =DC =1，∴∠CDE =45°，∴∠ADE =45°，∴扇形DAE 的面积为：45π×2 2360=π4，∵S 2=S 扇形DCE -S 3=90π×12360-12×1×1=π4-12，∴阴影部分的面积为：S 1=S 扇形ADE -S 2=π4-π4-12 =12．故答案为：12．【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】1(2023·全国·九年级专题练习)若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是．(结果保留π)【答案】10π【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级统考期中)若圆雉的侧面积为12π，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为12π，底面半径为3，3πl=12π．解得：l=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．2(2023·广东梅州·统考一模)若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】12π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，∴圆锥的侧面积为12×2×3π×4=12πcm2．故答案为：12π．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是．【答案】1【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120×π×3180，然后解关于r的方程即可．【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=1．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4(2023·浙江衢州·统考二模)某个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【答案】2【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】解：设此圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=120π×6180，r=2故答案为2．【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】1(2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是4，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是．【答案】180°/180度【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．【详解】解：∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，∴nπ×4180=4π，解得：n=180，∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为，圆锥侧面展开图形的圆心角是度．【答案】15π216【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧=πrl即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．【详解】解：圆锥的侧面积S侧=π×3×5=15π，圆锥的底面周长L=2π×3=6π，扇形圆心角=180×6ππ×5=216°．故答案为：15π，216．【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．2(2023·江苏·九年级假期作业)若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【答案】160°/160度【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，根据题意得：2π×4=n π×9180，解得n =160，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°，故答案为：160°．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长是解答本题的关键．【考点十圆锥侧面上最短路径问题】1(2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末)如图，已知圆锥底面半径为20cm ，母线长为60cm ，一只蚂蚁从A 处出发绕圆锥侧面一周(回到原来的位置A )所爬行的最短路径为cm ．(结果保留根号)【答案】603【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过S 作SC ⊥AB ,∴AC =BC设∠ASB =n °，即：2π×20=n π×60180，得：n =120，∴∠ASC =60°∴AC =AS ×sin ∠ASC =60×32=303∴AB =2AC =603，故答案为：603．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．【变式训练】1(2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中)如图，AB 是圆锥底面的直径，AB =6cm ，母线PB=9cm ．点C 为PB 的中点，若一只蚂蚁从A 点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C 点处，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】932/923【分析】先画出圆锥侧面展开图(见解析)，再利用弧长公式求出圆心角∠APA 的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得AC =932，最后根据两点之间线段最短即可得．【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB 、AC ，设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA 的度数为n °，因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，所以n π×9180=2π×3，解得n =120，则∠APB =12APA =60°，又∵AP =BP =9，∴△ABP 是等边三角形，∵点C 为PB 的中点，∴AC ⊥BP ，CP =12BP =92，在Rt △ACP 中，AC =AP 2-CP 2=932，由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC =932，故答案为：932．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．2(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中)如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A ，将圆锥沿母线OA 剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA =120°，OA =3，则蚂蚁爬行的最短距离是．【答案】3【分析】连接AA ′，作OB ⊥AA ′于点B ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出AA ′即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出∠OAB =30°，再根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，得出OB =32，再根据勾股定理，得出AB =32，再根据三线合一的性质，得出AB =A ′B ，再根据线段之间的数量关系，得出AA ′=3即可解答．