第四章 数学规划模型
【教学目的】：深刻理解线性规划，非线性规划，动态规划方法建模的基本特点，并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型；熟练掌握用数学软件（Matlab ，Lindo ，Lingo 等）求解优化问题的方法。 【教学重点难点】：
教学重点：线性规划和非线性规划的基本概念和算法，解决数学规划问题的一般思路和
方法，线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab 与Lingo 实现。
教学难点：区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题，以及何时采用线性模型，
何时采用非线性模型，线性模型与非线性模型的转化。
【课时安排】：10学时
【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】：
在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x 的取值是受限制的，不妨记为x ∈Ω，Ω称为可行域，优化问题的数学模型可表示为
Max(或Min)f(x), x ∈Ω
一般情况下，x 是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为
()
x
Min f x .
()0,1,2,,i st g x i m
≤=
虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。
根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。 4.1线性规划
线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的，它在工农业生产、经济管理、优化设计与控
制等领域都有广泛应用。如资源分配问题、生产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动力安排问题、最优设计问题等等。线性规划模型的求解方法目前仍以单纯形法为主要方法，该方法于1947年由美国数学家丹茨格（G .B.Dantzig ）提出，经过60多年的发展完善，已经形成比较成熟的算法，同时配合计算机技术的广泛应用使得该方法得到空前的普及应用。目前，大多数数学软件都可以求解一般线性规划模型，这一节主要采用Matlab 和Lindo 软件。 4.1.1奶制品的生产与销售 例1 加工奶制品的生产计划
【问题描述】一奶制品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A ．根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：
1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元? 3)由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划?
【问题分析】这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A (也可以是每天生产多少公斤1A ，多少公斤2A )，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。
【模型假设】1) 1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；
2) 1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3)加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数．
【模型建立】设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A ． 设每天获利为z 元．1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利 24?31x ，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利16?42x ，故目标函数为：z=721x +642x ．
由题目可以得到如下约束条件：
原料供应： 生产1A ，2A 的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间： 生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时；
设备能力： 1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100； 非负约束： 1x +2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0． 综上可得该问题的数学模型为：
???????≥≥≤≤+≤++0
x 0,x 1003x 4808x 12x 50
x x s.t.64x 72x max 21121
2121 由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划(LinearProgramming ，简记作LP)。
【模型求解】(图解法)：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件中的不等号改为等号，可知它们是1Ox ，2x 平面上的5条直线，依次记为1L ～5L ，如图1．其中4L ，5L 分别是工2x 轴和1x 轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．
目标函数中的z 取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族．如z=0是过O 点的直线，z=2400是过D 点的直线，z=3040是过C 点的直线，…．可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所1,5[B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20，2x =30．
图1 图解法示意图
我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n 维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．
(软件求解)在LINDO 软件中输入如下程序：
max 72x1+64x2 st
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end
运行后结果显示：
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1) 3360.000
VARIABLE V ALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 即：20桶牛奶生产1A , 30桶生产2A ，最大利润为3360元。 结果分析：
从上述输出结果中可以看出：
将3个约束条件有段不放看作三种“资源”：原料、劳动时间、甲类设备的加工能力。输出低7~10行“SLACK OR SURPLUS”给吃这三种资源在最优解下是否剩余：原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余40；“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）。
目标函数可以看做 “效益”。最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量：原料增加1单位, 利润增长48 ；时间增加1单位, 利润增长2；加工能力增长不影响利润。效益的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格：即1桶牛奶的影子价格为48元；1
小时劳动的影子价格为2元；甲类设备的影子价格为0。
对于附加问题1）：35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 由于35 <48, 应该买！
对于附加问题2）：聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
从上述输出结果的第13-17行可以得出最优解不变时目标函数系数允许变化范围：
1x 系数范围(64,96)，2x 系数范围(48,72)，1A 获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划 1x 系数由24×3=72增加为30×3=90，在允许范围内不变！
影子价格有意义时约束右端的允许变化范围：原料最多增加10，时间最多增加53。 对于附加问题3）：35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？
最多买10桶!
例2 奶制品的生产销售计划
【问题描述】例1给出的1A ，2A 两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变．为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤1A 加工成0．8公斤高级奶制品1B ，也可将1公斤2A 加工成0.75公斤高级奶制品2B ；每公斤1B 能获利44元，每公斤2B 能获利32元．试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：
1)若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资?若每天投资150元，可赚回多少?
2)每公斤高级奶制品1B ，2B 的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每公斤1B 的获利下降10％，计划应该变化吗?
