大学2013—2014学年度第二学期期末考试《离散数学》试卷
A
第一部分 选择题（共20 分）
一、单项选择题（本大题共10小题，每题只有一个正确答案，答对一题得2分共20分） 1、对任意集合A 、B 、和C ，下列论断中正确的是： 【 】
A. 若A ∈B ，B ?C ，则A ∈C
B. 若A ∈B ，B ?C ，则A ?C
C. 若A ?B ，B ∈C ，则A ∈C
D. 若A ?B ，B ∈C ，则A ?C
2、设A={a,{a}},下列式子中正确的有： 【 】
A. {a}∈ρ(A)
B. a ∈ρ(A)
C. {a}?ρ(A)
D. 以上都不是
3、P ：我将去镇上。Q ：我有时间。命题“我将去镇上，当且仅当我有时间”符号化为：
【 】A. P →Q B. Q →P C. P ?Q D. Q ∨?P
4、命题公式：（P ∧（P →Q ））→Q 是 【 】
A ．矛盾式 B. 可满足式 C. 重言式 D. 不能确定
5、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中，量词x ?的辖域是： 【 】
A. ))()((y yR x P x ?∨?
B. )(x P
C. )(),(x Q x P
D. )()(y yR x P ?∨
6、在如下各图中，哪一个是欧拉图？ 【 】
7、设|V|>1，G= < V , E >是强连通图，当且仅当： 【 】
A ．G 中至少有一条通路
B ．G 中至少有一条回路
C ．G 中有通过每个结点至少一次的通路
D ．G 中有通过每个结点至少一次的回路
8、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 ρ(S) 有多少个元素？ 【 】
A ．3；
B ．6；
C ．7；
D ．8 ；
9、集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}上的关系R={
A ．自反的；
B ．对称的；
C ．传递的、对称的；
D ．反自反的、传递的
10、集合A 上的等价关系R ，其等价类集合{[ a]R | a ∈ A}称为： 【 】
A ．A 与R 的并集，记作A ∪R
B ．A 与R 的交集，记作A ∩R
C ．A 与R 的商集，记作A /R
D ．A 与R 的差集，记作A - R
二、填空题(本大题共10小题，每题2分,共20分)
11、已知集合A={φ,{φ}}，则A 的幂集为 。 12、已知序偶< x-2,18>=< 9,2x-y >，则x= ; y= 。
13、P 、Q 为两个命题，当且仅当 时，P →Q 的真值为0 14、（?P ∧Q ）∨（?P ∧?Q ）可化简为： 。
15、设}整除，2被,121{Z x x x x M ∈≤≤=，}整除，3被,121{Z x x x x N ∈≤≤=
则 M ∩N= ，M – N=
16、个体域为自然数集，P （x ）：x 为奇数，Q （x ）：x 为偶数，则命题“不存在既是奇数又是偶数的
自然数”形式化为： 。
17 、设R 为非空集合A 上的等价关系，其等价类记为〔x 〕R 。 x,y ∈A ，若〈x,y 〉∈R ，则〔x 〕R
与〔y 〕R 的关系是__ ___，而若〈x,y 〉? R ，则〔x 〕R ∩〔y 〕R =______。
18．K n 为汉米顿图，当且仅当 。
19．设A 、B 为集合，|A|=n ，|B|=m ，则A 到B 的二元关系共有 个，A 上的二元关系共有
个。
20．一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，它有
个度数为1的结点？
三、计算题 （本大题共6小题，其中21、22、23三题每题5分，24、25、26三题每题7分，共36分）21、某班有学生50人，有26人在第一次考试中得优，有21人在第二次考试中得
优，有14人在两次考试都得优，那么两次考试中都没得优的学生有多少人？
22、是否可以分别画出无向简单图，使各点的度与下面给出的序列一致。如可能，画出符合条件的无
向图，如不可能，说明原因。
（1）1，1，2，2，3 （2）1，1，2，2，2
23、给定个体域D={3，5，7}，P （x ）解释为“x 是素数”，求公式)(x xP ?的真值。
24、设集合A={1,2,3}，A上关系R={
25. 求公式q∧（p∨?q）的析取式、合取式、主析取式，并根据主析取式直接确定公式的弄真指派和弄假指派。
26、对{2，3，6，12}集合上的整除关系画出哈斯图，并对子集{2，3，6}找出最大元素，最小元素，
极大元素，极小元素。
四、证明题(3小题，每题5分，共15分。)27、证明：A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)
28、证明逻辑等价式?x?y(P(x)∨Q(y))??x P(x)∨?y Q(y)。（方法不限）
五、应用题（本大题共1小题，9分）
30、有七位客人入席，A只会讲英语；B会讲汉语；C会讲英语、意大利语及俄语；D会讲汉语及日语；
E会讲意大利语及德语；F会讲法语，日语及俄语；G会讲德语和法语。问主人能否把七位客人安排在一圆桌上，使每一位客人与左右邻不用翻译便可交谈。若能安排，请给出一个方案。
大学2013至2014学年第第二学期期末考试{离散数学} 试题A标
22、(1)不符合握手定理，所以不能画出图
（2）符合条件的无向图为：
23、主析取式：(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)
或者主析取式=m1∧m3∧m6∧m7
成真赋值为：001，011，110，111 成假赋值为：000，010，100，101
24、dom（R）=A，Ran(R)={1,2},RοS={<1，3>}，R-1={<1,1>，<2,1>，<1,2>，<1,3>}
r(R)={<1,1>，<1,2>，<2,1>，<3,1>，<2,2>，<3,3>}
s（R）={<1,1>，<1,2>，<2,1>，<3,1>，<1,3>}
25、不会打这三种球的人数为：X=10
A、B、C为会打篮球、排球、网球的人的集合，则有：|S|=30
|A|=16,|B|=14,|C|=11,|A∩B|=10,|A∩C|=8,|B∩C|=8,|A∩B∩C|=5 X=|S|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)-|A∩B∩C|=10
26、
R={<1,1>,<1,3>,<1,5>,<1,9>,<1,15>,<1,45>,<3,3>,<3,9>
,<3,15>,<3,45>,<9,9>,<9,45>,<15,15>,<15,45>,<45,45>}
根据R中元素，可知R是偏序关系，其哈斯图为：
最大元：45，最小元：1，极大元：45，极小元：1
四、证明题(2小题，每题5分，共10分。)
27、
28、证明：?x(A(x)→B(x))
??x(?A(x)∨B(x))
??x?A(x)∨?xB(x)
???xA(x)∨?xB(x)
??xA(x)→?xB(x)
五、综合应用题（本题共2小题，每题7分，共14分）
29、[解] 能安排，其方案为：
H=（A，C，B，E，D，G，F，A）
将每个人作为一个项点，如果两个人会讲同一
种语言，就在代表他们的二个项点间连一条
边，边上标明二人公用的语言，这样就可得一
简单无向图G。所求问题转化为图G中有无
Hamilton回路问题。
而上边指出的回路H正好是图G的一条
Hamilton回路，因此问题得到解决。
30、令p：他是计算机系本科生
q：他是计算机系研究生
r：他学过DELPHI语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t
结论：p→t
证①p P(附加前提)
②p∨q T①附加规则
③(p∨q)→(r∧s) (前提引入)
④r∧s T②③假言推理规则
⑤r T④花间规则
⑥r∨s T⑤附加规则
⑦(r∨s)→t (前提引入)
⑧t T⑤⑥假言推理规则
大学2013—2014学年度第二学期期末考试《离散数学》试卷A
一、单项选择题（本大题共10小题，每题只有一个正确答案，答对一题得2分共20分） 1、设P={x| (x+1)2≤4}, Q={x | x 2+16≥5x} ，则下列各式中成立的是： 【 】
A. Q ?P
B. Q ?P
C. P ?Q
D. P ?Q
2、}}2,1{,1,
{Φ=S ,下列式子中正确的有： 【 】 A. {1}∈ρ(S) B. 1∈ρ(S) C. {1}?ρ(S) D. 以上都不是
3、P ：你努力，Q ：你失败。“虽然你努力了，但还是失败了”符号化为： 【 】
A. P →Q
B. Q →P
C. P ∧Q
D. P ∨?Q
4、设论域E={a, b }，且P(a,a)=T ， P(a,b)=F ， P(b,a)=T ， P(b,b)=F ； 则在下列公式中真值为T
的是： 【 】 A ．?x ?yP (x,y) B ．?x ?yP (x,y) C ．?xP(x,x) D ．?x ?yP (x,y)
5、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中，变元x 是： 【 】
A ．自由出现
B ．约束出现
C ．既是约束出现，又是自由出现
D ．以上都不是
6、.一个连通的无向图G ，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条： 【 】
A ．汉密尔顿回路
B ．欧拉回路
C ．汉密尔顿通路
D ．初级回路
7、设|V|>1，G= < V , E >是强连通图，当且仅当： 【 】
A ．G 中至少有一条通路
B ．G 中至少有一条回路
C ．G 中有通过每个结点至少一次的通路
D ．G 中有通过每个结点至少一次的回路
8、由5个结点构成的根树中，其边数m 最多为： 【 】
A ．2；
B ．3；
C ．5；
D ．4 ；
9、设A={1，2，3}，A 上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S 具有的性质是：【 】
A ．自反关系
B ．传递关系
C ．对称关系
D ．反自反关系
10、集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是： 【 】
A ．A 与R 的并集A ∪R
B ．A 与R 的交集，记作A ∩R
C ．A 与R 的商集，记作A /R
D ．A 与R 的差集，记作A - R
二、填空题(本大题共10小题，每题2分,共20分)
11、已知集合A={{1}，{1，2}}，则A 的幂集为 。 12、设P 是所有人的集合，在P 上定义关系R 、S 为R={|a ，b ∈P ∧a 是b 的父亲}，S={ b>|a ，b ∈P ∧a 是b 的母亲}，那么关系{|a ，b ∈x ∧ a 是b 的祖母}的表达式为 .。 13、P 、Q 为两个命题，当且仅当 时，P ?Q 的真值为1 14、n 个命题变元的_______称为极小项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须 ___________。 15、设}整除，3被,181{Z x x x x M ∈≤≤=，}整除，4被,181{Z x x x x N ∈≤≤= 则M= ，N= ， M ∩N= ，M – N= 。 16、个体域为自然数集，P （x ）：x 为奇数，Q （x ）：x 为素数，则命题“存在既是奇数又是素数的自 然数”形式化为： 。 17 、设R 为非空集合A 上的等价关系，其等价类记为〔x 〕R 。 x,y ∈A ，若〈x,y 〉∈R ，则〔x 〕R 与〔y 〕R 的关系是__ ___，而若〈x,y 〉? R ，则〔x 〕R ∩〔y 〕R =______。 18．Kn 是 个结点的完全图，则K5有_______条边，每个结点的度数为__________。 19．设S={1，2}，则S 上可以定义 个不同的二元关系，其中有 个是等价关系。 20．在一棵树中有7片树叶，3个3度顶点，其余都是4度顶点，则该树有 个4度顶点。 三、简答题（本大题共6小题，每题6分，共36分） 四、21、构造命题公式(p→ (q ∧ r))→┐p 的真值表。 22、是否可以分别画出无向简单图，使各点的度与下面给出的序列一致。如可能，画出符合条件的无 向图，如不可能，说明原因。 （1）1，1，2，2，3 （2）1，2，2，2，1 23、求公式（P ∧Q ）∨（? P ∧R ）的主析取式，并根据主析取式直接确定公式的成真赋值和成假赋值。 24、设集合A={1,2,3}，A 上关系R={ Dom（R），Ran（R），R。S，R-1，r（R）及s（R） 25. 某班有学生30人，其中16人会打篮球，14人会打排球，10人会打篮球和排球，8人会打篮球和网球，还有5人会打这三种球，而11个会打网球的人都会打两外一种球（指篮球或排球），求不会打这三种球的人数。 26、设A＝｛1，3，5，9，15，45｝，R为A上整除关系，试画 最小元，极大元，极小元。 四、证明题(2小题，每题5分，共10分。) 27、设A,B,C是任意四个集合，证明: A×（B∪ C）=(A×B)∪(A×C) 28、证明：?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 五、综合应用题（本题共2小题，每题7分，共14分） 29、今有a，b，c，d，e，f，g共7人，已知下列事实：a会讲汉语和英语；b会讲英语和语；c会讲 英语和意大利语；d会讲法语、俄语和意大利语；e会讲俄语和语；f会讲汉语；g会讲法语和汉语。试问这7个人应如何排座位（圆桌），才能使每个人和他身边的人交谈?。 30、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，构造该推理的证明。 大学2013至2014学年第一学期期末考试 {离散数学} 试题A标准答案及评分标准 离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（PQ）(PRS) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。 （5分） (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR）(PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） 《离散数学》试题及答案 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（ ）。 (A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ?→?； (D)．P Q ?∨． 3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1A (B) {1,2, 3}A (C) {{4,5}}A (D) A 4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B C )= ( ) (A) {<1,c >,<2,c >} (B) { 离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，， 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 试卷二十三试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、?； C 、∈； D 、?。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=*； B 、),max(b a b a =*； C 、b a b a 5+=*； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则 离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是 （１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分） 离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 8．图的补图为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ?； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A B C ?；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。 A．{4，3}Φ 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） Rο是自反的； A．若R，S 是自反的，则S Rο是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S Rο是对称的； C．若R，S 是对称的，则S Rο是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s t s p A R= ∧ =则P（A）/ R=（） < > ∈ s (| || |} {t ) , ( | , A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 一、判断正误20% （每小题2分） 1、设A.B. C是任意三个集合。 （1）若A∈B且B?C，则A?C。（） （2）若A?B且B∈C，则A?C。（） （3）若A?B且B∈C，则A?C。（） （4）A) ( ) ( ) (C A B A C B ⊕ = ⊕。（） （5）(A–B)?C=(A?C)-(B?C)。（） 2、可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。（） ３、若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。（） ４、一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ 3， 3 或Ｋ 5 在２度结点内同构的子图。（） ５、代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。（） ６、群是每个元素都有逆元的半群。（） 二、8% 将谓词公式)) , ( ) ( ) ( ) (( )) , ( ) ( )( (z y Q z y P y y x Q x P x? ∧ ? → → ?化为前束析取范式与前束合取范式。 三、8% 设集合Ａ＝{a,b,c,d}上的关系Ｒ＝{ 五、10% 证明：若图Ｇ是不连通的，则Ｇ的补图G 是连通的。 六、10% 证明：循环群的任何子群必定也是循环群。 七、12% 用ＣＰ规则证明： １．F A F E D D C B A →?→∨∧→∨,。 ２．?∨??∨?(()()())()()((x P x x Q x P x )()x Q x 。 八、10% 用推理规则证明下式： 前提: ))()()(()),()()(())()()(((y W y M y y W y M y x S x F x ?∧?→?→∧? 结论：?→?)()((x F x S ))(x 九、13% 若集合Ｘ＝｛（１，２），（３，４），（５，６），……｝ }|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<= 1、证明R 是X 上的等价关系。 2、求出X 关于R 的商集。 一、 填空 20%（每小题2分） 离散数学 2^m*n 一、选择题（2*10） 1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。 （A）P→?Q （B）P∨?Q （C）P∧Q （D）P∧?Q 2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。 （A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q） （C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q 3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定 是（）。 （A）所有人都不是大学生，有些人不会死 （B）所有人不都是大学生，所有人都不会死 （C）存在一些人不是大学生，有些人不会死 （D）所有人都不是大学生，所有人都不会死 4、永真式的否定是（）。 （A）永真式（B）永假式（C）可满足式（D）以上均有可能 5、以下选项中正确的是（）。 （A）0= ? （B）0 ? （C）0∈? （D）0?? 6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（） ）。 （A）2 （B）4 （C）3 （D）5 10．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）。 （A）有些边不是割边（B）每条边都是割边 （C）无割边集（D）每条边都不是割边 二、填空题（2*10） 1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。 2、设全体域D是正整数集合，则命题?x?y(xy=y)的真值是______。 3、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为 4 5 6、设 7 8 (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下 五、（15分）设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 离散数学试题(A卷答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。 证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C ??( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C ??( A∧(P?Q))∨C ?(A∧(P?Q))→C 2) ?(P↑Q)??P↓?Q。 证明：?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 证明： 公式法：因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P∨R∨?R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R) ? M∧5M∧6M 4 ? m∨1m∨2m∨3m∨7m 所以，公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 真值表法： 式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 三、推理证明题（10分） 1）?P∨Q，?Q∨R，R→S P→S。 证明：(1)P附加前提 大学2013—2014学年度第二学期期末考试《离散数学》试卷 A 第一部分 选择题（共20 分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每题只有一个正确答案，答对一题得2分共20分） 1、对任意集合A 、B 、和C ，下列论断中正确的是： 【 】 A. 若A ∈B ，B ?C ，则A ∈C B. 若A ∈B ，B ?C ，则A ?C C. 若A ?B ，B ∈C ，则A ∈C D. 若A ?B ，B ∈C ，则A ?C 2、设A={a,{a}},下列式子中正确的有： 【 】 A. {a}∈ρ(A) B. a ∈ρ(A) C. {a}?ρ(A) D. 以上都不是 3、P ：我将去镇上。Q ：我有时间。命题“我将去镇上，当且仅当我有时间”符号化为： 【 】A. P →Q B. Q →P C. P ?Q D. Q ∨?P 4、命题公式：（P ∧（P →Q ））→Q 是 【 】 A ．矛盾式 B. 可满足式 C. 重言式 D. 不能确定 5、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中，量词x ?的辖域是： 【 】 A. ))()((y yR x P x ?∨? B. )(x P C. )(),(x Q x P D. )()(y yR x P ?∨ 6、在如下各图中，哪一个是欧拉图？ 【 】 7、设|V|>1，G= < V , E >是强连通图，当且仅当： 【 】 A ．G 中至少有一条通路 B ．G 中至少有一条回路 C ．G 中有通过每个结点至少一次的通路 D ．G 中有通过每个结点至少一次的回路 8、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 ρ(S) 有多少个元素？ 【 】 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 ； 9、集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}上的关系R={ 离散数学试卷（23） 150 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式是（）。 A、矛盾式； B、可满足式； C、重言式； D、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（）。 A、； B、； C、)()())()； D、。 3．谓词公式中的 x是（）。 A、自由变元； B、约束变元； C、既是自由变元又是约束变元； D、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 之间应填入（）符号。 A、= ； B、； C、； D、。 5．设< A ， > 是偏序集，，下面结论正确的是（）。 A、B的极大元且唯一； B、B的极大元且不唯一； C、B的上界且不唯一； D、B的上确界且唯一。 6．在自然数集N上，下列（）运算是可结合的。 （对任意） A、； B、； C、； D、。 7．Q为有理数集N，Q上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则 一、填空 20% 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝_____{3}______________; ρ(A) - ρ(B)＝____{{3}，{1，3}，{2,3},{1,2,3}}__________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = ___2^(n^2)________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是____A1 = {(a,1), (b,1)}, A2 = {(a,2), (b,2)}, A3 = {(a,1), (b,2)}, A4 = {(a,2), (b,1)},_________ _____________, 其中双射的是______A3, A4__________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取式是____P∧?Q∧R (m5)____. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12______，分枝点数为_______3_________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝______{4}______; A?B＝____{1,2,3,4}_________;A－B＝______{1,2}_______ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______自反性____________, _________对称性_________, _________传递性_____________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有_____（1,0,0）__________， ______(1,0,1)________, ________(1,1,0)________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2= ___{(1,3),(2,2),(3,1)}____,R2?R1 =_____{(2,4), (3,3), (4,2)}_____, R12=_______{(2,2), (3,3)}_________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = ______2^(m*n)___________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = _____{x | -1 ≤x < 0, x ∈R}_______ , B-A = ______{x | 1 < x < 2, x ∈R}_____ , A∩B = ______{x | 0 ≤x ≤1, x ∈R}__________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ ________{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}_________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束式是_____?y?x(P(y)→Q(x))________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加__21___条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是________(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))______________________. 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、? ； C 、∈ ； D 、? 。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=* ； B 、),max(b a b a =* ； C 、b a b a 5+=* ； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则 离散数学试卷 （参考答案） 一、 选择题 1、设}}8,7,6{},5,4{},3,2,1{{=A ，下列选项正确的是：（3） （1）A ∈1 （2）A ?}3,2,1{ （3）A ?}}5,4{{ （4）A ∈? 2、对任意集合C B A ,,，下述论断正确的是：（1） （1）若C B B A ?∈,，则C A ∈ （2）若C B B A ?∈,，则C A ? （3）若C B B A ∈?,，则C A ∈ （4）若C B B A ∈?,，则C A ? 3、假设},,{c b a A =上的关系如下，具有传递性的关系是：（4） （1）},,,,,{>><><><><><><><离散数学考试题详细答案
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的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。 8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。 A 、（1，1，2，2，3）； B 、（1，1，2，2，2）； C 、（0，1，3，3，3）； D 、（1，3，4，4，5）。 9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。 A 、点与边； B 、边与点； C 、点与点； D 、边与边。 10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（ ）。 A 、5； B 、7； C 、9； D 、8。
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的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。
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