四阶蔡氏电路的建模与仿真
摘要：混沌现象是一种确定性的非线性运动，在非线性控制领域，混沌控制的研究受到人们越来越多的关注。典型蔡氏电路结构简单，但有复杂的混沌动力学特征，因而在混沌控制领域中成为研究的重要对象。本次设计简单介绍了混沌学基本理论，从理论分析和仿真实验两个角度分别研究Chua's Circuit的混沌行为，用Multisim软件对电路进行仿真实验，通过改变参数，得到了系统各周期的相轨图，并对实验中遇到的现象进行简单的讨论。在三阶蔡氏电路的基础上添加一个电感，可以建立四阶蔡氏电路，在此四阶蔡氏电路的基础上，进行了简单的数值分析与仿真分析。由于普通蔡氏电路在产生混沌现象时,其元件参数可调范围很小,且对初始条件极为敏感，不易于搭建实验电路。所以引入了电感等效电路，在本文中将蔡氏电路中的电感用等效电路替代，从而实现了无感蔡氏电路。
关键词：混沌；蔡氏电路；Multisim；等效电感
Experimental Study of Chua's circuit chaotic
Abstract：Chaos is a deterministic non-linear movement, in the field of nonlinear control, chaotic control get more and more attention by people. Typical Chua's circuit is simple, but complex and chaotic dynamics characteristics, so become an important research object in the field of chaos control . The design simple introduced the basic theory of chaos, study the chaotic behavior of Chua's Circuit from two angles of the theoretical analysis and experimental with Multisim circuit simulation software, by changing the parameters, get each cycle tracks phase diagram of the system, simple discuss the experimental phenomena encountered, couple the second-order Chua's circuit with a linear circuit ("oscillation absorber"), get even more chaotic behavior of the rich. As the general chaos in Chua's circuit in the production, its range of component parameters adjustable is very small, and extremely sensitive to initial conditions, hard to set up experimental circuit. Therefore introduce the inductor equivalent circuit, in this final, change the inductor of Chua's circuit with the equivalent circuit, thus achieving non- inductor of Chua's circuit.
Key words：chaos; Chua's circuit; Multisim; vibration absorber; equivalent inductance
目录
第一章混沌学基本理论 (4)
1.1 混沌的简单介绍 (4)
1.1.1 混沌的定义 (4)
1.1.2 混沌的主要特征 (4)
1.1.3 混沌的现实意义和应用 (5)
1.1.4 混沌的前景展望 (6)
1.2 蔡氏电路简介 (7)
1.3 蔡氏电路的研究 (8)
1.4 软件介绍 (8)
1.4.1 数值仿真软件 (8)
1.4.2 电路仿真软件 (9)
第二章三阶蔡氏电路分析 (10)
2.1 电路原理与数学建模 (10)
2.2 数值仿真分析 (11)
2.3 蔡氏二极管等效电路设计 (12)
2.4 三阶蔡氏电路制作和电路仿真 (14)
2.5 蔡氏电路的平衡点及稳定性 (16)
第三章四阶蔡氏电路分析 (20)
3.1 四阶蔡氏电路数学建模 (20)
3.2 四阶蔡氏电路数值仿真分析 (21)
3.3四阶蔡氏电路电路仿真分析 (23)
3.4 三阶蔡氏电路等效电感分析 (24)
第四章总结与分析 (28)
参考文献 (29)
致谢 (30)
附录 Matlab程序 (31)
第一章混沌学基本理论
1.1 混沌的简单介绍
1.1.1 混沌的定义
混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是自然界及社会中的一种普遍现象，它是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力学行为。由于其対初始值的极端敏感性和类噪声性，在保密通信技术和扩频通信技术中具有关阔的应用前景。设计制造出能产生稳定混沌信号的电路硬件系统是混沌应用于信息通信领域的关键技术之一。为此各国学者进行了一系列的研究，找到并设计出了许多可产生混沌信号的电路系统。1983年，美国贝克莱大学的蔡少堂发明了蔡氏电路，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范，它是第一个能产生混沌信号的电路系统，该电路不仅广泛用于研究混沌特性，而且在应用混沌同步进行保密通信方面有较好的前景。
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。“60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。”[1]进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。混沌理论两个基本的概念，首先一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。
混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则：
1、能量永远会遵循阻力最小的途径
2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。
3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。
1.1.2 混沌的主要特征
a、对初始条件的敏感依赖性[2]，这是混沌系统的典型特征。1963年，洛伦兹发表
了关于混沌理论的开创性研究，并提出了形象的“蝴蝶效应”。被冷落了12年之后，1975年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，运动就到了维数不高的“奇怪吸引子”上。这里所谓“吸引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时它就称为“奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化极其敏感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。对初始条件的敏感依赖性，是在奇怪吸引子上的运动轨道的首要特征。在各种决定性的宏观方程中，由于能量耗散而使有效的运动自由度减少，最终局限到低维的奇怪吸引子上。这就是宏观层次上的混沌运动。洛伦兹把这种对初始条件的敏感依赖性称为“蝴蝶效应”。
b、混沌具有内在的随机性。从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。“内在随机性”是混沌学研究的一个重要成果。根据混沌学的研究，人们发现一个确定的系统可以有确定的结果也可以有不确定的结果。之所以会出现确定性结果和不确定的结果，与这个系统的参数值有关。系统参数值决定了系统耗散力和驱动力的大小，而二者的比较会使系统的解不确定化。在耗散力大于驱动力的条件下，系统有确定解；在驱动力大于耗散力的条件下，经过反复迭代，系统的解会出现周期分叉，并进入混沌状态。可以从两个层面理解上述内容：其一，一个确定性系统，由于系统参数值的不同，其解的状态是不确定的；其二，在系统参数值已知的条件下，其解可能是随机的，即没有一个确定性值。这也就是说，一个完全确定的动力学方程，不包含任何随机因素，但只要具备适当的非线性特征，就能够在运动过程中导致完全随机的轨道。混沌学专家把确定性方程或系统产生的随机性叫做“内在随机性”。
