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第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分

内容要点

一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质

性质1 设α，β为常数，则

???+=+L L

L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([β

αβα；

性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则

.),(),(),(2

???+

L ds y x f ds y x f ds y x f

注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.

性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则

ds y x g ds y x f L

≤

),(),(

性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使

f ds y x f L

?=?

),(),(ηξ

其中s 是曲线L 的长度.

三、第一类曲线积分的计算：)(),

(),(βα≤≤??

?==t t y y t x x

dt t y t x t y t x f ds y x f L

)()(])(),([),(2

2'+'=

??β

(1.10)

如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则

dx x y x y x f ds y x f b

a L )(1])(,[),(2

'+=

?? (1.11)

如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则

dy y x y y x f ds y x f d

L )(1]),([),(2

'+=

?? (1.12)

如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则

θθθθθβ

d r r r r f ds y x f L

)()()sin ,cos (),(2

2'+=

例5（E03）计算,||?L

ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(2

22222y x a y x -=+的

弧.

解双纽线的极坐标方程为 .2cos 2

2θa r =

用隐函数求导得 ,2s i n ,2s i n 2

a r a r r θ

θ-

='-='

.2sin

2θθθ

θd r

d r

a r d r r ds =

'+=

所以

.)22(2s i n 4s i n 4||2

a d a

d r

r ds y L

-==?

θθθθ

内容要点

一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中，这质点受到力

y x Q i y x P y x F

),(),(),(+= (2.1)

的作用，其中),(y x P ，),(y x Q 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力),(y x F

所作的功.

二、第二类曲线积分的定义与性质：j

y x Q i y x P y x A

),(),(),(+=

??+=

?L L

Q P ds t A )cos cos (βα

平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是

?+L dy y x Q dx y x P ),(),(??+=

L L dy

y x Q dx y x P ),(),(

性质1 设L 是有向曲线弧, L -是与L 方向相反的有向曲线弧，则

??+-=+-L

L dy

y x Q dx y x P dy y x Q dx

y x P ),(),(),(),(；

即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.

性质2 如设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成，则

???++

L Qdy

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx

三、第二类曲线积分的计算：),(t x x = ),(t y y =

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(?'+'=

αdt t y t y t x Q t x t y t x P )}()](),([)()](),([{. (2.9)

如果曲线L 的方程为 ),(x y y =起点为a , 终点为b ，则

.)}()](,[)](,[{??'+=

a L dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx 如果曲线L 的方程为),(y x x = 起点为c , 终点为d ，则

.]}),([)(]),([{??+'=

c L

dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx

内容要点一、格林公式

定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有

???+=

???? ?

???-??L D Qdy

Pdx

dxdy y P x Q (3.1)

其中L 是D 的取正向的边界曲线.

若在格林公式(3.1)中，令,,

x Q y P =-= 得

???-=

L D

ydx xdy

dxdy 2，

上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 .2

1?-=

L ydx xdy

二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件

定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：

（1）曲线积分?+L

Qdy Pdx 在D 内与路径无关；

（2）表达式Qdy Pdx +为某二元函数),(y x u 的全微分；（3）

Q y

P ??=??在D 内恒成立；

（4）对D 内任一闭曲线L ，0=+?L

Qdy Pdx .

由定理的证明过程可见，若函数),(y x P ，),(y x Q 满足定理的条件，则二元函数

?+=

)

,(),(0

),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u (3.3)

满足 dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=，我们称),(y x u 为表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的原函数.

dy y x P dx y x P y x u y

x ++=

??0

),(),(),(0 或 C

dy y x P dx y x P y x u y

??0

),(),(),(0

例4 计算,2

dxdy e D

y ??- 其中D 是以)1,0(),1,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形闭区域.

解令,0=P ,2

y xe Q -=则 y

P x

Q ??-

??.2

应用格林公式,得

dxdy e

-2

++-=

AB OA y

dy xe

dx xe

1(2

--=

例5（E03）计算,2

+-L

x ydx xdy 其中L 为一条无重点

)

1(, 分段光滑且不经过原点的连续

闭曲线, L 的方向为逆时针方向.

