高三数学一轮复习典型题专题训练
导数及其应用
一、填空题
1、若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ .
2、已知函数x x e
e x x x
f 1
2)(3-+-=,其中e 是自然对数的底数.若)2()1(2a f a f +-≤0.则实数a 的取值范围是 .
3、已知函数32()2f x x x a =--,若存在(]0,x a ∈-∞,使0()0f x …
,则实数a 的取值范围为 ▲
4、已知函数()ln f x bx x =+,其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切,则k b -的值为 ▲ .
5、若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点,则实数a 的取值范围为 ▲ .
6、已知两曲线()2sin f x x =,()cos g x a x =,π(0)2
x ∈,相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为 ▲ .
7、若函数321
()33
f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是 ▲
8、已知()f x 为奇函数,当0x <时,()2x f x e x =+,则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ .
9、已知函数x a x x f sin )(+=在),(+∞-∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 。 10、已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ω?ω=+>两个相邻的极值点,且()f x 在2x =处的导数()20f '<,则()0f = ▲ .
11、过曲线1
(0)y x x x
=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴,y 轴交于点A 、B ,O 是
坐标原点,若OAB ?的面积为1
3
,则0x =
12、曲线cos y x x =-在点22
p p
??
??
?
,处的切线方程为 ▲ 二、解答题
1、记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且
00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.
(1)证明:函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”; (2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值;
(3)已知函数2
()f x x a =-+,e ()x
b g x x
=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数
()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.
2、已知函数1)(23+++=bx ax x x f (a >0,b ∈R )有极值,且导函数f ,
)(x 的极值点是
f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b 2>3a ; (3)若f )(x ,f ,
)(x 这两个函数的所有极值之和不小于﹣2
7,求a 的取值范围.
3、
已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2
a b ==
. (1)求方程()f x =2的根;
(2)若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值;
(3)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值。
4、已知函数f (x )=2x 3-3(a +1)x 2+6ax ,a ∈R .
(1)曲线y =f (x )在x =0处的切线的斜率为3,求a 的值;
(2)若对于任意x ∈(0,+∞),f (x )+f (-x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值范围; (3)若a >1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a ), 记h (a )=M (a )-m (a ),求h (a )的最小值.
5、已知函数f (x )=2x 3-3ax 2+3a -2(a >0),记f'(x )为f (x )的导函数. (1)若f (x )的极大值为0,求实数a 的值;
(2)若函数g (x )=f (x )+6x ,求g (x )在[0,1]上取到最大值时x 的值;
(3)若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2,a +2
2]上有解,求满足条件的正整数a 的集合.
6、已知函数ex e x f x -=)(,a ax x g +=2)(,其中e 为自然对数的底数,R a ∈. (1)求证:0)(≥x f ;
(2)若存在R x ∈0,使)()(00x g x f =,求a 的取值范围; (3)若对任意的)1,(--∞∈x ,)()(x g x f ≥恒成立,求a 的最小值.
7、已知函数32()f x x ax bx c =+++,()ln g x x =.
(1)若0a =,2b =-,且()()f x g x ≥恒成立,求实数c 的取值范围; (2)若3b =-,且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值;
②当2c =时,求函数(),()()
()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥?=?
8、已知函数32()1,,f x x ax bx a b =+++∈R . (1)若220,a b +=
① 当0a >时,求函数()y f x =的极值(用a 表示);
② 若函数()y f x =有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由;
(2)函数()y f x =图象上点A 处的切线1l 与()y f x =的图象相交于另一点B ,在点B 处的切线为2l ,直线12,l l 的斜率分别为12,k k ,且124k k =,求,a b 满足的关系式.
9、已知函数()()2x f x ax x e =+,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.
(1)若/()f x '是函数()f x 的导函数,当0a >时,解关于x 的不等式()x e f x '>; (2)若()f x 在[]1,1-上是单调增函数,求a 的取值范围;
(3)当0a =时,求整数k 的所有值,使方程()2f x x =+在[],1k k +上有解.
10、已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ (1)当1m =时,求()f x 的单调区间;
(2)令()()g x xf x =,区间15
22,D e e -??= ???
