高考数学-导数考点
导数公式
0;C '=（C 为常数） ②()
1
;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1
l g log a a o x e x
'=.
导数法则
(.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv += .)(''Cu Cu = ='
??
?
??v u 2
''v uv v u -（v ≠0） 复合函数的导数
形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ?μ?'''=. 导数的应用：1）.函数的单调性 2）．极点与极值 3）．最值
在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3(),(1,1)f x x x =∈-。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
补充：曲线切线问题中，点P 处的切线和过点P 的切线是两个概念，后者包括前者，前者只有一条。
曲线的切线与曲线的交点不一定只有一个。和二次函数有区别。 导数为零的点，不一定都是极值点。如三次函数。
求极值时，要求步骤规范、表格齐全。含参数时要讨论参数的范围。
求积分时：x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，下方的面积等于该区间上积分值的相反数。
例：求函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值。
[解析]：由33)(2'-=x x f =0，得1±=x ，
当1-
故函数13)(3+-=x x x f 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
导数题型--根的个数问题
题型一：原函数根的个数问题
第一步：画出 “趋势图”，如画出三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可； 例1、已知函数2
32
)1(31)(x k x x f +-=
，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数， ∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）
即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设31
2)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1 由于 02 1 <-k ， 欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2 <---k k k ∴???>--<02212k k k ，解得31- 例2、已知函数321 ()22 f x ax x x c =+-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值； （2）若21 ()2 g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函 数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。 根的个数知道，部分根可求或已知。 解：（1）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =?= 2()32f x ax x '=+-， 又∵1x =-是()f x 的极值点，则(1)31201f a a '-=--=?=- 2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+= 3()(1)2f x f =-= 极大值 222()()37 f x f ==-极小值 （2）设函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同交点， 等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：1 (1)(1)(1)2 f g d b -=-?=-- 322111 2(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得： 即：3211 (1)(1)022x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 3211 ()(1)(1)022 h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根， 则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解， 3x 22x x +-211(1)(1)022b x x b ---+-= 可得： 2211(1)(1)(1)022x x b x x b ?? +-++--=???? 22 1(1)(1)2(1)02x x b x x b ??+-++--=?? 十字相乘法分解：[]()21 (1)(1)(1)102x x b x b x +-+--+= 即 211(1)(1)(1)022x x b x b ?? +-++-=???? 3211 (1)(1)022 x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 等价于211 (1)(1)022 x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。 2 211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022 b b b b ??=+-?->?????-+++-≠??(,1)(1,3)(3,)b ?∈-∞-?-?+∞ 题型二：切线条数问题 以切点0x 为未知数的方程的根的个数 例1、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)， 求：（1）()f x 的解析式； （2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围． 解：（1）2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--< ∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4- ∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③ 由①②③联立得：1 69a b c =-?? =??=-? ，∴32()69f x x x x =-+- （2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=- 232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-= 令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=， 方程()0g t =有三个根。需：(1)0 (2)0g g ->?? 16122490m m --++->??? --+- m m -? 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)- 题型三：极值点个数问题----导函数=0根的个数 解法：根分布或判别式法 例 1 ()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <. 可知函数f (x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5． （Ⅱ）()f x '＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6, 要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点, ()f x '?＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题： 则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2m m f m m m ? ??=+-+ >? '=-+++>??+?>?， 解得m ＞3 （1）求)(x f 的单调区间； 解：（1）)1()(2'+=+=ax x x ax x f 当0>a 时，)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞--∞Y a ，递减区间为)0,1 (a -. 当0 ()0,(+∞--∞a Y . （2）43211 3)42 (g a x x x x =++有且仅有3个极值点 ?223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根， 则0x =或210x ax ++=，2a <-方程210x ax ++=有两个非零实根，所以240,a ?=-> 2a ∴<- 或2a > 而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点 练习：（根的个数问题）已知函数3 21()1()3 f x x ax x a R = --+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间； （2）若12a < ，讨论曲线()f x 与215 ()(21)(21)26 g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）2()21f'x x ax =-- 12122,1x x a x x ∴+=?=- 122 x x ∴-===即 0a ∴=………2分 22()211f x x ax x '=--=- ∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分 （2）由题()()f x g x =得322115 1(21)326x ax x x a x --+=-++ 即 32111 ()20326 x a x ax -+++= 令32111 ()()2(21)326x x a x ax x ?=-+++-≤≤……………………6分 2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ?'∴=-++=-- 令()0x ?'=得2x a =或1x =……………………………………………7分 1 2a < Q 当22a ≤-即1a ≤-时 此时，9 802 a -->，0a <，有一个交点；…………………………9分 当22a ≥-即1 1a -<<时， 22(32)036a a -+>Q , ∴当802a -->即116 a -<<-时,有一个交点； 当98002a a --≤≤，且即9 016 a -≤≤时，有两个交点； 当102a <<时，9 802a --<，有一个交点．………………………13分 综上可知，当916a <-或102a <<时，有一个交点；当9 016 a -≤≤时，有两个交点． 