【问题分析】要求制订生产销售计划，决策变量可以像例l 那样，取作每天用多少桶牛奶生产1A ，2A ，再添上用多少公斤1A 加工1B ，用多少公斤2A 加工2B ，但是由于问题要分析1B ，
2B 的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作1A ，2A ，1B ，2B 每天的销售量更方
便．目标函数是工厂每天的净利润——1A ，2A ，1B ，2B 的获利之和扣除深加工费用．约束条件基本不变，只是要添上1A ，2A 深加工时间的约束．在与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题．
【模型建立】设每天销售1x 公斤1A ，2x 公斤2A ，3x 公斤1B ，4x 公斤2B ，用5x 公斤1A 加工1B ，6x 公斤2A 加工2B (增设5x ，6x 可使下面的模型简单)． 设每天净利润为z ，容易写出目标函数为：
6543213332441624x x x x x x z --+++=，
由题设可以得到如下约束条件：
原料供应 ：1A 每天生产1x +5x 公斤，用牛奶(1x +5x )／3桶， 2A 每天生产2x +6x 公斤，用牛奶(2x +6x )／4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶；劳动时间 ：每天生
产1A ，2A 的时间分别为4(1x +5x )和2(2x +6x )，加工1B ，2B 的时间分别为25x 和26x ，二者之和不得超过总的劳动时间480小时； 设备能力 ：1A 的产量1x +5x 不得超过设备甲每天的加工能力100公斤；非负约束 ：1x ，2x ，…，6x 均为非负． 附加约束 ：l 公斤
1A 加工成0．8公斤1B ，故3x = 0．85x ，类似地4x =0．756x ．
综上可得该问题的数学模型为：
???
???
??
???≥==≤+≤+++++≤++++++0,,,,x ,x 0.75x x 0.8x x 100x x 480
x 2x 2)x 2(x )x 4(x 504
x x 3x x s.t.3x -3x -32x 4416x 24x max 6
543216
453515262516
251654321x x x x x 这仍然是一个线性规划模型．求解过程与上面软件求解部分类似。 4.1.2自来水输送
【问题描述】某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A 、B 、C 由三个水库供应。四个区每天必须的基本生活用水分别为30、70、10、10千吨，但三个水库每天最多只能分别供应50、60、50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水 管理费不同（如表，其中C 水库与丁区间无输水管道），其它管理费均为450元/千吨。各区用户每千吨收费900元。此外，各区用户都向公司申请了额外用水量，分别为每天50、70、20、40千吨。问公司应如何分配供水量，才能获利最多？
【问题假设】输送到各区的自来水只要在基本用水与额外用水量以内，各区即全额付费。 【模型建立】
设A 、B 、C 各水库向甲、乙、丙、丁四个居民区的供水量如下，
则公司从A 水库的获利为：
4
32143211)450170()450220()450130()450160()(900x x x x x x x x u +-+-+-+-+++=公司从B 水库的获利为：
4
32143212)450150()450190()450130()450140()(900y y y y y y y y u +-+-+-+-+++=公司从C 水库的获利为：
3213213)450220()450200()450190()(900z z z z z z u +-+-+-++=
公司的总获利为：
3211u u u u ++=
限定条件如下，
各区每天的供水量：
甲区：503030111+≤++≤z y x 乙区：707070222+≤++≤z y x 丙区：201010333+≤++≤z y x 丁区：40101044+≤+≤y x 水库每天供水量的限定： A 水库：
504
1i =∑=i
x
B 水库：
604
1i =∑=i
y
C 水库：
503
1
i =∑=i
z
于是建立数学模型如下：
????????????
???===+≤++≤+≤++≤+≤++≤++++++++++∑∑∑===50605020101070
707053030..220z 250z 260z 300y 260y 320y 310y 280x 230x 320x 290x 3
1
i 4
1i 41
i 3332221113
2143214321i i i z y x z y x z y x z y x t s Max
用MATLAB 实现线性规划的运算
为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为
min x c '
ub
x lb beq x Aeq b Ax t s ≤≤=?≤.
.
