西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案
1．２ 教材第一章习题解答
１. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解：
()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)
0.5(4)2(6)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-
2． 给定信号:25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-??
=≤≤???
其它
(１）画出()x n 序列的波形,标上各序列的值； (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-,试画出1()x n 波形; (4)令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形; (5）令3()2(2)x n x n =-,试画出3()x n 波形。 解：
(1）x(n ）的波形如题２解图(一）所示。 (2）
()3(4)(3)(2)3(1)6()
6(1)6(2)6(3)6(4)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-
(3)1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以２，画出图形如题2解图(二）所示。 (4)2()x n 的波形是x(n ）的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (５）画3()x n 时，先画x(－n)的波形,然后再右移2位,3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的，确定其周期。 (1)3()cos()78
x n A n π
π=-，A 是常数； (2)1
()8
()j n x n e π-=。
解：
(1）3214,73w w ππ=
=,这是有理数，因此是周期序列，周期是Ｔ=14； （２）12,168w w
π
π==，这是无理数,因此是非周期序列。
５. 设系统分别用下面的差分方程描述,()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
(1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-; （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数; （5)2
()()y n x n =; （7)0
()()n
m y n x m ==∑。
解:
（1)令:输入为0()x n n -，输出为
'000'
0000()()2(1)3(2)
()()2(1)3(2)()
y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=
故该系统是时不变系统。
12121212()[()()]
()()2((1)(1))3((2)(2))
y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-
1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+
故该系统是线性系统。
（３）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。
令输入为1()x n n -,输出为'
10()()y n x n n n =--,因为
'110()()()y n n x n n n y n -=--=
故延时器是一个时不变系统。又因为
12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+
故延时器是线性系统。
（5) 2
()()y n x n =
令:输入为0()x n n -，输出为'2
0()()y n x n n =-,因为
2'00()()()y n n x n n y n -=-=
故系统是时不变系统。又因为
212121222
12[()()](()()) [()][()] ()()
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+
因此系统是非线性系统。
(７) 0
()()n
m y n x m ==
∑
令：输入为0()x n n -，输出为'
()()n
m y n x m n ==
-∑，因为
0'
00
()()()n n m y n n x m y n -=-=
≠∑
故该系统是时变系统。又因为
1212120
[()()](()())[()][()]n
m T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑
故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。
（1)1
1
()()N k y n x n k N
-==
-∑；
(3）00
()()n n k n n y n x k +=-=
∑
;
（5）()
()x n y n e
=。
解:
(１）只要1N ≥，该系统就是因果系统,因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果()x n M ≤，则()y n M ≤,因此系统是稳定系统。 （3）如果()x n M ≤,0
0()()21n n k n n y n x k n M +=-≤
≤+∑
，因此系统是稳定的。系统是非因
果的，因为输出还和x(ｎ)的将来值有关.
(５)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(ｎ）的未来值。如果()x n M ≤,则
()
()()x n x n M y n e e
e =≤≤,因此系统是稳定的。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入序列()x n 如题7图所示,要求画出输出输出()y n 的波形。 解：
解法（1)：采用图解法
()()()()()m y n x n h n x m h n m ∞
==*=-∑
图解法的过程如题7解图所示。
解法(2）:采用解析法。按照题7图写出x(ｎ)和h(n)的表达式：
()(2)(1)2(3)
1
()2()(1)(2)
2
x n n n n h n n n n δδδδδδ=-++-+-=+-+- 因为
()*()()
()*()()
x n n x n x n A n k Ax n k δδ=-=-
所以 1
()()*[2()(1)(2)]
2
1
2()(1)(2)
2
y n x n n n n x n x n x n δδδ=+-+-=+-+-
将ｘ（ｎ)的表达式代入上式,得到
()2(2)(1)0.5()2(1)(2)
4.5(3)2(4)(5)
y n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+-+-+-+-+-+-+-
8. 设线性时不变系统的单位取样响应()h n 和输入()x n 分别有以下三种情况,分别求出输出
()y n 。
(1)45()(),()()h n R n x n R n ==;
(2）4()2(),()()(2)h n R n x n n n δδ==--；
（３)5()0.5(),()n
n h n u n x R n ==。
解：
(1) 4
5
()()*()()()m y n x n h n R m R n m ∞
=-∞
==
-∑
先确定求和域,由4()R m 和5()R n m -确定对于m 的非零区间如下:
03,4m n m n ≤≤-≤≤
根据非零区间,将ｎ分成四种情况求解: ①0,()0n y n <=
②0
03,()11n
m n y n n =≤≤=
=+∑ ③3
4
47,()18m n n y n n =-≤≤==-∑
④7,()0n y n <= 最后结果为
0, 0,7()1, 038, 47n n y n n n n n <>??
=+≤≤??-≤≤?