,e 为自然对数的底数。 (ⅰ)若函数()g x 在区间D 上有两个极值,求实数m 的取值范围; (ⅱ)设函数()g x 在区间D 上的两个极值分别为()1g x 和()2g x ,
求证:12x x e ?>.
11、已知函数()(1)e x f x ax =-(0a ≠,e 是自然对数的底数).
(1)若函数()f x 在区间[]1,2上是单调减函数,求实数a 的取值范围; (2)求函数()f x 的极值;
(3)设函数()f x 图象上任意一点处的切线为l ,求l 在x 轴上的截距的取值范围.
12、对于定义在区间D 上的函数()f x ,若存在正整数k ,使不等式1
()f x k k
<<恒成立,
则称()f x 为()D k 型函数.
(1)设函数()f x a x =,定义域[][]3113D =--,
,.若()f x 是(3)D 型函数,求
实数a 的取值范围;
(2)设函数2()x
g x e
x x =--,定义域(02)D =,.判断()g x 是否为(2)D 型函数,
并给出证明.(参考数据:278e <<)
13、已知 b > 0, 且b ≠ 1,函数 f (x ) = e x + b x ,其中 e 为自然对数的底数: (1)如果函数 f (x ) 为偶函数,求实数 b 的值,并求此时函数的最小值;
(2)对满足 b > 0, 且 b ≠ 1的任意实数 b ,证明函数 y = f (x ) 的图像经过唯一定点; (3)如果关于 x 的方程 f (x ) = 2 有且只有一个解,求实数 b 的取值范围.
14、已知函数2
(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e
=-=-∈.
(1)解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤; (2)证明:()()f x g x ≥;
(3)是否存在常数,a b ,使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立?若存在,求 出,a b 的值;若不存在,请说明理由.
15、已知32()31(0)f x ax x a =-+>,定义{}(),()()
()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ?==?
≥.
(1)求函数()f x 的极值;
(2)若()()g x xf x '=,且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =,求实数a 的取值范围; (3)若()ln g x x =,试讨论函数()h x (0)x >的零点个数.
16、已知()()()21,.x f x x mx m R g x e =++∈=
(1)当[]0,2x ∈时,()()()F x f x g x =-为增函数,求实数m 的取值范围; (2)若()1,0m ∈-,设函数()()()()15
,,44
f x G x H x x
g x =
=-+,求证:对任意[]12,1,1x x m ∈-,()()12G x H x <恒成立.
参考答案 一、填空题
1、-3
2、[1-,5.0]
3、[1,0][2,)-+∞
4、1e
5、 15
(,6)2
--
6、233
7、3a ≤
8、12e
- 9、[1,1]- 10、2
2
11、5 12、202
x y p
--=
二、解答题
1、解:(1)函数f (x )=x ,g (x )=x 2+2x -2,则f ′(x )=1,g ′(x )=2x +2. 由f (x )=g (x )且f ′(x )= g ′(x ),得
222
122x x x x ?=+-?
=+?
,此方程组无解, 因此,f (x )与g (x )不存在“S ”点. (2)函数21f x ax =-(),()ln g x x =, 则12f x ax g x x
'='=(),().
设x 0为f (x )与g (x )的“S ”点,由f (x 0)=g (x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0),得
200001ln 12ax x ax x ?-=??
=??
,即2
00
201ln 21
ax x ax ?-=??=??,(*) 得01
ln 2
x =-,即1
20e x -=,则12
21e 2
2(e )
a -=
=
. 当e
2
a =时,1
20e x -=满足方程组(*),即0x 为f (x )与g (x )的“S ”点.
因此,a 的值为e
2
.
(3)对任意a >0,设32()3h x x x ax a =--+.
因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<,,且h (x )的图象是不间断的,
所以存在0x ∈(0,1),使得0()0h x =.令030
02e (1)
x x b x =-,则b >0.
函数2
e ()()x
b f x x a g x x
=-+=,,
则2
e (1)
()2()x b x f x x g x x -=-=
′,′. 由f (x )=g (x )且f ′(x )=g ′(x ),得
22e e (1)2x
x b x a x
b x x x ?-+=???-?-=??,即003
20030
202e e (1)2e (1)2e (1)x x x
x x x a x x x x x x x ?-+=??-??-?-=??-?
,(**) 此时,0x 满足方程组(**),即0x 是函数f (x )与g (x )在区间(0,1)内的一个“S
点”.