【详解】解：如图，连接AA ′，作OB ⊥AA ′于点B ，∴AA ′即为蚂蚁爬行的最短距离，∵OA =OA ′，∠AOA ′=120°，∴∠OAB =30°，在△OAB 中，OB ⊥AA ′，∠OAB =30°，∴OB =12OA =12×3=32，∴AB =OA 2-OB 2=3 2-32 2=32，在△AOA ′中，OA =OA ′，OB ⊥AA ′，∴AB =A ′B ，∴AA ′=2AB =2×32=3．∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为：3【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)一个扇形的半径是4cm ，圆心角是45°，则此扇形的弧长是()A.πcmB.2πcmC.4πcmD.8πcm 【答案】A【分析】根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：由题意得，扇形的半径为4cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为45π×4180=πcm，故选：A．【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．2(2023·浙江温州·校联考三模)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为() A.8π B.10π C.12π D.20π【答案】D【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【详解】解：根据题意可得：圆锥的侧面积为：π×4×5=20π，故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．3(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()A.10πcmB.103πcmC.15πcmD.20πcm【答案】A【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径的圆弧，旋转的角度是180°-60°=120°，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=7.5cm，∴∠ACA =120°，AC=2BC=15cm，∴120π×15180=10πcm，故选：A．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．4(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为()A.3π-332B.9π4-33 C.π-34D.3π-34【答案】B【分析】连接OD ，由折叠的性质可得CD =CO ，BD =BO ，∠DBC =∠OBC ，从而得到△OBD 为等边三角形，再求出∠CBO =30°，从而得出OC =3，进行得出S △BOC =332，最后由△BOC 与△BDC 面积相等及S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC ，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接OD ，，根据折叠的性质，CD =CO ，BD =BO ，∠DBC =∠OBC ，∴OB =BD =OD ，∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO =60°，∴∠CBO =12∠DBO =30°，∵∠AOB =90°，∴OC =OB ⋅tan ∠CBO =3×33=3，∴S △BOC =12OB ⋅OC =332，∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC =14π×32-332-332=94π-33，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算-求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到S 阴影=S 扇形AOB -S △BOC -S △BDC 是解题的关键．5(2023·辽宁抚顺·统考一模)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ,OB 长分别为半径，圆心角∠O =120°形成的扇面，若OA =3m ,OB =1.5m ，则阴影部分的面愁为()A.4.25πm 2B.25πm 2C.3πm 2D.2.25πm 2【答案】D【分析】根据S 阴影=S 扇形DOA -S 扇形BOC 计算即可．【详解】S 阴影=S 扇形DOA -S 扇形BOC =120π×9360-120π×94360=2.25πm 2故选：D ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S =n πR 2360是解题的关键．二、填空题6(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是．【答案】90°/90度【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．【详解】∵圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，圆锥侧面展开图的圆心角θ，∴2πr =θπl180，∴θ=360×2×π8π=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．7(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)如图，半圆O 的直径AB =6，弦CD =3，AD的长为34π，则BC的长为．【答案】5π4【分析】由题意可知：△OCD 是等边三角形，从而可求出弧CD 的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC 的长度．【详解】解：连接OD 、OC ，∵CD =OC =OD =3，∴△CDO 是等边三角形，∴∠COD =60°，∴CD 的长=60⋅π×3180=π，又∵半圆弧的长度为：12×6π=3π，∴BC =3π-π-3π4=5π4．故答案为：5π4【点睛】本题考查圆了弧长的计算，等边三角形的性质等知识，属于中等题型．8(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．9(2023·吉林长春·校联考二模)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上(点C 不与A 、B 重合)，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接AC ．若∠D =45°，则BC的长度是(结果保留π)【答案】π2/12π【分析】连接OC ，根据切线的性质，得出∠OCD =90°，再根据三角形的内角和定理，得出∠DOC =45°，即∠BOC =45°，再根据圆的基本概念，得出OB =2，再根据弧长公式，计算即可．【详解】解：如图，连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，。

