x
θ y M 圆与椭圆的参数方程导学案
教学目标：
知识与技能：了解圆与椭圆的参数方程及参数的的意义；
过程与方法：能选取适当的参数，求圆与椭圆的参数方程，利用参数方程求最值； 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学重点：圆、椭圆参数方程的定义与应用.
教学难点：选择适当的参数写出圆、椭圆的的参数方程，并利用其求最值.
问题1.回顾圆的标准方程 .
问题2.推导圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程：
在圆上任取点(,)M x y ，试用θ表示x 与y ：
其中参数θ的几何意义为： .
问题3. 怎样得到圆心在1(,)O a b ,半径为r 的圆的参数方程?
问题4.圆的参数方程的应用：
1.圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）
是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.
2. 已知(,)P x y 是圆C ：2264120x y x y +--+=上的点。 （1）求x y -的最大值与最小值；
（2）求22x y +的最大值与最小值.
（3）求 y x
的最小值与最大值；
问题5: 你能仿照圆的参数方程猜想出椭圆 的参数方程吗？ 如下图，以原点为圆心，分别以,(0)a b a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，半径OA 绕点O 旋转，（1）试用半径OA 的旋转角?表示出点M 的横纵坐标x ，y ，由此得参数方程；
（2）试消掉（1）中的参量?，得出点M 的轨迹方程。
问题6: 你能仿照问题5写出椭圆 （0a b >>）的参数方程吗？
问题7：椭圆 的参数方程为
的几何意义是什么？
1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ）
2.?称为离心角，规定参数?的取值范围是
问题8:椭圆的参数方程的应用：
在椭圆2288x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小.(可以选择不同的解法)
?,,b a )0(122
22>>=+b a b y a x 其中为参数)(sin cos ??
????==b y a x )0
(12222>>=+b a b
y a x O A M x y N B 122
22=+a
y b x
随堂检测：
1.设实数 x 、y 满足22(1)1x y +-=求(1) 34x y +；(2) 22x y +的最值.
2.动点(,)P x y 在曲线 22
y 194
x += 上变化 ，求23x y +的最大值和最小值.
随堂检测：
1.设实数 x 、y 满足22(1)1x y +-=求(1) 34x y +；(2) 22x y +的最值.
2.动点(,)P x y 在曲线 22
y 194
x += 上变化 ，求23x y +的最大值和最小值.
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
椭圆及其标准方程（一）导学案 【学习要求】 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 【学法指导】 1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力. 2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度 【知识要点】 1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2. 探究点一 椭圆的定义 问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？ 问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？ 探究点二 椭圆的标准方程 问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程. 问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？ 例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程. 跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有公共的焦点， 求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程. 例2 已知方程x 2k －4－y 2 k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________. 跟踪训练2 若方程x 2m －y 2 m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( ) A ．m >0 B ．0
《参数方程和普通方程的互化》导学案3 1. 了解参数方程化为普通方程的意义. 2 ?理解参数方程与普通方程的互相转化与应用. 课标解读 3 .掌握参数方程化为普通方程的方法 知识梳理 参数方程与普通方程的互化 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式?一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程, |x= f t 求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数 i y= g t 方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致. 思考探究 普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参 数不同，那么所得的参数方程的形式也不同 课堂互动 |x= a+1 cos 0 , 例题1在方程y= ?+ t sin 0, （a，b为正常数）中， (1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?
非零常数时，利用平方关系消参数 0，化成普通方程，进而判定曲线形状. x = a + t cos 0 , ① 【自主解答】 方程* (a , b 是正常数)， |y = b + t sin 0 , ② (1) ①x sin 0 —②x cos 0 得 x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0. ■/ cos 0、sin 0不同时为零， ???方程表示一条直线. (2) ( i )当t 为非零常数时， 即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆. (ii)当t = 0时，表示点(a , b ). 1?消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程， 关键是消去参数，如果参数方程是整式方程， 常用的消元法 有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要 做必要的变形?另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e — x )2 2 x —x 2 1 — k 2 2k 2 -(e -e ) =4,("+ E=1 等. 2?把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线. 将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状: x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n ); |y = 2s in 0 r 4 4 x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2 ( 0为参数)； |y = 1 — 2sin 0 cos 0 2 2 x — a ③2+④得 —cos 0， —sin 0 . 2 y — b 2 ■=1, ④ 「X — a I t 原方程组为\ ￥
2.1.3椭圆及其标准方程(2) 主备人： 学生姓名： 得分： 学习目标： 1. 能根据条件熟练地求出椭圆的标准方程 2. 借助椭圆方程巩固求曲线方程的一般方法. 3. 学会代入法求轨迹方程 学习难点： 写出椭圆的标准方程，代入法求轨迹方程 三、合作探究 例1：如图，在圆x 2 y 2 4上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足。当点P 学习方法：自主预习, 合作探究，启发引导 一、导入亮标 1 ?椭圆的定义？ 2 ?椭圆的标准方程? 二、自学检测 1、已知椭圆的方程为 25 2 壬1 9 ，则 a = 焦点坐标为 ，焦距等于 2 ?已知椭圆的方程为 4 2 L 1 5 ，则 a = ,c = 焦点坐标为 ，焦距等于 3.经过A( 4,0), B(2「3)的椭圆的标准方程是 4 ?将下列椭圆方程转化成标准方程. (1)4x 2 3y 2 2 2 1 (2) 5x 6y 1