因此,对任意a >0,存在b >0,使函数f (x )与g (x )在区间(0,+∞)内存在“S 点”. 2、【解答】(1)解:∵1)(23+++=bx ax x x f , ∴g (x )=f
,
)(x =3x 2+2ax +b ,g ,)(x =6x +2a ,
令g ,)(x =0,解得x =3
a
-. 由于当x >3a
-
时g ,)(x >0,g (x )=f ,)(x 单调递增; 当x <3
a
-时g ,)(x <0,g (x )=f ,)(x 单调递减;
∴f ,)(x 的极小值点为x =3
a
-,
由于导函数f ,)(x 的极值点是原函数f (x )的零点, ∴0)3(=-a f ,即=b a
a 3
922+(a >0).
∵1)(23+++=bx ax x x f (a >0,b ∈R )有极值, ∴f
,
)(x =3x 2+2ax +b =0有两个不等的实根,
∴4a 2
﹣12b >0,即a
a a 9
3222
+->0,解得a >3, ∴=b a
a 3
922+(a >3);
(2)证明:由(1)可知2242
811
9358143)(a
a a a a
b a h =+-=-=)27)(274(33--a a , 由于a >3,所以h (a )>0,即b 2>3a ; (3)解:由(1)可知f
,
)(x 的极小值为f
,
)3(a -=3
2
a b -, 设x 1,x 2是)(x f y =的两个极值点,则3221a x x -
=+,3
21b
x x =, ∴2)()()()(212
221323121++++++=+x x b x x a x x x f x f
=2)(]2)[(]3))[((21212212122121+++-++-++x x b x x x x a x x x x x x
=23
22743+-ab a , 又∵)(x f ,f
,
)(x 这两个函数的所有极值之和不小于2
7-,
∴32a b -
2322743+-+ab a 9
32
a a -=≥27-, ∵a >3,所以546323--a a ≤0, ∴)6(9)36(22-+-a a a ≤0, ∴)9122)(6(2++-a a a ≤0, 由于a >3时,91222++a a >0, ∴6-a ≤0,解得a ≤6, ∴a 的取值范围是3(,]6. 3、
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.
导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1.已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 ( t 表示时间, s 表示位移),则瞬时速度为 4 0 的时刻是:( ) A . 0 秒、 2 秒或 4 秒 B . 0 秒、 2 秒或 16 秒 C . 2 秒、 8 秒或 16 秒 D . 0 秒、 4 秒或 8 秒 2.下列求导运算正确的是( ) A . ( x 1 ) 1 1 B . (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C . (3x ) 3x log 3 e D . x 2 cos x 2sin x 3.曲线 y x 3 2x 4 在点 (13), 处的切线的倾斜角为( ) A . 30° B . 45° C . 60° D . 120° 4.函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s O tO tO t O t A . 1 B . C . D . 6.设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) ( ) x A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 7.如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图,那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 ( ) 8.设 f ( x) x ln x ,若 f '(x 0 ) 2 ,则 x 0 ( ) A . e 2 B . e C . ln 2 D . ln 2 2
高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3,则() A.a-2b=0B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 答案 D 解析y′=3ax2+2bx,据题意, 0、1 3是方程3ax 2+2bx=0的两根 ∴-2b 3a= 1 3,∴a+2b=0. 2.当函数y=x·2x取极小值时,x=() A. 1 ln2B.- 1 ln2 C.-ln2 D.ln2 答案 B 解析由y=x·2x得y′=2x+x·2x·ln2 令y′=0得2x(1+x·ln2)=0 ∵2x>0,∴x=- 1 ln2 3.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则() A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先负后正,∴f′(0)=-3b<0, ∴b>0,f′(1)=3-3b>0,∴b<1 综上,b的范围为0<b<1 4.连续函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·f′(x)>0,则下列结论中正确的是() A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点 B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点 C.x=-1不是函数f(x)的极值点 D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>-1时,f′(x)>0 x<-1时,f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(-∞,-1)单减,在(-1,+∞)单增,∴x=-1为极小值点.
