专题训练五 数形结合思想
一、选择题
1.已知在第二象限内，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是
A.(2，3)
B.(-2，3)
C.(-3，2)
D.(3，2)
2.把不等式组?
??≤->+01,01x x 的解集表示在数轴上，正确的是
图2-3
3.若M(-21,y 1)、N(-41,y 2)、P(21,y 3)三点都在函数y=x
k (k ＜0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为
A.y 2＞y 3＞y 1
B.y 2＞y 1＞y 3
C.y 3＞y 1＞y 2
D.y 3＞y 2＞y 1
4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2-4所示，则a 、b 、c 满足
图2-4
A.a ＜0,b ＜0,c ＞0
B.a ＜0,b ＜0,c ＜0
C.a ＜0,b ＞0,c ＞0
D.a ＞0,b ＜0,c ＞0
5.已知二次函数y=x 2-2x-3，当_______________时，y 随x 的增大而增大；当_______________时，y 的值小于0
A.x ＜1；-1＜x ＜3
B.x ＞1；x ＜-1或x ＞3
C.x ＞1；-1＜x ＜3
D.x ＜-1；x ＜-1或x ＞3
二、填空题
6.实数a 、b 在数轴上的位置如图2-5所示,化简2a +∣a-b ∣=__________________.
图2-5
7.若不等式组???->+<1
2,1m x m x 无解，则m 的取值范围是________________.
8.青岛市是严重缺水地区，自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费是用水量的函数，其图象如图2-6所示：
观察函数图象，回答自来水公司采取的收费标准______________________________________ _______________________________________________________________________________ .
图2-6
9.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
图2-7
(2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式为___________________.
10.如图2-8，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)和C(0，-3)，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.
图2-8
(1)二次函数的解析式为_______________________.
(2)当自变量x_______________时，两函数的函数值都随x增大而增大.
(3)当自变量_______________时，一次函数值大于二次函数值.
(4)当自变量x_______________时，两函数的函数值的积小于0.
三、解答题
11.某广电局与长江证券公司联合推出广电宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、影视欣赏、股市大户室等项服务，用户交纳上网费的方式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上网时间x(小时)与上网费y(元)的函数关系用图2-9中的折线表示；方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元.若设一用户每月上网x小时，月上网费为y元.
图2-9
(1)根据图2-9，写出方式二中y与x的函数关系式；
(2)试写出方式三中y与x的函数关系式；
(3)若此用户每月上网60小时，选用哪种方式上网费用最少？最少费用是多少？
12.如图2-10，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
图2-10
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式.
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，它跳离地面的高度是多少？
一、选择题
1答案：C
提示：点P到x轴的距离是2，所以y=2；到y轴的距离是3，所以x=3.
2答案：B
提示：不等式组的解集在数轴上表示,要注意实心点和空心点的区别.
3答案：B
提示：由k＜0，反比例函数的图象过第二、四象限，由此可知y1、y2为正值，y3为负值；然后再根据增减性确定y1、y2的大小.
4答案：A
提示：二次函数y=ax 2+bx+c 图象中，a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴交于正半轴或负半轴，a 、b 同号对称轴为负，a 、b 异号对称轴为正.
5答案：C
提示：求出抛物线的对称轴，以及抛物线和x 轴的交点坐标，通过数形结合，得出答案.
二、填空题
6答案：b-2a
提示：根据绝对值意义和二次根式化简.
7答案：m ≥2
提示：不等式组???->+<1
2,1m x m x 无解，
即2m-1≥m+1.
8答案：用水量不超过5吨时，每吨0.72元；当用水量超过5吨时，超过5吨的部分，每吨0.9元
提示：5吨水花费3.6元，便可求出单价.超过5吨水后，每用3吨花费2.7元，便可求出水的单价.
9答案：(1)1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52 (2)1+3+5+7+…+（2n-1）=n 2
提示：点阵中点的总数实际上可以看作正方形的面积.
