第三章 环与域
与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。
§1 加群、环的定义
一、加群
在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。
因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：
（1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有
00a a a +=+=。
（2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：()
a b a b
-+-
。（3）()a a
--=。
（4）a c b c b a
+=?=-。
（5）(),()
a b a b a b a b
-+=----=-+
（6）
(
00
()()
a a a n a n
na n
n a n
+++
?
?
==
?
?--
?
个相加）为正整数
为负整数
，且有
(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+
请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。
加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S
??∈，有,
a b a S
+-∈,a b S
??∈，有a b S
-∈。
加群G的子群H的陪集表示为：a H H a
+=+。
二、环的定义
设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若
1. R对于“+”作成一个加群。
2. R对于“。”是封闭的。
3. ,,
a b c R
?∈，有()()
a bc a
b c
=，即乘法适合结合律。
4. ,,
a b c R
?∈，有(),()
a b c a b a c b c a b a c a
+=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。
则称R关于“+”与“。”作成一个环。
由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。
例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合n n
P?关于矩阵的加法和乘法作成环。
例3 2{2|}
=∈关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数
Z k k Z
环。
问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？
答：否。因为关于加法不构成加群。
由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7）(),()
-=--=-
a b c ab ac b c a ba ca
证明：由两个分配律以及负元的定义，有
-+=-+=+-+=+-+=+=
()[()][(()))][((()](0)
a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab
-+=-+=+-+=+-+=+=
b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba
()[()][(()))][((()](0)
再由（4）得，(),()
-=--=-。
a b c ab ac b c a ba ca
（8）000
==
a a
证明：0()0,0()0
=-=-==-=-=
a a a a aa aa a a a a aa aa
（9）()()
-=-=-
a b a b ab
证明：因为
+-=+-==
ab a b a a b b
()(())00
+-=+-==
()(())00
ab a b a b b a
所以()()
-=-=-。
a b a b ab
（10）()()a b ab --=
证明：()()[()]()a b a b ab ab --=--=--=
（11）1212()n n a b b b ab ab ab +++=+++
1212()n n b b b a b a b a b a +++=+++
证明略
（12）11111()()m n n m n a a b b a b a b a b ++++=++++
即
111()()m n m n
i j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑。
证明略
（13）()()()na b a nb n ab ==
证明略
（14）定义：n n a aa a = （n 是正整数），并称n a 为a 的n 次乘方（简
称n 次方或n 次幂）。
对任意正整数,m n 有
,()m n m n m n mn a a a a a +==
证明略
由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。
§2 交换律、单位元、零因子、整环
前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P 上所有n 阶方阵集合n n P ?关于矩阵
的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。
1、交换律
因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环R 里对,a b R ?∈，未必有ab ba =。如矩阵环n n P ?就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。
若环R 的乘法适合交换律（即,a b R ?∈，有a b b a =），则称环R 为交换环。
当环R 是交换环时，,a b R ?∈，,0n Z n ?∈>，有
()n n n ab a b =
例 若环R 的每一个元素a 都适合2a a =，则称R 是布尔环。证明，布尔环是交换环。
证明：,a b R ?∈，有22,(2)()2a a b a b a +=+=，于是有
222,42a a ab ba b a b a +++=+=，即,200a ab ba +==，即
,()a ab ba b a a =-=-=-，所以ab ba =，故布尔环R 是交换环。
2、单位元
在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。事实上，有些环确实有单位元，如：整数环Z 就有乘法单位元1；数域P 上n 阶
方阵环n n P ?也有乘法单位元，即单位矩阵E 。但并不是所有环都有单位元，如偶数环2Z 就没有乘法单位元。
若环R 存在元素e ，使得a R ?∈，有ea ae a ==，则称e 是R 的单位元。此时环R 也叫做有单位元环。
一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。因为，若/,e e 都是环R 的单位元，则/e ee e ==。
例1（85P ）
在一个有单位元的环里，这个唯一的单位元习惯上常用1来表示。注意，这里的1不是普通的整数1.
在有单位元的环R 里，和群一样，规定01()a a R =?∈。
设R 是有单位元1的环，,a b R ∈，若1a b b a ==，则称()a b 是可逆元，()b a 是()a b 的一个逆元。
在有单位元的环R 里，未必每个元素都有逆元，如整数环Z 是一个有单位元的环，但除了1±外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵环n n P ?中非可逆矩阵就没有逆元。
但是如果a R ∈有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若a 有两个逆元b 和/b ，则////1()()1b b b ab ba b b b =====。
当a 是可逆元时，其唯一的逆元记作1a -。并规定
1()n n a a --= （n 是正整数）
这样规定以后，当a 是可逆元时
11
0()n n n aa a n a n a n --???==???? 是正整数是负整数
公式
,()m n m n m n mn a a a a a +==
对任何整数,m n 都成立。
3、零因子
前面在讨论环R 的运算性质时，曾有结论000a a ==，即当环R 中的两个元素,a b 中有一个是零元时，0ab =。那么，反过来当0ab =时，是否也有0a =或0b =呢？结论是在一般的环里是不成立的。
例2（86P ） 在模n 剩余类集合{[0],[1],,[1]}n Z n =- 中，我们在第一章定义了加法和乘法：
[][][],[][][]([],[])n a b a b a b ab a b Z +=+=?∈ 并在第
二章证明了n Z 关于加法构成加群。又因为
([][])[][][][()][()][][][]([][])
a b c ab c ab c a bc a bc a b c ===== []([][])[][][()]
[][][][][][][]
a b c a b c a b c ab ac ab ac a b a c +=+=+=+=+=+
([][])[][][][()]
[][][][][][][]
b c a b c a b c a ba ca ba ca b a c a +=+=+=+=+=+
所以n Z 关于剩余类的加法和乘法构成一个环。这个环叫做模n 剩余类
环，它有单位元[1]。
当(1)n >不是素数时，(1,)n ab a b n =<<，则|,|n a n b //，
于是在n Z
中[][0],[][0]a b ≠≠，而[][][][0]a b ab == ，这里[0]是n Z 的零元素。
定义 若环R 中两个非零元,a b ，使得0ab =，则称a 是环R 的左零因子，b 是环R 的右零因子。
注：左，右零因子统称零因子。若R 是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。
另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环Z 就没有零因子。 显然，,a b R ?∈，由0ab =可推出0a =或0b =当且仅当环R 没有零因子。
例3 设[]n a Z ∈，则[]a 不是n Z 零因子?(,)1a n =。
证明：（?）因为(,)1a n =，所以存在,p q Z ∈，使得1pa qn +=。[]n b Z ?∈，若[][][0]a b =，则由pab qnb b +=，有
[][][][][][][][][][0][][0][][0]b pab qnb p a b q n b p q b =+=+=+=，所以[]a 不是n Z 零因子。
（?）若(,)1a n d =≠，则n
Z d ∈且0n n d <<，所以n d ??????
是n Z 中非零元，但[][][0][0]n n a a a a a n n d d d d d ??????????=====????????????????????
