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最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点

一、选择题

1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( )

A ．102a b -

< B ．102a b -≤ C ．()102

a b -< D ．102a b -< 【答案】D

【解析】

【分析】

列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0．【详解】解：根据题意得

102

a b -< 故选D ．

【点睛】本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．

2．如果不等式(2)25a x a ->-的解集是4x <，则不等式251a y ->的解集是（）．

A ．52

y < B ．25y < C ．52y > D ．25

y > 【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质得出20a -<，2542a a -=-，解得32

a =，则2a=3，再解不等式251a y ->即可．

【详解】

解：∵不等式（a-2）x ＞2a-5的解集是x ＜4，

∴20a -<， ∴2542

a a -=-，解得32

a =

， ∴2a=3， ∴不等式2a-5y ＞1整理为351y ->，解得：25

y <．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法．

【详解】

解：不等式2x+1＞-3，

移项，得2x ＞-1-3，

合并，得2x ＞-4，

化系数为1，得x ＞-2．

故选C ．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用.

4．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( )

A ．8a ≥

B ．8a ≤

C ．8a >

D ．8a <

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可．

【详解】

解：由24x <可得：x ＜2；

由2(1)x x a ++<可得：x ＜23a -；由题意得：23

a -≥2，解得：a≥8；故答案为A ．

【点睛】

本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键．

5．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（）

A ．21090(18)2100x x +-≥

B ．90210(18)2100x x +-≤

C ．21090(18) 2.1x x +-≤

D ．21090(18) 2.1x x +->

【答案】A

【解析】

设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．

6．若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（） A ．1m >

B ．1m <

C ．1m ≠

D ．1m =

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x ＞1，可知m-1＜0，解之可得．

【详解】

∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1，

∴m-1＜0，即m ＜1，

故选：B ．

【点睛】

此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．

7．解不等式组3422133x x x -≥???+>-??

①②时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是( )

A ．

B ．

C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．

【详解】

x≤-，

解不等式①得：1

x<，

解不等式②得：5

将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

x-≥0的解集在数轴上表示正确的是（）

8．不等式26

A．B． C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求解出不等式的解集，再表示在数轴上

【详解】

解不等式：2x-6≥0

2x≥6

x≥3

数轴上表示为：

故选：B

【点睛】

本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（）

A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0

C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0

【答案】C

【分析】

根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．

【详解】

∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，

∴a +c ＝﹣2b ，

∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，

∴b ＞0，

∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++??-= ???＝2222042a ac c a c -+-??= ???

…，即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，

故选：C ．

【点睛】

此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．

10．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）

A ．6折

B ．7折

C ．8折

D ．9折【答案】B

【解析】

【详解】

设可打x 折，则有1200×

x -800≥800×5%，解得x≥7．

即最多打7折．

故选B ．

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．

11．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打( )折．

A ．6折

B ．7折

C ．8折

D ．9折

【答案】C

【解析】

设打了x 折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．

【详解】

解：设打了x 折，

由题意得，1200×0.1x ﹣800≥800×20%，

解得：x≥8．

答：至多打8折．

故选：C

【点睛】

本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．

12．如果,0a b c ><，那么下列不等式成立的是（）

A ．a c b +>

B ．a c b c +>-

C ．11ac bc ->-

D ．()()11a c b c -<- 【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质即可求出答案．

【详解】

解：∵0c <，

∴11c -<-，

∵a b >，

∴()()11a c b c -<-，

故选：D ．

【点睛】

本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．

13．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -

B ．2个

C ．3个

D ．4个【答案】B

【解析】

【分析】

先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解．

【详解】

不等式组0420x m x -

由①得x ＜m ；

由②得x ＞2；

∵m 的取值范围是4＜m ＜5，

∴不等式组0420x m x -

的整数解有：3，4两个．故选B ．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．

14．已知实数(0)a a >，b ，c 满足0a b c ++<，20a b +=，则下列判断正确的是（）．

A ．c a <，24b ac >

B ．c a <，24b ac <

C ．c a >，24b ac >

D ．c a >，24b ac <

【答案】A

【解析】

【分析】

由20a b +=，可得2,b a =- 代入0a b c ++<可得答案，再由2b a =-得到224,b a =利用已证明的基本不等式c a <，利用不等式的基本性质可得答案．

【详解】

解：20,a b +=Q 2,b a ∴=- 224,b a =

0,a b c ++Q ＜

20,a a c ∴-+＜

,c a ∴＜

0,a Q ＞ 40,a ∴＞

244,a ac ∴＞

24.b ac ∴＞

故选A ．

【点睛】

本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．

15．如图，不等式组315215x x --??-

…的解集在数轴上表示为（） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.