y(ｎ)的波形如题8解图(一）所示。 （２)
444()2()*[()(2)]2()2(2) 2[()(1)(4)(5)]
y n R n n n R n R n n n n n δδδδδδ=--=--=+-----
y （n)的波形如题8解图（二）所示. （3)
55()()*() ()0.5
()0.5
()0.5()
n m
n
m m m y n x n h n R m u n m R m u n m ∞
∞
--=-∞
=-∞
==
-=-∑
∑
y(n ）对于m 的非零区间为04,m m n ≤≤≤。 ①0,()0n y n <=
②111
10.504,()0.5
0.5
0.5(10.5)0.520.510.5
n n
n
m
n n n n m n y n ------=-≤≤===--=--∑ ③54
1
10.55,()0.5
0.5
0.5310.510.5n
m
n n m n y n ---=-≤===?-∑ 最后写成统一表达式：
5()(20.5)()310.5(5)n n y n R n u n =-+?-
１1. 设系统由下面差分方程描述：
11
()(1)()(1)22
y n y n x n x n =
-++-; 设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。
解:
令：()()x n n δ=
11
()(1)()(1)22
h n h n n n δδ=
-++- 2
11
0,(0)(1)(0)(1)12211
1,(1)(0)(1)(0)1
2211
2,(2)(1)2211
3,(3)(2)()22n h h n h h n h h n h h δδδδ==
-++-===++====
=== 归纳起来,结果为
11
()()(1)()2
n h n u n n δ-=-+
12. 有一连续信号()cos(2),a x t ft π?=+式中，20,2
f Hz π
?==
(1)求出()a x t 的周期。
(2)用采样间隔0.02T s =对()a x t 进行采样,试写出采样信号()a x t 的表达式。 (3）画出对应()a x t 的时域离散信号(序列) ()x n 的波形，并求出()x n 的周期。
————第二章————
教材第二章习题解答
1． 设()jw X e 和()jw
Y e 分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换: (1)0()x n n -； (2）()x n -； (３)()()x n y n ; (4）(2)x n 。 解：
（1）00
[()]()jwn
n FT x n n x n n e
∞
-=-∞
-=
-∑
令''
00,n n n n n n =-=+，则
'00()
'
0[()]()()jw n n jwn jw n FT x n n x n e
e X e ∞
-+-=-∞
-=
=∑
(２）*
*
**[()]()[()]()jwn
jwn jw n n FT x n x n e
x n e X e -∞
∞
-=-∞=-∞
=
==∑∑
（3）[()]()jwn
n FT x n x n e
∞
-=-∞
-=
-∑
令'
n n =-,则
'
''
[()]()()jwn jw n FT x n x n e
X e ∞
-=-∞
-=
=∑
(4） [()*()]()()jw
jw
FT x n y n X e Y e = 证明: ()*()()()m x n y n x m y n m ∞
=-∞
=
-∑
[()*()][()()]jwn
n m FT x n y n x m y n m e
∞
∞
-=-∞=-∞
=
-∑∑
令k=n-m,则
[()*()][()()] ()() ()()
jwk jwn
k m jwk
jwn
k m jw jw FT x n y n x m y k e
e
y k e x m e
X e Y e ∞
∞
--=-∞=-∞∞
∞--=-∞
=-∞
==
=∑∑∑∑
2. 已知0
01,()0,jw
w w X e w w π
?
求()jw
X e 的傅里叶反变换()x n 。
解: 0
0sin 1
()2w jwn w w n
x n e dw n
π
π-=
=
?
3． 线性时不变系统的频率响应(传输函数)()
()(),jw
jw
j w H e H e e θ=如果单位脉冲响应
()h n 为实序列,试证明输入0()cos()x n A w n ?=+的稳态响应为
00()()cos[()]jw y n A H e w n w ?θ=++。
解：
假设输入信号0()jw n
x n e
=,系统单位脉冲相应为h （ｎ)，系统输出为
00000
()
()()*()()()()jw n
jw n m jw n
jw m
jw m m y n h n x n h m e
e
h m e
H e
e
∞
∞
--=-∞
=-∞
==
==∑∑上式说明，当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
0000000000000()()1
()cos()[]2
1
()[()()]21
[()()]
2
jw n jw n j j jw n jw jw n jw j j jw n jw j w jw n jw j w j j x n A w n A e e e e y n A e e H e e e H e A e e H e e e e H e e ?????θ???---------=+=+=
+=+ 上式中()jw H e 是w 的偶函数,相位函数是w 的奇函数，
000000()()00()(),()()
1
()()[]2
()cos(())jw jw jw jw n j w jw n j w j j jw H e H e w w y n A H e e e e e e e A H e w n w θθ??θθ?θ----==--=
+=++ 4. 设1,0,1
()0,n x n =?=??
其它将()x n 以4为周期进行周期延拓，形成周期序列()x n ,画出()x n 和
()x n 的波形，求出()x n 的离散傅里叶级数()X k 和傅里叶变换。
解:
画出x(ｎ)和()x n 的波形如题4解图所示。
23
1
4
2
2
4
4
4
4
()[()]()1 ()2cos()4
j
kn j kn j k n n j k j k j k j k X k DFS x n x n e
e
e
e
e
e
k e
π
π
π
π
π
π
π
π
---==---====+=+=?∑∑,
()X k 以4为周期，或者
11111
2222
4
1110
2
4
4
4
1sin 1()2()1sin 1()
4
j k j k j k j k
j kn j k j k j k j k j k n k e e e e X k e
e
k e
e
e
e
ππππ
πππ
πππππ--------=--==
=
=--∑, ()X k 以4为周期
4
22()[()]()()4
4
()()
2
2
cos()()
42
jw
k k j k
k X e FT x n X k w k X k w k k e w k π
π
πδπ
π
δπ
π
π
δ∞
=-∞
∞
=-∞
∞
-=-∞
==
-=
-
=-
∑
∑∑
5. 设如图所示的序列()x n 的ＦT 用()jw
X e 表示，不直接求出()jw
X e ,完成下列运算： (1)0
()j X e ；
(２）
()jw
X e
dw π
π-
?;
(5)
2
()jw X e dw π
π
-?
解： (1）7
3
()()6j n X e x n =-=
=∑
(２）
()(0)24jw X e dw x π
π
ππ-=?=?
(5)
7
2
2
3
()2()28jw
n X e dw x n π
π
ππ=--
==∑?