与[]a 不是n Z 零因子矛盾，所以1d =，即(,)1a n =。
例4（88P ）
定理 若环R 没有零因子，则
0,a ab ac b c ≠=?=（左消去律）
0,a ba ca b c ≠=?=（右消去律）
成立。反之，若环R里有一个消去律成立，则环R没有零因子。
证明：若环R没有零因子，则由
a a
b ac
≠=
0,
有
≠-=
0,()0
a a
b c
于是0
b c
=。同样可证右消去律成立。
-=，从而b c
若在环R里左消去律成立，则当0
a≠，
==及0
ab=时，由00
ab a
有0
b=，故环R没有零因子。同理可证右消去律成立时，也没有零因子。
推论在环R中，只要有一个消去律成立，那么两个消去律就都成立。
4、整环
以上我们给出了一个环R的乘法运算可能适合的三个附加条件：交换律，单位元，零因子。一个环当然可以同时适合一个以上的附加条件，同时适合以上三个附加条件的环特别重要。
定义若环R适合以下条件：
1.乘法适合交换律（即,,
?∈=）；
a b R ab ba
2. R有单位元1（即,11
?∈==）；
a R a a a
3. R没有零因子（即,,000
或）。
a b R ab a b
?∈=?==
则称R是一个整环。
即，有单位元无零因子的交换环叫做整环。
例如，整数环Z是整环。
P
89、5.证明 {,}R a a b Z =+∈，显然R 是非空集合。
a c e f R ?+++，有 ①
((()(a c a c b d R +++=+++，即R 对加法封闭。 ②
[(((a c e f +++++
([((a c e f =+++++
即加法适合结合律。
③存在00R =+，使得
0((0a a a ++=++=+
所以0是R 的零元。 ④
((((0a a a a --++=++--=，所以
a +的负元是a --，即(a a -+=-- ⑤
((((a c c a +++=+++，即加法适合交换律。 由①——⑤可知，R 关于加法构成群。 ⑥
((2)(a c ac bd ad bc R ++=+++，即R 对乘法封闭。 ⑦
[(a c e f +++
(a c e f =+++
即乘法适合结合律。 ⑧
((a c e f ++++
((a c a e f =+++++
[((c e f a ++++
((c a e f a =+++++
即乘法对加法适合分配律。
由①——⑧可知，R关于加法和乘法构成环。
⑨因为
++=++，所以R是交换环。
((
a c c a
⑩11R
=+是R的单位元。
⑾若
+≠+≠，则(0
0,0
a c
++≠。
a c
故R是整环。
§3 除环、域
在上一节，我们对环的乘法运算附加了一些条件后就产生了一些特殊的环，如：交换环，有单位元环，无零因子环，整环等。在本节将进一步讨论特殊的环，介绍两类重要的特殊环：除环与域。
由上一节知识可知在一个有单位元1的环里，可以讨论元素的逆元问题，即当1
==时，称a是可逆元，b是a的逆元。而且当a可ab ba
逆时其逆元是唯一的，记作1a-。那么对于有单位元的环，其中的元素是否都有逆元呢？，为此我们先看下面两个例子。
例1（P90）
例2（P91）
由例1知，当一个有单位元环至少有一个非零元时，零元一定没有逆元。而由例2知，有的有单位元环其每个非零元都有逆元，但有的有单位元环则未必每个非零元都有逆元，例如，n n
P?是有单位元环，但n n
P?中并非每个非零元都有逆元。于是有如下概念。
定义设R是一个环，若
1、R含有非零元；
2、R有单位元1；
3、R 的每个非零元都有逆元（即r R ?∈，当0r ≠时，存在1r R -∈，使得111r r rr --==）。
则称R 是除环。
由此定义及例2知，有理数环Q 、实数环R 、复数环C 都是除环，但整数环Z 不是除环。
除环有如下性质：
（1）除环没有零因子。
事实上，设R 是除环，对,0a R a ∈≠，若有0ab =，则1100a ab a --==，从而0b =，同理若有0ba =，则0b =。故R 的非零元a 都不是零因子，即R 无零因子。
由此可知，除环是无零因子环，但是无零因子环未必是除环，如，整数环Z 是无零因子环，但不是整环。
（2）除环中非零元集合，关于除环的乘法构成群。
事实上，设R 是除环，*{0}R R =-，则
Ⅰ、由（1）知*R 对R 的乘法封闭；
Ⅱ、由环的定义知，乘法适合结合律；
Ⅳ、R 的单位元1就是*R 的单位元；
Ⅴ、由除环的定义知，*R 中每个元素都有逆元。
故*R 关于R 的乘法构成群。
*R 叫做除环R 的乘群。这样，一个除环是由两个群：加群与乘群凑合而成的，分配律就像是一座桥，使得这两个群之间发生一种联系。
由（1）、（2）知，在一个除环R 里，方程ax b =和ya b
=
（,,0a b R a ∈≠）各有一个唯一的解：1a b -和1ba -。这两个解分别叫做用a 从左边和右边去除b ，这就是除环这个名字的来源。要注意的是，一般地有11a b ba --≠（因为除环里的乘法不适合交换律）。
定义 交换的除环叫做域。
由此可见，域是特殊的环。所以除环的性质对域也成立，但反之则未必。
由于在域里有11a b ba --=，所以我们用b a 来表示这两个相等的元素，即11b a b ba a --≠ ，这时我们就可以得到普通运算法则。
设R 是一个域，则对,
,,,0,0a b c d R a c ∈≠≠，有 （1）b d ad bc a c
=?= （2）b d ad bc a c ac
++= （3）b d bd a c ac
= 证明 （1）若b d a c
=，则11a b c d --=，从而11aca b acc d --=，于是ad bc =。反之，若ad bc =，则1111()()()()ad a c bc a c ----=，因而11a b c d --=，即b d a c
=。 （2）因为
11()b d ac aca b acc d bc ad ad bc a c
--+=+=+=+ 所以
1()()b d ad bc ac ad bc a c ac
-++=+= （3）因为
11()()()b d ac ac a b c d bd a c
--== 所以
1()()()b d bd ac ac bd a c ac
-==
例3（P92）
到现在为止，我们已经把几种最常见的适合乘法附加条件的环，都稍微做了介绍，为了能够把它们的隶属关系看得更清楚些，我们做了一个表，详见P93。
例4 模n 剩余类环n Z 是域?n 是素数。
证明 （?）由第二节知，n Z 是有单位元[1]的交换环，因此要证n Z 是域，只需证n Z 中非零元都可逆即可。
[],[][0]n a Z a ?∈≠，则1a n ≤≤，因为n 是素数，所以有(,)1a n =，于是存在,p q Z ∈，使得1pa qn +=，从而有
[1][][][][][][][]pa qn p a q n p a =+=+=
即[]p 是[]a 的逆元，所以n Z 的每个非零元均可逆，故n Z 是域。
（?）若n 不是素数，则有(1,)n pq p q n =<<，从而有
[0][][][]n p q ==，但[][0],[][0]p q ≠≠，于是[],[]p q 是n Z 的零因子，这与
n Z 是域无零因子矛盾。故n 是素数。
§4 无零因子环的特征
在前面各节，我们看到了在各种环里哪些普通计算规则是可以适用的。有一种普通计算规则不但在一般环里，就是在适合条件比较强的环——域里面也不一定能够适用，这规则就是：0a ≠时，未必有
0(,0)m ma a a a m Z m =++=≠∈> (1)
