《线性代数(经济数学2）》课程习
题集
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习题
【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题1
1. 设三阶行列式为2
3
1
0211
01
--=D
求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．
2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式
125
343
27
64
154991657341111
4--=
D
3. 求解下列线性方程组：
??
?????=++++=++++=++++---1
1
1
13221
1
2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x
其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠
4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=?有非零解？
5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组1231231
23(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=??
+-+=??++-=?有非零解？
二、计算题2
6. 计算6
142
302151032121
----=
D
的值。
7. 计算行列式5
2
41
421318320521------=
D
的值。
8. 计算0
1
1
1
101111011110=
D
的值。
9. 计算行列式199119921993
199419951996199719981999
的值。
10. 计算
4
1241202105200
1
1
7
的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
211432X 3
1
11
1
3--
-????
-=
? ?----????
12. A 为任一方阵，证明T A A +，T
AA 均为对称阵。
13. 设矩阵
????
?
?-=21
2321
A ????
? ?
?-=10
3
110021B 求AB ．
14. 已知
????
?
?--=12
1311
A ????
? ?
?--=21
2
2
11033211B 求T )(AB 和T T A B
15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中
?????
?
?--=01
1220
111
A ????
?
?
?-=1211
11B 16. 设矩阵
??????
?
?
?--=21
043000035
0023
A 求1-A
17. 求???
?
?
?
?=31
1121
111
A 的逆。 18. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。 19. 求矩阵
???
?
??
?
?
?-=11
0210000120025
A
的逆。 20. 求矩阵1213
4254
1-??
?
- ? ?-?
?
的逆。
三、计算题3 21. 设矩阵
????
??
?
?
?---=14
1
131********
12211A 求矩阵A 的秩R (A )。
22. 求向量组4321,αααα,,的秩。其中，)1,0,1(1
-=α，)1,3,2(2-=α，)1,1,2(3-=α，
)4,2,3(4-=α。
23. 设向量组1β，2β，3β可由向量组1α，2α，3α线性表示。
??
??++-=-+=+-=3
21332123
211αααβαααβαααβ 试将向量1α，2α，3α 由 1β，2β，3β线性表示。
24. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？
a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a)T .
25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T 。
四、计算题4 26. 求线性方和组的解
??
?
??=+-=-+-=+-22133232321321x x x x x x x x
27. 求解下列线性方程组
??
?
??=+-+--=++-+=++-+4
32636242232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x
28. 当a 、b 为何值时，线性方程组
??
???
?
?=-+++=+++=-+++=++++2
33456220
32354321
54325432154321x x x x x b x x x x x x x x x a
x x x x x 有解，当其有解时，求出其全部解。
29. 求解齐次线性方程组??
?
??=+-=+-+=+-+07505320
25242143214321x x x x x x x x x x x
30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
1212341
2345
22153223
x x x x x x x x x x +=??
+++=??+++=?
31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．
32212
221321442),,(x x x x x x x x x f --+=
32. 设矩阵
????
? ?
?=21
1110
101
A 求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P 。
33. 求一个正交变换将二次型f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3化成标准形。
34. 求一个正交变换将二次型f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4化成标准形。
35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵2202
1202
0-??
?
-- ? ?-?
?
化为对角阵。 五、计算题5 （略）……
答案
一、计算题1 1. 解： 1120432
M =
= 11
1111(1)
4A M +=-=，（3分）
1210212M ==- 12
1212(1)
2A M +=-=-，（6分）
131251
3
M ==- 13
1313(1)
5A M +=-=，（8分）
2. 解： 对照范德蒙行列式，此处
a 1=4，a 2=3，a 3=7，a 4=-5 （3分） 所以有 441
()i j i j D a a ≥>≥=
∏- （5分）
213141324243()()()()()()a a a a a a a a a a a a =------ (34)(74)(54)(73)(53)(57)=--------- =10368 （8分）
3. 解：写出系数行列式D
211112
1
2222
1
1
11
n n n n
n
n
a a a a a a D a a a ---=
?????????
???