例2:如图，设点A,B的坐标为5,0、5,0。直线AM ,BM相交于点M，且它们的斜率 四、展示点评 五、检测清盘 1 ?已知圆x2寸9，从圆上任意一点P向x轴作垂线PP',点M为PP'上的点，且PM 2MP',则点M的轨迹方程_________________________ . 2 2 2?已知圆A : x (y 6) 400, B(0,6),圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程______________________ ? 3?若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上，且 AM 2MB，求点M的轨迹方程. 4. 若△ ABC的两个顶点坐标A( —4,0) , B(4,0) , △ ABC的周长为18, 则顶点C的轨迹方程为 __________________________ . 5. 动点P(x，y)的坐标满足(x 2)2 / 「(X 2)2 / 8, 则点P的轨迹是 ________________ 2 2 ?丄1 6. 已知椭圆16 9 的左、右焦点分别为F1、F2, P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ= 1，贝U PF1 = _________ 7.已知椭圆x 2y a (a °)的左焦点F1到直线y x 2的距离为2 一2 , 求椭圆的标准方程. 2 X 8.已知方程m 2 2 y 2m 1 是焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 1
曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
高二数学 §2.2.1《椭圆及其标准方程(1)》导学案 【学习目标】 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【重点难点】 重点：椭圆的定义的理解 难点：椭圆的标准方程的求解 【知识链接】 （预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ． 【学习过程】 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，
《直线的参数方程》导学案 紫云民族高级中学高二数学组 学习目标： 1、了解直线的参数方程及参数的的意义 2、能选取适当的参数，求直线的参数方程 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 一、回忆旧知，做好铺垫 1.→a 与→b 共线向量的充要条件是什么？________________________ 2.直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 3.什么是单位向量？________________________ 4.斜率存在且为k 的直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 5.倾斜角为α的直线l 的单位方向向量怎样表示?________________________ 6直线方程的有几种形式？ 二直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为 ??? ??≠2παα 的直线l 的 普通方程是________________________; 合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线l 的参数方程如何建立？
得出结论：定点 ) ,(000y x M 倾斜角 α直线的参数方程为 观察直线的参数方程，知道那些量可以把直线的参数方程写出来？ 练一练 1.写出满足下列条件直线的参数方程： （1）过点（2,3）倾斜角为4π （2）过点（4,0）倾斜角为32π
知识探究一： 由 t M 0 ,你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何 意义吗？ 知识探究二： 如图所示：请讨论参数t 的符号； 利用t 的几何意义，如何求过M0直线上两点AB 的距离？ 点A,点B 在M0同侧点A,点B 在M0异侧 e
? + = 2 课题：参数方程与普通方程的互化 【学习目标】 1. 进一步理解参数方程的概念及参数的意义。 2. 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型 3. 能选择适当的参数将普通方程化成参数方程 【重点、难点】 参数方程和普通方程的等价互化。 自主学习案 【问题导学】阅读课本 P24—P26，然后完成下列问题： 1. 参数方程的概念 (1) 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数t ? x = f (t ) 的函数? y = g (t ) (t ∈ D ) , 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 ，联系变数 x 、 y 的变数 t 叫做 ，简称 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F (x , y ) = 0 叫做 。 (2) 是联系变数 x,y 的桥梁，可以是一个有 意义或 意义的 变数，也可以是 的变数。 2、 （ 1） 圆 心 在 原 点 O ， 半 径 为 r 的 圆 的 一 个 参 数 方 程 是 ； （2）圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的一个参数方程是 . 3、指出下面的方程各表示什么样的曲线： （1）2x+y+1=0 表示 (2) y = 3x 2 + 2x +1 表示 2 (3) x y 1表示 9 4
t ? (4) ?x = cos + 3(为参数) 表示 ? y = sin 【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ ?x = t +1 ?x = 2 c os 1、? y = 1- 2t （t 为参数） 2、? y = sin （为参数） ? ? 思考： 1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？ 2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？ 合作探究案 考向一、参数方程化普通方程 例 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 （1） ??x = ? + 1 ?x = sin + cos （t 为参数） （2） ? y = 1 + sin 2 （为参数） ?? y = 1 - 2 ? 小结： t
x θ y M 圆与椭圆的参数方程导学案 教学目标： 知识与技能：了解圆与椭圆的参数方程及参数的的意义； 过程与方法：能选取适当的参数，求圆与椭圆的参数方程，利用参数方程求最值； 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学重点：圆、椭圆参数方程的定义与应用. 教学难点：选择适当的参数写出圆、椭圆的的参数方程，并利用其求最值. 问题1.回顾圆的标准方程 . 问题2.推导圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程： 在圆上任取点(,)M x y ，试用θ表示x 与y ： 其中参数θ的几何意义为： . 问题3. 怎样得到圆心在1(,)O a b ,半径为r 的圆的参数方程? 问题4.圆的参数方程的应用： 1.圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0） 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. 2. 已知(,)P x y 是圆C ：2264120x y x y +--+=上的点。 （1）求x y -的最大值与最小值； （2）求22x y +的最大值与最小值. （3）求 y x 的最小值与最大值；
问题5: 你能仿照圆的参数方程猜想出椭圆 的参数方程吗？ 如下图，以原点为圆心，分别以,(0)a b a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，半径OA 绕点O 旋转，（1）试用半径OA 的旋转角?表示出点M 的横纵坐标x ，y ，由此得参数方程； （2）试消掉（1）中的参量?，得出点M 的轨迹方程。 问题6: 你能仿照问题5写出椭圆 （0a b >>）的参数方程吗？ 问题7：椭圆 的参数方程为 的几何意义是什么？ 1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ） 2.?称为离心角，规定参数?的取值范围是 问题8:椭圆的参数方程的应用： 在椭圆2288x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小.(可以选择不同的解法) ?,,b a )0(122 22>>=+b a b y a x 其中为参数)(sin cos ?? ????==b y a x )0 (12222>>=+b a b y a x O A M x y N B 122 22=+a y b x
2.2.1椭圆及其标准方程（1） 教学目标: 重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程. 难点：椭圆标准方程的建立和推导． 知识点：椭圆定义及标准方程. 能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏 数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法. 教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义； 2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法. 考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题 易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错. 拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程. 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 【创设情景】 材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.
