第一章直流电路
本章将着重介绍并讨论电流和电压的参考方向及基尔霍夫定律等。通过本章内容的学习可了解和掌握电路中的基本概念和定律，为后续分析复杂电路打下一个基础。
1.1 电路的组成和基本物理量
1.1.1 实际电路及其基本功能
实际电路的结构组成包括：电源、负载和中间环节。其中电源的作用是为电路提供能量，如发电机利用机械能或核能转化为电能，蓄电池利用化学能转化为电能，光电池利用光能转化为电能等；负载则将电能转化为其他形式的能量加以利用，如电动机将电能转化为机械能，电炉将电能转化为热能等；中间环节用作电源和负载的联接体，包括导线、开关、控制线路中的保护设备等。如图1-1 中的白炽灯照明电路。图1-2 是图1-1 的电路模型。
电路的作用可以概括为以下两个方面：一是实现电能的传输和转换，将电能转化为光能和热能等，二是实现信号的传递和处理。
1.1.2 电路的基本物理量
电路中的基本物理量包括电流、电压和功率及其相关的概念。
1 电流及其参考方向
电荷的定向移动形成电流。习惯上规定正电荷的移动方向为电流的方向
（事实上，金属导体内的电流是由带负电的电子的定向移动产生的）。电流的大小为单位时间内通过导体横截面的电量，用公式表示即
t q
i d d
量纲：安培（A ） 1kA=103
A ；1mA=10-3
A ；1μA=10-6
A 。
前面提到的电池提供的就是直流电流，通常直流电流用大写字母I 表示，而随时间变化的电流用小写字母i 表示。
电流的参考方向（reference direction)：是一种任意的选定的方向，当i>0时参考方向与实际方向一致，当i<0时参考方向与实际方向相反。 2 电压及其参考方向
电压也称电位差（或电势差），定义为电场力将单位正电荷由点a 移动到点b 所做的功。电路中a 、b 两点间的电压用Uab 表示，即 Uab =
q
W
量纲：伏特（V ）1kV=103
V ；1mV=10-3
V ；1μV=10-6
V 。
电路中，电压的实际方向定义为电位降低或称电压降的方向，可用极性“+”和“-”表示，其中“+”表示高电位，“-”表示低电位；也可用双下标表示，如Uab 表示电压的方向由a 到b 。电源电动势的实际方向，规定为从电源内部的“-”极指向“+”极，即电位升高的方向。 电压的参考方向（reference direction ）：是一种任意的选定的方向，当u>0时参考方向与实际方向一致，当u<0时参考方向与实际方向相反。 如果不特别指出，书中电路图上所标明的电流和电压方向都为参考方向。当电流、电压的参考方向一致时，称为关联方向；否则为非关联方向。
3 电位及其计算
电位：电路中某点与参考点之间的电压称为该点的电位。
电位的计算；计算电路中各点电位时，一般选定电路中的某一点作参考
点（reference node ），规定参考点的电位为0，并用⊥表示，称为接地（并非真与大地相接），电路中其他各点的电位等于该点与参考点之间的电压。 4 电动势
衡量电源的电源力大小及其方向的物理量叫做电源的电动势。 电动势通常用符号E 或e(t)表示，E 表示大小与方向都恒定的电动势(即直流电源的电动势)，e(t)表示大小和方向随时间变化的电动势，也可简记为e 。电动势的国际单位制为伏特，记做V 。
电动势的大小等于电源力把单位正电荷从电源的负极，经过电源内部移到电源正极所作的功。如设W 为电源中非静电力(电源力)把正电荷量q 从负极经过电源内部移送到电源正极所作的功，则电动势大小为 q
W
E =
电动势的方向规定为从电源的负极经过电源内部指向电源的正极，即与电源两端电压的方向相反。 1.1.3电功率和电能 1、电功率
电功率(简称功率)所表示的物理意义是电路元件或设备在单位时间内吸收或发出的电能。两端电压为U 、通过电流为I 的任意二端元件(可推广到一般二端网络)的功率大小为 P = UI
功率的国际单位为瓦特(W)，常用的单位还有毫瓦(mW)、千瓦(kW)，它们与W 的换算关系是
1 mW = 10-3
W ； 1 kW = 103
W
吸收或发出：一个电路最终的目的是电源将一定的电功率传送给负载，负载将电能转换成工作所需要的一定形式的能量。即电路中存在发出功率的器件(供能元件)和吸收功率的器件(耗能元件)。
习惯上，通常把耗能元件吸收的功率写成正数，把供能元件发出的功率写成负数，而储能元件(如理想电容、电感元件)既不吸收功率也不发出功率，即其功率P = 0。
通常所说的功率P又叫做有功功率或平均功率。
2、电能
电能是指在一定的时间内电路元件或设备吸收或发出的电能量，用符号W表示，其国际单位制为焦尔(J)，电能的计算公式为
W = P · t = UIt
通常电能用千瓦小时(kW · h)来表示大小，也叫做度(电)：
1度(电) = 1 kW · h = 3.6 106 J。
即功率为1000 W的供能或耗能元件，在1小时的时间内所发出或消耗的电能量为1度。
常用理想元件及符号
1.2 电阻
本节讨论电阻元件的伏安特性及其连接。 1.2.1 电阻元件