6． 试求如下序列的傅里叶变换: (２)211
()(1)()(1)22
x n n n n δδδ=
+++-； （3)3()(),01n
x n a u n a =<<
解： （2）
22
11()()1221
1()1cos 2jw
jwn
jw jw n jw jw X e x n e e e e e w
∞
--=-∞
-=
=++=++=+∑
(３） 30
1
()()1jw
n jwn
n jwn jw
n n X e a u n e
a e ae ∞
∞
---=-∞
====
-∑
∑
7. 设:
（１)()x n 是实偶函数，
（2）()x n 是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,()x n 的傅里叶变换性质。 解： 令 ()()jw
jwn
n X e x n e
∞
-=-∞
=
∑
(１）x （n)是实、偶函数，()()jw
jwn
n X e x n e
∞
-=-∞
=∑
两边取共轭，得到
*()()()()()jw
jwn
j w n
jw n n X e x n e
x n e
X e ∞
∞
---=-∞
=-∞
=
=
=∑∑
因此*
()()jw
jw
X e X e
-=
上式说明ｘ(ｎ)是实序列，()jw
X e 具有共轭对称性质。
()()()[cos sin ]jw
jwn
n n X e x n e
x n wn j wn ∞
∞
-=-∞
=-∞
=
=
+∑∑
由于x(n ）是偶函数,x(n)sinwn 是奇函数,那么
()sin 0n x n wn ∞
=-∞
=∑
因此()()cos jw
n X e x n wn ∞
=-∞=
∑
该式说明()jw
X e 是实函数，且是w 的偶函数。
总结以上x(n ）是实、偶函数时,对应的傅里叶变换()jw
X e 是实、偶函数。 （2)x(ｎ)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(ｎ）是实序列,()jw
X e 具有共轭对称性质，即
*()()jw jw X e X e -=
()()()[cos sin ]jw
jwn
n n X e x n e
x n wn j wn ∞
∞
-=-∞
=-∞
=
=
+∑∑
由于x(ｎ）是奇函数,上式中()cos x n wn 是奇函数，那么
()cos 0n x n wn ∞
=-∞
=∑
因此()()sin jw
n X e j
x n wn ∞
=-∞
=∑
这说明()jw
X e 是纯虚数,且是w 的奇函数。
10. 若序列()h n 是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式： ()1cos jw
R H e w =+
求序列()h n 及其傅里叶变换()jw
H e 。 解：
/211()1cos 1[()]()221
,12()1,0
1
,12
0,01,0()(),01,1
2(),00,()()12cos
2
jw
jw jw
jwn
R e e n e e e jw
jwn
jw
jw n H e w e e FT h n h n e n h n n n n n h n h n n n h n n w
H e h n e
e
e ∞
--=-∞
∞
---=-∞
=+=++==?=-??
==???=?<=??????
====??????>???=
=+=∑∑其它n
12． 设系统的单位取样响应()(),01n
h n a u n a =<<,输入序列为()()2(2)x n n n δδ=+-，完成下面各题：
(1)求出系统输出序列()y n ；
(２)分别求出()x n 、()h n 和()y n 的傅里叶变换。 解: （1)
2
()()*()()*[()2(2)] ()2(2)
n n n y n h n x n a u n n n a u n a
u n δδ-==+-=+-
(2)
20
2()[()2(2)]121
()()112()()()1jw
jwn
j w
n jw
n jwn
n jwn jw
n n j w
jw jw
jw
jw
X e n n e e H e a u n e
a e ae
e Y e H e X e ae δδ∞
--=-∞
∞
∞
---=-∞
=--=+-=+=
==
-+==
-∑∑
∑ １3. 已知0()2cos(2)a x t f t π=，式中0100f Hz =,以采样频率400s f Hz =对()a x t 进行采样，得到采样信号()a x t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题：
（1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式;
（3)分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 序列的傅里叶变换。 解: (１)
000()()2cos() ()j t
j t a a j t j t j t X j x t e
dt t e dt
e e e dt
∞
∞
-Ω-Ω-∞-∞
∞Ω-Ω-Ω-∞
Ω==Ω=+???
上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数δ函数,它的傅里叶变换可以 表示成：
00()2[()()])a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω
（2） 0
?()()()2cos()()a a
n n x
t x t t nT nT t nT δδ∞∞
=-∞
=-∞
=-=Ω-∑∑
0()2cos(), x n nT n =Ω-∞<<∞
001
2200, 2.5s
f rad T ms f ππΩ===
= (3)
01?()()2 [()()]
a a s k s s k X j X j jk T k k T
π
δδ∞
=-∞
∞
=-∞
Ω=Ω-Ω=
Ω-Ω
-Ω+Ω+Ω-Ω∑∑
式中2800/s s f rad s ππΩ==
0000
0()()2cos()2cos() []2[(2)(2)]
jw
jwn
jwn
jwn
n n n jw n
jw n jwn n k X e x n e nT e
w n e
e
e e w w
k w w k π
δπδπ∞
∞
∞
---=-∞=-∞
=-∞
∞
∞--=-∞
=-∞
==
Ω=
=
+=--++-∑∑∑∑∑
式中000.5w T rad π=Ω=
上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。
14. 求以下序列的Z 变换及收敛域： （2)2(1)n
u n ----；
(３）2()n
u n --； (6)2[()(10)]n
u n u n --- 解：
（２) 110
11
[2()]2()2,122
n
n n
n n n n ZT u n u n z
z z z ∞
∞
-------=-∞
====
>-∑
∑
（3）
1
1
11[2(1)]2
(1)2
2211
,12122
n
n
n
n
n
n n
n n n ZT u n u n z
z
z z z z z ∞
∞
∞
-----=-∞
=-=-----=---=
-=--=
=<--∑∑∑
(６)
9
1010
11
[2()(10)]212 ,012n
n n
n ZT u n u n z z
z z
---=------=-=
<≤∞-∑
1６. 已知:
1132
()11212
X z z z --=
+
-- 求出对应()X z 的各种可能的序列的表达式。
解:
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况: 三种收敛域对应三种不同的原序列。 (１）当收敛域0.5z <时，
11
()()2n c
x n X Z z dz j π-=
?