例1 在域n Z （n 是素数）里，有[][0](0)a a n ≠<<，但
[][][][][][][0]n n n a a a a a a a na =+++=+++==
那么，（1）之所以不一定成立的原因在哪里呢？设R 是一个环，我们知道R 的元素对于加法来说构成一个加群，在这个加群里每一个
元素都有一个阶，由阶的定义可知，R 的元素a 在加群里的阶若是无限的，那么不管m 是哪一个整数，都有0ma ≠；若a 的阶是一个有限数n ，就有0ma =。即对R 的一个不等于零的元素a 来说，（1）式能不能成立，完全由a 在加群里的阶是无限还是有限来决定的，a 的阶无限时（1）式成立，a 的阶有限时（1）不成立。
在一个环可能某一个不等于零的元素对于加法来说的阶是无限的，而另一个不等于零的元素的阶却是有限的。
例2（P95）
可见，在一个一般环里，（1）这个计算规则可能对于某一个元素来说成立，对于另一个元素来说又不成立。但在一个没有零因子的环里情形就不同了。
定理1 在一个没有零因子的环R 里，所有不等于零的元素，对于加法来说的阶都是一样的。
证明 若R 的每一个不等于零的元素，对于加法的阶都是无限的，那么定理1成立。
假定R 的某一个不等于零的元素a 对于加法的阶是有限整数n 。,0b R b ?∈≠，则由0()(),0na na b a nb a ===≠及R 是无零因子环可得0nb =，所以||||b a ≤，同理可证||||b a ≥，故||||b a =。所以R 的所有不等于零的元素，对于加法来说的阶都是一样的。
定义 一个无零因子环R 的非零元素对于加法的相同阶，叫做无零因子环R 的特征。
这样，一个无零因子环R 的特征如果是无限的，那么R 里计算规
则（1）永远是对的；R 的特征如果是有限整数，这个计算规则就永远不对。
定理2 若无零因子环R 的特征是有限整数n ，则n 是素数。 证明 若n 不少素数，则(,,1,)n pq p q Z p q n =∈<<，于是,0a R a ?∈≠，有0,0pa qa ≠≠，但
22()()()()00pa qa pq a na na a a =====
这与R 是无零因子环矛盾，故n 是素数。
推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 若R 是特征为p 的无零因子的交还环，则,a b R ?∈，有
()p p p a b a b +=+
事实上，因为
1111()p p p p p p p p a b a C a
b C ab b ---+=++++ 而(11)i
p C i p ≤≤-是p 的倍数，因而0(11)i
p i i p C a b i p -=≤≤-，所以
()p p p a b a b +=+。
P97、2证明 []b a ?∈，则|()n a b -，于是()a b np p Z -=∈，即a b np =+。若(,)1b n m =≠，则|,|m b m n ，于是|m a ，从而(,)1a n ≠，这与已知条件矛盾，故(,)1b n =
3. 证明 令{[]|(,)1}n G a Z a n =∈=。则
①[],[]a b G ?∈，因为a 和b 都和n 互素，所以ab 也和n 互素，于是
[][][]a b ab G =∈ ，即G 对剩余类乘法封闭。
②剩余类乘法适合结合律。
③有(1,)1n =知[1]G ∈，即G 有单位元。
④[]a G ?∈，由(,)1a n =知，存在,s t Z ∈使得1as nt +=，于是
[][][][][][1]a s n t as nt +=+=，但[][0]n =，所以[][][1]a s =，即1[][]a s -=。由1as nt +=可知(,)1s n =，因此[]s G ∈，即1[]a G -∈。
故G 构成群。
4. 证明 在上题中群G 的阶是()n ?，而[]a G ∈，因此
()()[][]1n n a a ??==，故()1()n a n ?≡。
注：()n ?表示小于n 且与n 互素的正整数个数。
如, (2)1,(3)2,(4)2,(5)4,????====
(5)4(4)222161(5),3391(4)??==≡==≡
§5 子环，环的同态
定义 设R 是一个环，S 是R 的非空子集，若S 对于R 的代数运算也构成环，则称S 是R 的一个子环。
①若R 是整环、除环、域，S 对R 的运算也构成整环、除环、域，则称S 是R 的子整环、子除环、子域。
②设S 环R 的非空子集，则
S 是子环?,a b S ?∈，有,a b ab S -∈。
S 是子除环?S 含有非零元，且,a b S ?∈，有a b S -∈及
1(0)ab S b -∈≠。
③子环关于加法是环加群的子加群，所以子环的零元就是环的零元，故所有的子环都有一个公共元素——零元。
例1（P98） 每个环R 都有两个子环，即R 与｛0｝，这两个子环叫做平凡子环。
例2（P98） 集合(){|,}C R a R r R ra ar =∈?∈=是环R 的交换子环，这个交换子环叫做环R 的中心。（习题1）
注;
1°非交还环的子环可能是交还环。如，例2。
2°一般环的子环可能是整环、除环或域。
3°有单位元环的子环未必有单位元。如，整数环Z 是有单位元的环，但它的子环2Z 就没有单位元。
设R 是一个环，R 是一个非空集合，R 有两个代数运算：加法与乘法。由第一章§8定理1、定理2及第二章§4定理1可得下面定理。
定理1 若存在一个R 到R 的满射，
使得R 与R 对于一对加法及一对乘法来说都同态，那么R 也是一个环。
事实上，记R 的两个运算为：+与 ，R 的两个运算为：+与 ，?是R 到R 的满射，且对于+与+以及 与 同态。则由第二章§4定理1知R 关于加法构成加群，由第一章§8定理1、定理2知 适合结合律， 对+适合两个分配律，故R 构成环。
同群一样，若说两个环R 与R 同态（同构），意思永远是存在一个R 到R 的满射（一一映射），使得R 与R 对于加法与乘法来说都同态（同构）。
定理2 设R 和R 是两个环，?是R 到R 的同态满射，则
（1）(0)0?=；
（2）()()a a ??-=-；
（3）当R 是交换环时，R 也是交换环；
（4）当R 有单位元1时，R 也有单位元(1)1?=。
注：同态满射不保持零因子这一性质，即当R 无零因子时，R 可能有零因子。反之，当R 无零因子时， R 可能有零因子。
例3（P98）：R 没有零因子时，与R 同态的R 可以有。
例4（P99）：R 有零因子时，与R 同态的R 可以没有。
当R 与R 之间有一个同构映射时，这两个环的代数性质就没有什么区别了。
定理3 设R 与R 是两个环，且R R ?，则R 是整环、除环、域?R 是整环、除环、域。
引理 设在集合A 与A 之间存在一个双射，且A 有加法和乘法，则可以替A 规定加法和乘法，使得A 与A 对于一对加法和一对乘法来说都同构。
证明 ,a b A ?∈，存在唯一,a b A ∈，使得()a a ?=，()b b ?=。规定
(),()a b a b a b ab ??+=+= 则这样规定的法则是A 的加法与乘法。因为对,a b A ?∈，可找到唯一,a b A ∈，从而找到唯一的()a b A ?+∈以及唯一的()ab A ?∈。
显然，?对于一对加法和一对乘法都是同构映射。
定理4 设S 是环R 的一个子环，R S -另一个环S 没有共同元素，并且S S ?。则存在一个与R 同构的环R ，而且S 是R 子环。
设?是S 与S 间的同构映射，令()R S R S =- ，规定
()()()x x S x x R x x S ??∈?'=?∈???