解记L 所围成的闭区域为,D 令,2

y x y P +-=

x x Q +=

则当02

2≠+y x 时，有

Q ??2

22)

(y x x

y +-=

.y P ??=

(1) 当D ?)0,0(时，由格林公式知

;02

=+-?

x ydx xdy

(2) 当D ∈)0,0(时，作位于D 内圆周

,:2

r y x l =+记1D 由L 和l 所围成,应用格林公式，得

=+--

+-L

x ydx xdy y

x ydx xdy .02

故?

+-L

x ydx xdy 2

+-=

x ydx xdy 2

πθθ

θ20

sin cos d r

r r ?

πθ20

d .2π=

例6（E04）求椭圆θcos a x =，θsin b y =所围成图形的面积A . 解所求面积

A ?-=

ydx xdy 21?

πθθθ20

2)sin cos (21

d ab ab ?

πθ20

1d ab

.ab π=

例7 计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围成的面积. 解 O N A 为直线.0=y 曲线AMO 为 ,x ax y -=].,0[a x ∈

∴A ?-=

AMO

ydx xdy 21?

AMO

ONA

ydx

xdy ydx xdy 2

-=AMO

ydx xdy 2

--???

??-=

)(1221

a dx x ax dx ax a x

a dx x a

a =

例10（E06）计算,)

8,6()

0,1(2

++y

ydy xdx 积分沿不通过坐标原点的路径.

解显然,当)0,0(),(≠y x 时，

x ydy xdx ++,

2y x d +=

于是

++)8,6()

0,1(2

x y d y x d x ?

)

8,6()

0,1(2

x d

)

8,6()

0,1(22

x +=.9=

例 12 验证: 在整个xOy 面内, ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.

证2 利用原函数法求全微分函数).,(y x u 由

u =??

),(2

y y x dx xy u ?+=

其中)(y ?是y 的待定函数.由此得

).(2

y y x y

u ?'+=??

又u 必须满足

u 2

=??y x y y x 22)('=+? 0)('=y ? ,)(C y =?

所求函数为.2/22C y x u +=

例13（E07）设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有

,),(2),(2)

,1()

0,0()

1,()

0,0(?

+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx

求).,(y x Q

解由曲线积分与路径无关的条件知

,2x x

Q =??

于是),(),(2y C x y x Q +=其中)(y C 为待定函数.

dy y x Q xydx t ),(2)

1,()0,0(+??+=

102))((dy y C t ,)(10

=dy y C t

dy y x Q xydx t ),(2)

,1()

0,0(+?

dy y C 0

))(1(,

)(0

=t dy y C t

由题意可知?

02)(dy y C t .)(0

=t dy y C t

两边对t 求导,得

)(12t C t +=或.12)(-=t t C 所以.12),(2-+=y x y x Q

例14（E08）设曲线积分?+L

dy x y dx xy )(2?与路径无关, 其中?具有连续的导数, 且

,0)0(=?计算.)()

1,1()

0,0(2

+dy x y dx xy ?

解 ),(y x P ,2xy =),(y x Q ),(x y ?=

P ??)(2

xy y

??=,

2xy =x

Q ??)]([x y x

???=

).('x y ?=

因积分与路径无关散,

Q y

P ??=

由xy x y 2)('=?.)(2C x x +=?

由,0)0(=?知0=C .)(2x x =?

故?

+)1,1()

0,0(2

)(dy x y dx xy ??

00ydy dx .2

例15 选取b a ,使表达式

dy e y x be dx ae e y x y

])1([])1[(++-++++

为某一函数的全微分, 并求出这个函数.

解

P ??])1[(y

ae e y x y

+++??=,y

y ae e +=x

Q ??])1([y x e y x be x

++-??=

e be

若表达式全微分式,则

Q y

P ??=??即

e be ae e -=+

得,1-=a .1=b

),(y x u +

-+++=

x x dx e e x 0

])1()10[(?

