平方差公式(一)
一、教学目标
(一)知识目标
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
(二)能力目标
1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感目标
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点
（一）教学重点
平方差公式的推导和应用.
（二）教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.
三、教具准备
投影片四张
第一张：做一做，记作(§1.7.1 A)
第二张：例1，记作(§1.7.1 B)
第三张：例2，记作(§1.7.1 C)
第四张：练一练，记作(§1.7.1 D)
四、教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］你能用简便方法计算下列各题吗？
(1)2001×1999；(2)992－1
［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=2 0002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1= 1002－100－100+1－1=10000－200=9800.
［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和19
99，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即
(2000+1)(2000－1)=20002－12.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？
我们不妨看下面的做一做.
Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律
［师］出示投影片(§1.7.1 A)
做一做：计算下列各题：
(1)(x+2)(x－2);
(2)(1+3a)(1－3a);
(3)(x+5y)(x－5y);
(4)(y+3z)(y－3z).
观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？
［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.
［生］上面四个算式每个因式都是两项.
［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.
［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.
［生］解：(1)(x+2)(x－2)
=x2－2x+2x－4=x2－4；
(2)(1+3a)(1－3a)
=1－3a+3a－9a2=1－9a2；
(3)(x+5y)(x－5y)
=x2－5xy+5xy－25y2
=x2－25y2；
(4)(y+3z)(y－3z)
=y2－3yz+3zy－9z2
=y2－9z2
(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现：
即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.
即
［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？
［生］可以.例如：
(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；
(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.
即
上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.
［师］为什么会有这样的特点呢？
［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？
［生］可以.上述规律用符号表示为：
(a+b)(a－b)=a2－b2①
其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即
(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2
［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.
你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.
［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.
［师］大家同意吗？
［生］同意.
［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？
［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.
［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.
Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.
出示投影片(§1.7.1 B)
［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A.(x+1)(1+x)
B.(a+b)(b－a)
C.(－a+b)(a－b)
D.(x2－y)(x+y2)
E.(－a－b)(a－b)
F.(c2－d2)(d2+c2)
(2)利用平方差公式计算：
(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);
(－m+n)(－m－n).
［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(a +b )(b －a )利用加法交换
律可得(a +b )(b －a )=(b +a )(b －a ),表示b 与a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b )(a －b ),同样可利用加法交换律得(－a －b )(a －b )=(－b －a )(－b +a ),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两
个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点. ［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢？
［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.
［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.
［生］(5+6x )(5－6x )是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y )(x +2y )是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m +n )(－m －n )是－m 与n 这两个数的和与差的形式.
［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.
［生］(5+6x )(5－6x )=52－(6x )2=25－36x 2;
(x －2y )(x +2y )=x 2－(2y )2=x 2－4y 2;
(－m +n )(－m －n )=(－m )2－n 2=m 2－n 2.
［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.
出示投影片(记作§1.7.1 C)
［例2］利用平方差公式计算：
(1)(－x －y )(－x +y );
(2)(ab +8)(ab －8);
(3)(m +n )(m －n )+3n 2.
［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.
［生］解：(1)(－x －y )(－x +y )——(－x )与y 的和与差的积
=(－x )2－y 2——利用平方差公式得(－x )与y 的平方差 =x 2－y 2——运算至最后结果
(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积
=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差
=a2b2－64——运算至最后结果
(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积
=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式
=m2－n2+3n2——去括号
=m2+2n2——合并同类项至最简结果
［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：
(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.
［生］还需注意最后的结果必须最简.
［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.
投影片(§1.7.1 D)
1.计算：
(1)(a+2)(a－2);
(2)(3a+2b)(3a－2b);
(3)(－x+1)(－x－1);
(4)(－4k+3)(－4k－3).
2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.
解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;
(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;
(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;
(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.
2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;
(a－b)(a+b)=a2－b2;
(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;
(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)
=－a2－ab－ab－b2
=－a2－2ab－b2
(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导) Ⅳ.课时小结
［师］同学们有何体会和收获呢？
［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——
平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.
［生］应用这个公式要明白公式的特征：
(1)左边为两个数的和与差的积；
(2)右边为两个数的平方差.