其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。 例如线性规划
b Ax t s x
c ≥..'m ax
的Matlab 标准型为
b Ax t s x
c -≤--..'m in
求解线性规划的matlab 命令linprog 的格式：
X=linprog(c,A,b)可以求解线性规划问题 min c′x s.t. Ax <= b
X=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 可以求解线性规划问题 min c′x s.t. Ax <= b, Aeq*x = beq X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)可以对上述问题中的变量加上范围约束 lb <= X <= ub 当无下限时可设为lb=-inf 无上限时可以设定ub=inf X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,X0) 给出了初始点X0
用Matlab 写出线性规划程序求解。因A 矩阵，b 矩阵的对应不等式为大于关系，为化
为标准形式，故在linprog函数中A,b前加入负号。且linprog函数默认求解的是线性规划模型的标准形式，即最小量。故在取值范围允许的情况下，在f矩阵前加负号，以求得负最小值。最终结果fval取相反数后即为所得结果。
f=[290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220]
A=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]
b=[30;70;10;10;
-80;-140;-30;-50]
Aeq=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]
beq=[50;60;50]
ub=[50 50 50 50 60 60 60 60 50 50 50]
lb=zeros(11,1)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(-f,-A,-b,Aeq,beq,lb,ub)
x =
0.0000
50.0000
0.0000
0.0000
0.0000
50.0000
0.0000
10.0000
40.0000
0.0000
10.0000
fval =
-4.7600e+004
求解的结果如下：
各输送管道的供水量：
最大利润为47600元。
对该供水量规划与表1.1的引水管理费数据作对比，不难发现获得供水量的规划方案都集中在引水管理费最低的运输途径上。由此可以得出初步结论，即引水管理费的差异是引起规划结果变化的关键因素，在满足供水需求的基础上合理规划各管道供水量，使管理费降到最低，即可获得最大利润。模型求解的结果亦支持了这一结论。
4.1.3 货机装运
【问题描述】一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积有限制如下表所示。并且为了飞机的平衡，三个货舱共装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。
现有四类货物共该货机本次飞行装运，货物的规格以及装运后获得的利润如下表
应如何安排装运，使得货机本次飞行获利最大？
模型假设：
（1）每种货物可以无限细分；
（2） 每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；
（3） 不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。 模型建立：
变量说明：用ij x 表示第i 种货物放在第j 个货舱内的重量，4,3,2,1=i 分别表示货物1，货物2，货物3和货物4。3,2,1=j 分别表示前舱、中舱和后舱。
目标函数
)
(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211x x x x x x x x x x x x +++++++++++约束条件：
（1） 供装载的四种货物的总重量约束
??????
?≤++≤++≤++≤++12
23151843424133323123
2221131211x x x x x x x x x x x x （2） 三个货舱的空间限制
??
?
??≤+++≤+++≤+++5300
39058065048087003905806504806800390580650480433323134232221241312111x x x x x x x x x x x x
（3） 三个货舱的重量限制
???
??≤+++≤+++≤+++8
161043332313
4232221241312111x x x x x x x x x x x x
（4） 三个货舱装入重量的平衡约束
8
161043
3323134232221241312111x x x x x x x x x x x x +++=
+++=+++
模型求解：（编写M文件如下）
c=[3100 3100 3100 3800 3800 3800 3500 3500 3500 2850 2850 2850];
A=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;
480 0 0 650 0 0 580 0 0 390 0 0;
0 480 0 0 650 0 0 580 0 0 390 0;
0 0 480 0 0 650 0 0 580 0 0 390;
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0;
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0;
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1];
b=[18;15;23;12;6800;8700;5300;10;16;8];
Aeq=[16 -10 0 16 -10 0 16 -10 0 16 -10 0;0 8 -16 0 8 -16 0 8 -16 0 8 -16];
beq=[0;0];
lb=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];
ub=[18;18;18;15;15;15;23;23;23;12;12;12];
[x,fval]=linprog(-c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
4．1.4钢管下料
【问题描述】某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。应如何下料最节省？
【问题分析】
首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。
其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。例如，将19米长的钢管切割成3根4米的钢管是可行的，但余料为7米，可以进一步将7米的余料切割成4米钢管（余料为3米），或者将7米的余料切割成6米钢管（余料为1米）。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如下表所示。
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最
为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。 【模型建立】
决策变量：7,2,1, =i x i （七种模式切割的原料钢管的根数，为非负正整数） 目标函数：
模型1：使得切割后剩余的总料量最小 76543213333m in
x x x x x x x ++++++
模型2：切割原料钢管的总根数最少 7654321mi n
x x x x x x x ++++++
约束条件：（满足顾客要求）
15
2203250234753654254321≥++≥+++≥++++x x x x x x x x x x x x
【模型求解】
Matlab 自身没有提供整数线性规划的函数，但可以使用荷兰Eindhoven 科技大学Michel
Berkelaar 等人开发的LP_solve 包中的matlab 支持的mex 文件。编译后该函数的调用格式为：
),,,int ,,,(_],[ctype x x list c B A mex ipslv how x m M =
