07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答

2007年高等数学竞赛培训班

线面积分练习题参考解答一.填空题(每小题3分,共15分)

1.设L 为椭圆22143y x +=，其周长为a ，则222(234)d 12L a xy x y s ++=??. 解：222

222

(234)d 2d (34)d 012d 12L

L

L

L

xy x y s xy s x y s s a ++=++=+=?

?

?

?蜒蜒. 2.设∑:1x y z ++=，则()d

x y S ∑+=??解：()d d d x y S x S y S ∑

∑

∑

+=+??????

()8110d d 333x y z S S ∑∑∑

=+++==????88d d 33xy

xy

D D x y x y ==????3.密度为0μ的均匀金属丝2222

:0 x y z R x y z Γ?++=?++=?

对于x 轴的转动惯量

304π 3

x R I μ=.

解：22

2

22220000222()d ()d d 2π3

33

x I y z s x

y z s R s R R ΓΓμμμμΓ=+=++==????蜒? 304π3

R μ=.

4.设22:(1)2L x y ++=，则 22d d 23

π L

x y y x

x y y -

=+--++??.

解： 22d d 23L

x y y x x y y -

-=+++?? 222

(1)2

d d 11(11)d ππ2242L x y x y y x σ-++≤-=-+=-=-+????.

5.设:z ∑=，则2

d d cos d d d d 2π3I x y z y z x z x y ∑

=

++=??下侧

. 解：2221

2d d cos d d d d 00d π3x y I x y z y z x z x y x y ∑∑∑+≤=

+

+

=+-

=??

??

??

??下侧

下侧

下侧

.

评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意

1z =

①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；

②与Riemann 积分的对称性的结论刚好相反，例如

光滑曲面∑关于0x =（即yOz 平面）对称（包括侧也对称），则有

0, (,,)d d 2( d , ,,)d f f x y z y z f x y z y z x x f ∑

∑??

=???????半

若为的函数，

若函数.奇为的偶

③也可利用轮换对称性。

二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内)

1.设曲线积分2d ()d C

xy x y x y ?+?与路径无关，其中()x ?有连续的导数，且

(0)0?=，则(1,1)

2(0,0)

d ()d xy x y x y ?+?

等于

(A)1. (B) 0. (C) 21. (D)12. 答: ( D )

解：(1,1)11

22(0,0)0011d ()d (0)d 1d 0.22

xy x y x y y y x x ??+=+?=+=?

?? 2. 设222: 1 (0)S x y z z ++=≥,1S 是S 在第一卦限中的部分，则有 (A) 1

d 4d S

S x S x S =????. (B) 1

d 4d S

S y S x S =????.

(C)

1

d 4d S

S z S x S =????. (D) 1

d 4d S

S xyz S xyz S =????. 答: ( C )

解：因为222: 1 (0)S x y z z ++=≥关于0x =对称，关于0y =也对称，且x 和xyz

都是x 的奇函数、y 是y 的奇函数，于是d 0,d 0,d 0S

S

S

x S xyz S y S ===??????，

但1

1

4d 0,4d 0S S x S xyz S >>????，故（A ）、（B ）、（D ）都不对.事实上，将d S

z S

??视为密度z μ=时S 的质量，则显然有1

d 4d S

S z S z S =????，再由,,x y z 在1S 上

的轮换对称性有1

1

d 4d 4d S

S S z S z S x S ==??????.

3. 设2222{(,,)}x y z x y z a ∑=++=，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是

（A ）22d ,d d x S x y z ∑∑????乙外. （B ）2d ,d d x S x y z ∑∑????乙外

.

（C ）d ,d d x S x y z ∑

∑????乙外

. （D ）d ,d d xy S y z x ∑∑????乙外

. 答: ( B )

解：因为∑关于0x =（即yOz 平面）对称，x 和xy 是x 的奇函数，而2x 是x 的

偶函数，故第一类曲面积分d 0,d 0xy S x S ∑

∑

==????òò，4

2

2

4πd 2d 3R x S x S ∑

∑==????

乙半

；而第二类曲面积

分2

22

3

4πd d 2d d 2

d 3

y z R R x y z x y z y z ∑

∑+≤===??????