c、非规则的有序。混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。确定性的非线性系统的控制参量按一定方向不断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。
1.1.3 混沌的现实意义和应用
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间——即原因与结果之间——
关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托(William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克(Jim Y orker)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。
混沌现象及其应用是非线性科学领域的一个热点。由于电学量易于观测和显示，因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用研究的重要途径。最典型的混沌电路是蔡氏电路。1983年蔡少棠教授设计了一个能够产生复杂混沌现象的最简单的三阶自治电路——蔡氏电路[3-5]，该电路分别被计算机数值模拟和实际电路中首次观察到混沌现象所确认，并给出了严格的数学证明。蔡氏电路中可以观察到极丰富的非线性动力学行为。通过对一个电阻的调节，便可以从电路中观察到周期极限环、单涡旋和双涡旋混沌吸引子的非线性物理现象。
蔡氏电路是一种非线性混沌电路, 它是以美国加州大学伯克利分校蔡少棠的姓命名的。蔡氏电路只含有四个基本元件和一个非线性电阻, 实验电路制作简单。通过对一个电阻的调节, 便可从电路中观察到周期极限环、单涡旋和双涡旋混沌吸引子的非线性物理现象。因此, 蔡氏电路已成为在数学和物理实验方面演示混沌现象的一个范例。为了产生更为复杂的混沌现象,使其具有更强的不可预测性,从而更好地保证通信的保密性,在蔡氏电路的基础上,四阶变型蔡氏电路的研究就变得尤为重要, 已有不少学者对其进行了研究,因此对于四阶蔡氏电路稳定性的研究分析具有实际的应用意义。
1.1.4 混沌的前景展望
目前，混沌系统的控制研究已经取得了一定的成果。在应用方面，主要包括“混沌信号同步和保密通信、混沌预测、混沌神经网络的信息处理、混沌与分型图像处理、混
沌生物工程等。”[6]混沌电路的研究，已成为目前一个重要的研究课题，被广泛应用到各个领域，比如混沌通信、混沌控制、混沌检测、图像加密、混沌抑制、生物医疗等。随着单片机、DSP技术的发展，利用软件编程的方法产生数字混沌信号，可以做到参数完全相同，并且精度可控，已得到深入广泛的研究和广泛的应用。
1.2 蔡氏电路简介
蔡氏电路一直是在非线性电路中产生复杂动力学行为最简单的混沌振荡电路之一。1983年，在日本蔡少棠目睹了试图在基于洛伦兹方程的模拟电路中产生混沌现象的实验，于是他也试图提出一个能够产生混沌的电子电路。他意识在分段线性电路中，如果能够提供至少两个不稳定的平衡点（一个提供伸长，另一个提供折叠轨迹），就可以产生混沌。怀着这种想法，他系统地证明了那些含有简单的电压控制的非线性电阻的三阶分段线性电路能够产生混沌现象。证明了电压控制非线性电阻R N的驱动特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求，于是，他发明了蔡氏电路“如图1-1”[7]:
R N
图1-1
蔡氏电路中的非线性电阻R N又称蔡氏二极管，可用多种方法实现。由图可以看到，蔡氏电路是由电阻、电容和电感及蔡氏二极管组成的三阶自治电路。“在满足以下条件是能够产生混沌现象”：[8]
（a）非线性电阻不少于1个；
（b）线性有效电阻不少于一个；
（c）储能元件不少于3个。
符合以上标准的最简单电路，就是混沌电路之一——典型蔡氏电路。蔡氏电路的运动形态因元件参数值不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看做控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。现在以其中的线性电阻R为例说明，R两端分别是线性元件与蔡氏二极管，R将这两者连接在线性元件C2、L端，蔡氏二极管是放能元件，只有R是耗
能元件，不断改变电阻R的数值，可以得到各种周期相图和吸引子。
1.3 蔡氏电路的研究
自蔡氏电路被提出以来，蔡氏混沌电路在理论领域得到广泛的研究，并在混沌加密、混沌雷达、认知无线电等领域得到了广泛的应用。由于普通蔡氏电路在产生混沌信号时，其元件参数可调范围很小，且对初始条件极为敏感，不易于搭建实验电路，因此引入了新型的四阶或更高阶的蔡氏电路。高阶混沌电路产生的混沌信号更有利于混沌加密和混沌雷达等应用的安全性。此外，由于实际电感的寄生电阻较大，不易于绕制，且收振荡频率变化影响较大，因此常采用模拟电感代替蔡氏电路中的物理电感，是非线性电阻的可调范围扩大，等效电感更接近理论值，使得混沌现象产生的范围扩大，及易于观察。
本次设计是对三阶、四阶和无感化四阶蔡氏混沌电路的动力学特性的建模仿真和比较分析，结果表明蔡氏电路的动力学行为与电路参数有着密切的关系。为以后的进一步相关领域的研究与应用提供了一定的参考。
1.4 软件介绍
1.4.1 数值仿真软件
MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接matlab开发工作界面
接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MA TLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JA VA的支持。可以直接调用,
用户也可以将自己编写的实用程序导入到MA TLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。
1.4.2 电路仿真软件
Multisim是加拿大图像交互技术公司（Interactive Image Technoligics简称IIT公司)推出的以Windows为基础的仿真工具，适用于板级的模拟/数字电路板的设计工作。它包含了电路原理图的图形输入、电路硬件描述语言输入方式，具有丰富的仿真分析能力。“NI Multisim软件结合了直观的捕捉和功能强大的仿真，能够快速、轻松、高效地对电路进行设计和验证。凭借NI Multisim，您可以立即创建具有完整组件库的电路图，并利用工业标准SPICE模拟器模仿电路行为。借助专业的高级SPICE分析和虚拟仪器，您能在设计流程中提早对电路设计进行的迅速验证，从而缩短建模循环。与NI LabVIEW 和SignalExpress软件的集成，完善了具有强大技术的设计流程，从而能够比较具有模拟数据的实现建模测量。”
工程师们可以使用Multisim交互式地搭建电路原理图，并对电路行为进行仿真。Multisim提炼了SPICE仿真的复杂内容，这样工程师无需懂得深入的SPICE技术就可以很快地进行捕获、仿真和分析新的设计，这也使其更适合电子学教育。“通过Multisim 和虚拟仪器技术，PCB设计工程师和电子学教育工作者可以完成从理论到原理图捕获与仿真再到原型设计和测试这样一个完整的综合设计流程。”
第二章 三阶蔡氏电路分析
2.1 电路原理与数学建模
蔡氏电路由一个电感、两个电容、一个电阻和一个非线性电阻组成, 如图1(a)所示。电路中电感L 和电容C 2构成了一个LC 振荡电路,非线性电阻R N 和电容C 1并联后通过一个电阻R 和振荡电路线性耦合在一起,形成了只有5个元件的能够产生复杂混沌现象的非线性电路。图1(b)是R N 的伏安特性。
R N
C N
(a)
基本电路
(b) R N 的伏安特性
图2-1蔡氏混沌电路和蔡氏二极管的VCR
蔡氏电路有三个动态元件,分别是电容C 1、C 2和电感L ，对应的三个状态变量是电容两端的电压V 1和V 2,流过电感的电流i L 。根据电阻、电容和电感的元件伏安特性,应用基尔霍夫电压、电流定律,可以导出基于这三个状态变量的微分方程组:
()1112
111212L
222
L
2L
d d d d d d f v v v v t R C R C C v v v i t R C R C C i v ri t
L L ?=-+-???=-+?