其中，A,B 表示线性等式和不等式的约束。和最优化工具箱中提供的函数不同，这里不要求用多个矩阵分别表示等式和不等式，而可以使用这两个矩阵表示等式、大于式和小于式，具体的约束式子由ctype 变量控制，ctype(i)的值为正、零与负分别对应i i b x a ≥，i i b x a =， 和i i b x a ≤。Intlist 为整数约束标示，其第i 个分量为1则表示需要i x 为整数。返回的how 为得出解x 的附加说明，其中，how=0，表示结果为最优，为2表示无可行解，其余的值表示求解失败。
MATLAB 求解程序如下：
c=[3 1 3 3 1 1 3]’; A=[4 3 2 1 1 0 0; 0 1 0 2 1 3 0; 0 0 1 0 1 0 1]; B=[50;20;15]; intlist=ones(7,1); xM=inf*ones(7,1); xm=zeros(7,1); ctype=[1;1;1];
[x,how]=ipslv_mex(c,A,B,intlist,xM,xm,ctype);
对于模型1，计算得最优解为（0，12，0，0，15，0，0），按照模式2切割12根，按照模式5切割15根，总余料量为27米。
对于模型2，计算得最优解为（0，15，0，0，5，0，5），按照模式2切割15根，按照模式5切割5根，按照模式7切割5根，共25根，总余料量为35米。 4.2 整数规划模型
实际问题中经常遇到货物是不可分割的，如人，动物，整体装配的设备等，这时候除了题目本身的约束外，还要加上决策变量的整数约束，这就是这节要介绍的整数规划问题（Integer Programing ）。
整数规划又可分为线性整数规划和非线性整数规划，这一节只介绍整线性规划。整数线性规划中如果所有决策变量都是整数，则称为纯整数规划；若只有部分变量为整数，则称为混合整数规划；若决策变量只能取0或1，则称为0-1规划。
求解整数规划的算法主要是分枝定界法和割平面法，这两种方法都是以求解线性规划的方法为基础。而0-1规划的求解使用隐枚举法，它不需要用单纯形法先求解线性规划，而是依次检查变量等于0或1的某种组合，以便使目前最好的可行解不断加以改进，最终获得最优解。整数规划的求解主要使用Lindo和Lingo软件。
4.2.1选课策略
【问题描述】某个学校规定，某专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课程、三门运筹学课程和两门计算机课程。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程要求如下表所示。那么毕业时学生最少可以学习这些课程中的那些课程。如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，它可以选修那些课程？
【模型的建立与求解】
用9,,2,1, =i x i 表示选修第i 门课程的情况：1=i x 表示选修该课程；0=i x 表示不选该课程。
决策目标为选修的课程总数最少，即 921m in x x x +++
约束条件：
（１） 满足课程要求：（至少２门数学课程，３门运筹学课程和２门计算机课程）
2
32
97649865354321≥+++≥++++≥++++x x x x x x x x x x x x x x
（２） 先修课程要求：
（ａ）数据结构的先修课程为计算机编程：1174=?=x x 转换为：74x x ≤ （ｂ）计算机模拟的先修课程为计算机编程：76x x ≤ （ｃ）预测理论的先修课程为应用统计：58x x ≤
（ｄ）最优化方法的先修课程为微积分和线性代数：2313,x x x x ≤≤，或者转化为：02321≤+--x x x
（ｅ）应用统计的先修课程为微积分和线性代数：2515,x x x x ≤≤，或者转化为：02521≤+--x x x
（ｆ）数学实验的先修课程为微积分和线性代数：2919,x x x x ≤≤，或者转化为：02921≤+--x x x
（３）０－１限制：1,0=i x （可以转化为整数规划，10≤≤i x ） matlab 模型求解： c=[1;1;1;1;1;1;1;1;1]; A=[-1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0; 0 0 -1 0 -1 -1 0 -1 -1; 0 0 0 -1 0 -1 -1 0 -1; 0 0 0 1 0 0 -1 0 0; 0 0 0 0 0 1 -1 0 0; 0 0 0 0 -1 0 0 1 0; -1 -1 2 0 0 0 0 0 0; -1 -1 0 0 2 0 0 0 0; -1 -1 0 0 0 0 0 0 2]; b=[-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0]; [x,Fval]=bintprog(c,A,b);
计算得到该问题的解为（1，1，1，0，0，1，1，0，1），即选修的课程为微积分、线性代数、最优化方法、计算机模拟、计算机编程和数学实验，总学分为21。
对于第二个问题，在选课最少的目标下，也要求使得总的学分最大，因此决策的目标除了921m in
x x x Z +++= 外，还有
987654321322343445m ax
x x x x x x x x x W ++++++++=
【模型讨论】
这是一个多目标规划的问题，但是可以使用加权的方式将多目标规划问题转化为单目标规划问题，此时需要知道决策者对每个目标的的偏好程度（即对每个目标的重视程度）。设
0,1,,2,12121≥=+λλλλλ分别表示决策者对两个目标的重视程度，则原问题可以转化为下
面的单目标问题 W Z 21m in λλ-。求解该约束单目标0-1规划问题可以得到解。
模型讨论：
（１）:0,121==λλ最优解如上，６门课程，总学分21； （2）:1,021==λλ最优情况为选修所有的9门课程；
（3）在课程最少的前提下以学分最多为目标求解。可以增加条件691=++x x ，得到最优解为（1，1，1，0，1，1，1，0，0）。
（4）对学分数和课程加权形成一个目标，如三七开。此时得到的最优解问题为：
Z W 7.03.0m in +-，求得最优解为（1，1，1，1，1，1，1，0，1）。
（5）也可以讨论λ的取值对最优解的影响。
4.2.2汽车生产计划问题：
【问题描述】汽车厂生产三种类型汽车，一直各类型每辆车对应的钢材，劳动时间要求是。利润及工厂每月现有量。
制定月生产计划，使工厂利润最大。
如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划用如何改变？ 【模型分析】
这是一个优化问题，目标是使获利最大，要做的决策是如何安排生产计划。即小型汽车应生产多少辆，中型汽车应生产多少辆，大型汽车应生产多少辆。决策受三个条件的限制：一个是生产汽车所用到的钢材，一种是生产汽车所花费的时间，另一种是汽车的获取利润的影响。
【模型假设】
1、假设生产的每辆汽车都能按所设定好的价格卖出去。
2、假设每辆汽车的生产都是按照所要求的生产工艺去生产的 。
3、假设每月有30天。 【模型求解】
1x 、2x 、3x 分别表示生产小型汽车1x 辆，生产中型汽车2x 辆，生产大型汽车3x 辆。Z
表示生产汽车所获得的总利润。
对于问题一，目标函数使获利最大：， max 21x +32x +33x
约束条件：600555.13
21=++x x x 60000400250280321=++x x x
000
321≥≥≥x x x
将该模型输入LINGO 软件求解，输出结果为：751=x ，02=x ，5
.973=x ，即生产
小型汽车75辆，生产中型汽车0辆，大型汽车97.5辆可使获利最大。有因为60000小时有80.6个月，故月生产计划为生产小型汽车0.9辆，生产中型汽车0辆，生产大型车1.2辆。
对于问题二，目标函数使获利最大：max 21x +32x +3
3
x
约束条件：600555.13
21=++x x x 60000400250280321=++x x x
808080
321≥≥≥x x x
将该模型输入LINGO 软件求解，输出结果为：8.871=x ，7.132=x ，0.803=x ，即生产小型汽车87.8辆，生产中型汽车13.7辆，大型汽车80.0辆可使获利最大。有因为60000小时有80.6个月，故月生产计划为生产小型汽车1.1辆，生产中型汽车0.17辆，生产大型车0.99辆。
4.2.3饮料厂的生产与检修
【问题描述】某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需求，该厂销售科根据市场预测，已经确定了未来四周该饮料的需求量。计划刻根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本，如下表所示，每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出每周每千箱0.2千元的存贮费。问应如何安排生产计划，在满足每周市场需求的情况下，使四周总费用最小？
【问题分析】
从数据可看出，除第四周外，其他三周生产能力都超过需求量，且总的生产能力超过总需求，显然前三周必须要有剩余来满足第四周的需求。同时，生产成本在逐周升高，所以从总费用最小角度考虑，前几周应多生产一些备用，可能是更好的生产方案。于是，应该建立数学规划模型来寻找最优的生产与存贮策略。 【模型假设】