电阻元件是对电流呈现阻碍作用的耗能元件，例如灯泡、电热炉等电器。 电阻定律：
S
l
R ρ
=
ρ ——制成电阻的材料电阻率，国际单位制为欧姆 · 米(Ω · m) ；
l ——绕制成电阻的导线长度，国际单位制为米(m)；
S ——绕制成电阻的导线横截面积，国际单位制为平方米(m 2
) ； R ——电阻值，国际单位制为欧姆(Ω)。
经常用的电阻单位还有千欧(k Ω)、兆欧(M Ω)，它们与 Ω 的换算关系为
1 k Ω = 103
Ω； 1 M Ω = 106
Ω 1.2.2 电阻与温度的关系
电阻元件的电阻值大小一般与温度有关，衡量电阻受温度影响大小的物理量是温度系数，其定义为温度每升高1?C 时电阻值发生变化的百分数。 如果设任一电阻元件在温度t1时的电阻值为R1，当温度升高到t2时电阻值为R2，则该电阻在t1 ~ t2温度范围内的(平均)温度系数为 )
(12112t t R R R --=
α
如果R 2 > R 1，则 α > 0，将R 称为正温度系数电阻，即电阻值随着温度的升高而增大；如果R 2 < R 1，则 α < 0，将R 称为负温度系数电阻，即电阻值随着温度的升高而减小。显然 α 的绝对值越大，表明电阻受温度的影响也越大。
1.2.3 电阻的联结
1、电阻的串联
设总电压为U 、电流为I 。
1. 等效电阻: R =R 1 + R 2 + … + Rn
2. 电压关系： U =U 1 + U 2 + … + Un
3. 电流关系： I =I 1 = I 2 = … = In 2、电阻的并联
设总电流为I 、电压为U 。
1. 等效电导: G = G 1 + G 2 + … + Gn 即
n
R R R R 111121+???++=
2. 电压关系： U =U 1 = U 2 = … = Un
3. 电流关系： I =I 1 + I 2 + … + In 3、电阻的混联 分析步骤
在电阻电路中，既有电阻的串联关系又有电阻的并联关系，称为电阻混联。对混联电路的分析和计算大体上可分为以下几个步骤：
首先整理清楚电路中电阻串、并联关系，必要时重新画出串、并联关系明确的电路图；
利用串、并联等效电阻公式计算出电路中总的等效电阻； 利用已知条件进行计算，确定电路的总电压与总电流；
根据电阻分压关系和分流关系，逐步推算出各支路的电流或电压。
1.3 欧姆定律及应用
1.3.1 部分电路欧姆定律
电阻元件的伏安关系服从欧姆定律，即 U = RI 或 I = U/R = GU
其中G = 1/R ，电阻R 的倒数G 叫做电导，其国际单位制为西门子(S)。 1.3.2 闭合电路欧姆定律 闭合电路欧姆定律的数学表达式为
r
R E
I rI RI E +=
+= 或
其中r 表示电源的内部电阻，R 表示电源外部联接的电阻(负载)。
外电路两端电压U = RI = E - rI =E r R R
+，显然，负载电阻R 值越大，其两端电压U 也越大；当R >> r 时(相当于开路)，则U = E ；当R << r 时(相当于短路)，则U = 0，此时一般情况下的电流(I = E/r)很大，电源容易烧毁。
1.4 基尔霍夫定律
基尔霍夫定律是电路中的基本定律，不仅适用于直流电路也适用于交流电路。它包括基尔霍夫电流定律（Kirchhoff’s current law）简称KCL 和基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s voltage law）简称KVL。基尔霍夫电流定律是针对节点的，基尔霍夫电压定律是针对回路的。
1.4.1 几个概念
在具体讲述基尔霍夫定律之前，我们以下图为例，介绍电路中的几个基
本概念。
1．支路：电路中的每一分支称为支路，一
条支路流过一个电流。图中共有6 条支路，
分别是ab、bc、cd、da、ac、db。
2．节点：电路中三条或三条以上支路的连
接点称为节点。图中共有4个节点，分别是节点a、节点b、节点c 和节点d。
3. 回路：电路中的任一闭合路径称为回路。图中共有7 条回路，分别是abda、dbcd、adca、abdca、adbca、abcda、abca。
4. 网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。图中共有3 个网孔，分别是abda、dbcd、adca。
1.4.2 基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律（KCL）指出：对于电路中的任一节点，任一瞬时流入（或流出）该节点电流的代数和为零。我们可以选择电流流入时为正，流出时为负；或流出时为正，流入时为负。电流的这一性质也称为电流连续性原理，是电荷守恒的体现。KCL 用公式表示为
∑I入+∑I出=0
上式称为节点的电流方程。由此也可将KCL 理解为流入某节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。即：∑I入=∑I出
