贝特朗奇论
2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。
解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,
P = CD 弧长圆周长
= 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB
的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。
解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。 若 A B 的中 点
落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积
= 14 。
2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析
同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。三种答案对于各自的假定都是正确的。这样的
解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。其实弊病出在概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率m
n逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验，成为古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义
为：P(A)= m
n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。
概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的, 仅能以A的频率作为P( A) 的近似值。然而n要多大,准确到什么程度,都没有确切的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等。如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义就不适用了。概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调
试验结果的等可能性。可是怎样才算等可能性? 这都无从回答。即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。” 当然这种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。如果进一步分析,所谓“等可能性” 就是“等概率”。这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。正是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一般的概型, 以便更广泛更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理化定义
贝特朗奇论 2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。 解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 , P = CD 弧长圆周长 = 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB 的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。 解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。 若 A B 的中 点 落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积 = 14 。 2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析 同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。三种答案对于各自的假定都是正确的。这样的
解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。其实弊病出在概率定义本身。 我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率m n逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验，成为古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义 为：P(A)= m n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。 m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。 概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的, 仅能以A的频率作为P( A) 的近似值。然而n要多大,准确到什么程度,都没有确切的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等。如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义就不适用了。概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
世界是不确定的，还好，我们有概率论 阅读本文需要耐心（数学好到一定程度的除外），不妨准备一套纸币。如果让你产生想重学概率论的冲动怎么办？去学呀！“概率”这两个字，除了课本以外，最常出现的地方也许就是天气预报中的“降水概率”，也就是未来几天下雨的可能性有多大。在数学中，概率论是专门研究“可能性”的一门分支。它涉及的问题非常广泛，内容远远超出了中学课本里那些刻板的习题。一切随机或者不确定的事件，都是概率论研究的范畴。上至气象下至金融，甚至连“磁铁的磁性怎么来的”这种物理问题，都可以用概率的方法来研究。但这门学科的诞生却有些“不太光彩”。来自赌博的问题在1654年的一天早上，法国数学家布莱兹·帕斯卡收到了他的朋友贡博的一封来信。这位朋友自称“来自梅雷的骑士”，也算是一位业余数学家。他向帕斯卡提出了类似如下的问题：两位贵族A与B正在进行一场赌局，赌注是每人500 法郎，两人轮流掷硬币，得到正面则A得一分，反面则B得一分，每一局两人得分的机会相等，谁先得到6分谁就得到1000法郎。两人激战正酣，比分达到2比4之际，B突然有事需要终止赌局。赌注应该如何分配才最公平。这一类问题被称为点数分配问题，早在16世纪就被研究过，但数学家当时的答案并不令人满意，在一些极端情况下会给出非常不
合理的分配方案。也许这位“梅雷骑士”也见识过现实中这种赌局引起的矛盾，他希望帕斯卡能够解决这个问题。帕斯卡对这个问题也很感兴趣。他向另一位业余数学家皮埃尔·德·费马发去一封信讨论这个问题。作为“业余数学家之王”，费马很快就给出了一个答案。他认为，不能单靠赌局停止时的比分或者各自获胜需要的分数来决定赌注的分配，而是应该考虑所有比赛的可能性中，双方获胜的比例。但列举所有的可能性的计算量非常大，帕斯卡继而提出了一个简化算法，完美地解决了点数分配问题。实际上，他们的解答相当于计算两位玩家胜利概率的大小。在研究中，帕斯卡提出了“数学期望”的概念和著名的“帕斯卡三角形”（杨辉三角）。某个结果为实数的随机事件的数学期望，也就是所有结果按照发生概率加权之后的平均值。数学期望这个概念，掀开了概率论研究的序幕。什么是概率？很多概率问题有着特别的结构。对于某个非常简单的随机事件，比如说掷硬币，我们知道每种结果出现可能性的大小，这样的事件被称为“基本事件”。我们可以多次重复这些基本事件，假定它们发生的可能性不会改变，而且这些重复没有相互影响。如果我们将这些基本事件以合适的形式组合起来，就能得到一个更为复杂而有趣的系统。许多概率问题实际上就是对这些随机系统的各种性质的研究。比如说，在点数分配问题中，基本事件就是硬币的投掷，而系统则是赌局的具体规则，最
古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
关于贝特朗悖论 从法国学者贝特朗(JoSePh Bertrand)提出贝特朗悖论"至今，已经过了一个多世纪。在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流…… 首先来看一下贝特朗悖论： 在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率?此问题可以有三种不同的解答： ⑴由f???可预先指定弦的方向???Sf此方 向的直径，只有交直径f 1/4点与3/4点间的弦J 其长才大于内接正三角形边也所有交点是等可能的 '则所求概率为1/2 * (3)弦被其中点位置唯一确定. 只有当弦的中 (2〕由干对■称性T可预先固定弦 的—端"仅当弦与过此端点的切线的 交角在60°?120°之间，其长才合乎 要求?所有方???可能的，则所求 概率为1/3 * 点落在半径缩小了—半的同心圆(圆内接正三 角形的内切凰)内,其长才合乎要求?设中点 位置都是等可能的'则所求概率为H 面对同一问题的三种不同的答案。人们往往这样 来解释: 得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了 不同的等可能性假设：