（3分）
D 为n 阶范德蒙行列式，据题设()i j a a i j ≠≠ 1()0i j i j n
D a a ≤<≤=
∏-≠ （5分）
由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知 12,0,...,0n D D D D ===
121,0n x x x ∴==???== （8分）
4. 解 系数行列式为
1
1
1
11
21
D λ
μμμλμ
==-. （4分） 令D =0, 得
μ=0或λ=1. （6分）
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解. （8分）
5. 解 系数行列式为
1241342312111
1
11
1D λ
λλλλλ
λ
----+=-=---（4分）
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3+λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. （6分） 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解. （8分）
二、计算题2 6. 解：
（4分）
（8分）
（10分）
7.解
（2分）
（4分）
（6分）
（8分）
=-60（10分）
8.解：
（5分）
（10分）
9. 解：对于行列式，使用性质进行计算。
有 1991
19921993
1994
199519961997
1998
1999
（第3列减第2列）（3分） 1
199819971199519941
19921991=（第2列减第1列）（6分） 1
11997
1119941
11991=（由于2，3列对应相等）（8分） =0（10分）
10. 解
4
1241202
105200
1
1
7
234341*********
321470
1
c c c c ---======--43
4110122(1)
10
3
14
+--=?--（5分）
4
110
1
2210
3
14
-=-2311329910
0201717
14
c c c c +======-=+.（10分） 11. 解 将上述等式看成2A X B -= （2分）
由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 2A B X -=
∴1()2
X A B =
-（4分）
=2114
331[]3
1
11
1
32---????
-
? ?----????
（6分）
=
622
1
404
2
-
??
?
-
??
（8分）
=
311
202
-
??
?
-
??
（10分）
12.证：对称阵：（20分）
（4分）
∴ 是对称阵. （6分）
（8分）
∴ 是对称阵（10分）
13.解 AB
（2分）
（6分）
（8分）
（10分）
14.解
（3分）
∴（6分）
而
（10分）15.解
（1分）
（3分）
（5分）
（7分）
（9分）
∴ X=A -1
B
（10分）
16. 解：132153
A -=
=-（2分）
23421
2
A =
= （4分）
1
1
3232153531A ---????
=
= ? ?--????
（6分） 1
2
12241131
3222A --??-??
?
==
? ?--
????
（8分） 于是
1
1
11232
05300
0012130022A A
A ----?? ?
- ?
??== ?- ?
?
?
? ?- ?
?
? （10分）
17. 解：
（3分）
（7分）
∴ （10分）
18. 证： 因为A 可逆，所以|A|≠0，（1分）
且1
1*A
A A
-=
于是有 A *=|A|A -1 （3分）
对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得 |A *|=||A|A -1| =|A|n |A -1| （5分）
又因
|A -1
|≠0 （∵A 可逆，由定义知A -1
可逆） ∴|A *|≠0
所以A *是可逆的． （6分）
因为
（8分）
可知
（10分）
19. 解：令125
212,2
11
1A A -????==
? ?????，（2分）于是1
200
A A A ??
= ???
则1
111
11220000
A A A
A A ----??
??== ? ???
??
（4分） 用伴随矩阵极易写出11
12,A A --
1
1
1225A --??
= ?-??
（6分） 1
2
12121331
11
1333A -?? ?
??== ? ?- ???- ???
（8分）
（10分）
20. 解 1213
4254
1A -??
?=- ? ?-?
?
. |A |=2≠0, 故A -1
存在. （2分）因为 11213112
223213
23
334
20*13
6132
14
2A A A A A A A A A A -????
?
?
==-- ?
? ? ?--????
, （6分） 所以 1
1
*||
A A A -=2
10131
322167
1-??
? ?=-
- ? ?--??
. （10分）
三、计算题3
21. 解：对A 作初等行变换，将它化为阶梯形，有
（2分）
（4分）
（6分）
（8分）
最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 （12分）
22.解：把排成的矩阵A（2分）
（8分）这是一个"下三角形"矩阵
（12分）
23.解：由上视为的线性方程组，解出来。
（2分）
（6分）
（10分）
所以 ???
?
?
????+=+=+=313322211212121212121ββαββαββα（12分）
24. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . （2分）由
11
||1
1(1)(1)1
1
a
A a a a a a
=-=-+-（8分） 知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. （12分）
25. 解 由
1231
921
921922100
40820010
(, , )110201900004
480
32
00
0~~r r ---??????