??=--?
? (1)
式中，f(v 1)是描述蔡氏二极管R N (非线性电阻)的伏安特性，r 是电感的寄生电阻(图中没画出)。
一般的蔡氏二极管是一个具有分段线性函数形式的非线性负阻，其伏安特性表达式为：
()()0.5N N
bvN
a b N P N P i f v G G G v B v B ==+-?+--???
(2)
式中，G a 是内区间电导，G b 是外区间电导，B p 是内外区间的转折点电压。
2.2 数值仿真分析
利用Matlab 仿真软件平台，可以对由式(1)描述的系统进行数值仿真分析。这里，选择ODE45算法对系统方程求解，很容易获得蔡氏电路状态变量的相轨图和时域波形图。
固定电路参数C 1 = 10 nF ，C 2 = 100 nF ，L = 17.2 mH ，r = 0.5 ?，G a = -757.58 μS ，G b = -409.09 μS 和B p = 1.075 V ，选择电阻值R 可变，数值仿真可得到在不同R 时蔡氏电路的运行状态，如图2-2所示。图2-2(a)和图2-2(b)显示了蔡氏电路在电阻R = 1.96 k?和R = 1.945 k?时对应的周期1和周期2极限环，这里初始状态均为(0.1,0.1,-0.001)；图2-2(c)和图2-2(d)则示出了在电阻R = 1.91 k?时分别对应于初始状态(0.1,0.1,-0.001)和(0.1,0.1.0.001)时共存的单涡卷左右混沌吸引子。
-6
-4
-20
-10
1
v 1/V
v 2/V
-6
-4
-2
-10
1
v 1/V
v 2/V
(a) 周期1(R =1.96 k?) (b) 周期2(R =1.945 k?)
-6
-4
-20
-1-0.5
00.51
1.5v 1/V
v 2/V
246
-1.5
-1
-0.500.5
1v 1/V
v 2/V
(c) 左吸引子(R =1.91 k?) (d) 右吸引子(R =1.91 k?)
图2-2 蔡氏电路运行状态
当电阻R = 1.57 k ?时，蔡氏电路可生成一个典型的双涡卷混沌吸引子，如图2-3(a)所示，所对应的时域波形如图2-3(b)所示。数值仿真结果表明，随着电阻R 逐渐降低，蔡氏电路的运行状态经历了从最初的一个渐近稳定点、周期振荡、谐波振荡到单涡卷混沌振荡和双涡卷混沌振荡的过程，最终趋于无穷发散。在这演变过程中，在出现双涡卷混沌吸引子之前，周期极限环和单涡卷混沌吸引子在相平面上所处的象眼位置取决于电感电流初始值的正负符号。符号为正为右吸引子或右极限环； 符号为负为左吸引子或左极限环。
-2
02
-0.5
0.5
v 1/V
v 2/V
v 1/V
v 2/V
-2
-10
1
2
-0.5
0.5
t /s
(a) 双涡卷混沌吸引子 (b) 时域波形
图2-3 典型混沌吸引子及其时域波形
2.3 蔡氏二极管等效电路设计
蔡氏二极管是蔡氏电路产生混沌现象的重要元件，可采用多种方式实现，一种较为简单的实现电路如图2-4所示。图中，R N 是由两个运算放大器和六个电阻组成的等效电路实现的，可看成是两个非线性电阻R N1和R N2并联而成。利用运算放大器的输出饱和电压特性，可实现由式(2)描述的等效电路伏安关系[9]。
图2-4 蔡氏二极管等效电路实现
在这里，以非线性电阻R N1的等效电路实现分析为例，设E sat 是运算放大器的饱和电压， 并令R 1 = R 2,经推导得
()112133132311
//1//1/a N N p sat b G i v R R R R B R E R R G R ==-=-??
=+??
=? (3)
由式(3)可以画出R N1 的伏安关系曲线如图2-5所示，它是一条形似于N 型的具有非线性负阻区域的特性曲线。
同样地，令R 4 = R 5，可以得到描述非线性电阻R N2 的关系式：
()
26
24
26561/1//a b p sat G R G R B R E R R ?=-?
=??
=+? （4）
图 2-5 R N1的VCR
两个非线性电阻R N1和R N2并联后，构成了一个具有五段分段线性函数形式的非线性电阻。与式(2)作比较，由图2-1(a)等效电路实现的蔡氏二极管的电路参数为
1236123426561/1/1/1//a a a b a b p
p sat G G G R R G G G R R B B R E R R
?=+=--?