4导数研究三次函数的性质 复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数 的零点。 复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况； 【典型例题】 题型一：三次函数单调性的讨论 例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间； （II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 题型二：三次函数极值，最值的讨论 例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-； （1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值． 例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； （2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++?，试判断函数()F x 的极值点个数． 【课后作业】 1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围． 3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 31812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323 1)( (0 第练函数的极值与最值 [题型分析·高考展望]本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在解答题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系． 体验高考 ．(·四川改编)已知为函数()＝－的极小值点，则等于． 答案 解析∵()＝－，∴′()＝－， 令′()＝，则＝－，＝. 当∈(－∞，－)，(，＋∞)时，′()>，则()单调递增； 当∈(－)时，′()<，则()单调递减， ∴()的极小值点为＝. ．(·课标全国甲)()讨论函数()＝的单调性，并证明当>时，(－)＋＋>； ()证明：当∈[)时，函数()＝(>)有最小值．设()的最小值为()，求函数()的值域． ()解()的定义域为(－∞，－)∪(－，＋∞)． ′()＝＝≥， 当且仅当＝时，′()＝， 所以()在(－∞，－)，(－，＋∞)上单调递增． 所以当∈(，＋∞)时，()>()＝－. 所以(－)>－(＋)，即(－)＋＋>. ()证明′()＝＝(()＋)． 由()知，()＋单调递增，对任意∈[)，()＋＝－<，()＋＝≥. 因此，存在唯一∈( ]，使得()＋＝， 即′()＝. 当<<时，()＋<，′()<，()单调递减； 当>时，()＋>，′()>，()单调递增． 因此()在＝处取得最小值，最小值为()＝＝＝. 于是()＝. 由′＝>，得＝单调递增． 所以，由∈(]， 得＝<()＝≤＝. 因为单调递增，对任意λ∈，存在唯一的∈(]，＝－()∈[)，使得()＝λ. 所以()的值域是. 综上，当∈[)时，()有最小值()，()的值域是. ．(·安徽)设函数()＝－＋. ()讨论函数()在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；()记()＝－＋，求函数()－()在上的最大值； ()在()中，取＝＝，求＝－满足≤时的最大值． 解()()＝－＋ ＝(－)＋，－<<. [( )]′＝(－)，－<<. 因为－<<，所以>，－<<. ①≤－，∈时，函数()单调递增，无极值． ②≥，∈时，函数()单调递减，无极值． ③对于－<<，在内存在唯一的， 导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， 高三数学函数与导数专题试卷 说明：1．本卷分第Ⅰ卷(选择题)，第Ⅱ卷(填空题与解答题)，第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上，学生只要交答题卷． 第Ⅰ卷 一.选择题（10小题，每小题5分，共50分） (4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f =（ ） A ． 3 B ． 3- C ． D ． 1- 2．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ＜－3 B ．t ≤－3 C ．t ＞3 D ．t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线，则k 的值为（ ） A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6．已知条件p ：x 2+x-2＞0，条件q ：a x >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．1≥a B ．1≤a C ．1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)，则使f (x )为减函数的区间是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(1,2) D ．(－3，－1) 三次函数与导数例题与练习答案 例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2 ()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数. （ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>?，()0f x '= 有两个根：12x x = = ， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在 21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数； 若0，故()f x 在),(21x x 上是增函数； （Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2 >++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数. 当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得5 04 a - ≤<. 综上，a 的取值范围是5 [,0)(0,)4 -+∞U . 例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. （Ⅰ） ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2 ()123f x a x x '=+-- 令()0f x '=，得121211,33 x x x x --+= =< 所以12()3()()f x x x x x '=--- 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>， 故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增 （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <> （ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增， 所以()f x 在 0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 （ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1] 上单调递减，因此()f x 在213 x x -+==处取得最大值 又(0)1,(1)f f a ==，所以 当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。 例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232 ()(0),3 f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在 2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）由已知，有2 ()22(0)f x x ax a '=-> 用导数研究三次函数 一、知识点解析 1定义: 定义1、形如y =ax3?bx2? CX ?d(a =0)的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把 2 2 =4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 2 3 2 一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ?cχ?d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。 2、对称中心 3 2 三次函数f (x) = ax bx CX d (^?-z 0)是关于点对称，且对称中心为点 b b (—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a y= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 (1)当.?, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 ■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设 (2)当厶=b2 _3ac X i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。 此时： ①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象 函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）： 考点一：导数几何意义： 角度一 求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ?? ?? π4，f ′(x )是f (x ) 的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0 C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0 解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝ f ′? ?? ??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 角度二 求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1，－1) C ．