? ? ?-
? ? ?= ? ? ?-
? ? ?--??????
a a a , （7分） 知R(a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组. （12分）
四、计算题4 26. 解：
（3分）
（6分）
（9分）
方程有解
（12分）
视 x 3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一）（15分）
27. 解：
（3分）
（6分）
到此，()()35r A r A n ==<= ,导出组基础解系含5－2=3个基础解向量．导出组有2 个自由未知量．由最后的矩阵看取23,x x 为自由未知量．（8分） 写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以
表示）得：
112
32x k k =-+ 210x k =+
32x k = 41x =- 52x =（12分）
即 ?
????
?
?? ??+???????? ??-+???????
? ??-=???????? ??0010100012210032
1543
2
1k k x x x x x （15分）
28. 解：
（3分）
（5分）
时
方程组有解（无穷多解）。（7分）
（10分）
得一般解：
补齐
用解向量形式表出为：
（15分）
29. 解
???
?? ?
?---=10
7
55312
2521A （第1行乘-2，-5分别加到第2，3行）
（1分） ???
??
??----→92517017302521
（第2行乘-6加到第3行）
（2分） ???
??
??----→15171017302521（第2行与第3行交换）
（3分） ???
??
??----→17301517102521（第2行乘3加到第3行）
（4分） ????
? ??-----→4444001517102521（第3行乘44
1
-）（5分） ???
??
?
?---→1100151710
2521（第3行乘17加到第2行）
（6分） ???
?
? ??-→110020102521（第2行乘-2加到第1行）
（7分） ???
?
?
?
?--→11
0020102501（第3行乘5加到第1行）（8分）
???
?
? ?
?→11
020103001（9分） 因为3)(=A R ，134=-=-r n ，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应
含有一个解向量．（10分）
与原方程同解的方程组有
??
?
??=+++=+++=+++0
0002000300432143214321x x x x x x x x x x x x （12分） 即
???
??-=-=-=43
424
123x
x x x x x （15分） 30. 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
1
10051
01082
1121 01101353
2
2
300
1
2~r B -???? ? ?
=- ? ? ? ??
?
?
?
.（3分） 与所给方程组同解的方程为
13234
8
13 2x x x x x =--??
=+??=?.（6分） 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . （9分） 与对应的齐次方程组同解的方程为
13234
0x x x x x =-??
=??=?.（12分） 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T . （15分）
31. 解
（2分）
（4分）
《线性代数（经济数学2）?课程习 题集 【说明】：本课程《线性代数（经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有［计算题5］等试题类型未进入。 、计算题1 1. 设三阶行列式为D求余子式M1, Mb ， Mb及代数余子式A1，A12，A3. 2. 3. 1 1 1 1 4 3 7 5 D4 16 9 49 15 64 27 343 125 求解下列线性方程组： 2 n 1 X1 a1X2 a1X3 a1 X n 2 n 1 X 1 a2X282X3 a21 X n 2 n 1 X1 a n X2 a n X3 a n X n 其中a i a j (i j,i, j 1,2, n) 用范德蒙行列式计算4阶行列式 1 1 1 X 2 X3 4. 问取何值时齐次线性方程组X 1 X1 X2 2 X? X3 0有非零解? X 3
(1 )为 2X 2 4X 3 、计算题2 6.计算D 2 4 16 7.计算行列式D 2X 13.设矩阵 5.问 取何值时齐次线性方程组 2X 1 (3 )X ? X 3 0有非零解? % X 2 (1 )X 3 0 1991 1992 1993 9.计算行列式 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 1 1 0 的值。 1 2 4 4 12. A 为任一方阵，证明 A A T ， AA T 均为对称 阵。 的值。 的值。 8. 计算D 的值。 10.计算 10 的值。 11.求满足下列等式的矩阵 X 。
1 2 0 1 2 3 A B 0 1 1 212 3 0 1 求(AB )T 和 B T A T 15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中 1 1 1 11 A0 2 2 B 11 1 1 0 21 16. 设矩阵 3 2 0 0 5 3 0 0 A 0 0 3 4 0 0 1 2 求A 1 1 1 1 17. 求 A 1 2 1 的逆。 1 1 3 18.设n 阶方阵A 可逆，试证明 19. 求矩阵 5 2 0 0 2 1 0 0 A 0 0 1 2 0 0 1 1 的逆。 求 AB ． 14. 已知 1 1 3 A 1 2 1 1 1 2 3 B 3 0 1 1 2212 A 的伴随矩阵A 可逆，并求(A *)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
《经济数学基础》线性代数 第3章 线性方程组 1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念． 2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解． ? 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下： AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ； AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )． ? 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为： AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ． 例1 线性方程组?? ?=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ． A ．2×3矩阵 B ．3×2矩阵 C ．3阶矩阵 D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ． 例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ． A ．可能有解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）． 正确的选项是D ． 例3 若线性方程组的增广矩阵为???? ? ?=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解． A ．1 B ．4 C ．2 D ．12 解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ???? ??=41221λA ??? ? ??λ-λ→021021