材料2：2012年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片． 【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？ 【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导: 按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件） 思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？ 1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ 学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：
2.3《圆锥曲线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二、重难点： 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. (1)圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)\()(参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ为参数) 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程. 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ (二)、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆 12 22 2=+ b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ sin cos b y a x (θ为参数)，参数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线12 22 2=- b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ tan sec b y a x (θ为参数)
. 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程?? ?==Pt y Pt x 222 (t 为参数)，t 为以抛物线上一点(X ，Y)与其顶点连线斜率的倒数. (1)、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标. (3)、参数方程求法：(A)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；(B)选取适当的参数；(C)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 4、椭圆的参数方程常见形式：(1)、椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ?? ?==θ θsin cos b y a x (θ 为参数)；椭圆 2 2 221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是 c o s s i n (2x b y a θθθθ==≤≤π? 为参数，且0）. (2)、以0 ( ,)y x 为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是 00 cos sin ({x a y b x y θθ θ= +=+为参数）. (3)在利用???==θθ sin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos θ，bsin θ). (三)、巩固训练
椭圆的参数方程 教学目标： 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)y x a b a b +=>> 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为22()()1x y a b +=，又22 cos sin 1??+= 设cos ,sin x y a b ??==，即a cos y bsin x ??=??=? ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数?的几何意义 问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径 作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。 过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当 半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(x, y)。 那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角? 的终边上，由三角函数的定义有 ||cos cos x OA a ??==， ||sin cos y OB b ??==。 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 a cos y bsin x ??=??=? 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 () ?为参数
2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨
迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。
参数方程的概念学案 第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静 【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义； 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 【学习重点】曲线参数方程的定义及求法 【学习难点】曲线参数方程的探求。 一、【课前预习】 引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？ 思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方 程进行比较，体会参数方程的作用。 二、【新知探究】 1、参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ??? ，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、【预习检测】 1、曲线2 1,(43x t t y t ?=+?=-? 为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16 D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=? 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22 D 、（1，0）
椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。 直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。 用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。 此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________ xx市实验学校
《椭圆及其标准方程》导学案 第一课时 学习目标: 1 ?从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2 ?掌握椭圆的定义； 3 ?掌握椭圆的标准方程. 自主学习：(认真自学课本P32-P34) 新知1 :我们把平面内与两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数(大于FT ?)的点的轨迹叫 做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 思考：若将常数记为 2a 当2a |F i F 2时，其轨迹为 ____________ ; 2a 丁应］时，其轨迹为 ___________ . 试试： 已知F i ( 4,0) , F 2(4,0)，到F i , F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 _______________ 应用椭圆的定义注意两点： 2 2 新知2：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程笃爲i a b 0 ,其中a 2 b 2 c 2.若焦点 a b 在y 轴上，两个焦点坐标 ___________ ，则此时椭圆的标准方程是 ___________ . 预习自测： 2、 椭圆的焦点坐标为(-6, 0) , (6, 0) , PF | PF 2 20则其方程为 _________ . 2 2 x y 3、 椭圆一一1的焦点坐标 25 9 合作探究： 例1 .(教材P34例1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是 2,0 , (2,0)，并且经过点 5 3 , ，求它的标准方程. 2 2 例2.焦点在x 轴上的椭圆过点 2,0 , (2,0) , (0,1)，求它的标准方程. 目标检测: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数2a F 1F 2 . X 2 1、设P 是椭圆一 25 2 y 16 1上的一点, R, F 2是椭圆的两个焦点, PF 1 PF 2