则
①()x R ?'∈且由x 唯一确定，所以?'是R 到R 的映射。 ②x R ?∈，若x S ∈，则存在x S ∈，使得()x x ?=，从而有
()()x x x ??'==。若x S ?，则x R S ∈-，于是,x R x S ∈?，取x x =，有()()x x x ??''==，所以?'是满射。
③,x y R ?∈，当x y ≠时，
1）若,x y S ∈，则()()x y ??≠，从而()()x y ??''≠。
2）若,x y S ?，则()()x x y y ??''=≠=。
3）若,x S y S ∈?，则()(),()x x y y ???''==。如果()x y ?=，则y S ∈但y R S ∈-，于是()y S R S ∈- 与已知()S R S ?-= 矛盾，所以()x y ?≠，即()()x y ??''≠。
4）若,x S y S ?∈，则同样有()()x y ??''≠。
由此可见，?'是单射。 ④由引理，可以替R 规定如下的加法和乘法：
(),()x y x y x y xy ??''+=+= 使得R R ?。 ⑤由R 的构造知，R S ?。S 原来有加法和乘法而且构成一个环，但还不能说S 就是R 的子环，因为S 是R 的子环的意思是：S 对R 的代数运算来说构成一个环，所以还需要证明S 的运算与R 的运算是一致的。由R 的运算定义可知,x y S ?∈，存在,x y S ∈，使得
(),()x x y y ??==，于是
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
一、基础整理、整顿 1、办公桌整理、整顿标准 (a)椅子无人座时，将椅子推进桌子内； (b)桌面：桌面清洁，下班时无文件及其它物品乱放桌面原有物品不使用状态 下要及时归位 (C)桌牌：悬挂在办公桌屏风正前方(朝向办公室门的方向) 桌牌内容为：职务与姓名 (d)日历：放置在照片d位置 (e)水杯：放置在e位置 (f)笔筒：放置在f位置 (g)电脑：放置在屏风中间，保持电脑表面干净整洁 (h)文件：放置在h处 (i)电话：放置在I位置 (j)抽屉：抽屉上需要张贴抽屉标签
2、办公室物品定置线标准： 一、办公桌上面（全部使用黄色胶带） 1、显示器定置定置材料：黄色不干胶定置位置：底座前面直角处定置线规格：方形底座：125px*25px不干胶（定置2角） 圆底座：75px*1cm不干胶（定置8条），线间距要一致，可根据底盘大小自行控制。
2、茶杯、笔筒定置定置材料：黄色不干胶+红色干胶字（成品）定置位置：屏风靠近透明名利处 定置规格：笔筒与茶杯中间距离为250px 3、其他物品（日历、文件架） 定置材料：黄色不干胶 定置位置：日历定置与茶杯、笔筒同一条直线，文件架定置于电脑的另一侧。 定置线规格：100px*25px不干胶（定置4角）
4、花盆定置材料：黄色不干胶定置位置：显示器两侧定置线规格：75px*25px宽，不干胶（定置6条） 二、办公桌下面 1、文件柜与电脑主机托盘 定置材料：红色不干胶 定置位置：桌子下面左侧，电脑主机托盘 靠文件柜摆放。定置线规格：150px*37.5px不干胶（定置2角） 文件柜：定置角间距42CM 主机架：定置角间距28CM 定置角距屏风：51CM
第三章 环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 00a a a +=+=。 （2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- 。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c a b a c b c a b a c a +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
修理班定置管理制度 为进一步落实班组建设工作会义精神，通过开展整理、整顿、清扫、清洁、等活动，对生产现场、工作间、库房、休息间、办公室、工具箱、文件柜及特别物品的定置，实现文明生产，达到科学化、标准化和制度化. 1、本制度适用于望花供电分公司配电修理班各办公室、休息室、生产现场的定置管理. 2．定置管理组织机构 组长：马金权 副组长：李文武、钱英、马全洪 成员：王健、王培树、李涛、王秋林、苏长俊、尹洪东 3、组织机构职责 负责组织本班组定置管理的设计、组织、实施、调整，保证本班组定置管理工作的顺利完成； 4.定置管理的原则 4.1现场定置管理要符合工艺要求，经过设计、调整生产现场的人、物、信息处于最佳状态，以满足工艺流程的需要； 4.2现场定置管理要以安全为前提，做到操作安全，物放稳妥、防护得力、道路畅通、消防方便； 4.3符合环境保护和劳动保护规定标准； 4.4定置管理要贯彻节约的原则，要因地制宜，利用现有条件。 4.5定置管理的动态原则：定置物及场所要随着生产现场的变化而变动。不能生般硬套。 5．定置管理的基本要求 5.1划清定置管理范围，实行定置管理责任制； 5.2物品摆放优化定位； 5.3与生产、工作无关的物品，一律不得摆放在生产、工作场所； 5.4制定室内物品平面定置图； 5.5物品要有完整规范的标签、标志。
6．定置管理的内容 6.1生产现场的区域定置管理 6.2按施工工艺流程对生产场所的划分进行定置，确定本区域各种设备、工器具的位置和存放区； 6.3对区域的设备、工具、仪器、仪表等实行规范定置，达到标准化； 7.1设备检修定置管理 6.5周转工具、材料要按区定置摆放，以保证施工现场整洁，道路畅通； 6.2.2线路施工作业要实行特别定置，设安全防护标志，按照设备运行方式，设置安全围栏，明确带电和不带电设备，防止误登、误进、误触、误动。 6.2.3安全用具定置管理：绝缘杆、接地线、绝缘手套、绝缘胶靴等号位相符；消防用具、安全绳、安全帽、安全标示牌、验电器等定置定位，方便使用。试验不合格的安全用具要及时处理，不可混放。 6.3工作间的定置管理 5.4班组工具、材料间定置管理 5.4.1库房内或露天储存的物品，均按物品类别存库，分区定置，按物资的品种、规格、型号性能，因素等区别存放，做到齐、方、正、直，保证安全，领取方便，帐、卡、物相符； 5.4.2事故备品配件，要进行特别定置，不得与一般物资混放，并有明显的区别标志； 5.4.3 5.4.4易燃、易爆、有毒物品要进行特别定置； 5.4.5库房内通道畅通，温度适宜、清洁整齐、禁放与生产经营无关的物品。 5.5工具柜（架）、仪器柜与资料柜的定置管理 5.5.1工具柜内物品要按上轻下重、精密粗糙分开、取用方便、存放安全、互不影响的原则定置； 5.5.2工具柜内只允许存放工具、量具等与生产经营有关的物品； 5.5.6物品定置后，要依次编号，排列有序，号码与定置表标注相符。定置图、表贴在工具柜门背后，（若是玻璃门柜贴放在左上方）； 5.5.7工具柜及资料柜要经常保持清洁、有序、方便取用查找的状态； 5.5.8更衣柜内定置摆放衣、帽、鞋、等个人用具及生活用具，要保持清洁、卫生，严禁存放其它物品。 5.6办公室定置管理