线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12， A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 343276415 49 9 16 57341111 4--= D 3. 求解下列线性方程组： ?? ?????=++++=++++=++++---1 1 113221 1 2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠ 4. 问 取何值时 齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解 5. 问取何值时 齐次线性方程组12312312 3(1)240 2(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解 二、计算题2 6. 计算614 2302 1 51032121 ----= D 的值。 7. 计算行列式5 2 41 421318320521 ------= D 的值。 8. 计算0 111101111011 110= D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算 4 124120210520 117 的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---???? -= ? ?----???? 宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案 第一篇 微分学 一、单项选择题 1. 下列等式中成立的是(Ｄ)． A ． e x x x =+ ∞ →2)11(lim B ．e x x x =+∞→)2 1(lim C ．e x x x =+ ∞ →)211(lim D ． e x x x =++∞→2)1 1(lim 2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等． A ．2)(,)(x x g x x f = = B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5== C ．x x g x x f ln )(,)(== D ．2)(,2 4 )(2-=+-= x x g x x x f 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ． A ．x x x 1sin lim 0 → B ．x x x sin lim ∞→ C ．x x x sin lim 2 π→ D ． x x x 1 sin lim ∞→ 4. 函数的定义域是5arcsin 9 x 1 y 2x +-= （ B ）． A ．[]5,5- B ．[)(]5,33,5U -- C ．()()+∞-∞-,33,U D ．[]5,3- 5. ()==??? ??=≠=a ,0x 0x a 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （ B ） ． A ． 3 1 B ． 3 C ． 1 D ． 0 6. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2 p -3e Q =（ C ）. A ．2p -e 2 3- B ．23p Pe - C ．2)233(p e P -- D ．2)33(p e P -+ 7. 函数2 4 )(2--=x x x f 在x = 2点（ B ）. A. 有定义 B. 有极限 C. 没有极限 D. 既无定义又无极限 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 经济数学线性代数学习讲义 合川电大兰冬生 1, 矩阵: A =?? ?? ? ?????-012411210, 称为矩阵。认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列, 第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2 这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵 ?? ?? ? ?????-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。 ? ???? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211, 这个矩阵记作n m A ?, 表明这个矩阵有m 行, n 列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如: ???? ??????-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43?矩阵, 注意行3在 前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法 矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。 例如: ??????????--011101010 +??????????-012411210=?????? ? ???-021512220 减法是对应位置的数相减。, 3, 矩阵的乘法 矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应 ???? ? ?????3332 31 232221131211 a a a a a a a a a ????? ? ?????3332 312322211312 11b b b b b b b b b ???? ? ??????+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+?=33332332133132 332232123131 332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131 1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明: ???? ? ?????3332 31 232221131211a a a a a a a a a ???????????3332 312322211312 11b b b b b b b b b =?? ? ?????3332 31 232221 1211 c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。 乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。 经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数?????=≠+=0, 10,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若 c x F x x f +=?)( d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 12 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln x x x = C. )d(ln 1d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 二、填空题（每小题2分，共10分） 7．若函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 8．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性为E p = ． 9．=?x x c d os d ． 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文范围 及内容 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社出版的，规定线性代数考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等政策，2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文如下： 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理 考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式； 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念、矩阵的线件运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价及其运算。 