二次根式知识点复习
【知识点1】二次根式的概念:一般地,我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根
式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式(22211
(1)
(2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153
x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2 使x +
1
x-2
有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≥0 B .x ≠2 C .x>2 D .x ≥0且x ≠2. 例3 若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 练习1使代数式
4
3--x x 有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2
()x y =+,则x -y 的值为
例4 若230a b -+-=,则 2
a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式:X 4
- 4X 2
+ 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数,下列等式中一定成立的是( ): A 、a 2
+b 2
=a 2
+b 2
; B 、(a 2
+b 2
)2
=a 2
+b 2
;
C 、( a + b )2= a 2+b 2;
D 、(a —b )2
=a —b ;
【知识点2】二次根式的性质:
(1)二次根式的非负性,)0(0≥≥a a 的最小值是0;也就是说a (
)是一个非
负数,即)0(0≥≥a a 。
注:因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根,这个性质在解答题目时应用较多,如
若0a b +=,则a=0,b=0;若0a b +=,则a=0,b=0;若2
0a b +=,则a=0,b=0。
(2)2
()a a =(
) 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非
负数。注:二次根式的性质公式2
()a a =(
)是逆用平方根的定义得出的结论。上
面的公式也可以反过来应用:若,则2)a a =,如: 2
22)=
(3)
例7 a 、b 、c 为三角形的三条边,则=--+-+c a b c b a 2
)(____________.
例8 把(2-x)2
1
-x 的根号外的(2-x )适当变形后移入根号内,得 例
9 若二次根
式
有意义,化简│x-4│-│7-x │
= 。
例10 已知x 、y 是实数,且满足y=x —6 +6—x +1试求9x —2y 的值
例11 若实数a 满足a 2
+a=0,则有 例12 下列命题中,正确的是( )
A .若a>b ,则 a > b
B .若 a >a ,则a>0
C .若|a|=( b )2,则a=b
D .若
a 2
=b ,则a 是b 的平方根
例13 n 的最小值是( )
A 、4;
B 、5;
C 、6;
D 、7. 例14 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,那么2
a b a --的结果是什么? 例15 已知已知1
a a
+
=则1a a -=
练习1. 若y x x x =-+-+36633
,则10x +2y 的平方根为_________ 练习2 若y x x =+-+-233
22试求y
x 的值。
练习3 2440y y -+=,求xy 的值
专题二 二次根式的乘除
【知识点1】二次根式的乘法法则:)0,0(≥≥=?b a ab b a 。将上面的公式逆向运用
可得:)0,0(≥≥?=
b a b
a a
b 积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
例1 化简(100)a
b ≥,≥=________.(2)
=__________ 例2 下列各式中不成立的是( )
2x
=
32== 54199
=-=-
D.4
=
例3
计算
415??- ?? 例4若b>0,x<0,化简:b x 3-
【知识点2】二次根式的除法: (1)一般地,对于二次根式的除法规定
b
a
b
a =
).0,0(>≥b a 【注】分母有理化二次根式的除法运算,通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分
母有理化:(1)定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
(2)关键: 把分子、分母都乘以一个适当的式子,化去分母中的根号。
例5________;_________.
_______. 例6 若246-的整数部分为a ,小数部分为b 。求b
a 2
+的值
练习:已知111-的整数部分为a ,小数部分为b ,试求()
()111++b a 的值
【知识点3】最简二次根式:
(1)被开放数不含分母;(2)被开放数中不含开得尽方的因数或因式。 例7 下列二次根式中,最简二次根式是( )
(B )xy (C (D
例8 已知?xy 0,化简二次根式_________. 例9 设a=23-,b=32-,c=25-,则a 、b 、c 的大小关系是
专题三 二次根式的加减
【知识点1】同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。.
例1是同类二次根式的有
例2 若最简根式3a a 、b 的值.
练习:n 是同类二次根式,求m 、n 的值.
【知识点2】二次根式的加减:二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简的二次根式,
再将被开放数相同的根式进行合并。
例3 (1)
27)4
648(34÷+- (2)2
1
4
5
40
例4 已知4x 2+y 2
-4x-6y+10=0,求(23+y -(x )的值.
【知识点3】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的。
例5计算 (1) 22
- (2
例6 若x ,y 为实数,且y =x 41-+14-x +21.求x y y x ++2-x
y y x +-2的值.
例7 已知x =2323-+,y =2
323+-,求3
22342
32y x y x y x xy x ++-的值.
例8 已知a 、b 为实数,且满足233+-+-=b b a ,求b
a a
b ab +-?