24.4 弧长和扇形面积习题一、 选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ）A ．1B ．πC ．2D ．2π(1) (2) (3)3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A ．12πmB ．18πmC ．20πmD ．24πm4．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 5．在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm ，母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ）A ．228°B ．144°C ．72°D ．36°6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，•从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ）A ．3B ．332 C ．3 D ．3 二、填空题1．如果一条弧长等于4πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，• 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍．3．母线长为L ，底面半径为r 的圆锥的表面积=_______．4．矩形ABCD 的边AB=5cm ，AD=8cm ，以直线AD 为轴旋转一周，•所得圆柱体的表面积是__________（用含π的代数式表示）5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m 2的油毡．三、综合提高题1．如图所示，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为3πR ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．2．如图，若⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O•内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD ，AB=1，AD=3，将画刷以B 为中心，按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置（A ′点转在对角线BD 上），求屏幕被着色的面积．4．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm ，母线长是120cm ，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？_ . . . _B_A_O5．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°,求圆锥全面积．6．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．。

【填空题】必考重点11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算圆的有关计算主要包括弧长的计算、扇形的面积、圆锥的侧面积以及圆锥的半径或母线的长度计算，是江苏省各地市中考的必考点，难度一般或较为简单。

接此类题目时，要求考生熟记弧长的计算公式，扇形的面积公式等基本知识，在做题时注意找出已知量，标出所求量，根据公式计算即可。

【2022·江苏徐州·中考真题】如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．【考点分析】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意．【思路分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到6180απ⨯＝2π•2，然后解方程即可．【2022·江苏宿迁·中考真题】将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．【考点分析】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．【思路分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【2021·江苏徐州·中考真题】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为8cm，扇形的圆心角90θ=︒，则圆锥的底面圆半径r为__________cm．【考点分析】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解．【思路分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案．【2021·江苏宿迁·中考真题】已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【考点分析】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．【思路分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．1．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室二模）把半径为12且圆心角为150︒的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为__________．2．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）用一个直径为30cm圆形扫地机器人，打扫一间长为4m、宽为3m 的矩形房间，则打扫不到的角落的面积为______．（结果保留π）3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为______．4．（2022·江苏常州·二模）已知圆锥的底面半径为9，高为12，则这个圆锥的侧面积为____________．5．（2022·江苏南京·二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为______cm．6．（2022·江苏扬州·三模）小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为5cm，圆心角为240°，那么这个圆锥形容器底面半径为______cm．7．（2022·江苏南京·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为______．8．（2022·江苏·二模）如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为AA ，则图中阴影部分的面积和为_______．9．（2022·江苏无锡·模拟预测）学习圆锥有关知识的时候，韩老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个底面半径为3cm ，母线长为5cm 的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是__cm 2． 10．（2022·江苏徐州·二模）如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为______2cm （结果保留π）．11．（2022·江苏南京·一模）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，3为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点．则图中阴影部分的面积是 _____．12．（2022·江苏苏州·一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，60DAB ∠=︒，4AB =．分别以点A ，点C 为圆心，AO ，CO 长为半径画弧交AB ，AD ，CD ，CB 于点E ，F ，G ，H ，则图中阴影部分面积为______．（结果保留根号和π）13．（2022·江苏南京·一模）如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则MN的长为______（结果保留π）．AB=，将半圆O绕点B顺时针旋转45︒得到半圆'O，与14．（2022·江苏无锡·一模）如图，半圆O的直径6AB交于点P，图中阴影部分的面积等于__________．15．