1、饮料厂在第一周开始时没有库存；
2、从费用最少考虑，第四周末不能有可库存；
3、周末有库存时需要支出一周的存贮费且每周末的库存量就是下周初的库存量；
4、企业的生产能力和市场占有率保持不变，生产设备没有折旧，且在考虑问题时，市场经济发展良好，不会对企业有额外影响。 【模型建立与求解】
z --总费用；i x --第i 周的生产量（i=1,2,3,4）
（在LINDO 与LINGO 软件中用xi 代替）； j
y --第j 周末的库存量(j=1,2,3,4) （在LINDO 与LINGO 软件中用yj 代替）
由问题可知，总费用取决于生产成本和存贮费，即
Z=5.01x +5.12x +5.43x +5.54x +0.2 (
1
y
+
2
y
+
3
y )
又由每周：生产能力=库存量+需求量 得到下列约束条件：
1
x - 1
y =15
2
x +1
y - 2
y =25 3x +2y - 3
y =35
4
x
+3
y =25
还有生产能力限制：1x ≤30,
2
x ≤40, 3
x ≤45, 4
x ≤20;
以及非负约束：1x ，2x ，3x ，4x ，1
y ，2
y ，3
y ≥0
【模型求解】
方法1：运用MATLAB 软件求解
1、 程序如下：（保存M 文件名为yinliao.m ）
c=[5.0;5.1;5.4;5.5;0.2;0.2;0.2]; A=[]; B=[];
Aeq=[1 0 0 0 -1 0 0;0 1 0 0 1 -1 0;0 0 1 0 0 1 -1;0 0 0 1 0 0 1]; beq=[15;25;35;25]; xl=[0;0;0;0;0;0;0]; xu=[30;40;45;20];
[x,fmin]=linprog(c,A,B,Aeq,beq,xl,xu) 2、 结果分析：
在COMMAND WINDOW 中输入yinliao 然后回车得到结果如下： x =
整数规划的数学模型及解的特点 整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。 松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。 若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。 一、整数线性规划数学模型的一般形式 ∑==n j j j x c Z 1 min)max(或 中部分或全部取整数n j n j i j ij x x x m j n i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10 ),(.211 ==≥=≥≤∑= 整数线性规划问题可以分为以下几种类型 1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。 1 解整数规划问题 0—1型整数规划 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的 ???? ? ????≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z
5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) 5. 6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响 3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响 1．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π 3个单位长度后所得图象的解析式为
( ) A ．y ＝sin x －π 3 B ．y ＝sin x ＋π 3 C ．y ＝sin ? ?? ?? x －π3 D ．y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3 D [根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π 3个单位长度后得到y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象．] 2．为了得到函数y ＝4sin ? ????12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ? ????x －π6， x ∈R 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的1 2倍，横坐标不变 A [函数y ＝4sin ? ???? x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不 变，得到y ＝4sin ? ?? ?? 12x －π6的图象．] 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.] 三角函数图象之间的变换 【例1】 (1)将函数y ＝2cos ? ? ???2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下 平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________． (2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin2x ＋π 4＋1的图象？
第四章 数学规划模型 【教学目的】：深刻理解线性规划，非线性规划，动态规划方法建模的基本特点，并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型；熟练掌握用数学软件（Matlab ，Lindo ，Lingo 等）求解优化问题的方法。 【教学重点难点】： 教学重点：线性规划和非线性规划的基本概念和算法，解决数学规划问题的一般思路和 方法，线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab 与Lingo 实现。 教学难点：区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题，以及何时采用线性模型， 何时采用非线性模型，线性模型与非线性模型的转化。 【课时安排】：10学时 【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】： 在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x 的取值是受限制的，不妨记为x ∈Ω，Ω称为可行域，优化问题的数学模型可表示为 Max(或Min)f(x), x ∈Ω 一般情况下，x 是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为 () x Min f x . ()0,1,2,,i st g x i m ≤= 虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。 根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。 4.1线性规划 线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的，它在工农业生产、经济管理、优化设计与控
第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。１847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。１857年,凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”.哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图"是指某类具体事物和这些事物之间的联系.如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功.欧拉为了解决 这个问题，采用了建立数学模型的方法.他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”.问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河. 图与网络是运筹学(Operat ｉons Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域.下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题. 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题. 例1 最短路问题（ＳPP －shorte ｓｔ pat ｈ p ｒｏb ｌｅm ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来,使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市.假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本,那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总