考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质； 3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵； 4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法； 5．了解分块矩阵及其运算； 三、向量 考试内容 向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念； 2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法； 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩； 4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系； 5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法； 四、线性方程组 考试内容 电大2012-2013学年度第一学期经济数学基础期末试卷 2013.1 导数基本公式 积分基本公式： 0)('=C ?=c dx 1 ' )(-=αααx x c x dx x ++= +?1 1 ααα ）1且,0(ln )(' ≠>=a a a a a x x c a a dx a x x += ?ln x x e e =')( c e dx e x x +=? )1,0(ln 1 )(log '≠>= a a a x x a x x 1 )(ln '= c x dx x +=?ln 1 x x cos )(sin '= ?+=c x xdx sin cos x x sin )(cos '-= ?+-=c x xdx cos sin x x 2 'cos 1 )(tan = ?+=c x dx x tan cos 1 2 x x 2 'sin 1 )(cot - = c x dx x +-=? cot sin 1 2 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. x x g x x f A ==)(,)()(.2 1)(,1 1)(.2+=--=x x g x x x f B x x g x x f C ln 2)(,ln )(.2== 1)(,cos sin )(.22=+=x g x x x f D 2.?? ? ??=≠=0,0,sin )(函数x k x x x x f 在x=0处连续，则k=( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3.下列定积分中积分值为0的是（ ） dx e e A x x ? ---1 1 2 . ? --+1 1 2 .dx e e B x x dx x x C )cos (.3+?-ππ dx x x D )sin (.2 +?-π π 4.，3-1-4231-003-021设??? ? ? ?????=A 则r(A)=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.若线性方程组的增广矩阵为=??? ???--=λλλ则当,421021A （ ）时，该 线性方程组无解. 21 .A B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 的定义域是2 4 函数.62--= x x y 7.设某商品的需求函数为2 10)(p e p q - =，则需求弹性E p = 8.=+=??--dx e f e C x F dx x f x x )(则,)()(若 9.当a 时，矩阵A=?? ????-a 131可逆. 10.已知齐次线性方程组AX=O 中A 为3x5矩阵，则r(A)≤ 三、微积分计算题（每小题10分，共20分） dy x x y 求,ln cos 设.112+= dx e e x x 23ln 0 )1(计算定积分.12+? 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 1)(，计算21-1-001，211010设矩阵.13-??? ? ? ?????=??????????=B A B A T .的一般解5 532322求线性方程组.144321 4321421??? ??=++-=++-=+-x x x x x x x x x x x 五、应用题（本题20分） 15.设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：C(q)=100+0.25q 2+6q （万元），求： （1）当q=10时的总成本、平均成本和边际成本； 经济数学基础试题及详细答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 2 2cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数?????=≠+=0, 10,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若 c x F x x f +=?)( d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 12 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln x x x = C. )d(ln 1d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 二、填空题（每小题2分，共10分） 7．若函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 8．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性为E p = ． 9．=?x x c d os d ． 经济数学基础 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列函数中为偶函数的是（ ）． A ．x x y -=2 B ．11 ln +-=x x y C ．2 e e x x y -+= D ．x x y sin 2= 2．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ ）． A ． p p 32- B ． 32-p p C ．- -32p p D ． - -p p 32 3．下列无穷积分中收敛的是（ ）． A ．?∞ +0d e x x B ． ?∞+13d 1x x C ．?∞+12d 1x x D ．?∞ +1d sin x x 4．设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，且T T B AC 有意义，则C 是 ( )矩阵． A ．24? B ．42? C ．53? D ．35? 5．线性方程组???=+=+3 21 22121x x x x 的解得情况是（ ）． A . 无解 B . 只有O 解 C . 有唯一解 D . 有无穷多解 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．函数)5ln(21 )(++-=x x x f 的定义域是 ． 7．函数1 ()1e x f x =-的间断点是 . 8．若c x x x f x ++=?222d )(，则=)(x f . 9．设?? ?? ??????---=333222111 A ，则=)(A r ． 10．设齐次线性方程组O X A =??1553，且r (A ) = 2，则方程组一般解中的自由未知量个数为 ． 三、微积分计算题（每小题10分，共20分） 11．设x y x cos ln e -=，求y d ． 12．计算定积分 ? e 1 d ln x x x ． 四、代数计算题（每小题15分，共30分） 13．设矩阵??????????-=143102010A ，???? ? ?????=100010001I ，求1 )(-+A I ． 14．求齐次线性方程组??? ??=-++=+--=-++0 3520230 24321 431 4321x x x x x x x x x x x 的一般解． 五、应用题（本题20分） 15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +（元），单位销售价格为p = （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？ 