+++-y y

x C

dy e y x e 0])1([

dy e y x e dx e x y y

x x

+++-+

-+=

])1([]1)1[(

C ye xe y e x xe y

+--+-=00][][ .))((C e e y x y

+-+=

例16（E09）求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解

,6x

Q xy y

P ??=

-=??原方程是全微分方程,

dy y dx xy x y x u 0

)3(),(,4

y x x

原方程的通解为

C y

y x x

例19求微分方程0)1(22

=---+dy y x

dx y x x 的通解.

解将题设方程改写为

,02222

=--

-+dy y x dx y x x

xdx 即,0)()(2

=--

dy y x x d y x x d

将方程左端重新组合,有

0)()(2

=--+

y x d y x x d

故题设方程的通解为 .)

/322C y x x =-+

内容要点

一、第一类曲面积分的概念与性质

定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积

),,2,1(),,(n i S f i

i i i =??ζηξ

并作和,),,(1

∑=??n

i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,

则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为

∑

=→∑

?=n

i i

i i i S f dS z y x f 1

),,(lim

),,(ζηξλ

其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法

.),(),(1)],(,,[),,(2

2??

++=

∑

D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f

例4计算

,dS xyz ??

∑

其中∑为抛物面).10(2

2≤≤+=z y x z

解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有

dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy

D ??????

'+++=∑=∑

222)2()2(1)(44

??+=+?=20

412sin 241sin cos 4π

dr r r

tdt

rdr r r

t t r dt

.42015125414

??-=

du u u 例 5 计算

,??∑

xdS 其中∑

是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间

立体的表面.

解

，＝??

??∑+

∑+

∑∑

∑

，在xOy 面上得投影域.1:2

2≤+y x D xy

于是

????∑==

,0xy

D xdxdy

xdS

??∑=+=

,011xy

D dxdy x

xdS

将)1:,(31322

3∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域

.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xy

dxdz y y x xdS xdS xdS zx

D z x ??????

++=∑+

∑=

∑2

21232

,121122

2π=-=-+

??+-x D dz x

x dxdz x

x xz

所以

.00ππ=++=∑

??xdS

例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).

解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为

y x R z --=

它在xOy 面上的投影区域

.sin :2

αR y x D xy ≤+

于是通讯卫星的覆盖面积为

).cos 1(22

απ-=R A 将h

R R +=αcos 代入上式得 .2122

R h R h R R

R A +?=?

?? ?

=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为

%.5.4242

≈R

A π

由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔2π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.

内容要点

二、第二类曲面积分的概念与性质

定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量

,cos cos cos k j i n

γβα++= 又设

k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A

),,(),,(),,(),,(++=

其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数

γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=?

则∑上的第一类曲面积分

??∑

?dS

n v

.)cos cos cos (??∑

++=

dS R Q P γβα

(5.5)

称为函数),,(z y x A

在有向曲面∑上的第二类曲面积分.

三、第二类曲面积分的计算法

设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.

????±=∑

D dxdy

y x z y x R dxdy

z y x R )],(,,[),,(. (5.9)

上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.

内容要点

一、高斯公式

定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式

?????

∑

++=???

? ????+??+??Rdxdy

Qdzdx Pdydz

dv z R y Q x P (6.1)

这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.

若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.

此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为

.)cos cos cos (?????

∑

++=???

? ????+??+??dS R Q P dv z R y Q x P γβα

二、通量与散度

一般地，设有向量场

k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A

),,(),,(),,(),,(++=,

其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，

n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分

????

∑

++=

ΦRdxdy

Qdzdx Pdydz

S d n A S d A

称为向量场A

通过曲面∑流向指定侧的通量. 而

R y

Q x

P ??+??+??

称为向量场A

的散度，记为A div

，即

R y Q x P A div ??+

??+??= . (6.5)

例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则

???

∑

???

? ??????+????+????-

??=

?dV z v z u y v y u x v x u dS n

u v

udV v

其中

u ??为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导

数，符号2

?称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.