令11
1115757()()(10.5)(12)(0.5)(2)
n n n
z z F z X z z
z z z z z z -------===---- 0n ≥,因为c 内无极点，x(n)＝０;
1n ≤-，C 内有极点0,但ｚ=0是一个n 阶极点,改为求圆外极点留数，圆外极点有
120.5,2z z ==，那么
0.52
()Re [(),0.5]Re [(),2]
(57)(57) (0.5)(2)
(0.5)(2)(0.5)(2)
1
[3()22](1)
2
n n
z z n n x n s F z s F z z z z z z z z z z z u n ===----=-------=-+--
(2)当收敛域0.52z <<时，
(57)()(0.5)(2)
n
z z F z z z -=
-- 0n ≥，C 内有极点0.5；
1
()Re [(),0.5]3()2
n x n s F z ==
0n <,C 内有极点０.5，0,但0是一个n 阶极点，改成求ｃ外极点留数，c 外极点只有一个，
即2,
()Re [(),2]22(1)n x n s F z u n =-=---
最后得到1()3()()22(1)2
n n
x n u n u n =--- (3)当收敛域2z <时，
(57)()(0.5)(2)
n
z z F z z z -=
-- 0n ≥,C 内有极点0.5，2;
1
()Re [(),0.5]Re [(),2]3()222
n n x n s F z s F z =+=+
n ＜0,由收敛域判断，这是一个因果序列,因此ｘ(n)=0。
或者这样分析，Ｃ内有极点0．5，2，0,但0是一个n 阶极点，改成求c 外极点留数，c 外无极点,所以ｘ(ｎ）=０。 最后得到
1
()[3()22]()2
n n x n u n =+
1７. 已知()(),01n
x n a u n a =<<,分别求： （１）()x n 的Z 变换; (2)()nx n 的Z 变换； (3)()n
a u n --的z 变换。 解:
（１)1
1
()[()](),1n
n
n
n X z ZT a u n a u n z
z a az
∞
--=-∞
==
=
>-∑ （２)1
12[()](),(1)
d az ZT nx n z X z z a dz az --=-=>- (３）10
1
[()],1n
n n
n n n n ZT a u n a
z
a z z a az
-∞
∞
----==-=
==
<-∑∑ １８. 已知1
12
3()252z X z z z ----=-+,分别求:
（１）收敛域0.52z <<对应的原序列()x n ; （２）收敛域2z >对应的原序列()x n 。 解：
11
()()2n c
x n X z z dz j π-=
?
11
1
1233()()2522(0.5)(2)
n n n z z F z X z z
z z z z z -------?===-+-- (1）当收敛域0.52z <<时,0n ≥，c 内有极点0.5,
()Re [(),0.5]0.52n n x n s F z -===,0,n <
c 内有极点0.５,0，但0是一个n 阶极点,改求c 外极点留数,c 外极点只有２,
()Re [(),2]2n x n s F z =-=,
最后得到
()2()2(1)2
n
n n x n u n u n --=+--=
(2(当收敛域2z >时，
0,n ≥c 内有极点0.5,2,
()Re [(),0.5]Re [(),2]x n s F z s F z =+
30.5(2)
22(0.5)(2)
0.52
n
n
n n
z z z z z -?=+-=--=-
0,n 点,因此()0x n =, 最后得到 ()(0.52)()n n x n u n =- 25． 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 ()(),()(),01,01n n x n a u n h n b u n a b ==<<<<, 试： (1)用卷积法求网络输出()y n ; (2）用ZT 法求网络输出()y n 。 解： （1)用卷积法求()y n ()()()()()m n m m y n h n x n b u m a u n m ∞ -=-∞ =*= -∑,0n ≥, 1111 1 1()1n n n n n n n m m n m m n m m a b a b y n a b a a b a a b a b --+++---==--====--∑∑，0n <,()0y n = 最后得到 11 ()()n n a b y n u n a b ++-=- (2）用ＺT 法求()y n 11 11 (),()11X z H z az bz --= = -- ()() 1 1 1 ()()()11Y z X z H z az bz --== -- 11()()2n c y n Y z z dz j π-= ? 令()() 11 1 11 ()()()()11n n n z z F z Y z z z a z b az bz -+---===---- 0n ≥，ｃ内有极点,a b 1111 ()Re [(),]Re [(),]n n n n a b a b y n s F z a s F z b a b b a a b ++++-=+=+=--- 因为系统是因果系统，0n <,()0y n =，最后得到 11 ()()n n a b y n u n a b ++-=- 2８． 若序列()h n 是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式： 21cos (),112cos jw R a w H e a a a w -= <+- 求序列()h n 及其傅里叶变换()jw H e 。 解: 221cos 10.5() ()12cos 1() jw jw jw R jw jw a w a e e H e a a w a a e e ----+==+-+-+ 121110.5()10.5() ()1()(1)(1) jw jw R a z z a e e H z a a z z az az -----+-+==+-+-- 求上式ＩZT ，得到序列()h n 的共轭对称序列()e h n 。 11()()2n e R c h n H z z dz j π-= ? 21 1 1 0.50.5()()()() n n R az z a F z H z z z a z a z a ----+-==--- 因为()h n 是因果序列,()e h n 必定是双边序列，收敛域取:1 a z a -<<。 1n ≥时,c 内有极点a ， 211 0.50.51()Re [(),]()()() 2n n e az z a h n s F z a z z a a z a a z a z a ---+-==-==--- n=0时,c 内有极点a ,0， 21 1 10.50.5()()()() n R az z a F z H z z z a z a z a ----+-==--- 所以 ()Re [(),]Re [(),0]1e h n s F z a s F z =+= 又因为 ()()e e h n h n =- 所以 1,0()0.5,00.5,0n e n n h n a n a n -=?? =>?? 1,0(),0 ()2(),0,0()0,00,0e n n e n h n n h n h n n a n a u n n n =??=???? =>=>=??????< 01 ()1jw n jwn jw n H e a e ae ∞ --=== -∑ 3．２ 教材第三章习题解答 １. 计算以下诸序列的N 点DFT,在变换区间01n N ≤≤-内,序列定义为 （2)()()x n n δ=； （４）()(),0m x n R n m N =<<; （6）2()cos( ),0x n nm m N N π =<<； (8)0()sin()()N x n w n R n =?; (１0)()()N x n nR n =。 解： (2)1,,1,0,1)()()(1 1 -==== ∑∑-=-=N k n W n k X N n N n kn N δδ （４)1,,1,0,) sin( ) sin( 11)()1(1 -==--== ---=∑N k m N mk N e W W W k X m k N j k N km N N n kn N π π π 10,,0,1 1111212121)(2)(2)(2)(210 )(210)(2-≤≤?????-≠≠-===???? ??????