在第一种解法中则假定弦 的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。 三个结果都正确！一一这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。 显然这样的解释是不正确的。 上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的, 但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心： 第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。这样，圆心一一这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。 有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。 而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程 中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
芝诺悖论的极限分析 学生姓名：王慧文指导教师：岳进 摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们 似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些 谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观 性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸 要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。 同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。 关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断 引言： 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。 1、悖论对数学产生的作用 1.1从悖论说起 什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛
不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论 对于概率和统计的不确定性，我们始终有足够的直觉。虽然如此，这依旧远远不够，多数人对概率的理解其实并不充分。要知道这是一个数学家稍有闪失就会错的一塌胡涂的领域，原因很多时候正是我们的直觉，而正确结论却与之相悖。我们不妨来看看几个概率统计中的奇妙结论，这也正是概率统计这门学科的魅力所在。 贝特朗奇论 在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少？ 这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜。我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！ 1.将弦的一段固定在等边三角形的某一个顶点上，然后另一端绕着圆周旋转。可以在图一中发现，只有当另一端点位于上方的圆弧时，这条弦的长度才会超过三角形的边长，由此可得所求概率为1/3。
2.根据几何学原理，圆内弦的长度与弦到圆心的距离有关。从图二可以看出，当弦心距小于1/2时，这条弦的长度大于三角形边长，所以这样求出的概率为1/2。 3.再来考虑一条弦的中点，根据图三可以得出：只有当弦的中点位于半径为1/2的小圆内部时这条弦的长度才满足要求，同时因为这个小圆的面积是大圆的 1/4，所以所求概率也是1/4。 你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的答案呢？
其实这三种说法都是正确的。但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定。在第一种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆周上是均匀分布的”；在第二种方法中，我们默认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；第三种方法默认的假设则是“圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的”。这三种假设对应着三种不同的求解方法。 需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的有所不妥，因为它们都是有依据的。不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的“基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只能够依靠自己的理解补充解题所需条件。如此一来，一问三解就不足为怪了。 上述问题被称为“贝特朗奇论”，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论。也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展。 本福特法则 据说，1881年天文学家西蒙?纽康伯发现对数表以1起首的数所在的那几页较其他页破烂，由此他怀疑以1开头的数字就是比其他数多，大量统计之后发现果真如此。这个故事的真实性已无从考究，不过它可能是本福特法则第一次被注意到。 所谓本福特法则，是指在一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，是人们通常期望值1/9的3倍，它的确切值等于lg2，而越大的数字，以它为首位的数出现的机率就越低。更一般地，我们能够说明在r进制中，以n开头的数字出现的概率是log r (n+1)- log r (n)。根据这个公式，可以制作出十进制下数字1~9开头的概率表：
古典概型与几何概型 1.1基本事件的特点 ①任何两个基本事件都是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 1.2古典概型 1.2.1古典概型的概念 我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 1.2.2古典概型的概率公式: 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件，那么事件A 的概率()n m A P =. 1.3几何概型 1.3.1几何概型的概率公式： 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A = A P 1．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A ． 2 1 B ． 10 3 C ． 5 1 D ． 5 2 2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A ． 12 B ．13 C ． 14D ．16 3．袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A ． 11 1 B ． 33 2 C ． 33 4 D ． 33 5 4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰 子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则1log 2=Y X 的概率为( ) A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 121D ．2 1
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ． 31 44AB AC - B ． 13 44AB AC - C ．31 44 +AB AC D ．1344 +AB AC 2．设等比数列{ }的前n 项和为 ，若=3，则 = A ． B ．2 C ． D ．3 3．在ABC ?中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ?的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 4．过曲线的左焦点1F 且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得90ACB ?∠=,则双曲线离心率e 的最小值为（ ） A ． 31 2 + B ．31+ C ． 51 2 + D ．51+ 5．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ） A 14 B ．27 C ．28 D ．326．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C += A ．90? B ．120? C ．135? D ．150? 7．已知向量1a b ==，1 2 a b ?=-，则3a b +=（ ） A 2 B 3 C 5 D 78．已知函数210 ()21 0x x x f x x x ?++≥=?+
贝特朗概率悖论的解释 贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。 我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。 这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下载下来，大家可以自己看：百度百科词条解释 虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。 首先我们看第一种“解法”。 解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.