(1,3) D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3 x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值 3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <-> 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 2020-2021学年高考数学一轮复习 专题3.3 函数与导数的综合应用 【考情分析】 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题。 【典型题分析】 高频考点一 利用导数证明不等式 例1.【2020·江苏卷】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥． （1）若()()22 2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，， ，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，， ，求k 的取值范围； （3）若() 422342 () 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，， [] , D m n =???， 求证：n m - 【解析】（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =． 由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =． （2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞. 令() 1ln u x x x =--，则1 ()1,u'x x =-令()=0u'x ，得1x =. 所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立． 另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 第07讲（三次函数的导数问题） 【目标导航】 运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。 【例题导读】 例1、若13 x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围． 例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13 －kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例3、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 例4、已知函数f (x )＝14 x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ； (3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值． 例5、已知函数f(x)＝?????－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R . (1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； 例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=， ① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）； ② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由； 例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； （3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72 -，求a 的取值范围． 例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值； (2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； (3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表： 从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体 来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x 为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数21 1log (2),1,()2,1, x x x f x x -+- 课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a 比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函数的图像画出导函数的示意图吗？ 一．探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 函数与导数（理科数学） 1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +> 2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/ ()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A.()()af a f b ≤ B.()()bf b f a ≤ C.()()af b bf a ≤ D.()()bf a af b ≤ 3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A 、()()af a f b ≤ B 、()()bf b f a ≤ C 、()()af b bf a ≤ D 、()()bf a af b ≤ 4、记{}???>≤=q p q q p p q p 当当.,,min ．若函数? ?????+=x x x f 241log ,log 3min )(， 则函数)(x f 的解析式_______________.2)( 函数与导数专题试卷(含答案) 高三年数学函数专题试卷第2页（共4页） 高三年数学函数专题试卷第3页（共4页） 高三年数学函数专题试卷第4页（共4页） 高三年数学函数专题试卷第5页（共4页） x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当??? a ＝1， b 2＝1， c 2＝b ，时，求b ＋c ＋ d 的值 17.(13分) 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，求()f x 的表达式. 18.(13分)已知函数2lg(43)y x x =--定义域为M ，求x M ∈时，函数2()24x x f x +=-的值域. 19.(13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝???? ??y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. 求：(1)若A ∩B ＝?，求a 的取值范围； (2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(?R A )∩B . 高三年数学函数专题试卷第6页（共4页） 20.(14分) 已知函数2()ln f x a x b x =?+?在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --= （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）若()f x 满足()()f x g x ≥恒成立，则称()()f x g x 是的一个“上界函数”， 如果函数)(x f 为x x t x g ln )(-=（t 为实数）的一个“上界函数”，求t 的取值范围. 21．（14分）已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）． （1）若1=a ，作函数)(x f 的图像； （2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设x x f x h )()(= ，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围． 用导数研究三次函数 一、知识点解析 1、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2 /≠++=a c bx ax x f ，我们把 )3412422ac b ac b -=-=?（,叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032 >-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 2、对称中心 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝ 的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 （1）当032≤-=?ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <， 可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在) ,(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若0)()(21时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。 5、最值问题。 函数 若，且 ，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。 6、过三次函数上一点的切线问题 设点P 为三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有 直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。 7、过三次函数外一点的切线问题 设点 ) ,(00y x P 为三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有 直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）4导数研究三次函数的性质
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