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2019-2020成都七中嘉祥外国语学校中考数学第一次模拟试题(附答案)

2019-2020成都七中嘉祥外国语学校中考数学第一次模拟试题(附答案)

一、选择题

1.如图所示,已知A (

12

,y 1),B(2,y 2)为反比例函数1

y x =图像上的两点,动点P(x ,0)

在x 正半轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是( )

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A .(

1

2

,0) B .(1,0) C .(

32

,0) D .(

52

,0) 2.如图,将△ABC 绕点C (0,1)旋转180°得到△A'B'C ,设点A 的坐标为(,)a b ,则点的坐标为( )

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A .(,)a b --

B .(,1)a b ---

C .(,1)a b --+

D .(,2)a b --+

3.九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为:90分,95分,96分,96分,95分,89分,则该同学这6次成绩的中位数是( ) A .94

B .95分

C .95.5分

D .96分

4.为了绿化校园,30名学生共种78棵树苗,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生有x 人,女生有y 人,根据题意,所列方程组正确的是( )

A .783230x y x y +=??+=?

B .78

2330x y x y +=??+=?

C .30

2378x y x y +=??+=?

D .30

3278x y x y +=??+=?

5.如图,长宽高分别为2,1,1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ,则它爬行的最短路程是( )

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A .10

B .5

C .22

D .3

6.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是( ) A .

B .

C.

D.

7.我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:

y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P 在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是()

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A.6B.8C.10D.12

8.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,

OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩

形OABC面积的1

4

,那么点B′的坐标是()

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A.(-2,3)B.(2,-3)C.(3,-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2,-3)

9.估计10+1的值应在()

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间10.甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃,乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃,将这两种蔬菜放在一起同时保鲜,适宜的温度是()

A.1℃~3℃B.3℃~5℃C.5℃~8℃D.1℃~8℃

11.如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,3),M 是第三象限内?OB上一点,∠BMO=120°,则⊙C的半径长为()

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A .6

B .5

C .3

D .32

12.下列计算正确的是( ) A .()

3

473=a b

a b B .(

)2

3

2482--=--b a b

ab b

C .32242?+?=a a a a a

D .22(5)25-=-a a

二、填空题

13.已知扇形的圆心角为120°,半径等于6,则用该扇形围成的圆锥的底面半径为_________.

14.如图,∠MON=30°,点A 1,A 2,A 3,…在射线ON 上,点B 1,B 2,B 3,…在射线OM 上,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4…均为等边三角形.若OA 1=1,则△A n B n A n+1的边长为______.

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15.已知62x =

+,那么222x x -的值是_____.

16.不等式组0125x a x x ->??->-?

有3个整数解,则a 的取值范围是_____.

17.已知(a -4)(a -2)=3,则(a -4)2+(a -2)2的值为__________.

18.从﹣2,﹣1,1,2四个数中,随机抽取两个数相乘,积为大于﹣4小于2的概率是_____.

19.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=5,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D

恰好落在BC 边上的点F 处,那么cos ∠EFC 的值是 .

20.在学校组织的义务植树活动中,甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下,甲组:9,9,11,10;乙组:9,8,9,10;分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树总棵数为19的概率______.

三、解答题

21.如图,AD 是ABC ?的中线,AE BC ∥,BE 交AD 于点F ,F 是AD 的中点,连接EC .

(1)求证:四边形ADCE 是平行四边形;

(2)若四边形ABCE 的面积为S ,请直接写出图中所有面积是

1

3

S 的三角形.

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22.在□ABCD,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.

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(1)求证:四边形BFDE是矩形;

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.

23.如图,AB是半圆O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.

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(1)求证:BC是半圆O的切线;

(2)若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的长.

24.今年5月份,我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动,赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩,按得分划分为A,B,C,D四个等级,并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图:

等级成绩(s)频数(人数)

A90<s≤1004

B80<s≤90x

C70<s≤8016

D s≤706

根据以上信息,解答以下问题:

(1)表中的x= ;

(2)扇形统计图中m= ,n=,C等级对应的扇形的圆心角为度;

(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者,已知这四人中有两名男生(用a1,a2表示)和两名女生(用b1,b2表示),请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率.