5.函数y =x 33+x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是( ) A .-173 B .-103 C .-4 D .-643 答案 A 解析 y ′=x 2+2x -3. 令y ′=x 2+2x -3=0,x =-3或x =1为极值点. 当x ∈[0,1]时,y ′<0.当x ∈[1,2]时,y ′>0,所以当x =1时,函数取得极小值,也为最小值. ∴当x =1时,y min =-173. 6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象,如右图所示,则( ) A .x =1是最小值点 B .x =0是极小值点 C .x =2是极小值点 D .函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知,x =0,x =2为两极值点,x =0为极大值点,x =2为极小值点,选C. 7.已知函数f (x )=12x 3-x 2-72x ,则f (-a 2)与f (-1)的大小关系为( ) A .f (-a 2)≤f (-1) B .f (-a 2) 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数.证明: (1)在区间 存在唯一极大值点; (2)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]- (ii )当0,2x π?? ∈ ??? 时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ;当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. (iii )当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. (iv )当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-, (1)求函数f (x )的解析式; (2)判断函数f (x )在(0,π)内的零点个数,并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π), 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ,不合题意; 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减, 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的, 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0),不合题意; ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞ 2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=, 当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +, 《导数及其应用》强化训练试题 一、选择题 1.已知2)(x x f =,,则=')3(f = ( C ) A 0 B x 2 C 6 D 9 2.满足()()1 0f x dx f a =?,其中的函数()21f x x =+,则a 的值是( B ) A 112-或 B 12 C 13 D 113 -或 3.曲线()ln 32y x =-在点(1,0)处的切线方程是( C ) A 74y x =+ B 72y x =+ C 33y x =- D 2y x =- 4.函数f (x )=3x 3-x 的极大值、极小值分别是( D ) A 1,-1 B 132,612 - C 1,-17 D 29,29- 5.()2402cos 1x dx π -=? ( A ) A 12 B 1 C 12 - D -1 6. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是 ( C ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3 -∞ 7.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( A ) (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 8.已知函数()y xf x '=的图象如图1所示,则函数y=f (x)的图象可能为 ( C ) 二、填空 9.某物体做直线运动,其运动规律是()2v t t =- ( t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在[]1,4 上的路程为 3/2 . 10. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程是__4x-y-3=0__ 导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R). (1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R). (Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R). (2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数). 导数及其应用综合检测 时间120分钟,满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2010·全国Ⅱ文,7)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则() A.a=1,b=1B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 2.一物体的运动方程为s=2t sin t+t,则它的速度方程为() A.v=2sin t+2t cos t+1 B.v=2sin t+2t cos t C.v=2sin t D.v=2sin t+2cos t+1 3.曲线y=x2+3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A.4 B.5 C.6 D.7 4.函数y=x|x(x-3)|+1() A.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=1 B.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1 C.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=f(3)=1 D.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1,f(-1)=-3 5.(2009·安徽理,9)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是() A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 6.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于() A.2 B.3 C.4 D.5 7.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时,f′(x)g(x) +f (x )g ′(x )>0,且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A .(-3,0)∪(3,+∞) B .(-3,0)∪(0,3) C .(-∞,-3)∪(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(0,3) 8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( ) A .①② B .③④ C .①③ D .①④ 9.(2010·湖南理,5)??2 4 1x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 10.已知三次函数f (x )=13x 3-(4m -1)x 2+(15m 2-2m -7)x +2在x ∈(-∞, +∞)是增函数,则m 的取值范围是( ) A .m <2或m >4 B .-4 (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( ) 3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(- 4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( ) A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 1.若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________; 2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3.设函数())(0)f x ??π=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则?=__________ 4.设3 2 1()252 f x x x x =- -+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。 5.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2.求函数y = 3.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。 4.已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由. (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1.A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 《导数及其应用》单元测试 一、填空题(本大题共14题,每小题5分,共计70 分) 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ; 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___; 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____; 4、设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =__________ ______; 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________; 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________; 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =_______ __; 8、设曲线2 ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________; 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ,则切点的横坐标为_____________; 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ; 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m , 则M m -=___________; 12、设曲线ax y e =在点(01),处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = ; 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示(其中)(x f '是函数))(的导函数x f , 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______; ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, 记2 (S =梯形的周长) 梯形的面积 ,则S 的最小值是___ ____。高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总
《导数及其应用》强化训练试题
高三数学导数压轴题
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(完整版)《导数及其应用》单元测试卷
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