（2022·江苏无锡·一模）如图，边长为2的等边ABC的中心与半径为2的O的圆心重合，E，F分别是CA，AB的廷长线与O的交点，则图中阴影部分的面积为__________．16．（2022·江苏扬州·一模）如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P 是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是______．17．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，小明利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果用含π的式子表示）18．（2022·江苏·靖江市滨江学校一模）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则BE的长为_____．19．（2022·江苏苏州·二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC 于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为_______．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，半径为3的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧上一点，CD⊥OA，CE ⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为40°，则图中阴影部分的面积为_______．21．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，AB的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为_______cm2（结果保留π）．22．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB 的中点，过点C 的切线交OB 的延长线于点E ，当BE ＝43 __________________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在Rt AOB 中，90AOB ︒∠=，3OA =，2OB =，将Rt AOB 绕O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是________．24．（2022·江苏南京·模拟预测）OABC 中，D 为边BC 上一点，且CD ＝1，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为__．25．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，C 为半径的半圆交AB 于C 、OC=，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留D两点，弦AF切小半圆于点E．已知2OA=，1π）【填空题】必考重点11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算圆的有关计算主要包括弧长的计算、扇形的面积、圆锥的侧面积以及圆锥的半径或母线的长度计算，是江苏省各地市中考的必考点，难度一般或较为简单。

人教版 九年级数学上册 第24章 24.4弧长和扇形面积 专题练习（含答案）基础巩固1.⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形周长为3.4， 则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ）AB． D2.如图已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8 米，所对的圆心角为100°，则弧长是 米．(π≈3) 【参考答案】 1. C 2. D 3. C 4. 3O O 10AOB 120°24πcm 26πcm 29πcm 212πcm 120 BOA6cm能力提高 一、选择题1.如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ） A ．B ．C ．D ．2.将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( )A ．10cmB ．30cmC ．40cmD ．300cm3.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ） A ．1.5B ．2C ．3D ．64.有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）．A.9°B.18°C.63°D.72°5.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（ ）A.B. C. D. O ⊙6OA =90AOB ∠=°AOB ∠AB 2π3π6π12π125135131013126.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题1.，圆心角等于450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D .E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .2.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．3.将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3，则圆锥的侧面积是____.4.如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 ．6cm OB =，8cm OC =．230cm 230cm π260cm π2120cm AB ππABC ︒=∠90ACB ︒=∠30B 6=BC C A 'A AB B 第2题图5.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留）．6.矩形ABCD的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．7.已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为,把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则：等于_________ 三、解答题1.如图，有一个圆O 和两个正六边形，．的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆O 相切（我们称，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设，的边长分别为，，圆O 的半径为，求及的值； （2）求正六边形，的面积比的值．π1111A B C D 1S 2S 1S 2S 1T 2T 1T 2T 1T 2T 1T 2T a b r a r :b r :1T 2T 21:S SB 'A CAB 第4题2.如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ； （2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm ，求OC 的长．3.如图，已知菱形的边长为，两点在扇形的上，求的长度及扇形的面积．2 43cm ABCD 1.5cm B C ，AEF ABCBCD AEF【参考答案】 选择题 1. B 2. A3. C4. B5. A6. C 填空题 1.2. 3. 18π 4. 5. 6. 7. 2∶3 解答题1.解：（1）连接圆心O 和T 的6个顶点可得6个全等的正三角形 .所以r∶a=1∶1;连接圆心O 和T 相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形， 所以r∶b=∶2;（2） T ∶T 的连长比是∶2，所以S ∶S = . 2. （1）证明：2385-π∏83π22ππ24123123124:3):(2=b a（2）根据题意得：；∴ 解得：OC ＝1cm ．3. 解：四边形是菱形且边长为1.5，．又两点在扇形的上，，是等边三角形．．的长（cm ）BDAC BOD AOC DO CO BO AB BOD AOC AODBOD AOD AOC COD AOB =⇒∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒∠+∠=∠+∠⇒∠∠ 900＝＝360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影360)2(904322OC -=ππABCD 1.5AB BC ∴==B C 、AEF 1.5AB BC AC ∴===ABC ∴△60BAC ∴∠=°21805.160ππ=∙=ππ835.122121=∙∙==lR S ABC 扇形)(2cm。