--+--=+=+-+----=+--=-∑∑N k m N k m k m N k m k N e e e e e e k m N j N k m N j k m N j N k m N j N n n k m N j N n n k m N j 或且π π πππ π (6)kn N j mn N j N n mn N j N n kn N e e e W mn N k X π πππ221021 0)(2 12cos )(---=-=+=???? ??=∑∑ (８）解法1 直接计算 [] )(21)()sin()(0008n R e e j n R n w n x N n jw n jw N --= = [] ∑∑-=---=-==10 210 80021)()(N n kn N j n jw n jw N n kn N e e e j W n x k X π ??? ? ????-----=??????-=+--=+--∑)2()2(102200000011112121k N w j N jw k N w j N jw N n n N w j n N w j e e e e j e e j π πππ）（）（ 解法2 由ＤFT 的共轭对称性求解 因为 [])()sin()cos()()(0070n R n w j n w n R e n x N N n jw +== [])(Im )()sin()(708n x n R n w n x N == 所以 [][][])()(Im )(7078k X n x j DFT n jx DFT == 即 [] )()(2 1)()(77708k N X k X j k jX k X ---=-=* ??? ?????-----=????????-----=+-*---)11(1121)11(1121)2()2()(2()2(0 0000000k N w j N jw k N w j N jw k N N w j N jw k N w j N jw e e e e j e e e e j π πππ结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 （１０)解法1 1,,1,0)(1 0-==∑-=N k nW k X N n kn N 上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解X(ｋ）。 因为 )()(n nR n x N = 所以 )()()())1(()(n R n N n R n x n x N N N =+?--δ 等式两边进行DFT 得到 )()()(k N N W k X k X k N δ=+- 故 1,2,1,1] 1)([)(-=--=N k W k N k X k N δ 当0=k 时，可直接计算得出X(０） 2 ) 1()0(10 1 0-= =*=∑∑-=-=N N n W n X N n N n N 这样，X （k)可写成如下形式: ??? ? ?? ?-=--=-=1,2,1,10,2) 1()(N k W N k N N k X k N 解法2 0=k 时， 2 ) 1()(1 -= =∑-=N N n k X N n 0≠k 时, N N W N W k X W k X N W N W W W k X W W N W W W k X N n kn N N n kn N kn N k N N k N k N k N kn N k N N k N k N k N -=---=--=--+-+++++=-+++++=∑∑-=-=--1 1 1 )1(432)1(32)1(1)1()()() 1()2(320)()1(320)( 所以， 0,1)(≠--= k W N k X k N 即 ??? ? ?? ?-=--=-=1,2,1,10,2) 1()(N k W N k N N k X k N 2． 已知下列()X k ,求()[()];x n IDFT X k = (1),2(),2 0,j j N e k m N X k e k N m k θ θ -?=?? ?==-????? 其它； 第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处 理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案 1．２ 教材第一章习题解答 １. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2． 给定信号:25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 (１）画出()x n 序列的波形,标上各序列的值； (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-,试画出1()x n 波形; (4)令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形; (5）令3()2(2)x n x n =-,试画出3()x n 波形。 解： (1）x(n ）的波形如题２解图(一）所示。 (2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- (3)1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以２，画出图形如题2解图(二）所示。 (4)2()x n 的波形是x(n ）的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (５）画3()x n 时，先画x(－n)的波形,然后再右移2位,3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的，确定其周期。 (1)3()cos()78 x n A n π π=-，A 是常数； (2)1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： 数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )， y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ， 所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ， 所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频 率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=? ?? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211 ======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号 Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、3 5000π=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S ===μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.6 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz 数字信号处理课后答案 高西全、丁美玉版 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2． 给定信号:25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （１）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值; (2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列; (３）令1()2(2)x n x n =-,试画出1()x n 波形； (４）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-,试画出3()x n 波形。 解： (1）ｘ(n)的波形如题2解图（一)所示。 （2) ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （３)1()x n 的波形是x(n ）的波形右移２位，在乘以2,画出图形如题2解图(二）所示。 （４)2()x n 的波形是ｘ(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(三)所示。 (５）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图(四）所示。 