办公室定置管理 、基础整理、整顿 1、办公桌整理、整顿标准 (a)椅子无人座时，将椅子推进桌子内； (b)桌面：桌面清洁，下班时无文件及其它物品乱放桌面原有物品不使用状态 下要及时归位 (C)桌牌：悬挂在办公桌屏风正前方(朝向办公室门的方向) 桌牌内容为：职务与姓名 (d)日历：放置在照片d位置 (e)水杯：放置在e位置 (f)笔筒：放置在f位置 (g)电脑：放置在屏风中间，保持电脑表面干净整洁 (h)文件：放置在h处 (i)电话：放置在I位置 (j)抽屉：抽屉上需要张贴抽屉标签
2、办公室物品定置线标准： 一、办公桌上面（全部使用黄色胶带） 1、显示器定置定置材料：黄色不干胶定置位置：底座前面直角处定置线规格：方形底座: 125px*25px 不干胶（定置2角） 圆底座：75px*1cm 不干胶（定置8条），线间距要一致，可根据底盘大小自行控制。
2、茶杯、笔筒定置定置材料：黄色不干胶+红色干胶字（成品）定置位置: 屏风靠近透明名利处 定置规格：笔筒与茶杯中间距离为250px 3、其他物品（日历、文件架） 定置材料：黄色不干胶 定置位置：日历定置与茶杯、笔筒同一条直线，文件架定置于电脑的另一侧。 定置线规格：100px*25px不干胶（定置4角）
4、花盆定置材料：黄色不干胶定置位置：显示器两侧定置线规格: 75px*25px 宽, 不干胶（定置6条） 、、办公桌下面 1、文件柜与电脑主机托盘 定置材料：红色不干胶 定置位置：桌子下面左侧，电脑主机托盘 靠文件柜摆放。定置线规格：150px*37.5px 不干胶（定置2角） 文件柜：定置角间距42CM 主机架：定置角间距28CM 定置角距屏风： 51CM
第三章环与域 与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。 §1 加群、环得定义 一、加群 在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。 因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。如: (1)加群得单位元用0表示,叫做零元。即,有。 (2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。即有。 利用负元可定义加群得减法运算:。 (3)。
(4)。 (5) (6),且有 请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。 加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。 加群得子群得陪集表示为:。 二、环得定义 设就是一个非空集合,“+”与“。”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若 1、对于“+”作成一个加群。 2、对于“。”就是封闭得。 3、 ,有,即乘法适合结合律。 4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。 则称关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。 例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。 例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。 例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
办公室定置管理规定 1 目的 对办公现场的人、物、场所三者之间的关系进行科学地分析划分区域,已实现人与物的有效结合为目的,通过对现场的整理、整顿,把作业过程中不需要的物品清除掉,把需要的物品放在规定的位置上,使其随手可得,促进办公室美观、高效、安全。 2 范围 公司办公楼层的所有办公室均参照此规定执行 3 工作内容 3、1 办公室责任区域划分 3、1、1 个人责任区就是指个人的桌面、抽屉、电脑、文件柜以及个人办公桌1米之内的地面,每个人均由责任做好个人责任区的7S工作。 3、1、2 公共责任区就是指大堂、花卉、门窗、公务桌、会议室等。对公共区域,每个人都有责任维护好7S。 3、2 个人责任区域定置 3、2、1 办公桌定置管理要求。个人办公桌应统一,保持整齐与美观,桌面原则上只允许放置以下与工作相关的物品,按照图例进行定置并做好标识:电脑显示器、电话、绿色植物、文件夹、茶杯、鼠标、
笔筒、打印机、计算器、日历。其她办公用具尽量放在第一级抽屉中。每天上下班均需对桌面进行整理,确保桌面整齐美观。 3、2、2 办公桌抽屉的定置要求。办公桌抽屉原则上统一放在办公桌右下方,抽屉第一格用于放置常用文具、杂件,最下面一个抽屉用于存放在私人物品,抽屉内的物品、文件均需整齐摆放,各员工至少每周对抽屉进行整理,按照整理标准,将3个月不用的物品从抽屉里清走。 3、2、3 电脑主机统一整齐放在桌子抽屉柜旁,因接线较短无法放置的除外,并用直角定位法进行定位,严禁将物品放于主机上。 3、2、4 个人办公桌的接线应确保安全整齐,杂乱的或超出长度需用弯曲的线使用束线将其固定,确保整齐。各种接线应确保安全,严禁随意接线。 3、2、5 各办公室椅子应确保协调统一,个人离开办公桌应将椅子归位到办公桌面下,严禁将物品、衣服放在椅子上,影响整体美观。3、2、6 办公桌前墙板上不可张贴联系电话、随意贴等资料。3、2、7 个人物品如鞋、伞、包等严禁随意放置在办公桌区域或其她公共区域,必须存放于指定区域。 3、3 文件柜定置要求 3、3、1 每个文件柜应明确责任人,责任人对该区域或设施进行整理、清扫。
安全环保部办公室置定管理规定 为了规范公司办公环境，给员工创造清新、整洁的办公场所便于统一管理，现对办公室设施、物品摆放做如下规定： 一、办公室整体布局规划（基本布局如图①） 办公桌办公桌办公桌 办公椅 办公椅 办公椅 办公椅 工作台 办公桌①办公桌办公桌 办公椅 办公椅 办公椅办公椅 办公桌 办公桌 ②办公椅 办公椅 办公桌 文件柜 文件柜④文件柜文件柜 招待用椅 垃圾桶 ⑤垃圾桶 垃圾桶 垃圾桶 垃圾桶 ③看板 ⑥衣帽钩 1500mm 安全环保部办公室定置布局图① 1、 ①办公桌、②办公椅摆放要求 1.1、办公桌、摆放及要求 办公桌靠墙一面离墙面距离25cm,偏差不得超过3cm 。办工桌摆放必须在一条水平直线上，要求摆放 整齐不可有歪斜、错落等现象。 1.2、办公椅、摆放及要求 人员使用办公椅时需轻拉轻推，人员离开或下班时，办公椅必须推入办公桌内。 2、③看板摆放及要求 要求基本与上图为标准，统一设计标准包括看板的大小、材质（PVC 或铝合金质地）可使用吸铁石。 3、④文件柜摆放要求 文件柜必须统一摆放，不可出现歪斜、错落等现象。除私人、重要物品文件柜外，其他文件柜做到钥匙入孔，或者办公室管理人员统一管理，不得私自使用。 5、⑤垃圾桶摆放及要求 没两张桌子配备一个垃圾桶，由本桌人员自己处理生活垃圾。地上予以即时贴表示，要求位置偏移时一眼可以看出，便于复位。 6、⑥衣帽钩摆放及要求 衣帽严禁挂于椅背、放于桌子椅子上，统一放在如图所示的位置。 7、窗台、文件柜、办公桌下不可摆放任何物品。 二、工作台摆放及要求 物品需整齐摆放，如有特殊原因需要挪用，使用完毕后挪用人必须将使用工具放回原处。