证因为

=??n

u γβαcos cos cos z

u y u x u ??+

??+

??n

??=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n

是∑在点),,(z y x 处

的外法线的方向余弦，于是

∑

??=

??dS

n u v dS n u v dS n

u v

)[()(

dS z u v y u v x u v ??

∑

?????????

????+???? ????+??? ????=

γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ???

???? ??????+???? ??????+??? ??????=

.dv z v z u y v y u x v x u udv v ???

???

????????+????+????+

将上式右端移至左端即得所要证明的等式.

例5（E05）求向量场k z j y i x r

++=的流量

(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.

解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量

Q ??

S d r

???

dv r div

???=V

h π=

(1)

穿过底面向上的流量

1Q ??

S d r

??=≤+=

z z

y x zdxdy

??≤+=

y x hdxdy

h π=

(2)

穿过侧表面向外的流量

2Q 1Q Q -=.0=

内容要点

一、斯托克斯公式

定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，

Γ的正向与∑的侧符合右手规则，

函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式

dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ?

???-????∑.?

++=L

Rdz Qdy Pdx (7.1)

公式(7.1)称为斯托克斯公式.

为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：

???

Γ∑

++=

??????Rdz

Qdy Pdx

z y x dxdy dzdx dydz

利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成

.c o s c o s c o s ???

Γ∑

++=

??????Rdz Qdy Pdx

dS R

z y x γβα

二、空间曲线积分与路径无关的条件

三、环流量与旋度设向量场

,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A

++=

则沿场A

中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分

?++=

ΓC Rdz

Qdy Pdx

称为向量场A

沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数

???-????-????-

??y P x Q x R z P z Q y

R ,,

称为向量场A 的旋度，记为A rot

，即

.k y P x Q

j x R z P i z Q y R A rot ???

? ????-??+??? ????-??+???

? ????-??= 旋度也可以写成如下便于记忆的形式：

z y x k j i A rot ??????=

四、向量微分算子：,k z

j y i x ??+??+??=

? 例 2 计算曲线积分

,)()()(2

22222dz y x dy x z dx z y -+-+-?

其中Γ是平面

/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看

法，取逆时针方向.

解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}

3,1,1{=n

即

,31

cos cos cos ===λβα

原式dS y

x x

y z y z

∑

---??????=

13131

??∑++

=dS z y x )(34

933223

34-

=-=∑

=??

??xy

D dxdy dS

例3（E02）计算,)()()(222222?Γ

+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是

).0,0(2,22

><<=+=++z R r rx y x Rx z y x

此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.

解由斯托克斯公式，有

原式??∑

-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβα

dS R z y x R y x z R x z y ??∑????

?-+-+??? ??--=

)()(1)( ??∑

-=dS y z )(2(利用对称性)????∑

∑

R zdS

γcos

..2

R r d R

Rdxdy rx

y x πσ==∑

????

≤+

例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u ?

???????=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=

div(gradu)

????-?+??+??=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).

(4y x -=

rot(gradu)

.,,2

22222?

????????-??????-??????-???=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故

rot(gradu)

.0=

注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A

=grad u 为势量场或保守场，而u 称

为场A

的势函数.

例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x

ωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v

的旋度.

解取定轴l 为z 轴，点M 的内径r

OM =,k z j y i x

++= 则点M 的线速度

v r

?=ωz

z y x

ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y

ωωωωωω-+-+-= 于是v

rot x

y z

x y

z z

y x k j i y x x z z y ωωωωωω---??????=

)(2k j i z y x ωωω++=.2ω

即速度场v

的旋等于角速度ω

的 2 倍.

内容要点

点函数积分的概念点函数积分的性质

点函数积分的分类及其关系

一、点函数积分的概念

定义1 设Ω为有界闭区域, 函数))((Ω∈=P P f u 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域,,,,21n ?Ω?Ω?Ω 其中i ?Ω表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在i ?Ω上任取一点i P , 作乘积

),,2,1()(n i P f i

i =?Ω

并作和

∑

=?Ωn

i i i P f 1

)(

如果当各子闭区域i ?Ω的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数)(P f 在Ω上的积分, 记为?Ω

Ωd P f )(, 即

.)(lim

)(1

∑

=→Ω

?Ω=Ωn

i i i P f d P f λ

其中Ω称为积分区域, )(P f 称为被积函数, P 称为积分变量, Ωd P f )(称为被积表达式, Ωd 称为Ω的度量微元.