【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长确实是圆周长C＝2R，因此1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都能够求出第三个量。

知识点2、扇形的面积如下图，阴影部份的面积确实是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部份，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，因此圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积，因此又取得扇形面积的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积（1）弓形的概念：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积图示面积知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如下图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么那个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是明白得圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

专题2.13 圆锥的侧面积（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，圆锥的底面圆半径r 为5cm ，高h 为12cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．65πcm 2B ．60πcm 2C ．100πcm 2D ．130πcm 22．从半径为8cm 的圆形纸片剪去圆周14的一个扇形，将剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A ．10cmB ．C ．8cmD ．6cm3．如图，O 是ABC 的外接圆，22.5,8ABO ACO BC ∠=∠=︒=，若扇形OBC （图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）AB ．CD 4．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A ，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A 中点B ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）A ．πB C ．D ．2π5．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6cm AD =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）A ．24πcmB ．25πcmC ．26πcmD ．28πcm6．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（ ）AB C ．D ．27．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．88．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm ．A ．15B ．30C ．45D ．30π9．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．54B．2C．52D．410．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（）A．4B．C．D．二、填空题11．如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12 cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm．12．如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝___cm．13．如图，菱形ABCD，∠A＝135°，以点C为圆心的弧EF分别与AB、AD相切于点G、H，与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_____．（结果保留根号）14．一个母线长为6cm ，底面半径为3cm 的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是___度．15．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的周长为_____．16．如图，已知圆锥的母线AB 长为40 cm ，底面半径OB 长为10 cm ，若将绳子一端固定在点B ，绕圆锥侧面一周，另一端与点B 重合，则这根绳子的最短长度是______________．17．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为__________．18．如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为______m ．三、解答题19．一块四边形ABCD 余料如图所示，已知AD BC ∥，2AD =米，AB =点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，用扇形AFD围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．20．如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求：（1）圆锥的底面半径；（2）圆锥的全面积．21．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：(1) 利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；(2) 连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；(3) 连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．22．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．(1) 求扇形AOB的弧长和扇形面积；(2) 若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．23．如图，已知圆锥的底面半径r为10cm，母线长为40cm．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．24．