=+=-+??==+? (5)
在典型蔡氏电路实验需要仔细选择电子元器件，对于线性电阻一定要保证4-5位精度，在初步实验中需要用2个多圈精密电位器串联进行细心调试，焊接之前测量出来并做好记录以备后查，电子市场买到的普通电感器一般不能产生混沌输出，电子市场买到的普通电容器一般离散性很大，需要精心选择，这是混沌电子线路实验的特点。这种特点使非线性电路的设计极易失败，同时使线性电子线路实验具有很大的局限性，所以“混沌电路对于系统设计和参数失配的问题尚需要进一步的研究，但对参数失配和初始条件敏感恰恰是混沌通信的保密性所在。”[10]
针对上述存在的问题,我想到了利用Multisim 强大的仿真功能,在计算机上进行模拟仿真,既可以省筛选元器件的麻烦,又可以提高实际效能。
2.4 三阶蔡氏电路制作和电路仿真
在实际制作调试图2-1所示的蔡氏电路过程中，可以分如下步骤进行。首先，选定型号TL082CP 集成运算放大器，工作电源设定为±9V 。选择R 1 = R 2 = 220 ?，R 4 = R 5= 22 k ?， R 3 = 2.2 k ?，R 6 = 3.3 k ?。由式(5)可计算得G a = -757.58 μS ，G b = -409.09 μS 。实验测得E sat ≈ 7. 5 V ，计算得到B p ≈ 1. 075 V 。选用上述给定值的误差范围为±1%的精密电阻元件，就可以实现蔡氏二极管功能的非线性电阻R N 。
为了实现图2-1所示的电路元件，我们自行绕制电感线圈，经测试电感值L ≈ 17. 2 mH ，电感线圈的寄生电阻r = 0.5 ?；选择两只精度较高的独石电容，电容值分别为C 1 = 10 nF ，C 2 = 100 nF ；另选择一只阻值可调的精密电位器R ，用于实验观察时调节电阻值。通过上述步骤，我搭建了一个测量蔡氏二极管伏安特性曲线的电路，电路具体实现方式如图2-6所示，电路中的固定参数见表2-1
表2-1
通过Multisim电路仿真，通道A测试图2-1(a)电路中电容C1端电压V1，通道B测试电容C2端电压V2。在电位器调节到不同阻值时对应的实验输出的相轨图如图2-7所示。当电位器阻值R = 1. 58 k?时，在示波器上可分别观察到蔡氏电路所产生的混沌吸引子及其两路时域波形图，如图2-8所示。
图2-6 蔡氏二极管伏安特性测量电路
CHA 500mV CHB 1.00V XY Mode CHA 500mV CHB 1.00V XY Mode
(a) 周期1 (R=1.81 k?) (b) 周期2(R=1.75 k?)
CHA 500mV CHB 1.00V XY Mode CHA 500mV CHB 1.00V XY Mode
(c) 左吸引子(R =1.721 k?) (d) 右吸引子(R =1.721 k?)
图2-7 蔡氏电路运行状态
CHA 200mV CHB 500mV XY Mode
CHA 500mV CHB 2.00V M 1.00ms
1
2
(a) 混沌吸引子 (b) 时域波形图
图2-8 混沌吸引子及其时域波形实验输出
进过比较，以上电路制作和仿真发现与数值仿真相符，验证了实验设计电路的可行性。
2.5 蔡氏电路的平衡点及稳定性
由Kirchhoff 结点电流定律得到式6所示“电路的动力学状态方程为”[11]
()()()12112122
12c c c c c c c L L c C dv dt G v v f v C dv dt G v v i L di dt v ?=--?=-+ ?=- (6)
其中函数f (v c 1)的分段特性上面已经分析过，其函数形式为
()()()()10.50.5c f v f UR GbUR Ga Gb UR E Gb Ga UR E
==+-++--
作变量代换
1c x v E
=，
2c y v E
=，
L z i EG
=，2tG C τ=，21
C α=，2
2C LG β=
a a G G =?，
b b G G
=?
取x 、y 、z 为状态变量，自变量τ为时间变量，则式(6)可以写成
()dx d y x f x dy d x y z dz d y
ταττβ=--????
=-+=- (7)
1
()1
bx a b x f x ax x bx a b x +- ≥??
= ≤1 ??
-+ ≤-? (8)
上式(7)、(8)中α、β、a 和b 的变化，综合反映了电路中实际元件参数的变化。 将式(7)写成如下形式[12]
0()1110000x f x y z x y z α
ααβ
?
??
?
?
?-??????
? ? ? ? ?=- - ? ? ? ? ? ? ?-??????
? ??
?
(9) 由于式(8)描述的电路方程关于原点对称，因此式(9)也关于原点对称，即当式中的(x ,y ,z )→(-x ,-y ,-z )时，方程保持不变。当电路方程
()0
00
x f x y x z +==+=
时，平衡点为
1
01
(,0,)(0,0,0)(,0,)P k k D O D P k k D +-
-?=-∈?
= ∈??=-∈?
式中：k = (b -a )/(b +1)；a 与b 不为-1。这三个平衡点风别是状态空间R 3的三个子空间：
{}
{}{}
101(,,)|1(,,)|1(,,)|1D x y z x D x y z x D x y z x -=≥???
=≤ ??=≤-?? (10) 内唯一的平衡点。由于f (x )的分段线性特点，因此式(10)所表示的每一个区域内，方程(9)均属线性，可用线性方程组表示，若定义X = [x ,y ,z ]T ，K = [k ,0,-k ]T ，Jacobi 矩阵为
(1)01
1100m M ααβ
-+??
?
=- ? ?-?
?
(11) 式中：m a =，0x D ?∈；m b =，11x D D -?∈? 这样式(9)就可以写成
1
01
()()M X K x D M X x D M X K x D x
?
-- ∈??
= ∈??+ ∈? (12) M 的特征方程为
[]3
2
()1(1)()(1)f E M m m m λλλαλβαλαβ=-=+++++++ (13)
根据Routh-Hurwitz Crierion 判据，当下式满足时，
1(1)0m α++>，0am β+>，(1)0m αβ+>
1(1)
1
(1)
m m m
ααββα++
>++
在式(10)表示的三个区域中，M 的特征值具有负的实部。此时，平衡点渐进稳定，电路布发生震荡。如果保证ab <0，P +(P -)存在且位于对应的D 1(D -1)中，当a ，b 其中一个参数发生变化，平衡点的性质就会改变，当平衡点由稳定变成不稳定且在平衡点附近出现极限环时，即发生了Hopf 分叉，此时电路参数α、β、m 满足
1(1)
1
0(1)m m m
ααββα++
=
++ (14)
将电路参数带入以上方程可得到平衡点
21100/1010C α===，22
21000.633/17.2 2.33C LG β==?=
0.633(0.76)0.481a a G G =?=?-=- 0.633(0.41)0.260
b b G G =?=?-=-
式(7)、式(8)分别可以写成：
()102.33dx d y x f x dy d x y z dz d y
τττ=--????=-+=-
0.260.2211()0.4810.260.2211
x x f x x x x x -- ≥??