这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ上是均匀分布的。正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ 交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。 再看解法2. 解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。在圆中所有的弦中，只有当B点落在弧MN上时，才满足条件，而MN的弧长占据整个弧长的1/3，所以概率为1/3 看了解法1，你就知道这个解法的原因所在了，他正是采用了在圆周上均匀分布这一条件得出的结果。 最后看解法3
浅析说谎者悖论 摘要：如今，解决悖论成了逻辑学界的一大热门课题。本文将追本溯源，对悖论及说谎者悖论作简要分析及说明，说谎者悖论是历史上最古老的悖论，又是最典型的语义悖论。历史上学者们提出很多解决方案，而这些解决方案的都是不成功的，本文将针对说谎者悖论的实质作简要探讨。 关键字：谎言悖论，悖论，说谎者悖论 一谎言悖论的现象 1引言 大多数人一天要遭遇将近两百个谎言。谎言的无处不在或已超出一般人的想象。人们说谎的动机至少有九种。概括为进攻性和防御性动机，如为自身谋求优势，保护隐私等。谎言的无处不在引起我的好奇，进而激起我想一探究竟的欲望。然而谎言本身是更倾向于实实在在的知识，我比较感兴趣的是谎言悖论这种奇奇怪怪的知识。 2对悖论的说明 悖论是英文paradox或antinomy的中译。它来自希腊文的“para”和“doxa”，意思是“难以置信”。从字面上理解，悖论指的是荒谬的理论或者自相矛盾的语句或命题。《中国百科全书·哲学卷》对“悖论”的定义是：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题”。这类命题也可以表述为：“一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非等值。”《辞海》对“悖论”的定义是：“一命题B，如果承认B，又推得非B；反之。如果承认非B，又可推得B，则称命题B为——悖论。” 3对谎言悖论的界定 “谎言悖论”的表述形式，是要求断定语句“这句话是谎言”的“真”、“假”。而你只要试图完成这一任务，就会发现自己已经陷入了一个难以摆脱的矛盾怪圈：假如你断定该句为“真”，那便会推出该句是“假”；而倘若你断定该句为“假”，那便会据此推出该剧是“真”。
数学史――概率论 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.随机现象是指这样一种客观现象:当人们观察它时,所得到的结果不是预先能够确定的,而只是多种可能结果中的一种.研究随机过程的统计特性,计算与过程有关的某些事件的概率,特别是与过程样本轨道有关的问题,是现代概率论的主要课题. 概率论的肇始是在17世纪中叶,但它的起源之一──解决与赌博有关的问题──可追溯到15世纪末.15世纪末至16世纪中期,几位意大利数学家研究了这类问题,1494年,巴乔利提出了关于在某种条件下如何分配赌本的问题,后来,卡尔达诺和塔尔塔利亚也做过类似的计算,不过都未得到正确结果.早期寻求随机事件的概率,除了与赌博问题有关外,还涉及人寿保险、人口出生性别比例等. 到17世纪中叶,由于法国数学家帕斯卡、费马和荷兰数学家惠更斯的加入,使得对上述分配赌本问题的研究成为数学史上一个著名的问题.法国的一位名叫梅累的狂热赌徒向帕斯卡提出了一个困扰他很久（但却对他很有实用价值的）问题.梅累的问题如下:两个赌徒相约赌若干局,谁先赢s 局就算是谁赢.可是当一个赌徒赢a 局（a古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率．
紧扣“等可能”，突破几何概型教学的难点 前一阵在《中学数学教学参考》上看到这样一个例子： 1．等腰RtΔABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率 2．等腰RtΔABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率 前者的概率是，后者的概率是 这两个看上去很相近的问题，答案为什么会不同呢？这个问题引起学生的很多的困惑．其实，要解决它，还得回到几何概型的定义． 几何概型的定义是：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域Ω内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域D中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这样的方法处理随机试验，称为几何概型． 从几何概型的定义我们可以看出：解决几何概型问题的基本步骤是：（1）找出等可能基本事件；（2）对应几何图形（所有等可能基本事件所在的区域Ω和随机事件中等可能基本事件所在的区域A）；（3）由区域确定测度． 第一个事件所对应的等可能基本事件应该是在线段AB上随机取一点，这一点落在这个线段上是等可能的． 第二个事件所对应的等可能基本事件应该是在直角区域内任取一条射线，显然若射线等可能出现在直角区域内，则点M就不可能等可能出现在线段AB上． 如何确定等可能基本事件？ 抓住“任意”、“随机”等词，确定等可能的基本事件空间． 贝特朗悖论：
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识．然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身： 在一个圆内随机地画一条弦，它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？ 从不同方面考虑，可得不同结果： （1）由于对称性，可预先指定弦的方向．作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长．所有交点是等可能的,则所求概率为 1/2 ． （2）由于对称性，可预先固定弦的一端．仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求．所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 ． （3）弦被其中点位置唯一确定．只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求．中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4． 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论． 得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布．这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的． 三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因． 这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论公理化工作的早日到来． 关于这个悖论有很多种讨论，在此不一一赘述．老师们只需明白的是确定“等可能基本事件”的重要性，在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性． 如何对应几何图形？ 有的问题，几何特征较为明显，能迅速找到相应的几何图形，计算其测度．但有的问题中，找到相应的几何图形较为困难．如： 例．一家快递公司的投递员承诺在上午9：00—10：00之间将一份文件送到某单位．