10答案：(1)y=x 2-2x-3 (2)x ＞1 (3)0＜x ＜3 (4)＜-1
提示：用待定系数法求出函数解析式,再由图象判断.
11答案：（1）y=???>-≤≤.
50,22.1,500,58x x x （2）y=???>≤≤.75,
120,
750,
6.1x x x （3）第二种费用最少，最少费用为70元.
提示：运用待定系数法求直线解析式.
12答案：(1)y=-5
1x 2+3.5；(2)0.2米. 提示：把实际问题转化为数学问题：求抛物线上点的坐标.
数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 班级：2013级初等教育理科1班 目录
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与
2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题
2015 高考数学专题十四：数形结合思想 （教师版含 13 、 14 年高考题） 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题， 数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数 形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定 图形间的位置关系． 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象； (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线； (5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数 的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用． 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 () 11 A．(0 ， )B．( ，1) 22 C． (1,2) D ．(2 ，＋∞) 答案B 解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示， 当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围． 【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．
数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形,可以使许多数学问题变得简易化。 小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。 数形的结合是双向的，一方面，抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。 如我在教学“求一个数的几倍是多少”时，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化成自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。于是我就利用书上的主题图。在第一行排出用4根小棒围出的一个正方形，再在第二行排出同样的两个正方形，第三行摆出同样的四个正方形。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：第一行与第二行比较，第一行是1个4根，第二行是2个4根；把一个4根当作一份，则第一行小棒是1份，而第二行就有两份。用数学语言：把4根小棒当作1倍，第二行小棒的根数就是第一行小棒的2倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。接着我请学生说出第三行小棒根数与第一行的关系，学生能准确的从三个4根说出了第三行是第一行的3倍。 再如六年级有这样一题：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？ 此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思 5分米，或宽增加12分米，面积都增加60平方分米，原来长方形的面积是多少平方分米？”的教学中，我引导学生根据题意画出面积图：
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如： 1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小
平面直角坐标系------数形结合思想的平台 一、知识点： 1.平面直角坐标系的定义； 2.坐标平面内点的坐标的定义； 3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征； 4.一三（二四）象限角平分线上的坐标特点； 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征； 6.一维、二维坐标； 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系， 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系； 9、面积割补法； 10、绝对值的性质； 11、图形面积公式； 12、平移的性质； 二、基本思想方法： 1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法：画示意图、平移。 三、典型题目 （一）基础知识训练 称点是点C，则点C所表示的数是．在x轴上，到原 2.（1）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为（4，1），（1，-2）； （2）在（1）的条件下，过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在BM的延长线上截取MC=BM． ①写出点C的坐标； ②平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D 的坐标． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) 3．已知直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求： （1）A、B两点间的距离； （2）写出点C的坐标； （3）四边形OABC的面积． 4．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B （5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积
5．计算图中四边形ABOD的面积． 6．已知点A（-4，-1），B（2，-1） =12．求点C的坐标（写必要的（1）在y轴上找一点C，使之满足S △AB C 步骤）； =12的点C有多少个？这些（2）在直角坐标系中找一点C，能满足S △AB C 点有什么特征？ 7．如图，每个小正方形的边长为单位长度1． （1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标，说出各点到两坐标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。（2）点C与E的坐标什么关系？ （3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？ （4）你能求出图中哪些线段的长度？（总结公式）哪些图形的面积？ 8．如图，在△ABC中，已知点A（0，3），B（-2，-3），C（3，-5）．（1）在给出的平面直角坐标系中画出△ABC； （2）将△ABC向左平移4个单位，作出平移后的△A′B′C′； （3）点B′到x、y轴的距离分别是多少？ 9．如，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b． （1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点； （2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积．