=- ≤1??
-+ ≤-?
当方程满足条件：
()0
00
x f x y x z +==+=
时，平衡点为：
101
(0.299,0,0.299)(0,0,0)(0.299,0,0.299)P D O D P D +-
-?=-∈?
= ∈??=-∈?
在平衡点O = (0,0,0)处线性化，得到Jacobi 矩阵：
011 5.191001
110 2.3307.41001
110 2.33
0x D M x D D M --??
??∈ =- ? ?-??-??
??∈? =- ? ?-?
?
显然M 取决于x 所在的区域，当电路参数为(α，β，a ，b ) = (10,2.33,-0.481,-0.26)时，蔡氏电路出现双涡卷吸引子。
“在混沌吸引子的宏观景象上，在P +和P -附近分别形成空洞，形状象相互扭在一起的2个漩涡，呈现出双涡卷混沌奇怪吸引子，这是整体稳定和局部不稳定相结合的结果，混沌轨道是在奇怪吸引子上盘旋运动的流。其相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势，并以指数速率相互分离。”[13]
蔡氏电路的Matlab混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation
研究生课程论文(2018-2018学年第二学期> 蔡氏混沌非线性电路的研究 研究生：***
蔡氏混沌非线性电路的研究 *** 摘要：本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。只要改变蔡氏电路中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract：This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’scircuit was a typical chaos circuit,and theoretical analysis and simulation was made to research it.Many kinds of chaos phenomenonenwould generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab ,mathematical model of Chua’s circuit were programmed and simulatedto realize the synchronization of dual and single cochlear volume．At the same time, behavior characteristics of chaos attractor is able to be observed correctly． Key words：chaos phenomenon；Chua’S circuit；simulation 引言： 混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题而成为20 世纪三大重要基础
西安交通大学电气工程学院 非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究 Administrator
蔡氏电路的Matlab仿真分析 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在Matlab 的平台上编制相关系统对蔡氏电路进行了仿真研究。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言 随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。在这个电路中观察到了混沌 吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。在理论和实践不断取得进展时， 人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。 1.2混沌的基本特征 混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统内部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间内系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。 2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
蔡氏电路系统仿真平台的研究 齐春亮，张兴国 (兰州大学信息科学与工程学院 甘肃 兰州 730000) E-mail:jichl03@https://www.doczj.com/doc/1918538488.html, 摘要：本文在对蔡氏电路进行了分析的基础上，结合实际试验中的主要现实困难，研究了蔡氏一类非线性混沌电路仿真系统的结构化设计与系统动态演示方法，通过建立结构化仿真实验平台，减轻了蔡氏电路研制者的筛选元器件的负担，同时增强了人机交互功能。 关键词：蔡氏电路,结构化,可视化仿真 1.概述 现代非线性科学是人类科学文化的重要组成部分，而混沌又是现代非线性科学的重要组成部分，混沌理论为非线性系统的研究提供了简单有效的模型。1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠教授(Leon.o.Chua)发明了蔡氏电路(Chua ’s Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范[1][2]。蔡氏电路是由电阻﹑电容和 电感及“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路，在满足以下条件时能够产生混沌现象[3]：（a) 非线性元件不少于一个（b)线性有效电阻不少于一个（c)储能元件不少于三个。符合以上标准的最简单电路，就是混沌电路之一—典型蔡氏电路。 一个具体的典型蔡氏电路相空间的动力学方程为 ???? ??????=+==???2212221)11)211Vc L 1i )Vc (Vc C G C 1Vc (Vc C 1Vc (Vc C G Vc dt d i dt d f dt d L L 及 ))((2 1)(1111E V E V G G V G V f I C C b a C b C ??+?+== 蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。现在以其中的线性电阻R （方程中的G=1/R ）为 1
交通大学电气工程学院 非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究 Administrator
蔡氏电路的Matlab仿真分析 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在Matlab 的平台上编制相关系统 对蔡氏电路进行了仿真研究。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言 随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。在这个电路中观察到了混沌 吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。在理论和实践不断取得进展时， 人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。 1.2混沌的基本特征 混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。 2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
蔡氏电路仿真分析 学院：电气工程学院 班级：硕6036 姓名：张东海 学号：3116312053
目录 1.基本分析 (2) 2.MATLAB仿真 (5)
蔡氏电路 蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和及其丰富的混沌动力学行为。 1.基本分析 蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。他证明了在满足以下条件时能够产生混沌现象。 (1) 非线性元件不少于1 个； (2) 线性有效电阻不少于1 个； (3) 储能元件不少于3 个。 根据以上条件，在图1.1中给出蔡氏电路方框图。图中R 为线性有效电阻，L 、C 1、C 2为储能元件，R N 为非线性元件。图2.2给出非线性电阻伏安特性曲线。 图1.1 蔡氏电路方框图 图1.2 非线性电阻伏安特性曲线 对于图2.1提出的蔡氏电路，其状态方程推导如下 12112122121()()1()(1)C C C C C C C L L C du C u u g u dt R du C u u i dt R di L u dt ?=--???=-+???=-?? 其中函数1()C g u 是分段线性函数，其形式为：