KCL 不仅适用于电路中的任一节点，也可推广到包围部分电路的任一闭
合面（因为可将任一闭合面缩为一个节点）。可以证明流入或流出任一闭合面电流的代数和为0。
1.4.3 基尔霍夫电压定律
基尔霍夫电压定律(KVL)指出：对于电路中的任一回路，任一瞬时沿该回路绕行一周，则组成该回路的各段支路上的元件电压的代数和为零。可任意选择顺时针或逆时针的回路绕行方向，各元件电压的正、负与绕行方向有关。一般规定当元件电压的方向与所选的回路绕行方向一致时为正，反之为负。KVL 用公式表示为
∑U=0
上式称为回路的电压方程。注意当你选择了某一个回路时，在回路内画一个环绕箭头，表示你选择的回路的绕
行方向。下图中，我们在两个网孔中分
别选择了顺时针和逆时针的绕行方向。
其意义为，在直流电路里，KVL 又可以
表述为回路中电阻的电压之和（代数和）等于回路中的电源电动势之和。注意应用KVL 时，首先要标出电路各部分的电流、电压或电动势的参考方向。列电压方程时，一般约定电阻的电流方向和电压方向一致。
KVL 不仅适用于闭合电路，也可推广到结构不闭合电路。
1.4.4 支路电流法
以各支路电流为未知量，应用基尔霍夫定律列出节点电流方程和回路电压方程，解出各支路电流，从而可确定各支路(或各元件)的电压及功率，这种解决电路问题的方法叫做支路电流法。对于具有b条支路、n个节点的电路，可列出(n - 1)个独立的电流方程和b - (n - 1)个独立的电压方程。
第二章单相正弦交流电路
2.1 单相正弦交流电路的基本概念
2.1.1 直流电和交流电
直流电：大小和方向都不变的电量（电动势、电压或电流）。
交流电：大小及方向都随时间做周期性变化的电量（电动势、电压或电流）。
脉动直流电：方向不变，大小周期变化的的电量（电动势、电压或电流）。
2.1.2正弦量介绍
正弦量：随时间t按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i、u表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。周期T：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S）；频率f：是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz）。显然，周期和频率互为倒数，即f=1/T。
交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。
2.1.3 正线交流电动势的产生—交流发电机简介
发电机的基本组成部分是磁极和线圈(线圈匝数很多，嵌在硅钢片制成的铁心上，通常叫电枢)。电枢转动、而磁极不动的发电机，叫做旋转电枢式发电机。磁极转动、而电枢不动，线圈依然切割磁感线，电枢中同样会产生感应电动势，这种发电机叫做旋转磁极式发电机。不论哪种发电机，转动的部分都叫转子，不动的部分都叫定子。
旋转电枢式发电机，转子产生的电流必须经过裸露着的滑环和电刷引到外电路，如果电压很高，就容易发生火花放电，有可能烧毁电机。这种发电机提供的电压一般不超过500 V。旋转磁极式发电机克服了上述缺点，能够提供几千伏到几十千伏的电压，输出功率可达几十万千瓦。所
以，大型发电机都是旋转磁极式的。
发电机的转子是由蒸汽机、水轮机或其他动力机带动的。动力机将机械能传递给发电机，发电机把机械能转化为电能传送给外电路。
2.1.4 正弦交流电的三要素：幅值、角频率、初相位
1、幅值、有效值、瞬时值
在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而规定一个能够表征其大小的特定值——有效值，其依据是交流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。
设正弦交流电流i(t)在一个周期T 时间内，使一电阻R 消耗的电能为QR ，另有一相应的直流电流I 在时间T 内也使该电阻R 消耗相同的电能，即QR = I 2RT 。
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与I)是等效的，则该直流电流I 的数值可以表示交流电流i(t)的大小，于是把这一特定的数值I 称为交流电流的有效值。理论与实验均可证明，正弦交流电流i 的有效值I 等于其振幅(最大值)Im 的0.707倍，即 m
m 707.02
I I I ==
正弦交流电压的有效值为 m
m 707.02
U U U ==
正弦交流电动势的有效值为 m
m 707.02
E E E ==
2、周期、频率、角频率
周期：正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期，用字母T 表示，单位为秒(s)。显然正弦交流电流或电压相邻的两个最大值(或相邻的两个最小值)之间的时间间隔即为周期，由三角函数知识可知 ω
π
=
2T