参考解答 线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( ) 《经济数学基础》综合练习（线性代数） 一、单项选择题 1．设A 为23?矩阵，B 为32?矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB = C . 1T 11 T )() (---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB 3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111) (---=A B AB 4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A =-1 5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --1 6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）． A ．???? ??--6231 B ．??????--6321 C ．??????--5322 D ．?? ? ???--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立. A ．A B = A C ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BA D ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 8．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1 （ ）． A .kA -1 B . 11k A n - C . --kA 1 D . 11k A - 9．设???? ? ?????----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 经济数学基础作业讲解（四） 一、填空题 1. 函数1()ln(1) f x x = + -的定义域为______________. 解：40,10,2,x x x -≥??->≠? 解之得14,2x x <≤≠ 答案：(1,2)(2,4]? 2. 函数2)1(3-=x y 的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点. 解：令6(1)0y x '=-=，得驻点为1x =，又60y ''=>，故1x =为极小值点 答案：1,1==x x ，小 3.设某商品的需求函数为2 e 10)(p p q -=，则需求弹性=p E . 解：2 2 1102210p p p p dq p p E e q dp e - -?? = = ?-=- ? ?? 答案：12 p - 4.若线性方程组1212 0x x x x λ-=??+=?有非零解，则λ=____________. 解：令11 ||101 A λλ -==+=，得1λ=- 答案：1- 5. 设线性方程组b AX =，且??? ? ? ??? ??+-→01 2310 6111 t A ，则__________t 时，方程组有唯 一解. 解：当()()3r A r A ==时，方程组有唯一解，故1t ≠- 答案：1-≠ 二、单项选择题 1. 下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 – x 解：因为在区间(,)-∞+∞上，()0x x e e '=>，所以x y e =区间(,)-∞+∞上单调增加 答案：B 2. 设1()f x x =，则(())f f x =（ ）． A ． 1x B ． 2 1x C ．x D ．2x 解：11(())1() f f x x f x x == = 答案：C 3. 下列积分计算正确的是（ ）． A ．? --=-1 1 0d 2 e e x x x B ．? --=+1 1 0d 2 e e x x x C ．0d sin 11 =?x x x - D ．0)d (31 1 2=+?x x x - 解：因为()2 x x e e f x --=是奇函数，所以? --=-1 1 0d 2 e e x x x 答案：A 4. 设线性方程组b X A n m =?有无穷多解的充分必要条件是（ ）． A ．m A r A r <=)()( B ．n A r <)( C ．n m < D ．n A r A r <=)()( 解：当n A r A r <=)()(时，线性方程组b X A n m =?才有无穷多解，反之亦然 答案：D 5. 设线性方程组??? ??=++=+=+3321 2321212a x x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（ ）． A ．0321=++a a a B ．0321=+-a a a C ．0321=-+a a a D ．0321=++-a a a 解：11 1 222 3313121 101101 100 110110 1112 1 01 1 00 a a a A a a a a a a a a a ?????? ? ? ? =→→ ? ? ? ? ? ?---? ?? ??? ， 则方程组有解的充分必要条件是()()r A r A =，即3120a a a --= 答案：C 三、解答题 1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y x y +='e 解：分离变量得 e y x e dy dx -=， 三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。 四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。 五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。 2019考研数学线性代数知识点总结 【行列式】 1、行列式本质——就是一个数 2、行列式概念、逆序数 考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。 3、二阶、三阶行列式具体性计算 考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。 4、余子式和代数余子式 考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。 5、行列式展开定理 考研：核心知识点，必考! 6、行列式性质 考研：核心知识点，必考!小题为主。 7、行列式计算的几个题型 ①、划三角(正三角、倒三角) ②、各项均加到第一列(行) ③、逐项相加 ④、分块矩阵 ⑤、找公因 这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。 考研：经常运用在找特征值中。 ⑥数学归纳法 ⑦范德蒙行列式 ⑧代数余子式求和 ⑨构造新的代数余子式 8、抽象型行列式(矩阵行列式) ①转置 ②K倍 ③可逆 ③伴随 ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型 (这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容) 考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。 【矩阵】 1、矩阵性质 考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。 2、数字型n阶矩阵运算 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001000 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 1 10000 0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若21 3332 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 222123 21 12 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)
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