3． 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。 (1)3()cos()7 8x n A n π π=-,Ａ是常数; （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解: (1)3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列,周期是Ｔ=１4； (2)12,168w w π π==，这是无理数,因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述,()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； (3）0()()y n x n n =-,0n 为整常数; （5）2()()y n x n =; （7)0()()n m y n x m ==∑。 解： （1)令：输入为0()x n n -,输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 线性卷积结果序列 n=0:3; x=[(n+1)]; h=[(4-n)]; y=conv(x,h); subplot(221); stem(x); title('原序列1'); subplot(222); stem(h); title('原序列2'); subplot(223); stem(y); title('线行卷积结果序列'); 12340 1234原序列1 1234 1234原序列2 02468 10 20 30线行卷积结果序列 n=0:3; x=[(n+1)]; h=[(4-n)]; N1=5; N2=6; N3=7; N4=8; z1=circonv(x,h,N1); z2=circonv(x,h,N2); z3=circonv(x,h,N3); z4=circonv(x,h,N4); subplot(331); stem(x); title('原序列1'); subplot(332); title('原序列2'); subplot(333); stem(z1); title('N=5 循环卷积结果序列'); subplot(334); stem(z2); title('N=6 循环卷积结果序列'); subplot(335); stem(z3); title('N=7 循环卷积结果序列'); subplot(336); stem(z4); title('N=8 循环卷积结果序列'); Circonv 调用函数程序代码 function y=circonv(x1,x2,N) x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; xn2=[x2(1),fliplr(x2)]; xn2(length(xn2))=[]; C=xn2; R=x2; M=toeplitz(C,R); y=x1*(M); 2 4 24原序列1 2 4 02 4原序列2 5 010 20 30N=5 循环卷积结果序列05100 20 40N=6 循环卷积结果序列05100 20 40N=7 循环卷积结果序列0510 2040N=8 循环卷积结果序列 数字信号处理基础书后题答案中文版 Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、35000π =ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π =ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S === μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数 倍 -200 200 400 600 800 1000 1200 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91 幅度 频 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2() 8sin( )1(n n n n n π π π π - ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= }2 3 ,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 解得y (n )={2,7,19,28,29,15} ③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+= }{1,4,6,5,2答案：x(n)= 4. 如果输入信号为 ，求下述系统的输出信号。 答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试 成功！！ 电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+ 故该系统是线性系统。 数字信号处理大作业 班级：021231 学号： 姓名： 指导老师：吕雁 一写出奈奎斯特采样率和和信号稀疏采样的学习报告和体会 1、采样定理 在进行A/D信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频 率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍；采样定 理又称奈奎斯特定理。 (1)在时域 频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各 采样值完全恢复原始信号。 (2)在频域 当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时,f(t)的值可由一系列 采样间隔小于或等于1/2fo的采样值来确定,即采样点的重复频率fs ≥2fmax。 2、奈奎斯特采样频率 (1)概述 奈奎斯特采样定理：要使连续信号采样后能够不失真还原，采样频率必须 大于信号最高频率的两倍（即奈奎斯特频率）。 奈奎斯特频率（Nyquist frequency）是离散信号系统采样频率的一半，因哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）或奈奎斯特－香农采样定理得名。采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可 以真实的还原被测信号。反之，会因为频谱混叠而不能真实还原被测信号。 采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或 带宽，就可以避免混叠现象。从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。但是，重建信号的过程需要以一个低 通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还 要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实 现的。在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分 量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。因此信号带宽通常会略小于奈 奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。需要注意的是，奈奎斯 特频率必须严格大于信号包含的最高频率。