SETS: !We have a network of 10 points. We want to find the length of the shortest route from point 1 to point 10.; ! Here is our primitive set of 10 points,where F(i) represents the shortest path distance from point i to the last point; CITIES /1..10/:F; ! The derived set ROADS lists the roads that exist between the points; ROADS(CITIES,CITIES)/ 1,2 1,3 1,4 2,5 2,6 3,5 3,6 3,7 4,6 4,7 5,8 5,9 6,8 6,9 7,8 7,9 8,10 9,10/:D; ! D(i,j) is the distance from point i to j; ENDSETS DATA: ! Here are the distances that correspond to the above links; D= 4.5 2.8 3 10.3 9 6 7.4 10.2 3.5 8.3 4.6 8.2 9 6.5 5.4 4.6 8 4.6; ENDDATA ! If you are already in point 10,then the cost to travel to point 10 is 0; F(@SIZE(CITIES))=0; @FOR(CITIES(i)|i#LT#@SIZE(CITIES): F(i)=@MIN(ROADS(i,j):D(i,j)+F(j)) ); END
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在
课程设计 2015年 7 月 5 日
东北石油大学课程设计任务书 课程《数学模型》课程设计 题目应用数学规划模型求解实际数学问题 专业姓名学号 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 简单介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并利用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局 课程设计的要求： 1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。 2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计，模型解法与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优缺点及改进方向。必要的计算机程序。 3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。 4.课程设计结束时参加答辩。 主要参考资料： [1] 唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2005.3 [2]杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2012.6 [3]陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007 [4] 吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005 [5]胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2003 [6] 焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2002 完成期限 2016年6月27日-7月8日 指导教师 专业负责人 2016年7月5日
摘要 人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程中需要处理大量数据，而统计学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用统计方法来整理这些数据，就可以省去不必要的过程。 本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本文在求解的过程中主要借助了这个软件。必要的求解过程是利用MATLAB和LINGO来求解的。本文在详细介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO 求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。 林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分配方案往往需要消耗不同的修理成本. 本文主要利用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分配方案，以及所对应的总费用，并对其进行分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为资源分配的主要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得到了相当满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解步骤，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提供了较为简便的方法。 关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型
实验05 数学规划模型㈡（2学时） （第4章数学规划模型） 1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102 (1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型 max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600 280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000 x1, x2, x3≥ 0 并求解模型。 ★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）： (2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型 max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600 280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000 x1, x2, x3均为非负整数
并求解模型。 LINGO 函数@gin 见提示。 ★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）： 2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107 模型： 已知 ?? ? ??≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x x x c 注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x