11111()()()2 C b C a b C C g u G u G G u E u E =+-?+-- 作变量代换： 12 22 221,,,,1 C C L u u i x y z E E EG C C tG C C LG G R ταβ=== ==== 式（1）可以写为如下形式 [] ()(2)dx y x f x d dy x y z d dz y d αττ βτ?=--???=--???=-?? 式（2）即是蔡氏电路的标准方程形式。 其中()f x 可表示为如下形式 10101 01(),1(),1(),1m x m m x f x m x x m x m m x +-≥??=≤??--≤-? 其中 01,a b m G E m G E == 蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为 101={(,,)| 1} ={(,,)| 1}={(,,)| 1} D x y z x D x y z x D x y z x -≥≤≤- 在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点如下 1011(,0,), (0,0,0), (,0,).P k k D Q D P k k D +--=-∈=∈=-∈ 其中， 1011 m m k m -=+ 在P +、1P -和Q 处的雅可比矩阵分别为：
基于蔡氏电路的混沌电路分析 唐永洪，付云峰，王德玉 （哈尔滨工业大学能源科学与工程学院飞行器动力工程，哈尔滨，150001） 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究，并运用multisim10.0软件进行仿真。测定有源非线性负电阻的伏安特性曲线，观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，阵发混沌，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。同时分析了电感值为15mH下出现的变异双二倍周期、变异单二倍周期、对称倍周期、死区等低电感参数下的新特性，以及典型蔡氏电路混沌现象随电感变化的关系，并简单描述了混沌电路在保密通信、自动控制等领域的应用。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子 引言 混沌是本世纪最重要的科学发现之一，被誉为是继相对论和量子力学后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代[1]。混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性，在非线性科学、信息科学、保密通信、混沌密码以及其他工程领域获得了广泛的应用，已成为非线性电路与系统的一个热点课［2］。 非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，在非线性电路中能够得到很好的混沌实验结果，蔡氏混沌电路[3-5]就是一个典型的混沌电路。我们在模拟蔡氏混沌电路观察混沌现象时，由于实验的条件不能得到精确控制，而混沌电路又对初始条件具有高度的敏感性，以至于实验现象不明显。因此本文采用multisim10.0对电路进行仿真[6]，在理想条件观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，吸引子，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳
蔡氏电路MATLAB混沌仿真
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3 蔡氏电路的Matlab 混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
4 摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB 仿真 Abstract This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit ．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words ：chaos phenomenon ；Chua’s circuit ；Simulation
2.6.3蔡氏电路中混沌现象的观察研究 混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观 察手段。由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。 用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984 年提出的 一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。蔡氏电路的理论模型如图2-70 所示。 R C L C2 100nF C1 10nF 17. H4m R 图2-70蔡氏电路的理论模型 图中，C1、C2 为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电 阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode），具有图2-71 所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。 U R 图2-71蔡氏电路非线性电阻的特性 实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72 所示，由双运放与 6 只 线性电阻构成。 I R R 3 22kΩR6 220Ω A1 LM224 A1 LM224 U R R1R2 22kΩ R4 2.2kΩ R5 220Ω 3.3kΩ 图2-72由双运放构成的蔡氏二极管 将图2-70 所示电路中的R C 分成两电阻串联，R c = R1 + R2 ， 即 其中R2 = 1kΩ， 1 是1kΩR 的可调电位器。 我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。
蔡氏混沌电路分析与仿真 1 蔡氏电路 混沌理论自20世纪70年代以来已成为许多不同学科领域的研究热点。粗略地说，混沌是发生在确定性系统中的一种不确定行为，或类似随机的行为。混沌运动是另一种非周期运动。混沌的一个显著特点是：状态变量的波形对状态变量的初始值极为敏感，或者说初始值对波形有重大影响。 混沌现象广泛的存在于非线性电路中，其中比较典型并已得到深入研究的电路是二阶非自治铁磁谐振电路和称为蔡氏电路的三阶自治电路。 蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和极其丰富的混沌动力学行为。近二十年来，通过人们对蔡氏电路的深入研究和探索，发现蔡氏电路呈现出丰富的混沌动力学行为，蔡氏电路已在保密通信领域获得了一定的应用。 蔡氏电路如图1所示，它是一个三阶自治电路，由两个线性电容、一个线性电感、一个线性电阻和一个电压控制型的非线性电阻元件构成。非线性电阻的伏安特性如图2所示。 u C2 R R + - u R 图1 蔡氏电路 R 图2 压控型非线性电阻伏安关系 2 基本分析 对图1所示蔡氏电路推导其状态方程，分别以u C1, u C2和i L为变量列写KCL和KVL方程，其方程组如下所示：
221 21 12 2 10 C C C L C C C R L C du u u C i dt R u u du C i R dt di u L dt -?+=???-?=+? ??=-??? 式中，i R = g(u R )。 整理上述各式，且令u C1=x, u C2=y, i L =z ，取电路中各参数的值为L=7/100 H, C 1=1/9 F, C 2=1 F, R 0=1 Ω, k 0= -8/7, k 1= -5/7。方程可变换为标准的蔡氏方程，即为： [()]dx a y f x dt dy x y z dt dz by dt ?=-???=-+???=-?? 其中， 10101 01()...........(1)()............................(1)() (1) m x m m x f x m x x m x m m x +-≥?? =≤??--≤-? 式中，a=9, b=100/7, m 0= -1/7, m 1=2/7。 3 计算机仿真 蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为 D 1= {(x, y, z) │ x ≥1} D 0= {(x, y, z) ││x │≤1} D -1= {(x, y, z) │ x ≤-1} 在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点，平衡点如下： P + = (1.5, 0, -1.5) ∈ D 1 Q = (0, 0, 0) ∈ D 0 P - = (-1.5, 0, 1.5) ∈ D -1 对于平衡点P +和P -，两个平衡点具有相同的状态方程，其平衡点处的雅克比矩阵为： 18/7 901110100/70A -????=-?? ??-?? 利用Matlab 求解其相应的特征根，可以得到方程在平衡点P +和P -处的特征值为一个实 数值和一对共轭复数值。其中一个实数值为： 3.9421P λ=- 而一对共轭复数值为：