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25.如图,ABC ?是边长为4cm 的等边三角形,边AB 在射线OM 上,且6OA cm =,点

D 从点O 出发,沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动,当D 不与点A 重合时,将ACD ?绕

点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ?,连接DE. (1)如图1,求证:CDE ?是等边三角形;

(2)如图2,当6

(3)当点D 在射线OM 上运动时,是否存在以D ,E ,B 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.

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【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】

求出AB 的坐标,设直线AB 的解析式是y=kx+b ,把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式,根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中,|AP-BP|<AB ,延长AB 交x 轴于P′,当P 在P′点时,PA-PB=AB ,此时线段AP 与线段BP 之差达到最大,求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可. 【详解】 ∵把A (12,y 1),B (2,y 2)代入反比例函数y=1x 得:y 1=2,y 2=12

, ∴A (

12,2),B (2,1

2

), ∵在△ABP 中,由三角形的三边关系定理得:|AP-BP|<AB ,

∴延长AB 交x 轴于P′,当P 在P′点时,PA-PB=AB , 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大,

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设直线AB 的解析式是y=kx+b , 把A 、B 的坐标代入得:

122

122

k b k b ?+???

?+??==, 解得:k=-1,b=

5

2

, ∴直线AB 的解析式是y=-x+52

, 当y=0时,x=52

, 即P (

5

2,0), 故选D . 【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用,解此题的关键是确定P 点的位置,题目比较好,但有一定的难度.

2.D

解析:D 【解析】

试题分析:根据题意,点A 、A′关于点C 对称,设点A 的坐标是(x ,y ),则

0122

a x

b y

++==,,解得2x a y b =-=-+,,∴点A 的坐标是(2)a b --+,

.故选D . 考点:坐标与图形变化-旋转.

3.B

解析:B 【解析】 【分析】

根据中位数的定义直接求解即可. 【详解】

把这些数从小到大排列为:89分,90分,95分,95分,96分,96分,

则该同学这6次成绩的中位数是:=95分;

故选:B.

【点睛】

此题考查了确定一组数据的中位数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

4.A

解析:A

【解析】

【分析】

【详解】

该班男生有x人,女生有y人.根据题意得:

30 3278 x y

x y

+=

?

?

+=

?

故选D.

考点:由实际问题抽象出二元一次方程组.

5.C

解析:C

【解析】

【分析】

蚂蚁有两种爬法,就是把正视和俯视(或正视和侧视)二个面展平成一个长方形,然后求其对角线,比较大小即可求得最短路程.

【详解】

如图所示,路径一:AB22

211

=++=

()22;

路径二:AB22

21110

=++=

().

∵2210

<,∴蚂蚁爬行的最短路程为22.

故选C.

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【点睛】

本题考查了立体图形中的最短路线问题;通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题;注意长方体展开图形应分情况进行探讨.

6.A

解析:A

【解析】

试题解析:∵x+1≥2,

∴x≥1.

故选A.

考点:解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.7.A

解析:A

【解析】

试题解析:∵直线l:y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B,∴B(0,43),

∴OB=43,

在RT△AOB中,∠OAB=30°,

∴OA=3OB=3×43=12,

∵⊙P与l相切,设切点为M,连接PM,则PM⊥AB,

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∴PM=1

2 PA,

设P(x,0),∴PA=12-x,

∴⊙P的半径PM=1

2

PA=6-

1

2

x,

∵x为整数,PM为整数,

∴x可以取0,2,4,6,8,10,6个数,

∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6.

故选A.

考点:1.切线的性质;2.一次函数图象上点的坐标特征.

8.D

解析:D

【解析】

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形。把一个图形变换成与之位似的图形是位似变

换。因此,

∵矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似,∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC 。 ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的

1

4,∴位似比为:12

。 ∵点B 的坐标为(-4,6),∴点B′的坐标是:(-2,3)或(2,-3)。故选D 。

9.B

解析:B 【解析】

解:∵34<<

,∴415<<.故选B .

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的取值范围是解题关键.