如果信号中包含的最高频率恰好为 第一章数字信号处理概述简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字 长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 《数字信号处理》上机全部源代码调试通过，完整版 （高西全，第四版） 实验一 %实验1：系统响应及系统稳定性 close all;clear all %调用fliter解差分方程，由系统对un的响应判断稳定性 %内容1：调用filter解差分方程，由系统对u(n)的响应判断稳定性 A=[1,-0.9];B=[0.05,0.05]; x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1,50)]; x2n=ones(1,128); hn=impz(B,A,58); subplot(2,2,1);y='h(n)';tstem(hn,y); title('(a) 系统单位脉冲响应h(n)') y1n=filter(B,A,x1n); subplot(2,2,2);y='y1(n)';tstem(y1n,y); title('(b) 系统对R8(n)的响应y1(n)') y2n=filter(B,A,x2n); subplot(2,2,4);y='y2(n)';tstem(y2n, y); title('(c) 系统对u(n)的响应y2(n)') y1n=filter(B,A,x1n); subplot(2,2,2);y='y1(n)';tstem(y1n,y); title('(b) 系统对R8(n)的响应y1(n)') y2n=filter(B,A,x2n); subplot(2,2,4);y='y2(n)';tstem(y2n, y); title('(c) 系统对u(n)的响应y2(n)') %内容2：调用conv函数计算卷积 x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1]; %产生信号x1n=R8n h1n=[ones(1,10) zeros(1,10)]; h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1,10)] y21n=conv(h1n,x1n); y22n=conv(h2n,x1n); figure(2) subplot(2,2,1);y='h1(n)';tstem(h1n,y); %调用函数tstem绘图 title('(d) 系统单位脉冲响应h1(n)') subplot(2,2,2);y='y21(n)';tstem(y21n,y); title('(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)') subplot(2, 2,3); y='h2(n)';tstem(h2n,y); %调用函数tstem绘图 title('(f) 系统单位脉冲响应h2(n)') 数字信号处理实验 西安电子科技大学 姓名：刘中山 学号：03091404 一、实验内容 1．利用傅立叶级数展开的方法，自由生成所需的x(t)； 2．通过选择不同的采样间隔T（分别选T>或<1/2f c），从x(t)获得相应的x(n)（作出x(n)图形）； 3．对获得的不同x(n)分别作傅立叶变换，分析其频率响应特性（给出幅频与相频特性曲线）； 4．利用巴特沃思、切比雪夫或椭圆滤波器设计数字滤波器（滤波特性自定），要求通过改变滤波器参数或特性（低通、高通、带通或带阻）设计至少两种数字滤波器，分析所设计滤波器（画出频率特性曲线），并对上述给出的不同x(n)分别进行滤波（画出滤波结果），然后加以讨论； 5．利用窗函数设计法或频率采样法设计数字滤波器（滤波特性自定），要求通过改变滤波器参数或特性（低通、高通、带通或带阻等）设计至少两种数字滤波器，分析所设计滤波器（画出频率特性曲线），并对上述给出的不同x(n)分别进行滤波（画出滤波结果），然后加以讨论。 二、实验代码及注释 %生成信号参数设置 t=0:pi/1000:2*pi; f0=10; f1=50; f2=80; f3=150; %产生的信号 x=4*sin(2*pi*f0*t)+sin(2*pi*f1*t)+1.2*sin(2*pi*f2*t)+0.8*sin(2*pi*f3*t); %采样1 fs1=500; %500>2*f3=300 ts1=1/fs1; n1=0:149; %n=0:(fs1/f1)*3-1; t1=ts1*n1; y1=4*sin(2*pi*f0*t1)+sin(2*pi*f1*t1)+1.2*sin(2*pi*f2*t1)+0.8*sin(2*pi*f3*t1); %采样2 fs2=200; %200<2*f3=300 ts2=1/fs2; n2=0:149; %n=0:(fs2/f1)*5-1; t2=ts2*n2; y2=4*sin(2*pi*f0*t2)+sin(2*pi*f1*t2)+1.2*sin(2*pi*f2*t2)+0.8*sin(2*pi*f3*t2); %傅里叶变换 数字信号处理期末复习题 一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分） 1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。 (Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 ①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。 ①Ωs②.Ωc ③.Ωc/2④.Ωs/2 3.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。 ①.R3(n) ②.R2(n) ③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1) 4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。 ①.有限长序列②.右边序列 ③.左边序列④.双边序列 5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。 ①当｜a｜<1时，系统呈低通特性 ②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性 ③.当0 6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。 ①.2 ②.3 ③.4 ④.5 7.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。 ①.FFT是一种新的变换 ②.FFT是DFT的快速算法 ③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 ④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数) 8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。 ①.横截型②.级联型 ③.并联型④.频率抽样型 9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ④ )。 ①.h［n］=-h［M-n］ ②.h［n］=h［M+n］ ③.h［n］=-h［M-n+1］ ④.h［n］=h［M-n+1］ 10.下列关于用冲激响应不变法设计IIR滤波器的说法中错误的是( ④ )。 ①.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 ②.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 ③.容易出现频率混叠效应 ④.可以用于设计高通和带阻滤波器 11.利用矩形窗函数法设计FIR滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( ① )。 ①.窗函数幅度函数的主瓣宽度 ②.窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半 Answer to “Digital Signal Processing of 2005” Problem 1 (a) even part: };5.0,1,7,7,5,7,7,1,5.0{---=e X odd part: };5.0,1,3,1,0,1,3,1,5.0{----=o X (b) };20,16,11,94,36,40,31 ,16,12,0{-----=y (c) MATLAB Program n=-4:2; x=[1 -2 4 6 -5 8 10]; [x11,n11]=sigshift(x,n,2); [x12,n12]=sigshift(x,n,-1); [x13,n13]=sigfold(x,n); [x13,n13]=sigshift(x13,n13,-2); [x12,n12]=sigmult(x,n,x12,n12); [y,n]=sigadd(2*x11,n11,x12,n12); [y,n]=sigadd(y,n,-1*x13,n13) Problem 2 (a)w j w j w j w j jw jw e e e e e e X 65424210124)(-----++++++=，()j X e ωis periodic in ω with period 2π (b) MATLAB Program : clear; close all; n = 0:6; x = [4,2,1,0,1,2,4]; w = [0:1:1000]*pi/1000; X = x*exp(-j*n'*w); magX = abs(X); phaX = angle(X); % Magnitude Response Plot subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);grid; xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|X|'); title('Magnitude Response'); % Phase response plot subplot(2,1,2); plot(w/pi,phaX*180/pi);grid; xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Degrees'); title('Phase Response'); axis([0,1,-180,180]) (c) Because the given sequence x (n)={4,2,1,0,1,2,4} (n=0,1,2,3,4,5,6) is symmetric about 1 32 N α-= =,the phase response ()j H e ω < satisfied the condition ：()3j H e ω αωω<=-=- so the phase response is a linear function in ω. (d) 150,350Hz Hz Ω=-; (e) The difference of amplitude and magnitude response: 数字信号处理大作业 班级：021231 学号： 姓名：指导老师：吕 雁 写出奈奎斯特米样率和和信号稀疏米样 的学习报告和体会 1、采样定理 ___ T在进行A/D信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5?10倍；采样定 理又称奈奎斯特定理。 (1) 在时域 频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1 ±A t), f(t1 ±2A t),...来表示,只要这些采样点的时间间隔A t < 1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。 (2) 在频域 当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fo的采样值来确定，即采样点的重复频率fs >2fmax。 2、奈奎斯特采样频率 (1)概述 奈奎斯特采样定理：要使连续信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最咼频率的两倍(即奈奎斯特频率)。 奈奎斯特频率(Nyquist frequency )是离散信号系统采样频率的一半，因哈里?奈奎斯特(Harry Nyquist )或奈奎斯特—香农采样定理得名。采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以真实的还原被测信号。反之，会因为频谱混叠而不能真实还原被测信号。 采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。如果信号中包含的最高频率恰好为 数字信号处理的应用与发展趋势 作者：王欢 天津大学信息学院电信三班 摘要： 数字信号处理是应用于广泛领域的新兴学科，也是电子工业领域发展最为迅速的技术之一。本文就数字信号处理的方法、发展历史、优缺点、现代社会的应用领域以及发展前景五个方面进行了简明扼要的阐述。 关键词： 数字信号处理发展历史灵活稳定应用广泛发展前景 1、数字信号处理的简介 1.1、什么是数字信号处理 数字信号处理简称DSP，英文全名是Digital Signal Processing。 数字信号处理是利用计算机或专用处理设备以数字的形式对信号进行采集、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理，以得到符合人们需要的信号形式。 DSP系统的基本模型如下： 数字信号处理是一门涉及许多学科且广泛应用于许多领域的新兴学科。它以众多的学科为理论基础，所涉及范围及其广泛。例如，在数学领域、微积分、概率统计、随即过程、数值分析等都是数字信号处理的基本工具；同时与网络理论、信号与系统、控制论、通信理论、故障诊断等学科也密切相关。近年来的一些新兴学科，如人工智能、模式识别、神经网络等，都是与数字信号处理密不可分的。数字信号处理可以说许多经典的理论体系作为自己的理论基础，同时又使自己成为一门新兴学科的理论基础。 1.2、数字信号系统的发展过程 数字信号处理技术的发展经历了三个阶段。 70 年代 DSP 是基于数字滤波和快速傅里叶变换的经典数字信号处理 , 其系统由分立的小规模集成电路组成 , 或在通用计算机上编程来实现 DSP 处理功能 , 当时受到计算机速度和存储量的限制 ,一般只能脱机处理 , 主要在医疗电子、生物电子、应用地球物理等低频信号处理方面获得应用。 80 年代 DSP 有了快速发展 , 理论和技术进入到以快速傅里叶变换 (FFT) 为主体的现代信号处理阶段 , 出现了有可编程能力的通用数字信号处理芯片 , 例如美国德州仪器公司(TI公司 ) 的 TMS32010 芯片 , 在全世界推广应用 , 在雷达、语音通信、地震等领域获得应用 , 但芯片价格较贵 , 还不能进 入消费领域应用。 90 年代 DSP 技术的飞速发展十分惊人 , 理论和技术发展到以非线性谱估计为代表的更先进的信号处理阶段 , 能够用高速的 DSP 处理技术提取更深层的信息 , 硬件采用更高速的 DSP 芯片 , 能实时地完成巨大的计算量 , 以 TI 公司推出的 TMS320C6X 芯片为例 , 片内有两个高速乘法器、 6 个加法器 , 能以 200MHZ 频率完成 8 段 32 位指令操作 , 每秒可以完成 16 亿次操作 , 并且利用成熟的微电子工艺批量生产 ,使单个芯片成本得以降低。并推出了 C2X 、 C3X 、C5X 、 C6X不同应用范围的系列 , 新一代的 DSP 芯片在移动通信、数字电视和消费电子领域得到广泛应用 , 数字化的 考试时间 120 分钟 考试形式：闭卷 数字信号处理 试题 班级 学号 一、填空（20分，每空4分） 1.5()cos 7 8x n A n π π??=- ???的周期？ 14 2. 将两个输入()1cos2x t t π=，()2cos5x t t π=通过一理想采样系统，采样频率为6/s rad s πΩ=，采样后经理想低通滤波器()a H j Ω还原，其中 ()1 320,3a H j π π?Ω；1，整个z 平面。 5. 一系统的极点有4 0.2j e π,4 0.2j e π-,0.4,6 2j e π,6 2j e π-,1.5,在何种情况下系 统为因果系统，在何种情况下系统为稳定系统？2z >为因果系统，0.4 1.5z <<为稳定系统。 二、(15分，每小题5分)简答题 （1） 设有频率为1000Hz 的余弦信号，用采样频率1600s f Hz =对其采样，请利 用采样定理进行分析并给出具体表达式 答： 故采样后为cos(1200)t π （2） 做DFT 提高信号频率分辨率的方法有哪些，对序列进行补零做DFT 能否提 高信号的频率分辨率？ 答：通过增加序列的截取长度N 可以提高频率分辨率，对序列补零并不能提高信号的频率分辨率。 （3） IIR 滤波器与FIR 滤波器的优缺点 答：IIR 滤波器可以利用成熟的模拟滤波器进行设计，但是是非线性相位；FIR 可严格线性相位并能够任意幅度特性，且为因果稳定系统，可用FFT 计算，但是阶次比IIR 要高很多。 三、（10分）判断系统是否是线性的、时不变的。 ()()0 n k n T x n x k == ????∑ 解：由()()0 n k n T x n x k == ????∑得 ()()()()()()()()0 121 2 1 2 1 2 n k n n n k n k n T ax n bx n ax k bx k ax k bx k aT x n bT x n ===+= +???????? = +=+???????? ∑∑∑ 所以系统是线性系统。 又因为 ()()()0 0n n m k n k n m T x n m x k m x k -==--= -=????∑∑，()()0n m k n m y n m x k -=--=∑ 即 ()()T x n m y n m =≠-????数字信号处理习题集(附答案)
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