办公室定置管理实施与考核细则 第一章总则 第一条为提高效率，保证质量，使工作环境整洁有序，提高企业形象，特制定本规定。 第二章职责 第二条本办法规定了xxx的办公室定置管理职责、规范以及考核标准；本办法适用于xxx各部门办公区的办公室定置管理工作。 第三条办公室负责后勤办公区域的办公室定置管理规范及日常管理；机动设备部负责生产场所的办公室定置管理规范及日常管理；各部门负责所辖区域办公室定置管理工作的贯彻执行。 第三章办公室定置规范
第四条办公桌：桌面除办公必需品（含：文件筐、文件夹、笔筒、茶杯、电话、电脑及附属品）外无其他物品。 第五条电脑：主机一般情况放置桌下右侧，显示器在桌面屏风、桌面正中央放置，显示器及主机上一般禁止放置其它杂物。 第六条办公桌副柜：分别置办公桌俩侧。 第七条垃圾篓：罩塑料袋，邻桌共用一个，靠墙放置。 第八条饮水机：指定地点，不得随意移动。 第九条报刊、资料、文件等：使用过程中可整齐叠放与显示器正前方位置，使用完，整齐存放于文件夹、资料夹内。 第十条文件筐、笔筒、茶杯：指定位置，对桌对称摆放。 第十一条文件夹、档案盒、档案袋等：使用过程中可整齐叠放与显示器正前方位置，使用完，整齐存放至文件筐内。 第十二条座椅：靠背、座椅一律不能放任何物品，人离开时椅子靠桌并调正放置。
第十三条桌面屏风：内外侧不允许有任何张贴。 第十四条清洁用品：公用不得在办公室存放，用完要及时归还到公共卫生间指定区域；个人卫生清洁用品应放置在不显眼的固定位置。 第四章办公人员素养标准 第十五条服饰标准 1 上班期间，必须着公司统一配发的工作服。（周六除外，但也必须符合员工行为规范） 2 头发梳理整齐，服饰熨烫挺括、工服应整洁、干净。 第十六条语言规范 1 交流语言：您好、早上好、早、晚上好、再见、请问、请您、劳驾您、关照、谢谢、周末愉快等。 2 电话用语：您好、这里是...，请问、谢谢、再见等。 3 接待用语：您好、请稍候、请坐、对不起、请您登记、我立即去联系、打扰一下、好的、行。 第十七条行为规范
第四章幼儿园环境创设练习题 一．单项选择题 1.从活动形式来分，幼儿园环境应当包括语言环境、运动环境、劳动环境和（ C ） A.精神环境 B. 保育环境 C. 游戏环境 D. 教育环境 2.从幼儿的生活、安全、活动和交往的需求来分，幼儿园环境应当包括（ B ）、安全环境、活动环境和交往环境 A.物质环境 B.生存环境 C.精神环境 D.游戏环境 【知识点】第四章幼儿园环境第一节幼儿园环境创设幼儿园环境定义、特点及分类 【出题机率】３【题目难度】２（５为非常高，或非常难） 【分析】本题的目的是考察考生对幼儿园环境分类的熟悉程度，特别考察从活动形式来对幼儿园环境进行分类的熟悉程度。从活动形式来分，幼儿园环境应当包括语言环境、运动环境、劳动环境和游戏环境；从幼儿园强调保教结合，保教并重这一特点来分，幼儿园环境又可分为保育环境和教育环境；从幼儿的生活、安全、活动和交往的需求来分，幼儿园环境应当包括生存环境、安全环境、活动环境和交往环境；从幼儿园潜课程的结构及特征来分，幼儿园环境包括物质空间环境、组织制度环境和文化心理环境；从幼儿在园一日活动的主要类型来分，幼儿园环境可分为生活活动环境、游戏活动环境和学习活动环境。因而本题的正确答案是Ｃ。 3.活动区的材料投放具有操作性、启发性、引导性、（ A ）和针对性。 A.丰富性 B.教育性 C.开放性 D.一致性 【知识点】第四章幼儿园环境第二节幼儿园区域环境的创设活动区域材料选择及投放要点 【出题机率】4 【题目难度】2 （５为非常高，或非常难） 【分析】本题的目的是考察考生对幼儿园区域环境创设相关知识的掌握程度，特别考察对活动区域材料选择的理解程度。选择活动区材料时要关注材料的品质和数量，并根据幼儿的兴趣、发展需要以及活动的内容进行投放，使材料的投放具有操作性、启发性、引导性、丰富性和针对性。因而本题的正确答案是A。 4.幼儿园活动区创设原则有：教育性原则、整体性原则和（ B ） A.共生性原则 B.共同发展原则 C.经济性原则 D.审美性原则 【知识点】第四章幼儿园环境第二节幼儿园区域环境的创设活动区创设的原则 【出题机率】4 【题目难度】3 （５为非常高，或非常难） 【分析】本题的目的是考察考生对幼儿园活动区创设原则的熟悉程度。我们为幼儿创设的活动区，既然不能作为孩子闲暇时的一个休闲场所，它要成为教育目标和培养孩子发展的一个教育途径，那么我们在创设活动区时，我们就要考虑，要为幼儿所需要的，而且还要切合幼儿园实际。必须要遵循教育性原则、整体性原则和共同发展性原则等教育原则。因而本题的正确答案是B。 二、简答题 (一)幼儿园环境创设的原则有哪些？ 1.环境与教育目标的一致性原则 2.发展适宜性原则 3.幼儿参与性原则 4.开放性原则 5.经济性原则 （二）简述目前幼儿园室内环境创设中存在的问题。 1.室内环境布置的目标偏离 2.室内环境布置的内容不系统 3.教师环境创设的观念存在偏差 （三）简述家园合作对幼儿园教育的重要性。 1.家园合作是人的发展的需要。 2.家园合作有利于家长资源的充分利用。 3.家园配合一致，促进幼儿健康和谐发展。 三、论述题 （一）请结合幼儿园的实际说说创设幼儿园室内环境的有效策略 1.把环境创设的权力还给孩子，“解放”孩子并为自己“松绑” 2.为儿童提供自主选择、创设与分享的环境空间 3.优化教育资源配置，创设开放、共享的教育环境 4.营造良好的精神环境是幼儿成长和发展的关键因素 （二）分析教师在幼儿园精神环境创设的营造原则
Q 江西赣能股份有限公司丰城二期发电厂企业标准 Q/GNFD-ZJ250-2014 办公室定置管理制度 2014-12-27发布2014-12-27实施 江西赣能股份有限公司丰城二期发电厂发布
前言 本标准以《标准化工作导则》（GB/T1）为基础，执行江西省投资集团公司、江西赣能股份有限公司的规定，结合本厂具体情况编写的。编写要求和表述方法符合上述标准和规定。本标准为首次颁布。 本标准对办公室定置管理做了统一规定。 附加说明 本标准由总经理工作部提出。 本标准由总经理工作部归口。 本标准起草部门：总经理工作部 本标准主要起草人：陈建军 审核：兰小军、付小新、杨岳辉、杜成刚、陈昊、李南辉、郭英鹰、洪小江、杨艺娜 审定：侯凤生、杨飞云、王向群、王碧辉、邱晓波、徐鹏 批准：吴纪 本标准由总经理工作部负责解释。 2