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10.B

解析:B 【解析】 【分析】

根据“1℃~5℃”,“3℃~8℃”组成不等式组,解不等式组即可求解. 【详解】

解:设温度为x ℃,

根据题意可知1

538

x x x x ≥??≤?

?≥??≤?

解得35x ≤≤. 故选:B . 【点睛】

本题考查一元一次不等式组的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等式关系式即可求解.

11.C

解析:C 【解析】 【分析】

先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB 的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90°,故可得出∠ABO 的度数,根据直角三角形的性质即可得出AB 的长,进而得出结论. 【详解】

解:∵四边形ABMO 是圆内接四边形,∠BMO=120°, ∴∠BAO=60°, ∵∠AOB=90°, ∴AB 是⊙C 的直径,

∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,

∵点A 的坐标为(0,3), ∴OA=3, ∴AB=2OA=6,

∴⊙C 的半径长=3,故选:C 【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质,熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键.

12.C

解析:C 【解析】 【分析】

根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案. 【详解】

A.43123()a b a b =,故该选项计算错误,

B.(

)2

3

2482b a b

ab b --=-+,故该选项计算错误,

C.32242?+?=a a a a a ,故该选项计算正确,

D.22(5)1025a a a -=-+,故该选项计算错误, 故选B. 【点睛】

本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式,熟练掌握运算法则是解题关键.

二、填空题

13.2【解析】分析:利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程进行计算即可详解:扇形的圆心角是120°半径为6则扇形的弧长是:=4π所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π设圆锥的底面半

解析:2 【解析】

分析:利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,列出方程进行计算即可. 详解:扇形的圆心角是120°,半径为6, 则扇形的弧长是:

1206

180

π?=4π, 所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π, 设圆锥的底面半径是r , 则2πr =4π, 解得:r =2.

所以圆锥的底面半径是2.

故答案为2.

点睛:本题考查了弧长计算公式及圆锥的相关知识.理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键.

14.2n-

1【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2…进而得解析:2n-1

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2…进而得出答案.

【详解】

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∵△A1B1A2是等边三角形,

∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,

∴∠2=120°,

∵∠MON=30°,

∴∠1=180°-120°-30°=30°,

又∵∠3=60°,

∴∠5=180°-60°-30°=90°,

∵∠MON=∠1=30°,

∴OA1=A1B1=1,

∴A2B1=1,

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,

∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,

∵∠4=∠12=60°,

∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,

∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,

∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,

∴A3B3=4B1A2=4,

A4B4=8B1A2=8,

A5B5=16B1A2=16,

以此类推:△A n B n A n+1的边长为 2n-1.

故答案是:2n-1.

【点睛】

此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键.

15.4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为:4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确

解析:4

【解析】

【分析】

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将所给等式变形为x=

【详解】

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∵x=,

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∴x-=

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x=,

∴(22

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∴226

x-+=,

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∴24

x-=,

故答案为:4

【点睛】

本题考查了二次根式的运算,解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.

16.﹣2≤a<﹣1【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集(利用含a 的式子表示)根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解根据解的情况可以得到关于a的不等式从而求出a的范围【详解】解不等式x﹣a>0得

解析:﹣2≤a<﹣1.

【解析】

【分析】

先解不等式组确定不等式组的解集(利用含a的式子表示),根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围.

【详解】

解不等式x﹣a>0,得:x>a,

解不等式1﹣x>2x﹣5,得:x<2,

∵不等式组有3个整数解,

∴不等式组的整数解为﹣1、 0、1,

则﹣2≤a<﹣1,

故答案为:﹣2≤a<﹣1.

【点睛】

本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.

17.10【解析】【分析】试题分析:把(a﹣4)和(a﹣2)看成一个整体利用完全平方公式求解【详解】(a﹣4)2+(a﹣2)2=(a﹣4)2+(a﹣2)2-2(a ﹣4)(a﹣2)+2(a﹣4)(a﹣2)=

解析:10

【解析】

【分析】

试题分析:把(a﹣4)和(a﹣2)看成一个整体,利用完全平方公式求解.