点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为),)((Ω∈=P P f ρ则该物体的质量

)0)((,)(≥Ω=

P f d P f M

特别地, 当1)(≡P f 时, 有

).(lim

度量Ω=?Ω

=Ω

∑?=→Ω

i i

d λ

如果点函数)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则)(P f 在Ω上可积.

二、点函数积分的性质

设)(),(P g P f 在有界闭区域Ω上都可积, 则有性质1 .)()()]()([??

?Ω

Ω±

Ω=

Ω±d P g d P f d P g P f

性质2 )()()(为常数k d P f k d P kf ?

?Ω

Ω=Ω

性质3

,)()()(2

ΩΩΩ

Ω+

Ω=

Ωd P f d P f d P f

其中,21Ω=ΩΩ 且1Ω与2Ω无公共内点. 性质4 若,,0)(Ω∈≥P P f 则.0)(≥Ω?Ω

d P f

性质5 若,),()(Ω∈≤P P g P f 则.)()(??Ω

Ω≤

Ωd P g d P f

特别地, 有

.|)(|

)(??

Ω≤

Ωd P f d P f

性质6 若)(P f 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则

.)(Ω≤Ω≤

Ω?

M d P f m

性质7 (中值定理)若)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点,*

Ω∈P 使得

.)()(*

Ω=Ω?

P f d P f

其中Ω

Ω=

d P f P f )()(*

称为函数)(P f 在Ω上的平均值.

三、点函数积分的分类及其关系

1.若,],[R b a ?=Ω这时],,[),()(b a x x f P f ∈=则

.)()(?

ΩΩ

dx x f d P f (1)

这是一元函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分. 当1)(=x f 时,

a b dx b

-=?

是区间长.

2.右,2R L ?=Ω且L 是一平面曲线, 这时,),(),,()(L y x y x f P f ∈=于是

ΩΩ

ds y x f d P f ),()( (2)

当1)(≡P f 时,

s ds

=?是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.

3.若,3R ?Γ=Ω且Γ是空间曲线, 这时,),,(),,,()(Γ∈=z y x z y x f P f 则

.),,()(?

Ωds z y x f d P f (3)

当1)(≡P f 时,

s ds

=?Γ

是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.

2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明??Γ

ds z y x f ds y x f L

),,(,),(可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.

4.若,2

R D ?=Ω且D 是平面区域, 这时,),(),,()(D y x y x f P f ∈= 则

ΩΩ

d y x f d P f σ),()( (4)

(4)式称为二重积分. 当1),(=y x f 时,

σσ

=??D

d 是平面区域D 的面积.

5.若,3

R ?∑=Ω且∑是空间曲面, 这时,),,(),,,()(∑∈=z y x z y x f P f 则

∑

ΩdS z y x f d P f ),,()( (5)

(5)式称为第一类曲面积分. 当1)(≡P f 时,

S dS

=??∑

是空间曲面∑的面积.

由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.

6.若3

R ?Ω为空间立体, 这时,),,(),,,()(Ω∈=z y x z y x f P f 则

.),,()(???

Ωdv z y x f d P f (5)

(6)式称为三重积分. 当1)(≡P f , 则V dv =???Ω

是空间立体Ω的体积.

更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头

{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

曲线运动经典例题

《曲线运动》经典例题 1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（AC） A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动 C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。 2、质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则质点（A） A．一定做匀变速运动B．一定做直线运动 C．一定做非匀变速运动D．一定做曲线运动【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动（条件是F1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上）。 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（C） A. 合运动的速度一定比分运动的速度大 B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等【解析】根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。 4、质量m=0.2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图所示，求： (1)物体所受的合力。 (2)物体的初速度。 (3)判断物体运动的性质。 (4)4s末物体的速度和位移。【解析】根据分速度v x和v y随时间变化的图线可知，物体在x 轴上的分运动是匀加速直线运动，在y轴上的分运动是匀速直线运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。 (1) 由图象可知，物体在x轴上分运动的加速度大小a x=1m/s2，在y轴上分运动的加速度为0，故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x轴的正方向。则物体所受的合力 F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x轴的正方向。 (2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为 v x0=0，v y0=4m/s，故物体的初速度

第一型曲面积分.

例5? 设有空间闭区域仏={（x 』,z ）|L 十b + z* 炉,z"}, 。2 ={（*』，Z ）|x2 + y' + z* 炉,xno 』no,zno},则有（「） (A) Jff = 4fJf xdv a \ 口 2 (C) JjJ 皿=4jJJz 加 2 n 2 解：由对称性， JJj xdv = 0, JJJ xdv JJf ydv = 0, JJf ydv 工? n. ?2 Jjj xyzdv = 0, JJJ xyzdv □ 门2 3.含绝对值函数的二重积分的计算例1计算血-兀2|db ?其中6-1 W0"" 解先去掉绝对值符号，如图川y_p|db D =jj (x 2-j)da + JJ(y-x 2 )da Di 4-D J D 、訂:时:（宀刃与+匸时:0-兀湎=*? (B) |JJ ydv = 4jjj ydv

4、交换积分次序的方法 1.计算fdxfxb - dy 解由于卜一心堤无法积出类型，则需交换积分次序， y \ /歹=x V D： O^x

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

高中物理曲线运动经典题型总结-(1)word版本

专题曲线运动一、运动的合成和分解【题型总结】 1．合力与轨迹的关系如图所示为一个做匀变速曲线运动质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，且质点的运动方向是从A 到E ，则下列说法中正确的是( ) A ．D 点的速率比C 点的速率大 B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90° C ．A 点的加速度比D 点的加速度大 D ．从A 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小 2．运动的合成和分解例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4m ／s 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7m ／s 时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（） A. 7m/s B. 6m ／s C. 5m ／s D. 4 m ／s 3．绳（杆）拉物类问题例：如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？练习1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（） A 、 B A v v = B 、B A v v ? C 、B A v v ? D 、重物B 的速度逐渐增大 4．渡河问题例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2,战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) 例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（） (A) (B) (C) (D) 【巩固练习】 1、一个劈形物体M ，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个光滑小球m ，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（） m

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

曲线运动典型例题

一、选择题 1、一石英钟的分针和时针的长度之比为 3：2，均可看作是匀速转动，则（）A．分针和时针转一圈的时间之比为 1：60 B．分针和时针的针尖转动的线速度之比为 40：1 C．分针和时针转动的角速度之比为 12：1 D．分针和时针转动的周期之比为 1：6 2、有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的内侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示中虚线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h．下列说法中正确的是（） A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大 D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 3、A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球的轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为 r/min，则两球的向心加速度之比为：（）

A．1：1 B．6：1 C．4：1 D．2：1 4、两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上的同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则a、b两小球具有相同的 A．角速度 B．线速度 C．向心力 D．向心加速度 5、关于平抛运动和匀速圆周运动，下列说法中正确的是（） A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动速度随时间的变化是不均匀的 C．匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动 D．做匀速圆周运动的物体所受外力的合力做功不为零 6、在水平面上转弯的摩托车，如图所示，提供向心力是 A．重力和支持力的合力 B．静摩擦力C．滑动摩擦力 D．重力、支持力、牵引力的合力

7、如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（） A．物块始终受到三个力作用B．只有在a、b、c、d 四点，物块受到合外力才指向圆心 C．从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大D．从b到a，物块处于失重状态 8、如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若车行进时轮与路面没有滑动，则） A． A点和B点的线速度大小之比为1：2 B．前轮和后轮的角速度之比为2：1 C．两轮转动的周期相等 D． A点和B点的向心加速度相等 9、用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是( )

曲线积分的计算法

曲线积分第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化定积分 (1) 选择积分变量用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程 (2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终对弧长曲线积分的计算定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=??

).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分 1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入图13-1

物理必修2第五章曲线运动经典分类例题

第五章曲线运动经典分类例题 §5.1 曲线运动基础一、知识讲解二、【典型例题】知识点1、力和运动的关系 1、曲线运动的定义： 2、合外力决定运动的速度：】 3、合外力和速度是否共线决定运动的轨迹： 4、物体做曲线运动的条件：习题 1、关于曲线运动的速度，下列说法正确的是：（） A、速度的大小与方向都在时刻变化 ) B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向 2、下列叙述正确的是：（） A、物体在恒力作用下不可能作曲线运动 B、物体在变力作用下不可能作直线运动 C、物体在变力或恒力作用下都有可能作曲线运动 D、物体在变力或恒力作用下都可能作直线运动 ^ 3、下列关于力和运动关系的说法中，正确的上：（） A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用 B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上 C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用 D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变 4、下列曲线运动的说法中正确的是：（） A、速率不变的曲线运动是没有加速度的 B、曲线运动一定是变速运动 C、变速运动一定是曲线运动 D、曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动; 5、物体受到的合外力方向与运动方向关系，正确说法是：（） A、相同时物体做加速直线运动 B、成锐角时物体做加速曲线运动 C、成钝角时物体做加速曲线运动 D、如果一垂直，物体则做速率不变的曲线运动6．某质点作曲线运动时:（） A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B．在任意时间内位移的大小总是大于路程

高中物理曲线运动经典习题30道-带答案

一．选择题（共25小题） 1．（2015春?苏州校级月考）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下面说法正确的是（） A．物体做匀速运动，且v2=v1B．物体做加速运动，且v2＞v1 C．物体做加速运动，且v2＜v1D．物体做减速运动，且v2＜v1 2．（2015春?潍坊校级月考）如图所示，沿竖直杆以速度v为速下滑的物体A，通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（） A．物体B向右做匀速运动B．物体B向右做加速运动 C．物体B向右做减速运动D．物体B向右做匀加速运动 3．（2014?蓟县校级二模）如图所示，绕过定滑轮的细绳一端拴在小车上，另一端吊一物体A，A的重力为G，若小车沿水平地面向右匀速运动，则（） A．物体A做加速运动，细绳拉力小于G B．物体A做加速运动，细绳拉力大于G C．物体A做减速运动，细绳拉力大于G D．物体A做减速运动，细绳拉力小于G 4．（2014秋?鸡西期末）如图所示，用绳跨过定滑轮牵引小船，设水的阻力不变，则在小船匀速靠岸的过程中（） A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不变 C．船所受浮力增大D．船所受浮力变小 5．（2014春?邵阳县校级期末）人用绳子通过动滑轮拉A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，求A物体实际运动的速度是（） A．v0sinθB．C．v0cosθD． 6．（2013秋?海曙区校级期末）如图中，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度V1≠0，若这时B的速度为V2，则（）

曲线积分与曲面积分(答案word

第十章曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e

高中物理曲线运动经典习题道带答案

一．选择题（共25小题）1．（2015春?苏州校级月考）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下面说法正确的是（） A．物体做匀速运动，且v2=v1B．物体做加速运动，且v2＞v1 C．物体做加速运动，且v2＜v1D．物体做减速运动，且v2＜v1 2．（2015春?潍坊校级月考）如图所示，沿竖直杆以速度v为速下滑的物体A，通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（） A．物体B向右做匀速运动B．物体B向右做加速运动 C．物体B向右做减速运动D．物体B向右做匀加速运动3．（2014?蓟县校级二模）如图所示，绕过定滑轮的细绳一端拴在小车上，另一端吊一物体A，A的重力为G，若小车沿水平地面向右匀速运动，则（） A．物体A做加速运动，细绳拉力小于G B．物体A做加速运动，细绳拉力大于G C．物体A做减速运动，细绳拉力大于G D．物体A做减速运动，细绳拉力小于G 4．（2014秋?鸡西期末）如图所示，用绳跨过定滑轮牵引小船，设水的阻力不变，则在小船匀速靠岸的过程中（） A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不变 C．船所受浮力增大D．船所受浮力变小 5．（2014春?邵阳县校级期末）人用绳子通过动滑轮拉A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，求A物体实际运动的速度是（）

A．v0sinθB．C．v0cosθD． 6．（2013秋?海曙区校级期末）如图中，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度V1≠0，若这时B的速度为V2，则（） A．V2=V1B．V2＞V1C．V2≠0D．V2=0 7．（2015?普兰店市模拟）做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于（） A．物体的高度和受到的重力 B．物体受到的重力和初速度 C．物体的高度和初速度 D．物体受到的重力、高度和初速度 8．（2015?云南校级学业考试）关于平抛物体的运动，下列说法中正确的是（）A．物体只受重力的作用，是a=g的匀变速运动 B．初速度越大，物体在空中运动的时间越长 C．物体落地时的水平位移与初速度无关 D．物体落地时的水平位移与抛出点的高度无关 9．（2014?陕西校级模拟）一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（） A．B．C．t anθD．2tanθ10．（2011?广东）如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是（）

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对

(完整版)曲线运动复习提纲及经典习题

《曲线运动》复习提纲一、曲线运动 1.曲线运动速度方向:时刻变化; 曲线该点的切线方向。 2.做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上(即F(a)与v 不共线) 3.曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度a ≠0。 ①做曲线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧（凹侧）。 ②轨迹在力和速度方向之间 4.曲线运动研究方法：运动合成和分解。（实际上是F 、a 、v 的合成分解）遵循平行四边形定则（或三角形法则）二、运动的合成与分解物体实际运动叫合运动物体同时参与的运动叫分运动 (1)合运动与分运动的关系： ①独立性。 ②等时性。 ③等效性。 (2)几个结论：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。 ③两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。 (3)典型模型：①船过河模型 1)处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动：随水流的运动（水速），在静水中的船的运动（就是船头指向的方向）。船的实际运动是合运动。 2)若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间： θsin 1v d v d t ==合 3)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，此时过河时间1 v d t =(d 为河宽)。因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。 ②绳（杆）端问题船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v ； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为αcos v , 当船向左移动， α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。三、平抛运动 1．运动性质 a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动． b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动．说明：在水平和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．合运动是匀变速曲线运动．相等的时间内速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化必沿竖直方向 2．平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正方向，如右图所示，则有：分速度 gt v v v y x ==,0

高中物理必修二曲线运动经典例题

《曲线运动》 1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（） A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动 C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动 2、质点在三个恒力F 1、F 2、F 3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F 1，而保持F 2、F 3不变，则质点（） A ．一定做匀变速运动 B ．一定做直线运动 C ．一定做非匀变速运动 D ．一定做曲线运动 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（） A. 合运动的速度一定比分运动的速度大 B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等 4、质量m=0.2kg 的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线如图所示，求： (1) 物体所受的合力。 (2) 物体的初速度。 (3) 判断物体运动的性质。 (4) 4s 末物体的速度和位移。 5、已知某船在静水中的速率为v 1＝4m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100m ，河水的流动速度为v 2＝3m/s ，方向与河岸平行。试分析： ⑴ 欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？ ⑵ 欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？ 7、在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L ＝1.25cm ，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度为v 0＝（用L 、g 表示），其值是。（g 取9.8m/s 2） 9、如图，高h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a ，车厢顶部A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O 点位于A 点的正下方，则油滴的落地点必在O 点的（填“左”或“右”）方，离O 点的距离为。 11、如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空 a b c d

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形式 1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在，或者

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第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题

曲线积分和曲面积分

曲线运动经典例题

第一型曲面积分.

曲线积分和曲面积分

高中物理曲线运动经典题型总结-(1)word版本

第二类曲线积分的计算

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

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