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=,现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．参考答案1．A【分析】根据圆锥的侧面积公式：S =πrl ，直接代入数据求出即可． 解：由圆锥底面半径r =5cm ，高h =12cm ，根据勾股定理得到母线长l （cm ）， πrl =π×5×13=65π（cm 2）， 故选：A ．【点拨】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．2．B【分析】先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高.解：圆心角是：1704360(1)2,︒⨯-=︒则弧长是：270812(cm),180ππ⨯= 设圆锥的底面半径是r ，则212r ππ=， 解得：r =6, 则圆锥的高是：=故选：B.【点拨】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.3．D【分析】根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB ，再根据扇形的弧长公式即可求解；解：根据圆的性质，2BOC A ∠=∠180180A ABO OBC ACO OCB OBC BOC OCB ∠+∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∵， A ABO ACO BOC ∠+∠+∠=∠∴∵2BOC A ∠=∠，22.5ABO ACO ∠=∠=︒90BOC ∴∠=︒∵8OB OC BC ==，∴OB OC =∴124BC π=⋅⋅=∴圆锥底面圆的半径为：2r π==∴圆锥的高h =故选：D【点拨】本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB ，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB 就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B 是母线P A 的中点，4PA =， ∴2PB =，∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长， 又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即22l r ππ==，扇形的半径=圆锥的母线=P A =4， 由弧长公式可得：42180180n R n l πππ⨯=== ∴扇形的圆心角90n =︒，在Rt △APB 中，由勾股定理可得：AB =所以蚂蚁爬行的最短路程为故选：C．【点拨】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．5．B【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到()9062180rπ⨯-=2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r根据题意得()9062180rπ⨯-=2 πr，解得r＝1，侧面积=1·2?442rππ=，底面积=2rππ=所以圆锥的表面积=25πcm，故选：B．【点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6．A【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可．解：∵圆锥的底面周长为2π∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为21801802nππ⨯︒==︒，如图∴∠BAD=90゜∵D为AC的中点∴112122AD AC==⨯=在Rt△BAD中，由勾股定理得BD故选：A【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法．7．C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD 中，根据勾股定理求出AD 的长，即可得答案．解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD 中，10AD=( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10cm，故选：C ．【点拨】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．8．A【分析】作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出CD的长度，CD的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴A ∠=30°，1452OE OA ==cm ， ∴12024530360CD ππ=⨯⨯=cm ， 设圆锥的底面圆半径为r cm ，根据题意得，230r ππ=，解得15r =，所以该圆锥的底面圆的半径为15cm ，故选A ．【点拨】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键． 9．A【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长152542l ππ=⨯⨯= 设圆锥底面半径为r ，则522r ππ= 54r ∴= 故选：A ．【点拨】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．10．C【分析】先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．解：正六边形的外角和为360︒，∴正六边形的每个外角的度数为360660，∴正六边形的每个内角的度数为18060120︒-︒=︒，设该圆锥的底面半径为r ， 则120226360r ππ=⨯⨯， 解得2r =，∴=故选：C ．【点拨】本题考查了正多边形与圆及圆锥的相关计算，以及勾股定理的应用，熟练掌握扇形与扇形所围圆锥侧面之间的等量关系是解题的关键．11．4【分析】设圆锥的母线长为l cm ，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到123122l ππ⨯⨯⨯=，然后解方程即可． 解：由扇形面积公式2360n S r π=⨯和弧长公式2360n l r π=⨯可得12扇形S lr ， 设圆锥的母线长为l cm ，根据题意知侧面展开扇形的弧长为23π⨯，从而得到123122l ππ⨯⨯⨯=， 解得l ＝4，即圆锥的母线长为4cm ，故答案为：4．【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．5【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解：∵圆锥的母线长是10cm ，侧面积是50πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 210010s r π===10π（cm ）， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 1022l πππ===5（cm ）， 故答案为：5．【点拨】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．13 【分析】先连接CG ，设CG R =，由三角函数定义求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式180n R l π=，再由2180n R r ππ=，求出底面半径r ，最后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 解：如图： 连接CG ，135C ∠=︒，45B ∴∠=︒，AB 与EF 相切，CG AB ∴⊥，在直角CBG ∆中，sin 451CG BC =⋅︒==，即圆锥的母线长是1， 设圆锥底面的半径为r ，则：13512180r ππ⨯=， 38r ∴=．