Q/GNFD-ZJ250-2014 办公室定置管理规定 1 目的 为提高效率，保证质量，使工作环境整洁有序，提高企业形象，特制定本规定。 2 范围 本标准规定了江西赣能股份有限公司丰城二期发电厂的办公室定置管理职责、规范以及考核标准。 本标准适用于江西赣能股份有限公司丰城二期发电厂办公区的办公室定置管理工作。 3 规范性引用文件 丰城二期发电厂综合楼、生产楼、生产现场标准定置图 4 术语与定义无 5 职责要求 5.1 总经理工作部负责制订办公区域的办公室定置管理规范及日常管理。 5.2 总经理工作部、党群工作部负责厂区各项办公室定置管理工作的监督与检查。 5.3 发电部、设管部负责制订生产值班点、保养队的办公室定置管理规范及日常管理。 5.4 各部门负责所辖区域办公室定置管理工作的贯彻执行。 6 办公区办公室定置管理规范 6.1办公桌：桌面除办公必需品（含：文件筐、文件夹、笔筒、茶杯、电话、相框、电脑及附属品）外无其他物品。 6.2 电脑：主机一般情况放置办公桌下靠墙一侧，显示器放置桌面正中央，显示器及主机上一般禁止放置其它杂物（电脑如为一体机，则放置桌面正中央）。 6.3 大拖柜：放办公桌边，并与办公桌垂直放置。 6.4小拖柜：置办公桌下远离墙一侧。 6.5 复印机、打印机、饮水机：指定地点，不得随意移动。 6.6 报刊、资料、文件等：使用过程中可整齐叠放于办公桌上，使用完，整齐存放于文件夹、资料夹内；可临时存放在拖柜上，但应摆放整齐。 6.7 文件筐、笔筒、茶杯：指定位置，对桌对称摆放。 6.8 文件夹、档案盒、档案袋等：使用过程中可整齐叠放于办公桌上，使用完，整齐存放至文件筐或文件柜内。 6.9 座椅：靠背、座椅一律不能放任何物品，人离开时椅子靠桌并调正放置。客人使用
第三章环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 +=+=。 00 a a a （2）加群G的元素a的逆元用a-表示，叫做a的负元。即有 -+=+-=。 ()0 a a a a
利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+-。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c ab ac b c a ba ca +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
1 §3.7 整环和域 3.7.1 定义 零因子 R 是环，a , b ∈R 。 (1) 如果a ≠0, b ≠0且ab = 0，则称a 是b 的左零因子，b 是a 的右零因子。 (2) 如果a 是某个元素的左零因子，即a ≠0且存在b ≠0，使得ab = 0，则称a 是一个左零因子。 (3) 如果b 是某个元素的右零因子，即b ≠0且存在a ≠0，使得ab = 0，则称b 是一个右零因子。 如果a 不是左零因子，则任给b ∈R ，都能从ab = 0得到b = 0。同样，如果a 不是右零因子，则任给b ∈R ，都能从ba = 0得到 b = 0。 左零因子和右零因子都称为零因子。由定义3.7.1可知，如果R 有左零因子，则R 一定有右零因子，同样，如果R 有右零因子，则R 一定有左零因子。所以只说R 有没有零因子就行了。 3.7.2 例 Z 没有零因子，但M 2(Z )有零因子，取A =1000↘→ ← ，B =0001↘→ ← ，则A ≠0, B ≠0且AB = 0。一般的，如果R 不是零环，则R 的n(n ≥2)阶矩阵环M n (R )有零因子。 3.7.3 例 在环
办公室定置管理规定 1目的 对办公现场的人、物、场所三者之间的关系进行科学地分析划分区域，已实现人和物的有效结合为目的，通过对现场的整理、整顿，把作业过程中不需要的物品清除掉，把需要的物品放在规定的位置上，使其随手可得，促进办公室美观、高效、安全。 2范围 公司办公楼层的所有办公室均参照此规定执行 3工作内容 3.1办公室责任区域划分 3.1.1个人责任区是指个人的桌面、抽屉、电脑、文件柜以及个人办公桌1米之内的地面，每个人均由责任做好个人责任区的7S工作。 3.1.2公共责任区是指大堂、花卉、门窗、公务桌、会议室等。对公共区域，每个人都有责任维护好7S。 3.2个人责任区域定置 3.2.1办公桌定置管理要求。个人办公桌应统一，保持整齐和美观，桌面原则上只允许放置以下与工作相关的物品，按照图例进行定置并做好标识：电脑显示器、电话、绿色植物、文件夹、茶杯、鼠标、笔筒、打印机、计算器、日历。其他办公用具尽量放在第一级抽屉中。每天上下班均需对桌面进行整理，确保桌面整齐美观。
3.2.2办公桌抽屉的定置要求。办公桌抽屉原则上统一放在办公桌右下方，抽屉第一格用于放置常用文具、杂件，最下面一个抽屉用于存放在私人物品，抽屉内的物品、文件均需整齐摆放，各员工至少每周对抽屉进行整理，按照整理标准，将 3 个月不用的物品从抽屉里清走。 3.2.3电脑主机统一整齐放在桌子抽屉柜旁，因接线较短无法放置的除外，并用直角定位法进行定位，严禁将物品放于主机上。 3.2.4个人办公桌的接线应确保安全整齐，杂乱的或超出长度需用弯曲的线使用束线将其固定，确保整齐。各种接线应确保安全，严禁随意接线。 3.2.5各办公室椅子应确保协调统一，个人离开办公桌应将椅子归位到办公桌面下，严禁将物品、衣服放在椅子上，影响整体美观。3.2.6办公桌前墙板上不可张贴联系电话、随意贴等资料。 3.2.7个人物品如鞋、伞、包等严禁随意放置在办公桌区域或其他公共区域，必须存放于指定区域。 3.3 文件柜定置要求 3.3.1每个文件柜应明确责任人，责任人对该区域或设施进行整理、清扫。 3.3.2各文件柜内放置的文件夹应统一大小和颜色，为提高查找效率，每个文件夹上应对内装资料贴上标签并进行编号。 3.3.3文件柜内的书籍、物品应整齐摆放，避免杂乱无章，文件柜上
车间定置管理规定 随着新《安全生产法》的颁布实施,我们对安全生产有了新的解读,结合车间定置管理,应该有新的方法和措施使两者更加紧密的联系在一起,更好的为车间安全生产服务。以下是整理的车间定置管理规定。 车间定置管理规定 1 范围 本标准规定了浙江长兴发电有限责任公司生产、办公环境定置管理的管理职能、管理内容与要求、检查与考核。 本标准适用于浙江长兴发电有限责任公司生产、办公环境的定置管理。 2 规范性引用文件 下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。凡注日期的引用文件，其随后所有的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本标准，然而，鼓励根据本标准达成协议的各方研究是否可使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件，其最新版本适用于本标准。 原能源部、中电联电力企业定置管理 3管理职能 多种经营部是公司定置管理的归口部门，负责公司定置管理标准的修订、组织实施定置图的审核以及定置管理标准执行情况的检查与考核。各部门负责本部门定置图的编制和管辖范围内定置管理的组织实施。 4 管理内容与要求 4.1 设备检修定置管理