［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.
［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.
［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？
［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.
［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.
Ⅴ.课后作业
课本P30，习题1.11，第1题.
Ⅵ.活动与探究
有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即
x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？
经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即x i+y i=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.
［结果］由题意知x i+y i=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10
(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)
=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)
=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)
=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］
=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］
=0
所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.
五、板书设计
§1.7.1 平方差公式(一)
解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;
(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;
(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;
(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.
(a+b)(a－b)=a2－b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.
例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)
例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)
随堂练习(熟悉平方差公式).
乘法分式 ——平方差公式 一、内容及内容解析 《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。 平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。 所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用 二、目标和目标解析： 目标： 1、经历探索平方差公式的全过程 2、能使用公式实行简单的运算 3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。 目标解析： （1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。 （2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。 （3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。
三、教学问题诊断分析 学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。 鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。 四教学支持条件： 利用多媒体展示教学的部分环节 五、教学过程分析 教学流程图： 创设情境、导入新课 自主探索、获取新知 应用新知、形成技能 变式训练、巩固提升 总结归纳、上升理性 即时反馈、查漏补缺 教学情景： （一）创设情景，导入新课 王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿
《平方差公式》教案 教学目的 进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异． 教学重点和难点：公式的应用及推广． 教学过程： 一、复习提问 1．（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积． （2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积． 讲评要点： 沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道 HD＝BC＝GD＝FE＝a－b， 这样裁开后才能重新拼成一个矩形．希望推出公式： a2－b2＝(a＋b)(a－b) 2．（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式； （2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异． 说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点． （1）公式具体，易于理解； （2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”； （3）形式简洁．但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解． 依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：
经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括．因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）．故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a 与b ，这样才能使自己的计算即准确又灵活． 3．判断正误： （1）(4x ＋3b )(4x －3b )＝4x 2 －3b 2 ；(×) （2）(4x ＋3b )(4x －3b )＝16x 2 －9；(×) （3）(4x ＋3b )(4x －3b )＝4x 2 ＋9b 2 ；(×) （4）(4x ＋3b )(4x －3b )＝4x 2 －9b 2 ；(×) 二、新课 例1 运用平方差公式计算： （1）102 ×98； （2）(y ＋2)(y －2)(y 2 ＋4)． 解：（1）102×98 （2）(y ＋2)(y －2)(y 2 ＋4) ＝(100＋2)(100－2) ＝(y 2 －4)(y 2 ＋4) ＝1002 －22＝10000－4 ＝(y 2)2 －42 ＝y 4 －16． ＝9996； 2．运用平方差公式计算： （1）103×97； （2）(x ＋3)(x －3)(x 2 ＋9)； （3）59.8×60.2； （4）(x －2 1 )(x 2 ＋41)(x ＋2 1)． 3．请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目． 例2 填空： （1）a 2 －4＝(a ＋2)( )； （2）25－x 2 ＝(5－x )( )； （3）m 2 －n 2 ＝( )( )； 思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？ （某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积） 练习 填空： 1．x 2 －25＝( )( )； 2．4m 2－49＝(2m －7)( )；
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 一、请准确填空 1、若a 2+b 2－2a+2b+2=0,则a 2004+b 2005=________. 2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a －3b),则长方形的面积为________. 3、5－(a －b)2的最大值是____，当5－(a －b)2取最大值时，a 与b 的关系是___. 4.要使式子0.36x 2+41 y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________. 6.29×31×(302+1)=________. 7.已知x 2－5x+1=0,则x 2+21 x =________. 8.已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(2005－a)2+(2003－a)2=________. 二、相信你的选择 9.若x 2－x －m=(x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于A.－1 B.0 C.1 D.2 10.(x+q)与(x+51)的积不含x 的一次项，猜测q 应是A.5 B.51 C.－51 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷41 xy=xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c;③9x 8y 2÷3x 3y=3x 5y; ④(12m 3+8m 2－4m)÷(－2m)=－6m 2+4m+2，其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.设(x m －1y n+2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为A.1 B.－1 C.3 D.－3 13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于 A.a 4－2a 2b 2+b 4 B.a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14.已知(a+b)2=11,ab=2,则(a －b)2的值是A.11 B.3 C.5 D.19 15.若x 2－7xy+M 是一完全平方式，那么M 是 A.27y 2 B.249y 2 C.449 y 2 D.49y 2
数学计划总结之《乘法公式——平方差公式》教学反思 我参与了学校组织的“同课异构”活动，授课内容是《乘法公式——平方差公式（一课时）》。 上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入；②形成；③明确表述；④辨析；⑤巩固应用；⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。 我的教学流程是按照“引入——猜想——证明——辨析——应用——归纳——检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的
思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。 当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上；在处理学生练习时，为了抓紧时间完 成进度没有把学生的出错点讲透讲细；游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来；当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。 通过这次“同课异构”活动，我感觉自己在教学环节设计、课件制作和使用、导学案的规范书写等各方面都有了提高，通过各位领导和老师的点评，我也有了更多的收获，相信可以为我今后的教学所用。
平方差公式 教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 教学重点：平方差公式的推导和应用． 教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题． 过程： 一．创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）； （3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m －n）． 再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． 得出平方差公式 （a+b）（a－b）= a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积
说明平方差公式吗？ 图1 图2 图1中剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为 （a 2－b 2）． 在图2中，长方形的长和宽分别为（a +b ）、（a －b ），所以面积为 （a +b ）（a －b ）． 这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2． 二、知识应用，巩固提高 例1 计算： （1）（3x ＋2）（3 x －2）； （2）（－x+2y ）（－x －2y ） （3）（b +2a ）（2a －b ）； （4）(3+2a ) (－3+2a ) 练习：加深对平方差公式的理解 （课本 70页练习1有同种题型） 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） （1）（x +1）（1+x ）； （2）（a +b ）（b －a ）； （3）（－a +b ）（a －b ）； （4）（x 2－y ） 2121
学习平方差公式应注意的八个变化 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 平方差公式是初中数学最基本、用途最广泛的公式。学习时不仅记住公式的形式，还要把握住公式的实质，更重要的是弄清其形式的八个变化，以便更好地运用。下面本文结合例题归纳平方差公式的八个变化，供同学们学习时使用。 1位置变化：22))(())(())((b a b a b a b a a b a b b a -=-+=-+=+-+ 例1计算：))((n m m n -+ 解：原式=22))((n m n m n m -=-+ 2符号变化：2222)())(())((a b b a b a b a b a b a -=--=-+-=--- 例2计算：))((y x y x --- 解：原式=2222)())((x y y x y x y x -=--=-+- 3系数变化： 22222122212121)()())((b k a k b k a k b k a k b k a k -=-=-+（21,k k 均不为0） 例3计算：)87)(87(b a b a --- 解：原式=22226449])8()7[()87)(87(b a b a b a b a +-=--=-+- 4指数变化：n n n n n n n n b a b a b a b a 2222)()())((-=-=-+（n 为正整数） 例4计算： )4)(4(523523z y x z y x -+ 解：把23y x 视为a ，把54z 视为b ，则有原式=10462522316)4()(z y x z y x -=- 5增项变化：22)())((c b a c b a c b a --=+--- 例5计算：)243)(243(d c b a d c b a -+++-+ 解：原式=22)24()3()]24()3)][(24()3[(d c b a d c b a d c b a --+=-++--+ 6数字变化：有的数字乘法，变化后可用平方差公式 例6计算：1234567901234567881234567892?- 解：原式=)1123456789()1123456789(1234567892+?--
公开课教学设计
教 学 活 动 设 计 教学活动包括： 情境创设/活动构建(自主、合作、探究、展示) /评价检测/巩固提高/预习、复习等方面 教师活动 学生活动 设计意图 一、讲授启发 有一位狡猾的地主, 把一块边长为a 米正方形的土地.租给李老汉种植.今年,他对李老汉说:“我先把你这块地一边减少4米,再把另一边增加4米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”李老汉一听,觉得好象没有吃亏,就答应.同学们了,你们觉得李老汉有没有吃亏? 二、任务导向 计算下列各题，看谁做得又快又好。 （1）(a+2)(a-2)=_________________； （2）(x+y)(x-y)=_______________； （3）(m+5n)(m-5n)=______________ ； （4）(3y+z)(3y-z)=_______________。 T ：观察后回答：（1）上述各式有什么特点？（2）它们的结果有什么特点？ T ：你能不能把你发现的规律，用字母的形式表示出来？ T ：你能用语言叙述一下这个规律吗？ S ：讨论，交流。 【板书】： 平方差公式：两数和与两数差的积等于这两个数的 平方差。22()()b a b a b a -+-= 三、合作探究 T ：你能用下面的几何图形来解释平方差公式吗？ S ：学生独立思考，表达自己的看法，互相纠正。 最后得出，（a+4）(a-4) S ：讨论，回答。 （1）都是两个数的和与这两个数的差的积； （2）结果都是这两 个数的平方差。 S ：思考，回答。 22()()b a b a b a -+-= 通过实际生活中的例子引入本节课要学习的内容，激发学生学习兴趣，并能自然过渡到探索知识阶段。 1.复习多项式乘法。 2.提供这一组有梯度的与推导平方差公式有关的问题，根据积的结果，引导学生探索规律，激发学生探索兴 趣。 引导学生用自己的 语言叙述所发现的规律，发现这个公式的一些特点，为运用公式进行简单计算打下基础,并培养观察概括能力及字母表示数的能力。
平方差公式(一) 一、教学目标 (一)知识目标 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力目标 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点 （一）教学重点 平方差公式的推导和应用. （二）教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 三、教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) 四、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1 =20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，19 99，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+ 1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－
平方差公式 例1、利用平方差公式计算 位置变化：（1）()()x x 2525+-+ （2）()()ab x x ab -+ 符号变化：（3）()()11--+-x x （4）??? ??--??? ??-m n n m 321.01.032 系数变化：（5）()()n m n m 3232-+ （6）??? ??+-??? ??--b a b a 213213 指数变化：（7）()()222233x y y x ++- （8）()()22225252b a b a --+- 增项变化：（9）()()z y x z y x ++-+- （10）()()z y x z y x -+++- 增因式变化：（11）()()() 1112+-+x x x （12）??? ??+??? ??+??? ??-2141212x x x 例2. 用简便方法计算 （1）397403? （2）2008200620072?- 例3. (1)22222222100999897969521-+-+-++- (2)()()()()() 131313131316842+++++
例4.（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式） （2）．如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式） （3）．比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达） 例5.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值． 例6.判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7.观察下列各式： 根据前面的规律，你能求出 的值吗？ 课后练习： 1．用平方差公式计算： （1）()() 434322---x x （2）()()11-++-y x y x （3）123(2)()33a b a b -+ 2. 用简便方法计算（1）504496? （2）2500049995001-? 3.已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
一、选择题 1、计算的结果是（） A．B．1000 C．5000 D．500 2、计算(x4＋y4)(x2＋y2)(x＋y)(y－x)的结果是（） A．x8－y8B．x6－y6 C．y8－x8D．y6－x6 3、下列计算，结果错误的是（） A．x(4x＋1)＋(2x＋y)(y－2x)＝x＋y2 B．(3a＋1)(3a－1)＋9＝0 C．x2－(5x＋3y)(5x－3y)＋6(2x－y)(y＋2x)＝3y2 D．＝－54x3y 4、下列算式中不正确的有（） ①(3x3－5)(3x3＋5)＝9x9－25 ②(a＋b＋c＋d)(a＋b－c－d)＝(a＋b)2－(c＋d)2
③ ④2(2a－b)2·(4a＋2b)2＝(4a－2b)2(4a＋2b)2＝(16a2－4b2)2 A．0个B．1个 C．2个D．3个 5、下列说法中，正确的有（） ①如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，则x2－y2的值是－15； ②解方程(x＋1)(x－1)＝x2＋x的结果是x＝－1； ③代数式的值与n无关. A．0个B．1个 C．2个D．3个 B 卷 二、填空题 6、已知，则＝___________． 7、如果x2＋kx＋81是一个完全平方式，则k＝___________． 8、如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝___________． 9、代数式与代数式的差是___________．
10、已知m2＋n2－6m＋10n＋34＝0，则m＋n＝___________． 隐藏答案 答案： 6、7 7、±18 8、－4 9、xy 10、－2 提示： 6、∵，∴， ∴，∴． 7、∵x2＋kx＋(±9)2是完全平方式． ∴k＝2×(±9)＝±18． 8、∵a2－b2＝20，∴(a＋b)(a－b)＝20. 又∵a＋b＝－5，∴a－b＝－4． 10、[m2＋2·m·(－3)＋(－3)2]＋(n2＋2·n·5＋52)＝0， (m－3)2＋(n＋5)2＝0． ∴ ∴ ∴m＋n＝－2．
14.2.1平方差公式 教学目标 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 重点难点 重点：平方差公式的推导及应用． 难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式． 教学设计 一、板书标题，揭示教学目标 教学目标 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 二、指导学生自学 自学内容与要求 看教材：课本第151页------第153页，把你认为重要部分打上记号，完成第153页练习题。想一想：1、平方差公式实质是什么？ 2、满足什么条件的两个多项才能运用平方差公式？ 3、你对152页思考中的图形理解吗？ 8分钟后，检查自学效果 三、学生自学，教师巡视 学生认真自学，并完成P153练习，老师巡视，并指导学生完成练习。 四、检查自学效果 1、学生回答老师所提出的问题； 2、你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗? 3、学生抢答P153练习结果，并要求学生是否有不同意见。 4、学生板演： 计算： (1)x2+(y-x)(y+x) (2)20082-2009×2007
(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y) (4)(a+1 2 b)(a- 1 2 b)-(3a-2b)(3a+2b) 五、归纳，矫正，指导运用 1、概念归纳：平方差公式的字母表示形式 （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式。 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2、应用： 下列计算是否正确?如不正确，应怎样改正? (1)(a-4)(a+4)=a2-4 (2)(2x+5)(2x-5)=2x2-25 (3)(-a-b)(a+b)=a2-b2 (4)(mn-1)(mn+1)=mn2-1 计算： （1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 六、随堂练习 1、用简便方法计算 （1）2001×1999 （2）998×1002 2、计算： （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 七、布置作业 课本第156页 1 设计思想: 《新课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。”在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用。自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习。 在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心。在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境．(2)促进学生发展是活动的目的。数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点．因此，本节课我组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展。
《平方差公式》教学设计 重庆市潼南区梓潼初级中学校周祥平 一、内容和内容解析 内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“14.2乘法公式”（第一课时） 内容解析 《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算. 二、目标和目标解析 目标 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 目标解析： 1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性. 2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.
1.6~1.9 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B卷) 班级：_______姓名：_______得分：_______发展性评语：___________ 一、请准确填空(每小题3分,共24分) 2220042005=________. +则ab－2a+21.若ab+b+2=0,答案: 0 22－2a+2b提示：∵a+2=0, +b2222=0.∴a=1,b+(b+1)=2a+1)+(b－+2b+1)=(a－1)∴(a1. －2.一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a－3b),则长方形的面积为________. 22 b－9答案: 4a22取最大值时，a与ba－b)ba－)的关的最大值是________，当5－(3.5－(系是________. 答案: 5 a=b 122成为一个完全平方式，则应加上________. +4.要使式子0.36xy4122) y或－(或－0.36x答案: 0.6xy4m+1mm1－=________. aa)5.(4a÷2－62－3a答案: 2a 2+1)=________. ×(306.29×314－: 301 答案提示：把29×31转化为(30－1)(30+1). 122+x=________. x+1=0,7.已知x则－52x112－5x+1=0,∴x－5+=0,即x示：∵x+=5.两边平方得: 答案23 提xx12+=23. x2x22=________. )－－a)a+(2003已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(20058.22 a－a))+(2003答案: 2004 提示：(2005－2+2(2005－a)(2003－a) )－(2003－a)〕a=〔(2005－=4+2×1000=2004. 二、相信你的选择(每小题3分,共24分) 2－x－m=(x－m)(x+1)9.若x且x≠0,则m等于 A.－1 B.0 C.1 D.2 答案:D 110.(x+q)与(x+)的积不含x的一次项，猜测q应是51A.5 B. 51 C.－ D.－5 5答案:C 1 / 4 136432228224÷y:①4。③9x。②16axbyc÷8a11.b÷=2a下列四个算式bxy=xyc422353 +4m+2+8m(－4m)÷－2m)=－63xmy=3xy。④(12m，其中正确的有A.0个B.1个 C.2个 D.3个 :B 答案nm253m1n+25－－)=xymy)·(x的值为,y则(12.设x C.3 B.－1 A.1 3 － D.:A 答案22222 )］13.计算［(a+－bb)(a等于24 42bb2aA.a+－6 644 +bB.ab+2a8 6446 －aD.ba+C.ab－2844 +bb2a:D 答案22 =11,ab=2,则(a－的值是b14.已知(a+b)) A.11 B.3 D.19 C.5 :B
2018人教版八年级-平方差公式 平方差公式教案 ◆教学目标◆ ◆知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算． ◆过程与方法：. 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式． ◆情感态度：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性． ◆教学重点与难点◆ ◆重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解 ◆难点：平方差公式的应用． ◆教学过程◆ 一、学生动手，得到公式 1. 计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y） 2．提出问题： 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 2．特点： 等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差 3．再试一试：学生自己出相似的题目加以验证： 4．得到结论 （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 即（a+b）（a-b）=a2-b2 1： 二、熟悉公式 1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？2： (b 2 a )( 3 -) 2 + a- b ) 3 3 2 3 2(b )( a a- +) b a+ b - - a + 2 (b 3 )( 2 3 +) )( + b (c a+ - b - - + a- a c b c 3 a (b )( 2 ) 3 a 2 (c b )( b a- - -) 1、认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b 三、运用公式 1．直接运用 例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）3： 2．简便计算 例：（1）102×983：（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
平方差公式 【题型一】利用平方差公式计算 1． 位置变化：（1）()()x x 2525+-+ （2）()()ab x x ab -+ 符号变化：（3）()()11--+-x x （4）??? ??--??? ??-m n n m 321.01.032 系数变化：（5）()()n m n m 3232-+ （6）??? ??+-??? ??- -b a b a 213213 指数变化：（7）()()222233x y y x ++- （8）()() 22225252b a b a --+- 2．增项变化 （1）()()z y x z y x ++-+-
（2）()()z y x z y x -+++- （3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x 3．增因式变化 （1）()()()1112+-+x x x （2）?? ? ??+??? ??+??? ?? -2141212x x x 【题型二】利用平方差公式判断正误 4．下列计算正确的是（ ） A ．()()()()222 2425252525y x y x y x y x -=-=-+ B ．2 2291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+- C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242 -=-+x x x 【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例 5．用平方差公式计算． （1）397403? （2）4 1304329? （3）1000110199??
初中数学公式：平方差公式 表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式 公式运用 可用于某些分母含有根号的分式： 1/（3-4倍根号2）化简： 1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2；=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23 [解方程] x^2-y^2=1991 [思路分析] 利用平方差公式求解 [解题过程] x^2-y^2=1991 (x+y)(x-y)=1991 因为1991可以分成1×1991，11×181 所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995 如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数 所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995 或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85 有时应注意加减的过程。 常见错误 平方差公式中常见错误有：
①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”） ②混淆公式； ③运算结果中符号错误； ④变式应用难以掌握。 三角平方差公式 三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式： (sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B) (cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B) 这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。 注意事项 1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。 2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。 3、公式中的a.b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。 例题 一，利用公式计算 (1)103×97 解：(100+3)×(100-3) =（100）^2-（3）^2 =100×100-3×3 =10000-9 =9991
课题：8.3 整式乘法（2） 第二课时平方差公式 主备人：王刚喜审核人：杨明使用时间：2011年4月日 年级班姓名： 学习目标： 1．会推导平方差公式，并能应用公式进行简单的计算。 2.．经历探索平方差公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。 3.体会数形结合的数学思想和方法。 学习重点： 平方差公式的理解和应用 学习难点： 公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用。 一、学前准备 【回顾】 1. 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x-1）= （2）（m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= （4）（x+5y）（x-5y）= 规律： 2.尝试归纳： a (b b a +) )( = - 【自学】 1.研读教材P65--66 2. 平方差公式用语言叙述是：
【自学检测】 1.利用平方差公式计算： （1）（3a+2b ）（3a-2b ） （2）（x-2y ）（x+2y ） 二、探究活动 【想一想】 1.你能用几何的方式证明平方差公式吗？请交流思考 2．下面的图形给你什么启示？ 3．写成你的结论 【例题分析】 例1：用平方差公式计算： （1）)5)(5(y x y x -+ （2）)2)(2(m n n m -+ （3）)3)(3(y x y x --+- （4）(1)(1)y x y x -++- 例2：运用平方差公式计算：（1）102×98 （2）9 120 9819? b a b b a a
【课堂自测】 1、直接写出计算结果：（1）()()__________ 22=-+x x （2）)3 1 )(3 1 (-+a a = ． 2、 3、如果()()b x x a x -=+-25，那么______=a ，______=b ． 4、运用平方差公式计算：（1）)53)(53(-+p p （2）))((m n n m --- （3）()()n m m n 4334+- （4）()()m n n m 2332+- 5、用平方差公式计算：（1）199201? （2）5 1100 5499? 三、自我测试 1．判断正误： ①2 2 34)34)(34(b x b x b x -=-+（ ） ②2 2 9)3)(3(a bc a bc bc a -=---（ ） ③916) 34)(34(2 -=-+x b x b x （ ） ④259)53)(53(-=-+pq q p （ ） ⑤2229)3)(3(c b a a bc bc a +-=---（ ）⑥6)6)(6(2-=+-x x x （ ） 2．填空： ① 4))( 2(2 -=+a a ② 2 25)5)(( x x -=- ③)42(b a +（ ）=22416a b - ④ )(n n y x +（ ）=n n y x 22- ⑤（ ）（ ）=22196169y x - 3．利用平方差计算：（1）)21)(21(x x -+ （2）)23)(23(n m n m -+ ()()a b c a b c -++-( )( )( )( )????=+-? ?? ?
帮你学好平方差公式 平方差公式是初中数学中的一个重要的公式，其应用丰常广泛，同学们学习这一公式时应注意以下几点： 一、注意掌握公式的特点 例1计算：?? ? ??+-??? ??--y x y x 241241 分析：此题是两个二项式相乘，且有一个完全相同的项x 41- 另外一项一2y 与2y 为相反数，符合平方差公式的特点，因此可用平方差公式进行计箅。 解：??? ??+-??? ??--y x y x 241241=()2222 4161241y x y x -=-?? ? ??- 二、注意公式中各个字母的含义 公式中的字母a 、b 有着广泛的含义，它既可以具体的数，也可以代表单项式或多项式，注意到字母所表示的意义的广泛性，就能扩大公式的应用范围。 例2、计算()()z y x z y x -+++ 分析：将（x 十y ）视为一个“整体”当作公式中的a ，z 当作公式中的b ，使可运用平方差公式。 解()()z y x z y x -+++=()[]()[]()222222z y xy x z y x z y x z y x -++=-+=-+++ 三 注意合理运用公式 有些题目可以用不同的公式来解答，要注意合理运用公式，选择最佳解法。 例3、计算：()()2211+?-a a 分析：此题若将两个因式都用完全平方公式展开再相乘，运算会相当繁琐，若先逆用积的乘方法则，再利用平方差公式，问题可化繁为简。 解：原式=()()[]()1211124222+-=-=+-a a a a a 四、注意创造条件运用公式 有些比较复杂的数字计算，若能根据数字的特点，进行折数变形，创造条件便能运用平方差公式简化计算。 例4计箅： （1）1901899+? （2）1221241232 ?- 解：（1）将899变为900一1，901变为900十1，便能运用平方差公式计算。 原式=()()810000119001190019002=+-=++-