频率：交流电周期的倒数叫做频率(用符号f 表示)，即
T f 1
=
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的次数，即表征交
流电交替变化的速率(快慢)。频率的国际单位制是赫兹(Hz)。 角频率：表示正弦交流电在单位时间内变化的弧度数，它与频率之间的关系为
ω = 2πf
3、相位、初相位、相位差
任意一个正弦量y = Asin(ωt + ?0)的相位为(ωt + ?0)，本章只涉及两个同频率正弦量的相位差(与时间t 无关)。设第一个正弦量的初相为 ?01，第二个正弦量的初相为 ?02，则这两个正弦量的相位差为 ?12 = ?01 - ?02 并规定
π
≤≤1212 180??或
在讨论两个正弦量的相位关系时：
(1) 当 ?12 > 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前(或超前) ?12；
(2) 当 ?12 < 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位滞后(或落后)| ?12|；
(3) 当 ?12 = 0时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相；
(4) 当 ?12 = ± π 或 ±180?时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相； (5) 当 212π
±
=?或 ±90?时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。
我国工业和民用交流电源电压的有效值为220 V 、频率为50Hz ，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。
因为正弦交流电的有效值与最大值(振幅值)之间有确定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三要素。
2.1.5 正弦量的相量表示法
1、相量
可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数表示出来的。运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同时将正弦量（最大值）的有效值和初相计算出来。有效值（最大值）上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。
相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。如下图所示为正弦电流i ＝2Isin (ωt+Ψi )的相量，其中Ψi ＞0。相量。
I 的长度是正弦电流的有效值I ，相量。
I 与正实轴的夹角是正弦电流的初相。这种表示相量的图称为相量图。为了简化起见，相量图中不画出虚轴，而实轴改画为水平的虚线，如下图所示。
i
I I ψ=
∠
同频率正弦量的相量运算 同频率正弦量的加减法
?ui = (-30?) - (+ 60?) = - 90?，即u 比i 滞后90?，或i 比u 超前90?。
例如正弦交流电流 i = 2sin(ωt - 30?) A 的有效值I = 2 ? 0.707 = 1.414 A ，如果交流电流i 通过R = 10 Ω 的电阻时，在一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为P = I2R = 20 W ，即与I = 1.414 A 的直流电流通过该电阻时产生相同的电功率。
I
我国工业和民用交流电源电压的有效值为220 V 、频率为50Hz ，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。
因为正弦交流电的有效值与最大值(振幅值)之间有确定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三要素。
三、相位和相位差
任意一个正弦量y = A sin(ωt + ?0)的相位为(ωt + ?0)，本章只涉及两个同频率正弦量的相位差(与时间t 无关)。设第一个正弦量的初相为 ?01，第二个正弦量的初相为 ?02，则这两个正弦量的相位差为
?12 = ?01 - ?02
并规定
π≤≤1212 180??或
在讨论两个正弦量的相位关系时：
(1) 当 ?12 > 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前(或超前) ?12； (2) 当 ?12 < 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位滞后(或落后)| ?12|； (3) 当 ?12 = 0时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相，如图7-1(a)所示；
