授课教案
课程名称：高等数学
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教案
教学过程：
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设()y f x =在区间[],a b 上非负、连续。由直线,,0x a x b y ===及曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形.由于曲边梯形的高是变动的,所以不能直接用矩形的面积公式进行计算.而如下考虑:将区间[],a b 划分为很多小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高,那么,每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形,而将这些所有窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值,并把区间[],a b 无限细分下去,使得每个区间的长度都趋于零,则这时所有窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积.现将计算方法详述如下: 在[],a b 中任意插入若干个分点
0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把区间[],a b 分成n 个小区间
，其长度依次为:
011x x x -=△,122x x x -=△,…,1--=n n n x x x △.
在每个小区间上[]1,i i x x -任取一点i ξ,以[]1,i i x x -为底,为()i f ξ高的窄矩形近似地替代第i 个窄曲边梯形,这样得到的n 个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值,即
1()n
i i i A f x ξ==?∑
并记()12max ,,
,n x x x λ=???,则0λ→当时,取上述和式的极限,便得曲边梯形的面积
01()lim n i
i
i f x
A λξ→=∑=△ 备注：
1、 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且0)(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程s
在[21,T T ]内任意插入若干个分点 212101T t t t t t t T n i i =<<<<<<=-
把[21,T T ]分成n 个小段
[10,t t ]，[21,t t ]，…，[i i t t ,1-]，…， [n n t t ,1-]
各小段时间长依次为
,,,,,,11122011---=?-=?-=?-=?n n n i i i t t t t t t t t t t t t 相应各段的路程为
n i s s s s ????,,,,,21
在[i i t t ,1-]上任取一个时刻)(1i i i i t t ≤≤-ττ，以i τ时的速度)(i v τ来代替
[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得
i i i t v s ?≈?)(τ),,2,1(n i =
进一步得到
n n t v t v t v s ?++?+?≈)()()(2211τττ
=∑=?n i i i t v 1)(τ
设{}0,,,,m ax 21→???=λλ当n t t t 时，得
∑=→?=n
i i t v s 10)(lim τλ 二、定积分定义
定义1 设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把区间[]b a ,分成n 个小区间
，其长度依次为: