第一章特殊的平行四边形
一、菱形：
【知识梳理】
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且四边相等．
②角的性质：邻角互补，对角相等．
③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．
④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．
3．菱形的判定
判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判定③：四边相等的四边形是菱形．
【例题精讲】板块一、菱形的性质
例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．
（1）求菱形ABCD的边长；
（2）求菱形ABCD的高DM．
例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE 相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG
例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
例4.
已知，菱形
ABCD 中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE AF EF AB
===，求C
∠的度数．
F
E
D
C
B
A
跟踪练习：
1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为()
A.4
B.2.4
C.4.8
D.5
2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）
A.23
B.33
C.43
D.3.
3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口
与第二次折痕所成角的度数应为()
A.15°或30°
B.30°或45°
C.45°或60°
D.30°或60°
4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
图1－1－38
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形．
根据两人的作法可判断()
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.
(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________．
6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA
的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．
9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
【作业】
一. 选择题：
1..在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）
A. 5cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是____
3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）
A、20
B、14
C、28
D、24
4.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）
A．2 B．23 C．4 D．43
5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）
A、163
B、16
C、83
D、8
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）
A、M（5，0），N（8，4）
B、M（4，0），N（8，4）
C、M（5，0），N（7，4）
D、M（4，0），N（7，4）
二、填空题
7.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离
9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2． 三、解答题
12. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。 求证：△ACE ≌△ACF 。
13.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （﹣3，0）．
（1）求点D 的坐标；
（2）求经过点AB 的一次函数解析式．
14.如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：＝
12
BE ．
15. 如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长． （2）求∠AOB 的度数．
（3）以OB 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．
第7题
第8题
A D
F
E B
C
E
D
C B A
O
C
A
板块二、菱形的判定
例1.已知:如图1-3,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AC ⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形
例2.已知:如图1-5,四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD 是菱形
例3.已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线分别与AD 、AC 、BC 相较于点E 、O 、F. 求证: 四边形AECF 是菱形
课堂练习：
1.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
2. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F . 求证：四边形AFCE 是菱形.
D
C
A
B E A
与圆有关的证明及计算 1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙ O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点 CBF=∠CAB．ACF在的延长线上，且∠ （1）求证：直线BF是⊙O的切线； CBF=，求BC和BF的长．（2）若AB=5，sin∠ 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA
平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长． 是的中点，过点D作是⊙O的直径，DO4．如图，已知△ABC内接于⊙，AC．ECA 的延长线、F直线BC的垂线，分别交CB、 的切线；）求证：EF是⊙O（1 ，求⊙O的半径．EF=8（2）若，EC=6 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； P=，求⊙Osin∠的直径．，（2）若BC=3
6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E． （1）求证：AD平分∠CAE； （2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径． 7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点 E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？
新人教版八年级下册数学 第十八章平行四边形 18.2.2菱形的性质 德州经济开发区抬头寺镇中学 李霞
一、教学目标 1、知识与技能目标 理解菱形的概念，经历性质的探究过程，掌握菱形的性质。探究并掌握另一种求面积的方法。 2、过程与方法目标 经历探索菱形的基本概念和性质的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维能力，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。 3、情感态度与价值观目标 体验数学来源于生活又服务与生活。通过主动探究培养学生观察、发现、思考的习惯。 二、教学重点与难点 1、教学重点：菱形性质的探究、证明和简单应用； 2、教学难点：菱形性质2的探究和证明。 三、教法与学法 1、教法:我利用多媒体辅助教学，形象直观的展示平行四边形变成菱 形的过程；探究性质时，我利用矩形纸片和剪刀，和学生一 起通过折一折和剪一剪的方式感知菱形并引导学生归纳总 结菱形的性质。 2、学法：学生已有平行四边形概念和性质知识的积累，教学环节中 引导他们通过观察、类比、动手操作等活动，探究出菱形 的有关性质。
四、教学过程 （一）创设情境，导入新课 1、利用教具动态演示四边形的变化过程 教具：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成 一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。 问题：你知道这个四边形是什么形状吗？转动木条，当两根木条互相垂直时这个四边形变成什么形状? 通过第二个个问题引出菱形。 （二）新知探究过程 1、认识菱形 利用多媒体动态展示平行四边形平移一条边的过程，让学生观察 如图，在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度， 请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变 了？使两邻边相等时，变成什么特殊的平行四边形？
《菱形的性质与判定》 《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 【知识与能力目标】 1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。 2、理解并掌握菱形的性质定理；在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。 【过程与方法目标】 1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； 2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 【情感态度价值观目标】 1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 【教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。 【教学难点】 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化。 课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片； 教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。 一、情景导入 1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？ 2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。 二、合作探究 1.既然菱形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？ 在同学回答的基础上进行归纳：
菱形及其性质 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.如图，在菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是菱形四边的中点，连接EG 与H 交于点O ， 则图中的菱形共有( ) A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 3.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，E 为AB 的中点，E F ⊥AB 交对角线AC 于点F ， 连接DF ，则∠CDF = . 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于( ) A.3.5 B.4 C.7 D.14 5.菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是(6,0)， 点A 的纵坐标是1，则点B 的坐标是( ) A.(3,1) B. (3,－1) C. (1,－3) D. (1,3) 6.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，且AC=8,BD=6,，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ . 7.已知菱形ABCD 的对角线AC=4cm,BD =3cm,求菱形ABCD 的面积和周长. 8.如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F.求证: DF=BE. 第3题图
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分 别交于点M和点N. (1)请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由; (2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=5，AC=8 时，求△BDE的周长. 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABD=60°，M为对角线BD延长线上一点，连接AM、CM，E 为 CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F,若∠AMB=30°，且DM=1，求BE的长. 11.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时从A、C两点出发， 分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B停止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为 2 cm/s，若经过t s后△DEP为等边三角形，求t的值？
菱形（提高） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
第14题 F A D E B C 菱形的性质与判定练习题1 一、选择题 1、已知在菱形ABCD 中，下列说法错误的是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 菱形对角线互相平分 C. 菱形的对边相等 D. 菱形的对角线相等 2、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）． A ．对边相等 B ．对角相等 C ．对角线互相垂直 D ．对角线相等 3、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（ ）． A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．不存在 4、下列说法不正确的是（ ）． A ．菱形的对角线互相垂直 B ．菱形的对角线平分各内角 C ．菱形的对角线相等 D ．菱形的对角线交点到各边等距离 5、菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ）． A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm 6、菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．1 D ． 2 1 7、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）． A ．15 B ． 32 15 C ．7.5 D ．315 8、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）． A ．8cm B ．9cm C ．12cm D ．15cm 9、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）． A ．3：1 B ．4：1 C ．5：1 二、填空 10、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AD 的距离为 _______． 11、如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2 ． 1 A B C D O
特殊平行四边形 第一节 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。 矩形性质????? ?? ??=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S 矩形判定?? ? ??形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边 【重点内容】 ①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等 三角形的个数； ⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式； ⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的 →矩形； ⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形. 【典型例题】 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ） A ．对角线相等 B ．对角相等 C ．对角线互相平分 D ．对边相等 2、（2015春?南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两
条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，?=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。 4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 5、（2015?南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ． 6、（2015?湘西州）如图，在?ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）求证：四边形BFDE 为矩形． A O D
~ 菱形性质练习题 一．选择题（共4小题） 1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N 的坐标分别是（） A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4） 2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（） A．2 B．C．1 D． 3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 | 4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（） A．15 B．C． D． 二．填空题（共15小题） 5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2． 6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB 的距离OH= _________ ． 7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2． 《 6题图 7题图 8题图 9题图 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ． 9如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________ 度． / 10如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________ 度． 10题图12题 13题图 14题图 11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ． 【 12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________ 点． 13如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是______cm．14已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________ ．
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
19.2.2 菱形的定义及其性质 课题菱形的定义及其性质课型新 授课课时第1课时授课时长45分钟 授课题目(章，节) 第十九章第二节19.2.2圆的一般方程 教材及参考书目义务教育课程标准实验教材书数学八年级下册（人民教育出版社） ●教学目的与要求 1、知识目标：掌握菱形的定义和菱形的特殊性质，并熟练运用其进行有关的证明 和计算。 2、能力目标：通过学生实践、观察、猜想、探究得出菱形的定义和性质，培养学 生合情推理能力和演绎推理能力。 3、情感目标：经历“几何画板”探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同 时培养学生勇于探索的精神。 ●教学重难点 菱形是特殊的平行四边形，因而她有着自己的定义和不同于平行四边形的性质，菱形的定义和性质即是平行四边形定义与性质的延续，又是以后学习正方形的基础。因此本节课的重难点定为： 1、教学重点：菱形的概念与性质 2、教学难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用. 而解决这一难点的关键在于关键在于把握平行四边形的概念，引伸到菱形定义，再研究菱形的性质。 ●教学方法 由于八年级学生思维的不成熟，在解决实际问题中考虑不够深入。并根据本节内容，采用师生合作探究和学生动手实践、观察、猜想、探究相结合的教学方法。 ●教学辅助 多媒体教学演示折纸剪纸探究 ●教学过程及时间分配 1、情景创设，引入新课（9分钟） 2、探索活动，讲授新课（14分钟） 3、例题讲解，指导应用（8分钟） 4、课堂练习，动手实践（8分钟） 5、归纳小结，反馈回授（3分钟） 6、知识延伸，分层作业（3分钟）
教学环节 教学基本内容 设计意图 一 、情景创设，引入新课 创设情境（1分钟） 在前面同学们学习了平行四边形与矩形的相关知识，这节课我们将共同学习一种新的图形。 引入新课（8分钟） 用“几何画板” 画出等腰△ABC ，并作出关 于底边中点O 对称的图形。如图，在△ABC 中，AB=AC ，O 为BC 边上的中点，△DBC 为△ABC 关于 点O 的对称图形。 观察猜想：四边形ABCD 为什么图形？并且具有 什么特点？ 师生探究：通过“几何画板”演示、老师提问和学生小组讨论的方式的方式，最后得出四边形ABCD 是中心对称图形，是平行四边形，并且有一组邻边相等。 归纳总结： 四边形ABCD 是中心对称图形，是平行四边形，并且有一组邻边相等对称轴是两条对角线，又是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 启发导入： 为四边形ABCD 是简单的平行四边形吗？带着这个问题，我们今天来共同来探讨这种特殊的平行四边形的性质。 ⑴简单的情境创设，激 发兴趣，指明了课型的性质。 ⑴通过几何画板演示， 自然地从平行四边形 过渡到菱形，为引入菱 形的概念做铺垫。 ⑵引导学生观察猜想，探究四边形ABCD 的性质和特点，学生观察 思考过程中学会了动 眼、动口、动脑三维一体，多种刺激，调动了学生学习的积极性，培养学生勇于探索，团结协作的精神。 ⑶归纳总结，得出菱形这种特殊的平行四边形具有对称性，为用对称图形的性质得出菱形性质做铺垫。
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 重、难点 知识点睛 中考要求
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为24，则OH 的长等于 ． E F D B C A 例题精讲
1 菱形的性质练习 一、选择题 1.菱形具有其它平行四边形不一定具有的性质（） A .对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.菱形ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD 于F，且E,F分别是BC,CD的中点，那么∠EAF 等于（） A．75o B.55o C.45o D.60o 3.菱形ABCD的周长20cm，∠A:∠B=2:1，则顶点A到对角线BD的距离是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.2.5cm 4.菱形的周长为52，较短的一条对角线长为10，那么菱形的面积是（） A.30 B.60 C. 120 D.240 5．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是 （3，4），则顶点M、N的坐标分别是（） A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4） 6.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（） A．2 B．23 C．4 D．4 3 二．填空题 1. 已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 cm2． 2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB， 垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ． 3.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积 为cm2． 4.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在 AB上且BE=BO，则∠BEO= 度． 5.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm， 则P点到AB的距离是 cm． 菱形的性质练习 一、选择题 1.菱形具有其它平行四边形不一定具有的性质（） A .对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.菱形ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD 于F，且E,F分别是BC,CD的中点，那么∠EAF 等于（） A．75o B.55o C.45o D.60o 3.菱形ABCD的周长20cm，∠A:∠B=2:1，则顶点A到对角线BD的距离是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.2.5cm 4.菱形的周长为52，较短的一条对角线长为10，那么菱形的面积是（） A.30 B.60 C. 120 D.240 5．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是 （3，4），则顶点M、N的坐标分别是（） A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4） 6.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（） A．2 B．23 C．4 D．43 二．填空题 1.已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 cm2． 2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB， 垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ． 3.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积 为cm2． 4.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在 AB上且BE=BO，则∠BEO= 度． 5.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm， 则P点到AB的距离是 cm．
第一章特殊的平行四边形 一、菱形： 【知识梳理】 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等． ②角的性质：邻角互补，对角相等． ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 【例题精讲】板块一、菱形的性质 例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm． （1）求菱形ABCD的边长； （2）求菱形ABCD的高DM． 例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE 相交于点G，连接CG与BD相交于点H． 求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG
例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD. (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 例4. 已知，菱形 ABCD 中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数． F E D C B A 跟踪练习： 1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为() A.4 B.2.4 C.4.8 D.5 2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（） A.23 B.33 C.43 D.3. 3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口 与第二次折痕所成角的度数应为() A.15°或30° B.30°或45°
M N O D C B A 矩形，菱形的性质及判定专项练习 1.在下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为___________. 3.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分 的面积的最大值为________________. 4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________. 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1： 3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长。 7.如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。 8.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2， BC=1，求AG。 O F E D C B A G E D C B A
9. 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。 10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩 形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长． 11. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方 向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。 12. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。