(4) 当 ?12 = ± π 或 ±180?时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相，如图7-1(b)所示；
(5) 当 2
12π
±=?或 ±90?时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。
2.2 电路定律的相量形式
1．KCL 的相量形式 KCL 时域形式∑
=m
k 1i k =0 2．KVL 的相量形式
在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL 可表示为
∑
=m
k 1
。
U mk = 0 ∑
=m
k 1。
U k = 0
式中。
U mk 、。
U k 为回路中第k 条支路的电压相量。
必须强调指出，KCL 、KVL 的相量形式所表示的是相量的代数和恒等于零，并非是有效值的代数和恒等于零。
2.3 R 、L 、C 的相量模型
在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R 、L 、C 的电压、电流之间的关系都是同频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。 2.3.1正弦交流电路中的电阻元件 1．伏安特性
在电压和电流的参考方向关联时，电阻R 的伏安关系的时域形式 R R ()()
u t R i t =?
则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
R R U R I = Rm Rm U R I =
2. 功率： ①瞬时功率：
由于瞬时功率p 是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的，因此当流过电阻R 的电流为iR (t)＝IRmsin(ωt+Ψi)时，电阻所吸收的瞬时功率为
R R R Rm u Rm i 2R R i R R R R i ()()()
cos()cos() 2cos ()
cos(2)0p t u t i t U t I t U I t U I U I t ωψωψωψωψ==++=+=++≥
常量 两倍于原频率的正弦量
R i R (t )
g
R
R U
g
R I 与R U 同相
可以看出，电阻吸收的功率是随时间变化的，但pR 始终大于或等于零，表明了电阻的耗能特性。上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常数项和一个两倍于原电流频率的正弦项，即电流或电压变化一个循环时，功率变化了两个循环。瞬时功率的波形图如下图所示。
②平均功率：
瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率，记为P ，即
2
R
R R R Rm Rm R 011()2T P p t dt U I U I RI T ===?
在正弦稳态电路中，我们通常所说的功率都是指平均功率而言。平均功率又称为有功率。它们的单位为W 。
2.3.2正弦交流电路中的电感元件
1．伏安特性
当电压和电流参考方向关联时，电感L 伏安关系的时域形式为
L L di u L
dt = m m L L L L U LI U LI ωω=?
?
=? 电压、电流的最大（有效）值之间符合欧姆定律。
感抗值 Lm L
L
Lm L U U L
X I I ω==
u i u i 22π
ψψπ?ψψ?=+
????
-=
?? 电压超前电流90
Lm Lm L L j j U L I U L I ωω?
=?
?
?=?
伏安关系的相量形式
上述式表明：
★在正弦电流电路中，线性电感的电压和电流在瞬时值之间不成正比，而在有效值之间、相量之间成正比。
★此时电压与电流有效值之间的关系不仅与L 有关，还与角频率ω有关。当L 值不变，流过的电流值IL 一定时，ω越高则UL 越大；ω越低则UL 越小。当ω＝0(相当于直流激励)时，UL ＝0，电感相当于短路。 ★在相位上电感电压超前电流90?。 线性电感的相量电路如下。
j ωL
g
线性电感中正弦电压和电流的相量图图(a)所示。
2. 功率： ① 瞬时功率：
当电感两端的电压为uL(t)＝2ULcos ωt ，流过电感的电流为iL(t)＝
2IL cos(ωt ?π/2)时，则瞬时功率为
pL (t)＝uL ? iL = 2ULIL cos ωtsin ωt = ULIL sin2ωt
正弦稳态电路中电感元件瞬时功率的波形图如下图所示。
② 平均功率
瞬时功率pL (t)仅为一个两倍于原电流频率的正弦量，其平均值为零，即 PL ＝0
也即在正弦电流电路中，电感元件不吸收平均功率。 ③ 无功功率：
为了描述电感元件与外部能量交换的规模，引入无功功率的概念。电感
g