1
的值。
全国各地中考数学二次根式
一、选择题
1.(2012菏泽)在算式(
)□(
)的□中填上运算符号,使结果最大,这个运
算符号是( ) A .加号 B .减号 C .乘号 D .除号 2.(2012义乌)一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( ) A .2与3之间 B .3与4之间 C .4与5之间 D .5与6之间 3.(2012?杭州)已知m=
,则有( )
A .5<m <6
B .4<m <5
C .﹣5<m <﹣4
D .﹣6<m <﹣5 4.(2012泰安)下列运算正确的是( ) A .2(5)5-=- B .2
1
()
164
--= C .632x x x ÷= D .325()x x =
5. (2012南充)下列计算正确的是( )
(A )x 3+ x 3=x 6 (B )m 2·m 3=m 6
(C )3-2=3 (D )14×7=72
6.(2012上海)在下列各式中,二次根式的有理化因式是( ) A .
B .
C .
D .
7.(2012?资阳)下列计算或化简正确的是( )
A . a 2+a 3=a 5
B .
C .
D .
8.(2012?德州)下列运算正确的是( )
A .
B . (﹣3)2=﹣9
C . 2﹣3=8
D . 20
=0 9.(2012?湘潭)下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥3的是( ) A . y= B . y= C . y =x ﹣3 D . y=
10.(2012?德阳)使代数式有意义的x 的取值范围是( ) A . x ≥0
B .
C .
x ≥0且
D . 一切实数
11.(2012?广州)已知|a ﹣1|+=0,则a+b=( ) A .﹣8 B .﹣6 C .6 D .8
12.(2012?黔东南州)下列等式一定成立的是( ) A .
B .
C .
D .
=9
13. (2012湖北荆门)若与|x ﹣y ﹣3|互为相反数,则x+y 的值为( )
A .3
B .9
C .12
D .27
14.(2012?湘潭)下列函数中,自变量x的取值范围是x≥3的是()
A.y=B.y=C.y=x﹣3 D.y= 15.(2012?聊城)函数y=中自变量x的取值范围是()
A.x>2 B.x<2 C.x≠2 D.x≥2 .
16.(2012?德阳)使代数式有意义的x的取值范围是()
A.x≥0 B.C.x≥0且D.一切实数17.(2012攀枝花)已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对
二、填空题1.(2012临沂)计算:
1
48
2
= .
2.(2012?聊城)函数y=中自变量x的取值范围是()
3.(2012?杭州)已知(a﹣)<0,若b=2﹣a,则b的取值范围是.4.(2012?丽水)写出一个比-3大的无理数是.
5.(2012铜仁)当x 时,二次根式1
x
有意义.
6.(2012?梅州)使式子有意义的最小整数m是.
7.(2012?连云港)写一个比大的整数是2(答案不唯一)..
8.(2012?德州)>.(填“>”、“<”或“=”)
9.(2012?德阳)有下列计算:①(m2)3=m6,②,③m6÷m2=m3,④
,⑤,其中正确的运算.10.(2012?恩施州)2的平方根是.
11.(2012福州)若20n是整数,则正整数n的最小值为________________.12.(2012?梅州)使式子有意义的最小整数m是.
13.(2012张家界)已知,则x+y= .
14.(2012江西)当x=﹣4时,的值是.
15.(2012临沂)计算:1
482
-= . 16.(2012上海)方程的根是 .
三、解答题
1.(2012?丽水)计算:sin60°+|-3|--.
2.(2012成都)计算:02
4cos 458(3)(1)π-+++-
5.(2012?连云港)计算:-(-)0
+(-1)
2012
.
6.(2012上海).
7.(2012?德阳)计算:.
8.计算:(1)1
0231)7()2(|2|-??
?
??--+-+-π; (2)241221348+?-÷.
二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并
二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)()2= (≥0);(2) 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. =·(a≥0,b≥0);(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 (2)、平方法 当时,①如果,则;②如果,则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。
(4)、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 (5)、倒数法 例5、比较与的大小。 (6)、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 (7)、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①;② 例7、比较与的大小。 (8)、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①;② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1)()2=- ();(2)=- () (3)(-)2=- ();(4)(2)2=2×=1 () 2.下面的计算中,错误 ..的是() A.=±0.03 B.±=±0.07 C.=0.15 D.-=-0.13 3.下列各式中一定成立的是() A.=+=3+4=7 B.=- C.(-)2= D.=1-= 4.()2-=________; 5.+(-)2=________.6.[-]·-6;
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 二次根式(提高) 责编:常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进 行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ; 2.; 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值. 2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 是__________时, +在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意,得23010≥①≠②x x +??+?
由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三: 【变式】(2015?随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示:∵代数式 +有意义, ∴, 解得x ≥0且x ≠1. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1) ; (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三: 【:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1)y=x --1 1+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且 (2)22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. (2016?潍坊)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+ 的结果是( ) A .﹣2a +b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 【思路点拨】直接利用数轴上a ,b 的位置,进而得出a <0,a ﹣b <0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知:0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 二次根式的知识点汇总 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注: 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根 式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注: 因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注: 二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本 身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实 数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的运算 (1)因式的外移和移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理; (3) 乘法公式的推广: 2.二次根式的加减运算 先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (6). (7)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (8)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10< 第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算二次根式知识点总结材料和习题
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