【详解】

(a﹣4)2+(a﹣2)2=(a﹣4)2+(a﹣2)2-2(a﹣4)(a﹣2)+2(a﹣4)(a﹣2)

=[(a﹣4)-(a﹣2)]2+2(a﹣4)(a﹣2)

=(-2)2+2×3

=10

故答案为10

【点睛】

本题考查了完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2求解,整体思想的运用使运算更加简便.18.【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下: -2 -1 1 2 -2 2 -2 -

4 -1 2 -1 -2 1 -2 -

解析:1 2

【解析】

【分析】

列表得出所有等可能结果,从中找到积为大于-4小于2的结果数,根据概率公式计算可得.

【详解】

列表如下:

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∴积为大于-4小于2的概率为

6

12

=

1

2

故答案为1

2

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【解析】试题分析:根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°AF=AD=5根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF根据余弦的概念计算即可由翻转变换的性质可知∠AFE=∠D=90°AF=AD=5∴∠EF

解析:.

【解析】

试题分析:根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5,根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF,根据余弦的概念计算即可.

由翻转变换的性质可知,∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5,

∴∠EFC+∠AFB=90°,∵∠B=90°,

∴∠BAF+∠AFB=90°,∴∠EFC=∠BAF,cos∠BAF==,

∴cos∠EFC=,故答案为:.

考点:轴对称的性质,矩形的性质,余弦的概念.

20.【解析】【分析】【详解】画树状图如图:∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为

解析:

5 16

【解析】

【分析】

【详解】

画树状图如图:

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∵共有16种等可能结果,两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果,

∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为

5 16

.

三、解答题

21.(1)见解析;(2)ABD ?,ACD ?,ACE ?,ABE ? 【解析】 【分析】

(1)首先证明△AFE ≌△DFB 可得AE=BD ,进而可证明AE=CD ,再由AE ∥BC 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE 是平行四边形; (2)根据面积公式解答即可. 【详解】

证明:∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD=CD , ∵AE ∥BC , ∴∠AEF=∠DBF , 在△AFE 和△DFB 中,

AEF DBF AFE BFD AF DF ===∠∠??

∠∠???

, ∴△AFE ≌△DFB (AAS ), ∴AE=BD , ∴AE=CD , ∵AE ∥BC ,

∴四边形ADCE 是平行四边形; (2)∵四边形ABCE 的面积为S , ∵BD=DC ,

∴四边形ABCE 的面积可以分成三部分,即△ABD 的面积+△ADC 的面积+△AEC 的面积=S , ∴面积是1

2

S 的三角形有△ABD ,△ACD ,△ACE ,△ABE . 【点睛】

此题主要考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定和性质.等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 22.(1)见解析(2)见解析 【解析】

试题分析:(1)根据平行四边形的性质,可得AB 与CD 的关系,根据平行四边形的判定,可得BFDE 是平行四边形,再根据矩形的判定,可得答案;

(2)根据平行线的性质,可得∠DF A =∠F AB ,根据等腰三角形的判定与性质,可得∠DAF =∠DF A ,根据角平分线的判定,可得答案. 试题分析:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD . ∵BE ∥DF ,BE =DF ,

∴四边形BFDE 是平行四边形. ∵DE ⊥AB , ∴∠DEB =90°, ∴四边形BFDE 是矩形;

(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥DC , ∴∠DF A =∠F AB .

在Rt △BCF 中,由勾股定理,得

2019-2020成都七中嘉祥外国语学校中考数学第一次模拟试题(附答案)

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BC =, ∴AD =BC =DF =5, ∴∠DAF =∠DF A , ∴∠DAF =∠F AB , 即AF 平分∠DAB .

【点睛】本题考查了平行四边形的性质,利用了平行四边形的性质,矩形的判定,等腰三角形的判定与性质,利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF =∠DF A 是解题关键. 23.(1)见解析;(2)AD=4.5. 【解析】 【分析】

(1)若证明BC 是半圆O 的切线,利用切线的判定定理:即证明AB ⊥BC 即可; (2)因为OC ∥AD ,可得∠BEC=∠D=90°,再有其他条件可判定△BCE ∽△BAD ,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等即可求出AD 的长. 【详解】

(1)证明:∵AB 是半圆O 的直径, ∴BD ⊥AD , ∴∠DBA+∠A=90°, ∵∠DBC=∠A ,

∴∠DBA+∠DBC=90°即AB ⊥BC , ∴BC 是半圆O 的切线; (2)解:∵OC ∥AD , ∴∠BEC=∠D=90°, ∵BD ⊥AD ,BD=6, ∴BE=DE=3, ∵∠DBC=∠A , ∴△BCE ∽△BAD ,

=CE BE BD AD ,即43

6=AD ; ∴AD=4.5 【点睛】 本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点

(即为半径),再证垂直即可.同时考查了相似三角形的判定和性质.

