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高三数学专题复习函数的零点与导数的应用关系

21、（本题满分14分）已知函数1()ln ,()f x a x a R x

=-∈其中（1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。

（2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。

21．解：（1）1()ln h x a x x x

=-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x

++'=++=………………2分令22()1,4g x x ax a =++?=-

当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分

当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分

若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分

若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x >

此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增

当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分

（2）方法1：问题等价于1ln a x x =

有唯一实根显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a

=有唯一实根……………10分构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+

由0ln 1'=+=x ?，得e

x 1=

当e x 10<<时，0)('时，)(,0)('x x ??>单调递增，

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0