数学思想方法专题：数形结合思想 【教学目标】 知识目标 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。 能力目标 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 情感目标 在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。 【教学重难点】 重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。 难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。 【考情分析】 在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。 【知识归纳】 数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方法解决问题。 应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数； (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式； (5)构建立体几何模型将代数问题几何化； (6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】 题型1：数形结合思想在集合中的应用 例1．设平面点集{ } 22 1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则B A ?所表示的平 面图形的面积为（ D ） A ． 34π B ． 35π C ． 47π D ． 2 π
数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形
“数形结合”在小学数学教学中的应用 数学课程标准提出了“通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。 数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。 一、数形结合思想的概念 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。 二、数形结合的三种应用方式 一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。 （1）以数化形 由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习
数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展
2016广东高考理数大二轮专项训练 第2讲数形结合思想 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． (2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围． (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系． (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式． (5)构建立体几何模型研究代数问题． (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题． (7)构建方程模型，求根的个数． (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．
数形结合思想 知识综述 （1）函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何问题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其原因，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式出现。 （2）解答此类问题必须充分注意以下问题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 理解二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x轴的交点，横坐标是对应方程的根。 d. 熟练掌握几个距离公式： 点P（x，y）到原点的距离 e. 具备扎实的几何推理论证能力。 一、填空题（每空5分，共50分） 1. 如果a，b两数在数轴上的对应点如图所示： 则化简：__________。 2. 已知A，B是数轴上的两点，AB=2，点B表示数－1，则点A表示的数为__________。 3. 已知△ABC的三边之比是，则这个三角形是__________三角形。 4. 已知点A在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，则点A的坐标是__________。（写出符合条件的一个点即可） 5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为CD的中点，△BCE的面积为1，则△ACD 的面积为__________。 6. 已知二次函数的图象如图所示，则由抛物线的特征写出如下含有系数
a，b，c的关系式：①②③④，其中正确结论的序号是__________（把你认为正确的都填上） 7. 如图，AB是半圆的直径，AB=10，弦CD∥AB，∠CBD=45°，则阴影部分面积为__________。 8. 某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是__________元。 9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 __________。 10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若 ，则AD的长为__________。
浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。 关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景 纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。 数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化 繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义 伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义 数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。
《小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究》 课题结题报告 课题类别：晋江市教育科学‘十二五’规划（第一批）立项课题课题编号：JG1251-067 课题负责人：黄阳斌 课题负责单位：深沪镇狮峰中心小学 结题时间：2013年6月
《<小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究>课题结题报告》数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。于是，课题《小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究》油然而生。 课题《小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究》为晋江市教育科学‘十二五’规划（第一批）立项课题，研究时间为2011年5月至2013年6月，历时2年。 回顾课题研究以来，课题组成员在研究过程中求真务实，尽职尽责，认真学习相关资料，积极参加课题研究各项活动且能及时将研究收获撰写成文。研究近两年，有多篇论文在省、市等各级各类中获奖或汇编，指导学生参加各级各类数学比赛成绩优异。随着研究的进行，教师的数学课堂有着本质性的变化，更加注重于数学思想的渗透与应用，善于挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，探索渗透数形结合思想方法的教学途径，课堂中有了更浓厚的数学味。同时对于学生而言，也能逐步地去应用数形结合去观察、分析和解决问题。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，
初中数学中的数形结合思想 “数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合. 一、以数助形 例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长. 这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5. 这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2. 例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值. 分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来