112112221112212211 1121 12 1222 11122122max 4.8() 5.6()()500100015000.5 0.6 ,,,,0 z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥ 2.1解法1（NLP ）p104~106 将模型变换为以下的非线性规划模型： 112112221231112212211 1121 12 1222 123122312311122122max 4.8() 5.6()(1086)50010000.5 0.6 (500)0(500)00,,500,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥ LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。 ★(1) 给出输入模型（见[105]）： 注意：模型中不要出现变量相除的形式，转化！
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型5.6.2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的 图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响 3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响 1．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π 3个单位长度后所得图象的解析式为( ) A ．y ＝sin x －π 3 B ．y ＝sin x ＋π 3 C ．y ＝sin ? ????x －π3 D ．y ＝sin ? ????x ＋π3 D [根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后得到y ＝sin ? ????x ＋π3的图象．]
2．为了得到函数y ＝4sin ? ????12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ? ????x －π6，x ∈R 的 图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的1 2 倍，横坐标不变 A [函数y ＝4sin ? ????x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝4sin ? ????12 x －π6的图象．] 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.] 三角函数图象之间的变换 【例1】 (1)将函数y ＝2cos ? ????2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个 单位长度，则所得图象的解析式为________． (2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin2x ＋π 4＋1的图象？ [思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式． (2)法一：y ＝sin x →纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移． (1)y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ? ????2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度， 得y ＝2cos ??????2? ????x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ， 再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．] (2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2? ????x ＋π8的图象；
课程设计
2015年 7 月 5 日
东北石油大学课程设计任务书 课程《数学模型》课程设计 题目应用数学规划模型求解实际数学问题 专业姓名学号 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 简单介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并利用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局 课程设计的要求： 1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。 2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计，模型解法与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优缺点及改进方向。必要的计算机程序。 3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。 4.课程设计结束时参加答辩。 主要参考资料： [1] 唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2005.3 [2]杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2012.6 [3]陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007 [4] 吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005 [5]胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2003 [6] 焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2002
完成期限 2016年6月27日-7月8日 指导教师 专业负责人 2016年7月5日
摘要 人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程中需要处理大量数据，而统计学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用统计方法来整理这些数据，就可以省去不必要的过程。 本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本文在求解的过程中主要借助了这个软件。必要的求解过程是利用MATLAB和LINGO来求解的。本文在详细介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO 求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。 林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分配方案往往需要消耗不同的修理成本. 本文主要利用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分配方案，以及所对应的总费用，并对其进行分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为资源分配的主要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得到了相当满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解步骤，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提供了较为简便的方法。 关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型 I
第5章思考题与习题 5-1 什么是被控过程的数学模型？ 解答： 被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。 5-2 建立被控过程数学模型的目的是什么？过程控制对数学模型有什么要求？ 解答： 1）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数； ○2指导生产工艺及其设备的设计与操作； ○3对被控过程进行仿真研究； ○4培训运行操作人员； ○5工业过程的故障检测与诊断。 2）要求：总的原则一是尽量简单，二是正确可靠。阶次一般不高于三阶，大量采用具有纯滞后的一阶和二阶模型，最常用的是带纯滞后的一阶形式。 5-3 建立被控过程数学模型的方法有哪些？各有什么要求和局限性？ 解答：P127 1）方法：机理法和测试法。 2）机理法： 测试法： 5-4 什么是流入量？什么是流出量？它们与控制系统的输入、输出信号有什么区别与联系？ 解答： 1）流入量：把被控过程看作一个独立的隔离体，从外部流入被控过程的物质或能量流量称为流入量。 流出量：从被控过程流出的物质或能量流量称为流出量。 2）区别与联系： 控制系统的输入量：控制变量和扰动变量。 控制系统的输出变量：系统的被控参数。