非线性电路课程报告 电气工程学院 蔡氏混沌电路的MATLAB仿真 摘要： 混沌是非线性系统中的常见现象。本文应用MA TLAB软件对蔡氏电路进行了仿真分析，并对仿真结果作了讨论，指出了这种研究方法的应用前景。
关键词： 蔡氏电路混沌动力学吸引子系统仿真 1.引言 作为一种普遍存在的非线性现象, 混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为,即：一个可由确定性方程描述的非线性系统,其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性, 我们就认为该系统存在混沌现象.混沌具有三个特点:随机性;遍历性;规律性。混沌有一个很重要的性质:系统行为对初始条件非常敏感。混沌理论是架起确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，与相对论、量子力学一起被称为20世纪物理学的三大革命。近年来，混沌现象及其应用成为一个研究热点，学者们对混沌在通讯工程、电子工程、生物工程、经济学等领域中的应用进行着广泛的研究。许多学者通过非线性电路对混沌行为进行了广泛地研究, 其中最典型的是蔡氏电路,它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路。 在电路与系统领域，由于蔡氏电路的提出，对混沌理论及其应用的研究也变得十分活跃。蔡氏混沌电路是一个物理结构及数学模型都相对简单的混沌系统，然而它也是一个典型的混沌电路，对蔡氏电路的研究有助于理解混沌的演化过程及其了解混沌相关特性。由于混沌动力学系统的复杂性，绝大多数混沌动力学系统难以用已知的函数表示其通解，所以通过数值计算对混沌行为的时空演化进行描述是研究混沌的一种重要方法。 MATLAB软件是以矩阵计算为基础的数值计算、模型仿真的优秀数学工具。借助MATLAB软件强大的数值计算及仿真能力，使得对许多复杂的混沌系统的研究变得相对容易和直观。 本文对其进行深入的数学分析；在MA TIAB环境下，建立了该电路的仿真模型，通过改变电路中的线性电阻值和系统状态变量初始值，对其非线性动力学行为进行仿真分析。分析结果表明：在此种蔡氏电路中，可以观测到混沌产生的全过程。 2.蔡氏混沌电路 蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统,该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻,电路如图1所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分.其中线性部分包括:电阻R、电感L(含内阻r)和两个电容C1 与C2;非线性部分只有一个分段线性电阻R n,其伏安特性如图2所示。非线性电阻是压控非线性电阻，它具有分段的伏安特性。
计算机课程设计报告 基于Matlab的非线性电路混沌 实验仿真 姓名：任华西 学院：测试与光电信息工程 班级：100851 指导老师：陈常婷
摘要 混沌是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动。而混沌对于非线性动力学的研究有着非常重要的作用，本文结合非线性电路的混沌的课堂教学，设计了Matlab/Simulink仿真实验,研究蔡氏电路的模拟仿真过程。本文首先通过对非线性电路（蔡氏电路）与非线性动力学进行了阐述和分析，建立非线性动力学方程，然后利用Matlab/Simulink软件进行仿真，研究系统波形图、单吸引子、双吸引子、相面图以及在不同的非线性电阻的导纳下的不同形状。达到了预期的实验效果，基于Matlab/Simulink对非线性电路混沌的仿真对学生对非线性电路实验混沌适应实验的理解有着较大的参考价值。 关键词非线性电路混沌现象Matlab/Simulink仿真
目录 摘要 (3) 1 混沌的概述 (4) 1.1 混沌现象的概述 (4) 1.2 混沌电路综述 (5) 2 混沌理论基础 (5) 2.1 混沌的基本定义 (5) 2.2 混沌的基本特征 (5) 2.3 混沌理论的基本概念 (7) 3 蔡氏电路的分析与仿真 (8) 3.1 蔡氏电路的分析 (9) 3.2计算机仿真 (10) 4 结论 (15) 致谢 (16) 参考书目 (16)
1混沌的概述 1.1混沌现象概述 混沌是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动，长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。 与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。 混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增减。如果用Pn表示n代后该物种极限数目的百分比，则著名的“罗杰斯蒂映射”：Pn+1=kP(1-Pn）(其中k是依赖于生态条件的常数，“n+1”是脚标）可以用于在给定Po，k条件下，预报群体数的长期性态。如果将常数k处理成可变的参数k，则当k值增大到一定值后，“罗杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。 混沌（Chaos）也作混沌，指确定性系统产生的一种对初始条件具有敏感依赖性的回复性非周期运动。浑沌与分形(fractal)和孤子(soliton)是非
2.6.3 蔡氏电路中混沌现象的观察研究 混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观察手段。由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。 用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984年提出的一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。蔡氏电路的理论模型如图2-70所示。 R R L 17.4m 图2-70 蔡氏电路的理论模型 图中，C 1、C 2为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode ），具有图2-71所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。 图2-71 蔡氏电路非线性电阻的特性 实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72所示，由双运放与6只线性电阻构成。 图2-72 由双运放构成的蔡氏二极管 将图2-70所示电路中的R C 分成两电阻串联，即21R R R c +=，其中2R =Ωk 1，1R 是Ωk 1的可调电位器。 我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。 U R
1．编辑原理图 首先编辑非线性电阻R构成电路，如图2-73 (a)所示。在这个图中取用两个输入接线端，是为了把该电路设置成如图2-73 (b)所示的R子电路。 (a) (b) 图2-73 Multisim中编辑出的非线性电阻R及其子电路 子电路的创建方法是在选中图中所有的部分（按住鼠标，拖一个把该电路部分全部包围进去的方框，如电路窗口中仅有这部分电路，也可选择Edit/Select All命令），启动Place/Replace by Subcricuit命令，即可得。设置子电路的目的是使蔡氏电路的电路图形更加简洁。 接着编辑蔡氏电路原理图，如图2-74所示，其中就调用了前面已编辑好的子电路R。 图2-74 Multisim环境下的蔡氏电路原理图 由于蔡氏电路中混沌现象的出现对电阻R C的敏感性，故要打开R1的属性（Potentiometer）对话框，对其Value页中的Increment由5％的缺省值改为1％。 2．仿真操作 （1）混沌信号时域波形的观察 在仪表工具栏中选中示波器XSC1并连接到电路中，如图2-75所示。