24.(1)14;(2)10、40、144;(3)恰好选取的是a1和b1的概率为1

6

【解析】

【分析】(1)根据D组人数及其所占百分比可得总人数,用总人数减去其他三组人数即可得出x的值;

(2)用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值,再用360°乘以C等级百分比可得其度数;

(3)首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况,再利用概率公式即可求得答案.

【详解】(1)∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人,

∴x=40﹣(4+16+6)=14,

故答案为14;

(2)∵m%=4

40

×100%=10%,n%=

16

40

×10%=40%,

∴m=10、n=40,

C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°,

故答案为10、40、144;

(3)列表如下:

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a1和b1的有2种结果,

∴恰好选取的是a1和b1的概率为

21 126

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,列表法或树状图法求概率,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小;概率=所求情况数与总情况数之比.

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25.(1)详见解析;(2)存在,;(3)当t=2或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.

【解析】

试题分析:

(1)由旋转的性质结合△ABC是等边三角形可得∠DCB=60°,CD=CE,从而可得△CDE

是等边三角形;

(2)由(1)可知△CDE是等边三角形,由此可得DE=CD,因此当CD⊥AB时,CD最短,则DE最短,结合△ABC是等边三角形,AC=4即可求得此时DE=CD=23;

(3)由题意需分0≤t<6,6<t<10和t>10三种情况讨论,①当0≤t<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,由此可知:此时若△DBE是直角三角形,则∠BED=90°;

②当6<t<10s时,由性质的性质可知∠DBE=120°>90°,由此可知:此时△DBE不可能是直角三角形;③当t>10s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,结合∠CDE=60°可得

∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°,由此可得∠BED<60°,由此可知此时若△BDE 是直角三角形,则只能是∠BDE=90°;这样结合已知条件即可分情况求出对应的t的值了.试题解析:

(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,

∴∠DCE=60°,DC=EC,

∴△CDE是等边三角形;

(2)存在,当6<t<10时,

由(1)知,△CDE是等边三角形,

∴DE=CD,

由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,CD最小,

此时∠ADC=90°,又∵∠ACD=60°,

∴∠ACD=30°,

∴ AD=1

2

AC=2,

∴ CD=2222

4223

AC AD

-=-=,

∴ DE=23(cm);

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(3)存在,理由如下:

①当0s≤t<6s时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴此时若△DBE是直角三角形,则∠BED=90°,

由(1)可知,△CDE是等边三角形,

∴∠DEC=60°,

∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°,

∴∠CDA=∠CEB=30°,

∵∠CAB=60°,

∴∠ACD=∠ADC=30°,

∴DA=CA=4,

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,

∴t=2÷1=2(s);

②当6s<t<10s时,由性质的性质可知∠DBE=120°>90°,

∴此时△DBE不可能是直角三角形;

③当t>10s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,

又由(1)知∠CDE=60°,

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,

而∠BDC>0°,

∴∠BDE>60°,

∴只能∠BDE=90°,

从而∠BCD=30°,

∴BD=BC=4,

∴OD=14cm,

∴t=14÷1=14(s);

综上所述:当t=2s或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.

点睛:(1)解第2小题的关键是:抓住点D在运动过程中,△DBE是等边三角形这一点得到DE=CD,从而可知当CD⊥AB时,CD最短,则DE最短,由此即可由已知条件解得DE的最小值;(2)解第3小题的关键是:根据点D的不同位置分为三段时间,结合已知条件首先分析出在每个时间段内△BDE中哪个角能够是直角,然后再结合已知条件进行解答即可求得对应的t的值了.

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