西安翔龙教育菱形习题 一、性质 1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（） A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误 C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误 2．下面性质中菱形有而平行四边形没有的是（） A邻角互补B内角和为360°C对角线相等D对角线互相垂直 3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（） A. 当AB=BC时，它是菱形； B. 当AC⊥BD时，它是菱 形； C. 当∠ABC=90°时，它是矩形； D. 当AC=BD时，它是 菱形。 4、菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为______，面积为_______. 5．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm2。 6、若四边形ABCD为菱形，? = ∠60 A，对角线BD长为cm 7，则此菱形的周长是__cm. 7 ．已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是。 8、已知菱形的面积等于80cm,高等于8cm，则菱形的周长为 . 9、P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F， PF=3cm，则P点到AB的距离是_____ cm 10、菱形的周长为16cm，两邻角的比为2:1，则较短对角线的长是 11、已知菱形较大角是较小角的3倍，并且高为cm 4，那么这个菱形的面积是_______. 12、菱形的边长为4cm，两条对角线的长度之比为4:3，则两条对角 线的长分别为。 13、菱形ABCD中，如图5，∠BAD=120°，AB=10 cm,则AC=________ cm,BD=________ cm. 14．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数。 15、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。 二、判定 1、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是形；（2）若AC=BD，则□ABCD是形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形；（4）若∠BAO=∠DAO则□ABCD是形。 2、下列条件中，不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（）． Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分Ｂ、AB=BC=CD=DA
菱形的性质练习题 姓名： 号数： 班级： 一、 填空： 1、 在菱形ABCD 中，AC ＝6，DB ＝8，则菱形的面积为： 2、 菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为： 3、 菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为： 4、 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且△AEF 是等边三角形，AE ＝AB ，则 ∠BAD 的度数 5、 如图，菱形花坛DEFG 的边长为6， ∠E ＝60度度，其中由两个正六边形组成的图形的部分种花，则种花部分的周长（粗线部分）为： B A D E F G D
6、菱形的两条对角线长之比是5：3，它们的差是4厘米，则这 个菱形的面积是 7、菱形ABCD的对角线AC＝16厘米，BD＝16厘米，BC＝10厘米， DE⊥BC，垂足为点E，则DE的长是 8、菱形的一个内角为120度度，较短的对角线长为15，则该菱 形的周长为 9、已知菱形的周长为52厘米，∠BAD：∠ABC＝1：2，则BD＝ AC＝ 二、解答题 10、如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB＝2厘米，赤诚 （1）∠BAD的度数 （2）对角线AC的长 11、如图，平边ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，试说明四边形AFCE是菱形 B D E D A B C
12、如图，菱形ABCD 中，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，请你猜想CE 与CF 的大小关系？并说明理由。 13、如图，AD 是三形ABC 的角平分线，DE 平行于AC 交AB 于点E ，DF 平行于AB 交AC 于F ，试判断四边形AEDF 是何图形，并说明理由。 C 14、如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝24，BD ＝10，则周长是多少？面积呢？若DE ⊥AB 于点E ，求AB 。 D E F A C
第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】 1．菱 形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等．① ②角的性质：邻角互补，对角相等． ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 【例题精讲】板块一、菱形的性质 例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm， BD=12cm． （1）求菱形ABCD的边长； （2）求菱形ABCD的高DM． 例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连 接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点 H． 求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG
. ABCD例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形(1)求证：四边形ABCD是菱形．的周长是否存在最大值或最小(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． ，求的度数．上的点，若中，4.已知，菱形、分别是、例 AB?AF?EFAE?FECBC?CDABCDABDFEC 跟踪练习：) 的长为(BC,AE⊥垂足为E,则AE,AB=5,1.如图,在菱形ABCD中对角线AC=6.若过点A作D.5 C.4.8 A.4 B.2.4 CD和BCE、分别是FAB=22.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，，）AEF、的中点，连接AE、EFAF，则△的周长为（342333D.3. C. B. A. 剪口的菱形,,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°3.如图所示) 与第二次折痕所成角的度数应为 ( 30° B.30°或45°A.15°或 C.45°或60° D.30°或60° 4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙
菱形检测题二 1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______． 2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________． 3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______． 4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______． 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边 形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即 可). 6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）． A. 两组对边分别平行 B.菱形对角线互相平分 C. 菱形的对边相等 D.菱形的对角线相等 7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）． A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等 8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）． A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在 9、下列说法不正确的是（）． A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角 C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离 10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）． A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm 11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分 C．互相平分且不垂直D．垂直且平分 12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm 13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC?于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）． A．2 B．4 C．6 D．8 14.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( ) 15.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.5
讲义矩形和菱形
龙文教育学科教师辅导讲义
线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】3:2 例1. 如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。 分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角 线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据 菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE 是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH ⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC、BD平分对角 ∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上 又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD ∴OE＝OF＝OG＝OH 又∵AB//CD ∴OE⊥CD 又∵OG⊥OD ∴直线OE与OG重合 即E、O、G三点共线 同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形 又∵HF=EG ∴四边形EFGH是矩形 点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。 （2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。 例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。 例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，? = ∠120 AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。 D A C B H G F E