确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标. 设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m）， 则OA=4，OB=|m|. 如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8， 所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）. 由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′. 设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）. 把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12. 因为开口向下，所以，a=12不符合题意. 故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12， 所以当x=3时，y最大=12. 二、以形助数 例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值. 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角 形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中
平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、知识点： 1. 平 面 直 角 坐 标 系 的 定 义 ； 2. 坐 标 平 面 内 点 的 坐 标 的 定 义 ； 3. 各 象 限 内 及 坐 标 轴 上 点 的 坐 标 的 特 征 ； 4. 一 三 （ 二 四 ） 象 限 角 平 分 线 上 的 坐 标 特 点 ； 5. 与 坐 标 轴 平 行 的 直 线 上 的 点 的 坐 标 的 特 征 ； 6. 一 维 、 二 维 坐 标 ； 7、 点 的 坐 标 与 点 到 坐 标 轴 的 距 离 之 间 的 关 系 ， 8、 坐 标 平 面 内 线 段 长 度 与 线 段 两 端 点 坐 标 之 间 的 关 系 ； 9、 面 积 割 补 法 ； 10 、 绝 对 值 的 性 质 ； 11 、 图 形 面 积 公 式 ； 12 、 平 移 的 性 质 ； 二、基本思想方法： 1、 思 想 ： 数 形 结 合 思 想 、 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 、 算 术 法 。 2、 方 法 ： 画 示 意 图 、 平 移 。 三、典型题目 （一）基础知识训练 1 ．如 图 ，数 轴 上 A ， B 两 点 表 示 的 数 分 别 是 1 和 2 ，点 A 关 于 点 B 的 对 称 点 是 点 C ，则 点 C 所 表 示 的 数 是 点距离为 5 的坐标 分 别 为 （ 4， 1） ， （ 1 ， -2 ） ； （ 2 ）在（ 1 ）的 条 件 下 ，过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 点 M ，在 BM 的 延 长 线 上 截 取 MC=BM ． ①写出点 C 的坐标； ② 平 移 线 段 AB 使 点 A 移 动 到 点 C ， 画 出 平 移 后 的 线 段 CD ， 并 写 出 点 D 的坐标． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) ． ．在 x 轴 上 ，到 原
2.（ 1 ）请 在 下 面 的 网 格 中 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，使 得 A ， B 两 点 的 坐 标
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《数形结合思想》专题（整理）doc 初中数学 知识综述 〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其缘故，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式显现。 〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。 d. 熟练把握几个距离公式： 点P 〔x ，y 〕到原点的距离PO x y =+22 AB x x a =-= |||| 12? e. 具备扎实的几何推理论证能力。 一、填空题〔每空5分，共50分〕 1. 假如a ，b 两数在数轴上的对应点如下图： 那么化简：||||a b a b ++-=__________。 2. A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，那么点A 表示的数为__________。 3. △ABC 的三边之比是752：：，那么那个三角形是__________三角形。 4. 点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，那么点A 的坐标是__________。〔写出符合条件的一个点即可〕 5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，那么△ACD 的面积为__________。 6. 二次函数y ax bx c =++2 的图象如下图，那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ，
浅谈数形结合思想在小学数学中的应用 摘要 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题, 利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形, 可以使抽象问题具体化,可以使复杂问题简单化。 关键词 数形结合、思想、应用 一、小学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学 从人类发展的历史来看，具体形象的事物是出现在抽象的符号、文字之前的，人类一开始用小石子，贝壳记下所发生的事情，慢慢的发展成为用形象的符号记事，后来出现了数字。这个过程和小学生学习数学过程有着很大的相似之处。低年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始识数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。这方面的例子有有很多，如低年级开始学习识数、学习找规律、学习乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出来。 此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息内容；发现图形与数学知识之间的联系，并乐于用图形来表达数学关系。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力和逻辑思维能力。 要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并且学生会解题了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，这是一种片面的观点。平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种图像特点，理解和把握各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体实际情况，多角度多方面的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观了解“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来协调知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的逻辑思维能力，并提高学生的理解能力和运用水平。 二、利用图形的直观，帮助学生理解数量之间的关系，提高学习效率 用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。 “数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显其最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 例如：1、小学高年级中所学的，运用分数乘法、除法解决问题。引用人教版小学六年级上册数学书，第二章分数乘法，第二节解决问题，第20页，第二题。
数形结合在小学数学解决问题中的运用 许巷中心小学傅玲玲 [摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。［1］ 数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。[2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。 故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。