则圆锥的高h ==．【点拨】本题考查的是圆锥的计算， 先利用直角三角形求出扇形的半径， 运用弧长公式计算出弧长， 然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径 ．14．180【分析】先计算出展开的扇形的弧长，再计算出以母线为半径的圆的周长，再根据圆心角公式即可得到答案．解：∵母线长为6l =cm ，底面半径为3r =cm ，∴展开的扇形的弧长为26r ππ=，以母线为半径的圆的周长为212l ππ=，∴侧面展开图扇形的圆心角=636018012ππ︒⨯=︒， 故答案为：180︒．【点拨】本题考查圆锥的性质，解题的关键是熟练掌握圆锥的相关知识． 15．83π【分析】由圆锥底面的周长=扇形的弧长，利用弧长公式解题．解：圆锥底面的周长=扇形的弧长120481801803n r l πππ⨯=== 故答案为：83π． 【点拨】本题考查扇形的弧长等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角90,BAB '∠=︒ 再利用勾股定理求解即可.解：圆锥的侧面展开图如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为n °， 圆锥底面圆周长为210=20，40=20,180n BB 则n =90， ∵40,AB AB 224040402,BB即这根绳子的最短长度是，故答案为：【点拨】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.17．【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE ．线段AC 与BB'的交点为F ，线段BF 是最短路程．解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF 为所求的最短路程．设∠BAB′＝n°．∵6180n π⋅＝4π， ∴n ＝120即∠BAB′＝120°．∵E 为弧BB′中点，∴∠AFB ＝90°，∠BAF ＝60°，∴BF ＝AB•sin ∠BAF ＝∴最短路线长为故答案为：【点拨】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维．18．23π 【分析】连接OA ，OB ，OC ，证明AOB 是等边三角形，从而求得AB 的长，然后利用弧长公式计算出BOC 的长度，即是该圆锥底面圆的周长．解：如图，连接OA ，OB ，OC ，∵OB OC =，∴OB OC =， ∴1602BAO CAO BAC ∠=∠=∠=︒， ∴AOB 是等边三角形，∴1AB OA ==，∵120BAC ∠=︒，∴BOC 的长为：12021803AB ππ⋅⋅= ， 即该圆锥的底面圆的周长为23π ． 故答案为：23π． 【点拨】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，解题的关键要掌握扇形弧长与底面圆周长相等．19．34r = 【分析】连接AE ，利用勾股定理得AE =BE ，由此即可求出∠ABE 的度数，再先求出扇形的圆心角∠DAB 的度数，再由弧长公式求出弧长，此弧长就是所得圆锥的底面圆的周长，由圆的周长公式即可求得所得圆锥的底面半径．解：如图，连接AE ，∵AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，∴AE ⊥BC ，AE =AD =2．在Rt △AEB 中，∵AB =AE =2，∴AE =BE =2，∴∠ABE =45°．∴ABE △是等腰直角三角形，45BAE ∠=︒，设圆锥底面半径为r ， 由题意得135222360r ππ⨯⨯=， 解得34r =． 【点拨】本题考查了切线的性质、平行线的性质、圆锥的计算，解题的关键是掌握所涉及的知识要点，并能够灵活运用．20．（1）圆锥的底面半径为3cm ；（2）圆锥的全面积236cm S π=【分析】（1）扇形的弧长公式l =180n r π，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；（2）S 圆锥= S 侧+S 底，S 侧面=12lR ，S 底=2r π，（R =扇形半径即圆锥母线长，r =底面圆半径）将已知条件代入即可.解：（1）设圆锥的底面半径为cm r ． 扇形的弧长为12096180l ππ⨯==， ∴26r ππ=，解得3r =，∴圆锥的底面半径为3cm ． （2）圆锥的侧面积：S 侧面=12lR =()216927cm 2ππ⨯⨯=． 园锥的底面积：S 底=239(cm)ππ⨯=．∴圆锥的全面积S 全=S 侧+S 底=()227936cm πππ+=．【点拨】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.21．(1)（2，0）(3)4π 【分析】（1）线段AB 与BC 的垂直平分线的交点为D ；（2）连接AC ，先判断∠ADC =90°，则可求AC 的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；（3）设AB 的中点为E ，线段AB 的运动轨迹是以D 为圆心DA 、DE 分别为半径的圆环面积．（1）解：过点（2，0）作x 轴垂线，过点（5，3）作与BC 垂直的线，两线的交点即为D 点坐标，∴D （2，0），故答案为：（2，0）；（2）解：连接AC ，∵A （0，4），B （4，4），C （6，2），∴AD =CD =AC =∵AC 2＝AD 2+CD 2，∴∠ADC ＝90°，∴AC 的长124π=⨯⨯， ∵扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，2r π=，∴r =，； （3）解：设AB 的中点为E ，∴E （2，4），∴DE ＝4，∴S ＝π×（AD 2﹣DE 2）＝4π，∴线段AB 扫过的面积是4π.,【点拨】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．22．(1)6cm π，227cm π(2)【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式求解即可；（2）先求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可．（1）解：由题意得扇形AOB 的弧长12096cm 180ππ⨯⨯==，221209==27cm 360AOB S ππ⨯⨯扇形； （2）解：如图所示，AH 为底面圆的半径，OA 为母线长，由题意可得=9cm OA ，63cm 2AH ππ==，∴OH ==．【点拨】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，求圆锥的高，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式和扇形面积公式．23．90°，500π【分析】根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：π402π10180n ⨯⨯⨯=，90n =︒， ∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．全面积＝底面积＋展开侧面积， 全面积为：2290π40π10500π360⨯⨯⨯+=． 【点拨】本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．24．【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．解：设扇形的圆心角为n ，圆锥的在Rt △AOS 中，∵r=20cm ，h=，∴由勾股定理可得母线，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=18080n π⨯. ∴n=90°即△SAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：．∴蚂蚁爬行的最短距离为．【点拨】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．。