三次数学危机与集合论的创立 一、 前言 每一门学科都有其自己的历史。数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。 1、数学危机 虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。 危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。” 2、集合论简介 集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。 3、集合论与数学危机的联系 集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。 二、 三次数学危机 1、 第一次数学危机 第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。 在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。当时毕达哥拉斯学派还有一大贡献就是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。然而希泊索斯发现了不可公度性的两条线段——等腰直角三角形的腰长与斜边，致使毕达哥拉斯学派内部的理论体系中产生了矛盾。 假设等腰直角三角形腰长a b =，而其斜长c 为有理数。 反证法：可知，2222 2c a b a =+=。不妨设a 和c 互素，则可以知道 c 为偶数，必有a 为奇数。取2c p =，得到222a p =，a 为偶数。得到矛盾。 对于第一次危机的研究，人们把几何建立在古典逻辑的基础上，不再把几何与数密切联系起来（数形分离），促进了几何学的发展。对于这个危机要么勾股定理不对，要么就承认有理数的不完备，进而预示着无理数的存在。 2、 第二次数学危机 （1）危机产生
三门问题 编辑锁定 三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。 这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。 中文名三门问题外文名Monty Hall problem别称蒙提霍尔问题提出者蒙提霍尔 目录 1问题 ?由来 ?假设 2解答 ?解法一 ?解法二 ?补充说明 3回响 4相关讨论 5相关影片 问题编辑 由来 以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件： 「假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；
其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？」[1] 以上叙述是对Steve Selvin 于1975年2月寄给American Statistician 杂志的叙述的改编版本。[2] 如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许参赛者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给Selvin 的信中所写： 「如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。」[3] Selvin 在随后寄给American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。[4] 一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳（Martin Gardner）的《数学游戏》专栏中。加德纳版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。 这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的Calcul des probabilités 一书中。在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。 假设 Mueser 和Granberg 透过厘清细节，以及对主持人的行为加上明确的介定，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述[5] ︰ 现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。 汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。 参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。 主持人知道每扇门后面有什么。 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。
知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 60 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1 u ， 1v ）（i=1,2,…，10 ）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ） （A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）
（1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的 次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定 性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具 体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 二、概率的基本性质： 基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件， 则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用