4.1.1 设备定置规则 4.1.1.1 设备的停滞位置定置。 4.1.1.2 在设备机械周围应给予维修者充分的处所。 4.1.1.3 操作者安全文明生产的要求。 4.1.1.4 符合安全文明生产的要求。 4.1.2 备品、配件和材料必须按划定的区域存放，生产现场不准存放闲置设备、材料及工器具。 4.1.3 设备及工器具定置图的绘制 4.1.3.1 设备管理部应绘制检修设备解体后的大型部件定置图。如汽缸、转子、隔板、盘车、励磁机、变压器芯、磨煤机、送风机、引风机等。 4.1.3.2 定置图的设计应考虑物件重量、作业面积、工艺要求、安全通道等条件。 4.1.4 周转工具、材料应按区域定置摆放，如道木、跳板、模板、脚手架、滑轮、钢丝绳、手推车等，用后及时清理、收回，以保证施工现场清洁，道路畅通。 4.1.5 安全用具定置管理。开关刀闸、电缆夹层等设备的钥匙，号位要对应，放置要合理;绝缘杆、接地装置、消防用具、绝缘胶靴、绝缘手套、安全绳、安全帽、验电笔等，用形象直观的“形”或号标示定位，号位相符，形位合一，方便使用。试验不合格的安全用具要及时处理，不可混放。 4.2 区域定置管理
【优化方案】2017高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展 第25讲模拟精选演练提升 [学生用书P188] (2016·安阳段考)2014年11月26日上午，中国3艘海警船进入钓鱼岛12海里巡航。读钓 鱼岛三维效果图和航空遥感影像图，回答1～2题。 1．钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要利用的地理信息技术是( ) B．GIS和GPS A．RS和GIS D．数字地球 C．GPS和GIS 2．如果利用航空遥感技术对不同时期的钓鱼岛进行监测，通过分析多幅钓鱼岛图片，可以获 得( ) ①钓鱼岛面积的变化 ②钓鱼岛上植被的变化 ③钓鱼岛的地理坐标 ④钓鱼岛地形的变化 B．②③④ A．①②③ D．①②④ C．①③④ 解析：第1题，钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要是利用了RS和GIS技术。第2题，钓鱼 岛地理坐标的获得应用GPS技术，排除③。 答案：1.A 2.D 下图为卫星拍摄的冰山照片。图片中显示R冰山(69°24′S,100°12′E)已经从南极大陆边缘厚冰层中解体出来。目前，R冰山正在向该地区的东部海域缓缓移动。据此并读图完成3～ 4 题。 3．监测R冰山移动方向和速度最好采用( ) B．地理信息系统 A．飞机跟踪 D．全球定位系统 C．遥感技术4．对冰山产生的原因进行分析、对移动的方向进行预测主要是应用( ) A．GIS B．GPS D．电子地图 C．RS 解析：第3题，冰山与周围海水相比，温度和性质差异大，利用遥感技术所获得的影像可以迅速获知冰山的移动方向和速度，所以适合采用遥感技术进行跟踪研究。第4题，对地理信 息进行分析、评估和预测主要应用的是地理信息系统(GIS)。 答案：3.C 4.A (2016·江苏盐城调研)下图为某区域的地理信息空间数据图，每个小方格表示实际长宽各100米，图中r表示河流，t表示林地，h表示住宅，f表示水田。方格中数字2表示相同的 海拔。读图，完成5～6题。
定置管理制度 1 总则 1.1为了加强公司的规范化管理,实现安全、文明生产，保障生产现场全体员工的安全，提高工作效率，保证质量，使生产现场达到科学化、标准化、制度化及安全有序，特制定本制度。 4 定置管理的特点及作用 4.1综合性：定置管理是多元化功能的综合管理技术，它融通全面质量管理、工艺管理、安全文明生产、行为科学、工序管理、成本管理、劳动管理、动作研究、环保节能等一系列现代化管理为一体，以适应生产现场活动规律的要求。
4.2整体性：定置管理不是各种定置物品简单的集合，而是按照工艺要求内在规律的行动的集合。 4.3相关性：定置管理中的人、物品和场所之间具有一定的相互依赖、相互作用、相互促进和相互制约的特定关系，形成一定的结构秩序和活动规律。 4.4动态性：定置管理存在于生产现场及经营之中。生产和经营有时是在变化的，因此，定置管理必须具有适应客观情况的动态性。 4.5 4.6 5 5.1 5.2 5.3每一 5.4生产要素定置管理，包括： 设备定置：包括配电箱、电焊机设备、乙炔瓶、氧气瓶定置、保养与检查定置、运行情况定置； 工具定置：电焊钳及电缆、气割工具及气管、油漆工具定置在一定的半径范围内，不得与其他工具相互交叉；
材料、产品定置：包括原材料、产品等定置，原材料、产品堆放不得超出人员行走的安全线外； 消防器材定置：灭火器定置； 废料定置：废弃料、废品等必须每天清理，定置堆放在废料场所； 人员定置：根据生产需要进行安排。 5.5仓库定置管理。 5.6 理等。 6 6.1 6.2 1)设备区：生产设备固定的位置，包含固定操作区； 2)工具区：设置在方便、安全的位置； 3)原材料区：按生产需要进行分区或同设备区一样分区； 4)消防器材区：灭火器可与乙炔瓶放在同一区域； 5)废品区：全厂统一集中堆放，定期回收处理；生产现场每天清理，不得随意 放置废弃杂物。
【最新整理，下载后即可编辑】 天地（唐山）矿业科技有限公司6S管理制度 定置管理规范(试行) 文件编号：TDKY－SＧ2012-5 一、目的 为了使6S管理活动的长期有效和深入进行，实现文明办公、安全生产，通过对公司内所有区域和物品进行有目的、有计划、有方法的科学划分与放置，实现科学化、标准化和制度化管理，特制定本规范。 二、范围 本规范适用于公司各部门的定置管理。 三、术语和定义 定置：将物品（设备、材料、工具、生产及办公设施等）设置在适当的固定位置。其目的是谋求物品与人、环境之间在时间和空间上的最佳结合。 定置管理：运用系统的观点和方法，研究生产和工作现场中人与物、人与环境、物与环境之间的关系，对现场中的最佳固定位置进行设计、组织、实施和控制，使其达到规范化、标准化和科学化的管理活动。 定置图：从人、机、料、法、环五大因素有机结合的角度出发，在对现场工艺流程以及定置物与人与环境的结合状态进行系统分析的基础上，通过对修理、加工、检验、搬运、停放等工序的分析和作业者操作动作的分析，使定置物的位置满足工艺要求和安全生产条件，满足高效工作环境系统，对定置物的位置用图表示出来。 四、定置管理规范内容 （一）定置原则 1.定置要符合工艺要求，经过设计、调整生产现场的人、物、信息处于最佳状态，以满足工艺流程的需要，有利于定置物放置规范化、标准化、科学化。 2.定置要以安全为前提，做到操作安全，物放稳妥、防护得力、道路畅通、消防方便，符合环境保护和劳动保护规定标准。 3.定置要有利于提高工作效率和产品质量，减轻操作者劳动强度，提高场地利用率。 4.定置要贯彻节约的原则，要因地制宜，利用现有条件，少花钱、
第十二章环与域 主要内容 1．代数系统
为了今后叙述上的方便,将环中加法的单位元记作0,乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用 x-y表示x+(-y),nx表示,即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负 元。 定理12.1设