乙外

上侧

上半

，

2

d d 0x y z ∑=??ò外.类似地，有34πd d 2d d 3R y z x y z x ∑

∑==????乙外前侧

前半

. 4.设曲线L ：(,) 1 (,)f x y f x y =(具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和第IV 象限的点N ,Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列积分小于零．．．的是 (A)

(,)d f x y x Γ

?. （B ）(,)d f x y y Γ

?.

（C ）(,)d f x y s Γ

?. （D ）(,)d (,)d x y f x y x f x y y Γ

''+?. 答：（B ）

解： (,)d d d 0,f x y x x x Γ

Γ

-

+

==>???不选（A）；

(,)d d d 0,f x y y y x ΓΓ

-

+

==

(,)d d 0,f x y s s Γ

Γ

=>??不选（C）；

(,)d (,)d d (,)d (,)()()110,N

x y M

f x y x f x y y f x y f x y f N f M Γ

Γ

''+===-=-=???

不选（D ）.

5.设()22: 1z x y z ∑=+≤，22:1xy D x y +≤，则d d z y z ∑??外

可化为二重积分

(A)

2

2()2d d xy

D x

y x x y +???. (B)

2

2()(2)d d xy

D x

y x x y +?-??.

(C)

22

()2d d xy

D x y y x y +???

. (D) 22

()d d xy

D x y x y +???

. 答: ( A ) 解：因为cos d d cos d d d cos y z S x y ααγ

==（一般地有d d d d d d cos cos cos y z x y

z x αβγ==），而()22: 1z x y z ∑=+≤的外侧即下侧，故d d d d 2d d x y z z x y x x y '=-=-，所以

d d z y z ∑??

外

2222

()(2)d d ()2d d xy

xy

D D x y x x y x y x x y =-+?-=+?????. 三.(本题6分) 计算222222

()d (2)d (3)d L

I y z x z x y x y z =-+-+-?

?，其中L 是平

面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向. 解：设∑为平面2x y z ++=上由L 所围成部分的上侧，xy D 是∑在xOy 面上的

投影域，则∑的法向量的方向余弦

为cos cos cos αβγ===，

:1xy D x y +≤，∑

的曲面面积元素d d S x y =. 由Stokes 公式，得

222222

()d (2)d (3)d L

I y z x z x y x y z =-+-+-??

2222

22d 23S x y z y z z x x y

∑

???=???---

??

(846)d x y z S ∑=---

(423)d (d xy

D x y z S x y x y ∑=++=-+??

22006d d 1224xy D x y ??

??=-++=-?=-????

??.

另解：将其化为平面曲线积分.

记L 在xOy 面上的投影曲线为C ，则:C 1x y +=，取逆时针方向，C 所围域记为xy D .因为2z x y =--，d d d z x y =--，故原积分可化为

22222222

[(2)]d [2(2)]d (3)d (3)d C

I y x y x x y x y x y x x y y =---+-------?? 2222[4442]d [28843]d C

x x y xy y x x x y xy y y =-++-++----++?

?

(2212)d d 0012d d 24xy

xy

D D x y x y x y -+-=+-=-=????格林公式

.

四.(本题6分) 求密度为0μ的均匀半球壳:z ∑=z 轴的转动

惯量.

解：222

222200

()d (d z x y R I x y S x y x y ∑

μμ+≤=+=+????

2

2π 200 0

01d d 2π2R

R

R R t μθρρρμ==???

?

2

223

24

2

000

24

π222π()π

33

R

R

R t R R t R μμμ

??-

=-+=?-=

??

??

?. 五．（本题6分）计算222

()d

L

x y z s

++

?，其中L是球面22292

x y z

++=与平面1

y z

+=的交线.

解：方法一因为L的方程可表示为

()2

2

1

21

42

1

y

x

z y

?

-

?

+=

?

?

=-

?

，则其参量方程为

2cos

1 (02π)

2

1

2

x

y

z

θ

θθ

θ

?

=

?

?

=+≤≤

?

?

?=

?

.

故222

()d

L

x y z s

++

? 2π 2π

0 0

999

d2d18π

222

L

sθθ

====

???.

方法二222

()d

L

x y z s

++

?9d

2L

s

=?99

d

22L

L

s s

==

?（L s表示L的弧长）；

而

2229

2

:

1

x y z

L

y z

?++=

?

?

?+=

?

显然是平面1

y z

+=上的圆周，为求周长只需求出其直径d即可. 在L的方程中令0

x=得圆周上的两点

：(11

0,,

22

A+

和

(11

0,

22

B，易知AB就是L的一条直径，于是4

d AB

==.所以222

()d

L

x y z s

++

?99

d

22L

L

s s

==

?9π4=18π

2

=??.

六．(本题6分)

计算积分)d d

L

I x y y x

=+

?，其中L是依次联结点(1,0)

A-、(2,2)

B和(1,0)

C的有向折线段.

解：直接计算较繁.添加直线段CA，构成闭合曲线L CA

+，使用格林公式.记L CA

+所围域为D

.

,

P y Q x

==，2

Q P

x y

??

-=-

??

，故

)d d L

I x y y x =+?(

)[d )d ]L CA

CA

y x x y +=

-+?

?

?

()

1

11(2)d d 0d 22242D

x y x -=--=?=-????.

七．(本题6分) 设对于半空间0x >内任意的简单光滑有向闭合曲面∑，都有

2()d d ()d d e d d 0x xf x y z yf x z x xz x y ∑

--=??

ò， 其中()f x 有连续导数，且0

lim ()1x f x +

→=，求()f x . 解：设∑所围成的有界闭域为Ω，由题设及Gauss 公式得

20()d d ()d d e d d x

xf x y z yf x z x xz x y ∑

=--??

ò 2[()()()e ]d x f x xf x f x x V Ω

'=±+--???

2[()e ]d x xf x x V Ω

'=±-???.

由∑的任意性，知2()e 0x xf x x '-=，即2()e x f x '=，解得21()e 2

x f x C =+.

由0lim ()1x f x +→=得12C =，故2e 1()2

x

f x +=. 八.(本题6分) 计算曲面积分d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑

=++??，其中∑是曲面

2

21 (01)4

y

z x z =--

≤≤的上侧. 解: 取S 为xOy 平面上由椭圆2

2

14

y x +=所围部分的下侧，由∑和S 所围空间

区域记为Ω.由Gauss 公式，得

()2214d d 2d d 3d d 20d 3d d S S y x I xz y z zy z x xy x y z z V xy x y ∑Ω++≤??

?? ?=-++=++-- ? ??? ?

???????????ò 2

2

1

1

00

14

3d d 032π(1)d π.y x z

z z

z z z σ+≤-=-=-=????

九. (本题8分) 计算曲面积分()

3

2

22

2

d d d d d d x y z y z x z x y

I x

y z

∑

++=++??

，其中∑是曲面

()()16

125

2110

2

2-+--=y x z

在xOy 平面之上的部分的上侧.

解: ()

2

322

2

z y x

x

P ++=

,()2

322

2

z y x y

Q ++=

,()2

322

2

z y x z

R ++=

,

除点()0 ,0 ,0O 外,z R y Q x P ??????,,处处连续,且0=??+??+??z

R y Q x P . ∑为顶点在()10 ,1 ,2的椭圆锥面的一部分,它在xOy 面上的投影域为

xy

D :

()()14

15

22

2

2

2≤-+-y x .

采用《挖洞法》：设0>ε充分小,取-S 为222 :y x z S --=ε之下侧,又取

1∑-为平面域}),{(\222ε<+y x y x D xy 之下侧,于是1S ∑∑++构成一封闭曲面,记其所围成的空间域为Ω.由Gauss 公式得

11(S S I ∑∑∑+----++∴=--??????ò???Ω

=z y x d d d 0??+

∑+1

(+

+=00??+

S y x d d 1

3

ε

22223 013d d x y z z x εε++≤≥??=?????? 十. (本题6分) 计算积分d ∑

???rot F S ，其中32()()3x z x yz xy =-+-F i +j k ，∑

是锥面 2z =xOy 面上方的部分，取上侧.

解：设∑的边界曲线为Γ，则224:0

x y z Γ?+=?=?，取逆时针方向.故由Stokes 公

式得

d ∑

???

rot F S d Γ

=?=??F s 32

()d ()d 3d x z x x yz y xy z Γ

-+--?? 3(0)d (0)d 0x x x y Γ=-+--??3

d d x x x y Γ

=+?

? 2224

3d d x y x x y +≤==??

格林公式

2π 2

23 0 0163cos d d 3π12π4

θθρρ=??=??.

十一. (本题6分)设2222:22220x y z ax ay az a ∑++---+=（0a >），求

()d I x y z S ∑

=++??ò

解：方法一 （直接计算） 因为()()()222

2:x a y a z a a ∑-+-+-=，故由轮换

1

对称性得 3d I z S ∑=??ò3()d 3d z a S a S ∑∑

=-+????

乙23

034π12πa a a =+?=. 方法二（利用形心坐标公式）显然()()()222

2:x a y a z a a ∑-+-+-=的形

心坐标为(,,)(,,)x y z a a a =，于是2

d d 4πx S x S a x S

a

∑∑

==

=????乙，由此得3

d 4πx S a ∑

=??ò；

同理有3d 4πy S a ∑

=??ò，3

d 4πz S a ∑

=??

ò； 故 312πI a =.

十二. (本题6分)计算曲线积分?++++++Γ

z y x y x z x z y 222222d )(d )(d )(,其中Γ

为曲线???=+=++ 222

2222ax y x Rx

z y x (0,0≥<

0y =对称）,其上任意一点),,(z y x 处的单位法向量},,{0R

z R y

R R x -=n ,S 在

xOy 平面的投影域为:xy D ax y x 222≤+.于是

原式S y x x z z y z y x R

z R y R R x S

d 2

22

22

2??

+++??????-= S R z y x R y

x z R x z y S d ])()()1)([(2??-+-+--=S y z S

d )(2??-=

2d 0xy

D x y =+??22πRa =.

十三. (本题8分)

1. 设()f u 是连续函数，Γ为任意分段光滑的有向简单闭曲线，试证：

222

()(d d d )0.f x y z x x y y z z Γ

++++=??

n

2.设在上半平面{}(,)0D x y y =>内，(,)f x y 具有连续的偏导数，且0t ?>，都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=，证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0L

yf x y x xf x y y -=??.

证：1.设()f u 的一个原函数为()F u ，则

2222221 ()(d d d )d ()02

f x y z x x y y z z F x y z ΓΓ

++++=++=??蜒.

2.21(,),(,),(,)(,),

(,)(,).Q

P P yf x y Q xf x y f x y yf x y f x y xf x y y x

??''==-=+=--?? 由题设：(,),0x y D t ?∈?>，有2(,)(,)f tx ty t f x y -=.两边对t 求导，得

312(,)(,)2(,).xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-

令1t =得12(,)(,)2(,),xf x y yf x y f x y ''+=-即

21

(,)(,)(,)(,).Q P f x y yf tx ty f x y xf x y y x

??''=+=--=?? 所以(,)d (,)d 0L

yf x y x xf x y y -=??.

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

立体几何中线面平行的经典方法+经典习题(附详细解答

精心整理 F 高中立体几何证明平行的专题 (基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等 等。 (1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1棱则易 证2、AB 过A ADE 沿 3、 M 为4角梯 形,分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证：PA ∥7D 为AC 8 BAD ∠是平行四边形； 四点是否共面？为什么？ （.39为正方形ABCD 的中心，BB 1的10 A B C D E F G M

求证：AE ∥平面PBC ； 分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形 11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠?ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ; 二 （I ACB ∠在ABCD 中，又FA ?平面ABFE ，GM ?平面ABFE ，所以GM//平面AB 。 (4)利用对应线段成比例 12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一 点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点， 且 SM AM =ND BN ，

最新全国大学生数学竞赛简介

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中国大学生数学竞赛

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学

高中数学线面角与线线角例题、习题-学生

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

线面角的计算方法

教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角，二面角的计算方法（文科） 本次学生 课时计划 第（10）课时 共（60）课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题 二．回顾上次课辅导内容 三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 典型例题： 线面夹角的计算 例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE； （Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA ＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点． (1)证明：BD⊥平面APC； (43 3 ) (2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值； (3)若G满足PC⊥平面BGD，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直

线面平行典型例题.

线面平行典型例题和练习 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着 直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与 平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键. 1运用中点作平行线 例1已知四棱锥 P —ABCD 的底面是距形，M 、N 分别是AD 、PE 的中点，求证MN//平面 PCD 2 ?运用比例作平行线 例2.四边形ABCD 与AEEF 是两个全等正方形，且AM 平面BCE 3. 运用传递性作平行线 例3?求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行 4. 运用特殊位置作平行线 例4.正三棱柱ABC-A i B i C i 的底面边长为 2,点E 、F 分别是C 动点，EC= 2FB= 2 .问当点M 在何位置时MB//平面AEF? 课堂强化: i. i .棱长都相等的四面体称为正四面体.在正四面体 A-BCD 中，点M N 分别是CD 和AD 的中点, 给出下列命题: ①直线MIN/平面ABC i C 、B i B 上的点，点M 是线段AC 上的 求证：MN//

②直线CD L平面BMN ③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半. 则其中正确命题的序号为 2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ ABD为正三角形，CB=CD EC丄BD. (I)求证：BE=DE (n)若/ BCD=120 , M为线段AE的中点，求证：DM/平面BEC 3..如图，直三棱柱ABC-A' B' C',/ BAC=90 , AB=AC=2, AA =1,点M N分别为A'B 和B' C'的中点. (I)证明：MIN/平面A' ACC ; (n)求三棱锥A' -MNC的体积. 4.如图所示的几何体中，△ ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC且AE=AB=2 CD=1, F为BE的中点. (1)若点G在AB上，试确定G点位置，使FG//平面ADE并加以证明； 5.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC丄SD； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC若存在，求SE: EC的值；若不存在，试说明理由. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，/ ABC=Z ACD=90 , / BAC=Z CAD=60 , PA丄平面ABCD E为PD的中点，AB=1, PA=2. (I )证明：直线CE//平面PAB 7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM±取一点G,过G和AP作平面交平面BDMF GH求证：AP// GH 8.已知平面 a //面B , AB CD为异面线段，AB? a , CD? B ,且AB=a, CD=b AB与CD所成的角为0，平面Y //面a ,且平面丫与AC BC BD AD分别相交于点MN、P、Q且MN P、Q为中点， (1)若a=b,求截面四边形MNP啲周长；

全国大学生数学竞赛简介资料

全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

线线角-线面角-二面角的一些题目.

B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 线线角与线面角习题 新泰一中 闫辉 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 4 6 (B). 36 (C).62 (D).6 3 3.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο 角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. A C B A D C 1D 1 A 1 B 1C B D B P C D A C B F E

直线与平面位置关系典型例题

典型例题一 例1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：α?b 或A b =α ； （2）由图（2）可知：α//b 或α?b ． 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面 BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ?的中位线， ∴OQ PC //． ∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三 例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面； （2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ， a '， b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面． 说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α?b ． 求证：α//b ． 证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β． 设c =βα ， ∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //． ∵α?b ，α?c ， ∴α//b ． 说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

直线与平面平行经典题目

9.2 直线与平面平行 ●知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行. ●点击双基 1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β 答案：D 2.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析：①②显然正确.③中m 与n 可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β， 过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b ，β∩γ=c ， 则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c . 又b ?α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 答案：C 4.(06重庆卷)对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 解析：对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内， 且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直， 综上所述，选C. 5.已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 ③⑤ 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 ②⑤ 时，有β⊥m .

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类).

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

(完整版)：平面直角坐标系经典例题解析

【平面直角坐标系重点考点例析】 考点一：平面直角坐标系中点的特征 例1 在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是．思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围． 解：由第一象限点的坐标的特点可得： 20 m m > ? ? -> ? ， 解得：m＞2． 故答案为：m＞2． 点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正． 例1 如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1）一定不在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．解：∵（m+1）-（m-4）=m+1-m+4=5， ∴点P的纵坐标一定大于横坐标， ∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标， ∴点P一定不在第四象限． 故选D． 点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．例2 如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（） A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1） 分析：利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 解答：解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；

平行线经典四大模型典型例题及练习

平行线四大模型 平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型 模型一“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.