5-5 机理法建模一般适用于什么场合？ 解答：P128 对被控过程的工作机理非常熟悉，被控参数与控制变量的变化都与物质和能量的流动与转换有密切关系。 5-6 什么是自衡特性？具有自衡特性被控过程的系统框图有什么特点？ 解答： 1）在扰动作用破坏其平衡工况后，被控过程在没有外部干预的情况下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。 2）被控过程输出对扰动存在负反馈。 5-7 什么是单容过程和多容过程？ 解答： 1）单容：只有一个储蓄容量。 2）多容：有一个以上储蓄容量。 5-8 什么是过程的滞后特性？滞后又哪几种？产生的原因是什么？ 解答： 1）滞后特性：过程对于扰动的响应在时间上的滞后。 2）容量滞后：多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞 后。 纯滞后：在生产过程中还经常遇到由（物料、能量、信号）传输延迟引 起的纯滞后。 5-9 对图5-40所示的液位过程，输入量为1Q ，流出量为2Q 、3Q ，液位h 为被控参数，水箱截面为A ，并设2R 、3R 为线性液阻。 （1）列写液位过程的微分方程组； （2）画出液位过程的框图； （3）求出传递函数)()(1s Q s H ，并写出放大倍数K 和时间常数T 的表达式。 解答：
一、在Excel 中加载规划求解工具 要使用Excel 应首先安装Microsoft Office ，然后从屏幕左下角的[开始]—[程 序]中找到Microsoft Excel 并启动.在 Excel 的主菜单中点击[工具]—[加载 宏]，选择“规划求解”，如图所示.点击[确 定]后，在工具菜单中将增加[规划求解] 选项. 二、在Excel 中建立线性规划模型 实际例子：某药品厂生产两种药品，药品1和药品2，要用到设备ABCD ，药品1需要四种设备的台时数分别为2、1、4、0，药品2需要台时数分别为2、2、0、4，设备ABCD 可用资源量分别为12、8、16、12，药品1和药品2单位利润分别为200和300，求两种药品生产量分别为多少获得最大利润。 建立电子表格模型时既可以直接利用问题中所给的数据和信息，也可以利用已建立的代数模型.本例的代数模型为： 目标函数 21300200x x Z +=max ?????????≥≤≤≤+≤+0 ,124164821222..21212121x x x x x x x x t s 图2显示了将该例的数据转送到电子表格中后所建立的电子表格数学模型（本例是一个线性规划模型）. 其中显示数据的单元格称为数据单元格，包括生
产每单位药品Ⅰ和Ⅱ所需要的4种设备的台时数（单元格C5：D8），药品Ⅰ和Ⅱ的单位利润（单元格C9：D9），4种设备可用的台时数（单元格G5：G8）. 我们要做的决策是两种药品各生产多少；对这一决策的约束条件是生产两种药品所需的4种设备台时的限制；判断这些决策的优劣程度的指标是生产这两种药品所获得的总利润（决策目标）. 如图所示，将决策变量（药品Ⅰ、Ⅱ的产量）分别放入单元格C10和D10，正好在两种药品所在列的数据单元格的下面.由于不知道这些产量会是多少，故在图中均设为零（空白的单元格默认取值为零.实际上，除负值外的任何一个试验解都可以）.以后在寻找产量最佳组合时这些数值会被改变.因此，含有需要做出决策的单元格称为可变单元格. 两种药品所需的4种设备台时总数分别放入单元格E5至E8，正好在对应数据单元格的右边.由于所需的各种设备台时总数取决两种药品的实际产量，如：E5=C5×C10+D5×D10（可直接将公式写入E5，也可利用SUMPRODUCT函数，E5=SUMPRODUCT（C5：D5，C10：D10），此函数可以计算若干维数相同的数组的彼此对应元素乘积之和），因此当产量为零时所需各种设备台时的总数也为零.由于E5至E8单元格每个都给出了依赖于可变单元格（C10和D10）的输出结果，它们因此被称为输出单元格.作为输出单元格的结果，4种设备台时数的总需求量不应超过其可用台时数的限制，所以用F列中的 来表示. 两种药品的总利润作为决策目标进入单元格E9，正好位于用来帮助计算总利润的数据单元格的右边.类似于E列的其他输出单元格，E9 = C9×C10+D9×D10或E9 = SUMPRODUCT（C9：D9，C10：D10）.由于它是在对产量做出决策时目标值定为尽可能大的特殊单元格，所以被称为目标单元格. 根据对上述建模过程的总结，在电子表格中建立线性规划模型的步骤可归纳如下：
课程设计 课程数学模型课程设计 题目应用数学规划模型求解实际数学问题 学院数学与统计学院 专业班级信计13-2 学生姓名 学生学号 指导教师 2015年7 月 5 日
东北石油大学课程设计任务书 课程《数学模型》课程设计 题目应用数学规划模型求解实际数学问题 专业姓名学号 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 简单介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并利用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局 课程设计的要求： 1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。 2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计，模型解法 与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优缺点及改进方向。必要 的计算机程序。 3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。 4.课程设计结束时参加答辩。 主要参考资料： [1]唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2005.3 [2]杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2012.6 [3]陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007 [4]吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005 [5]胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2003 [6]焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2002 完成期限2016 年6月27日-7月8日 指导教师 专业负责人 2016年7月5日
摘要 人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程 中需要处理大量数据，而统计学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用统计方法来整 理这些数据，就可以省去不必要的过程。 本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本 文在求解的过程中主要借助了这个软件。必要的求解过程是利用MATLAB和LINGO来求解的。本文在详 细介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并 且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。 林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分配方案往往需要消耗不同的 修理成本.本文主要利用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模 型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分配方案，以及所对应的总费用，并对其进行 分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为 资源分配的主要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得 到了相当满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对 实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解步骤，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提 供了较为简便的方法。 关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型