【详解】

由题意可知：不等式组315215x x ①②

--??-

. 故选C .

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.

16．不等式组213312x x +??+≥-?

＜的解集在数轴上表示正确的是（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．

【详解】 213312x x +??+≥-?

＜①② ∵解不等式①得：x ＜1，

解不等式②得：x≥-1，

∴不等式组的解集为-1≤x ＜1，在数轴上表示为：

，

故选A ．

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

17．已知不等式组2010

x x -??+≥?＜，其解集在数轴上表示正确的是（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

【分析】

分别解不等式组中的每一个不等式，确定出各不等式解集的公共部分，进而在数轴上表示出来即可．

【详解】

2010x x -??+≥?

＜①②，解①得：x<2，

解②得：x≥-1，

故不等式组的解集为：-1≤x<2，

故解集在数轴上表示为：

．

故选D.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握解题方法以及解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．

18．已知点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（）

A ．a ＜﹣3

B ．﹣3＜a ＜1

C ．a ＞﹣3

D ．a ＞1

【答案】A

【解析】

根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【详解】

解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，

∴

10 260

解得a＜﹣3．

故选A．

【点睛】

本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

19．不等式组

235

+≤

的解集在数轴上表示为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先分别解不等式，得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集.【详解】

因为，不等式组

235

+≤

的解集是：x≤-1,

所以，不等式组的解集在数轴上表示为

故选C

【点睛】

本题考核知识点：解不等式组.解题关键点：解不等式.

20．若关于x的分式方程11

x x

有整数解，其中a为整数，且关于x的不等式

组

2(1)43,

x x

x a

+≤+

有且只有3个整数解，则满足条件的所有a的和为（）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．12

【答案】C

【解析】

【分析】分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可．

【详解】解：解分式方程

11144ax x x -+=--，得4x 1a

=-．又∵4x ≠，解得0a ≠．

又∵方程有整数解，

∴11a -=±，2±，4±，

解得：2,3a =，1-，5，3-．

解不等式组2(1)43,50x x x a +≤+??-

，得，25

a x -<…．又不等式组有且只有3个整数解，

可求得：05a <≤．

综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．

方程与不等式组知识点总结

方程与不等式组知识点总结方程与方程组一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。四、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

不等式组与方程组综合计算题

不等式与方程组综合计算题为整数同时满足不等式56x+ 4x+77与8x+34x+50，求x 的整数值2.已知关于x ，y 的方程组3135y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值． 3.求不等式组2 )3(3)1(23 12211x x x x 的负整数解。4.已知方程组17 26 52y x m y x 的解x 、y 都是正数，求m 的取值范围. 5.已知：关于x 的方程 m x m x 2123的解是非正数，求m 的取值范围．6.已知关于x 、y 的方程组 1332k y x k y x 的解满足00y x ，求k 的取值范围。7.当310 )3(2k k 时，求关于x 的不等式 k x x k 4)5(的解集．8.已知方程组②① m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．9．已知关于x ，y 的方程组1 34, 123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．10.已知关于x 、y 的方程组a y x a y x 523 的解满足x>y>0，化简|a|+|3－a|．11.当k 取何值时，方程组 52, 53y x k y x 的解x ，y 都是负数．12.已知122,42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 13.已知a 是自然数，关于x 的不等式组 02, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．14.关于x 的不等式组123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．

15.若关于x 的不等式组a x x x x 32 2,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围．取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10?

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时，a f x g x >>； ()()()201当时，<<?（1）当a >1时， g x f x g x ()()()>>?? ???0；（2）当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式