引言 混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一。其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，这个电路是由加州大学伯克利分校的蔡少棠首先发起研究的。在这个电路中观察到了混沌吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号[1]。该文对产生混沌现象的蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型,利用MATLAB进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。 + 1 混沌学概述 1.1混沌与非线性科学 混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。所以我在论文中研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。 1.2混沌的含义 混沌到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，所以只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。综上所述，可以做出如下的理解：混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；其不可确定性或无序随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”，这种“非线性交叉耦合作用”的数学表达式是动力学方程中的非线性项，正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。所谓确定性系统是指所考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性质的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给定了初始条件，它的解（或称为运动轨道）就是唯一确定的。在某
Multisim仿真—混沌电路 1104620125
Multisim仿真—混沌电路 一、实验目的 1、了解非线性电阻电路伏安特性，以及其非线性电阻特征的测量方法； 2、使用示波器观察混沌电路的混沌现象，通过实验感性地认识混沌现象，理解非线性科学中“混沌”一词的含义；； 3、研究混沌电路敏感参数对混沌现象的影响 二、实验原理 1、蔡氏电路 本实验采用的电路图如图9-16 所示，即蔡氏电路。蔡氏电路是由美国贝克莱大 学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自制电路。R 是非线性电 阻元件，这是该电路中唯一的非线性元件，是一个有源负阻元件。电容C2 与电 感L 组成一个损耗很小的振荡回路。可变电阻1/G 和电容C1 构成移相电路。最 简单的非线性元件R 可以看作由三个分段线性的元件组成。由于加在此元件上的 电压增加时，故称为非线性负阻元件。 三、实验内容 为了实现有源非线性负阻元件实，可以使以下电路，采用两个运算放大器（1 个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图1，这主要是一个正反馈电路，能输出电流以维持振荡器不断震荡，而非线性负阻元件能使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 1、实验电路如下图，电路参数：1、电容：100nf 一个，10nf 一个； 2、线性电阻6 个：
200Ω二个，22kΩ二个，2.2kΩ一个，3.3kΩ一个；3、电感：18mH 一个；4、运算放大器：五端运放TL083 二个；5、可变电阻：可变电阻一个；6、稳压电源：9V 的VCC 二个，-9V 的VEE 二个； 图1 选好元器件进行连接，然后对每个元器件进行参数设置，完成之后就可以对 蔡氏电路进行仿真了。双击示波器，可以看到示波器的控制面板和显示界面，在 控制面板上可以通过相关按键对显示波形进行调节。 下面是搭建完电路的截图： 2、将电压表并联进电路，电流表串联进电路可以直接测出加在非线性负阻的电压、电流， U/V I/mA U/V I/mA 12 0.1579 -1 -0.76917 11 2.138 -2 -1.44352 10 4.601 -3 -1.84752
基于MATLAB的蔡氏电路混沌演化研究 物理与机电工程学院07物本 2007050211 黄权指导教师吕晶（助教） 【摘要】：本文简要介绍了混沌及其特征，产生的机理和条件，并从理论分析与MATLAB仿真两个角度分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程。研究结果表明，蔡氏电路中元件参数影响电路混沌状态的演化，随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。 【关键词】：蔡氏电路；混沌演化；MATLAB仿真
目录 1前言 (2) 1.1非线性科学概述 (2) 1.2混沌与非线性电路 (2) 1.3本论文的主要内容和意义 (2) 2混沌基础理论及其应用 (2) 2.1混沌的含义 (2) 2.2混沌的主要特征 (3) 2.3混沌运动的数值判定 (3) 2.4通向混沌的通道 (3) 2.5混沌的主要应用 (4) 3简单蔡氏电路设计及模型分析 (5) 3.1蔡氏电路的提出 (5) 3.2蔡氏电路的特点 (5) 3.3简单蔡氏电路设计及电路模型 (5) 3.4简单蔡氏电路数学模型及其分析 (7) 4基于MATLAB的蔡氏电路仿真及结果分析 (8) 4.1仿真软件选择 (8) 4.2仿真算法 (9) 4.3仿真结果分析 (9) 4.3.1稳定态 (9) 4.3.2周期态 (10) 4.3.3混沌态 (10) 4.3.4负阻尼振荡态 (11) 4.4仿真结果讨论 (12) 5总结 (12) 致谢 (13) 参考文献 (14)
1前言 1.1非线性科学概述 非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科,产生于20 世纪六七十年代。其标志是:洛伦兹的论文《确定论的非周期流》揭示了确定性非线性方程存在混沌(Chaos)；查布斯基和克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton) ;芒德勃罗发表《分形:形态、机遇和维数》一书,创立了分形(Fractal) 理论。混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类,构成非线性科学的三大理论[1]。 非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。非线性科学中的混沌理论被认为是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命[2];分形几何是继微积分以来的又一次革命;孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。 由于学科的交叉性，非线性科学和一些新学术如突变论、协同论、耗散结构论[3]有相通处，并从中吸取有用的概念理论。但非线性现象很多，实际的非线性科学只考虑那些机制比较清楚，现象可以由实验观测，且通常还有适当的数学描述和分析工具的研究领域。随着科学技术的发展，这个范围将不断扩大。 1.2混沌与非线性电路 混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象,是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测。这种不可预测性迫使人们重新审视过去的研究，也唤起了人们极大的研究兴趣，混沌现象的研究，成了当今学术界研究的热点课题之一[4]。 非线性电路是指含非线性元件的电路，如二极管、三极管、电感、电容等。混沌现象是非线性电路的一个基本特征，20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的先声。随着高精度电子器件的广泛应用,电路中出现了大量的非线性现象. 已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为,又不能指导非线性电路的分析与综合,于是有关非线性电路的理论研究迅速展开,非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起非线性电路中混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一[5]。 1.3本论文的主要内容和意义 混沌和非线性电路都是现代科学和技术研究的热点。本论文主要介绍混沌的基础理论和研究方法，并通过非线性中最典型的蔡氏电路，了解非线性电路的特点及用于。利用MATLAB仿真一种简单的蔡氏电路混沌现象的演化过程，直观的了解混沌现象的基本特征，掌握控制和利用混沌现象的基本思路。研究结果表明，改变电路中可变电阻的阻值，可以看到电路混沌状态的演化，大致含四个状态：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。 2混沌基础理论及其应用 2.1混沌的含义 我们这里所说的混沌是指确定的宏观非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随