含有一个量词的命题的否定
例1写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p：?x∈R，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p：?x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）? P：有的人不晨练；（2）?x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）?x∈R，x2－x+1≠0；
例2写出下列命题的否定。
（1）所有自然数的平方是正数。
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4）有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。例3写出下列命题的否定。
（1）若x2＞4 则x＞2.。
（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3）可以被5整除的整数，末位是0。
（4）被8整除的数能被4整除。
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数
x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。或者说：存
在小于或等于2的数
x，满足20x＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若
x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个
x，使20x+ 0x-m=0无实数根。
（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）
例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）? P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）? P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4）?P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则?q”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
否命题与命题的否定 一、识别否命题与命题的否定 1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。 2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题 是“若p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。 二、区别否命题与命题的否定 1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。“非”的含义有四条： ①“非m ”只否定的结论； ②m与“非m ”的真假必须相反； ③“非m ”必须包含原结论的所有对立面； ④“非m ”必须使用否定词语。 三、实例帮您理解否命题与命题的否定 对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。 若m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。 命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如： ①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。 ②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。 四、“或”、“且”连结的命题的否定形式 “p 或q ”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与b中至少有一个不为零”，而不是“实数a与b 都不为零”；“实数a与b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。 六、命题中关键词的否定表 把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表： 关键词大（小）于是有全部任何，所有的至少有一个至多有一个任意 否定不大（小）于不是无不全部不都某些，有几个一个也没有至少有两个存在 七、含有一个量词的命题的否定
命题的否定与否命题辨析 在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析． 一、辨析 1、定义区别 2、真假关系表 命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表： 3、常用关键词的否定 把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表： 二、例题讲解 [例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假． 解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)． 原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)． 原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)． 注：原命题与原命题的否定形式的真假相反． [例2]写出下列命题的否命题： ⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根； ⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数； ⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0； ⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc． 解：原命题的否命题分别是： ⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根； ⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数； ⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0； ⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc． 评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”； ⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定． [例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假． 解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)； 逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．
4 含量词命题的否定。 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样？ 一般地，全称命题P：x A,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x A, 使P（x）不成立。存在性命题P：x A,使P（x）成立; 其否定命题┓P为：x A,有P（x）不成立。用符号语言表示： 非（（x）p(x)）=( x)非p(x) 非(( x)p(x))=( x)非p(x) 在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 例4 写出下列命题的否定。 （1）所有自然数的平方是正数。 （2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4）有些质数是奇数。 解；（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 但解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 例5 写出下列命题的否定。 （1）若x2＞4 则x＞2.。 （2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 （3）可以被5整除的整数，末位是0.。 （4）被8整除的数能被4整除。 （5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）的否定：存在实数x0，虽然满足x02＞4但x0≤2.。或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x02＞4。（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4 则x＞2） （2）的否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x02+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。） （3）的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.。 （4）的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它
否命题与否定命题的区别 “否命题”与“命题的否定”这两个概念，如果原命题是“若p则q”，那么这个命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”。可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。 一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。 例1原命题：所有自然数的平方都是正数 原命题的标准形式：任意x，（若x是自然数，则x2是正数） “任意”是限定词，“x是自然数”是条件，“x2是正数”是结论。否定一个命题，需要同时否定它的限定词和结论。限定词“任意”和“存在”互为否定。 否定形式：不是（任意x，（若x是自然数，则x2是正数））＝存在x，（若x是自然数，则x2不是正数） 换一个说法就是：至少有一个自然数的平方不是正数 而一个命题的否命题用得较少。命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。 得到一个问题的否命题很容易，把限定词，条件，结论全部否定就可以了。 原命题：所有自然数的平方都是正数 原命题的标准形式：任意x，（若x是自然数，则x2是正数） 否命题：存在x，（若x不是自然数，则x2不是正数） 换一个说法就是：存在某个非自然数，其平方不是正数 此外，对于逆命题，是否定限定词，然后交换条件和结论 题目中的命题的逆命题就是：存在x，（若x2是正数，则x是自然数） 逆否命题，就是逆命题的否命题，或者否命题的逆命题，就是限定词不变，否定条件和结论并交换。 题目中的命题的逆否命题就是：任意x，（若x2不是正数，则x不是自然数） 例2例如:原命题:等边三角形的三个角都是60度 否命题:如果一个三角形不是等边三角形,那么它的三个角不都是60度 命题的否定:等边三角形的三个角不都是60度 例3”所有的正棱柱都是直棱柱”那么它的否定应该是：”有些正棱柱不是直棱柱”，它的否 命题是：不是所有的正棱柱都不是直棱柱 例4若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角； 命题的否定：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。命题的否命题为：若一个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。 例5菱形的对角线互相垂直； 命题的否定：菱形的对角线不互相垂直。命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。 例6面积相等的三角形是全等三角形。 命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形。命题的否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形。 注：“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，“任意两个”的否定是“某两个”。“p 且q”的形式，其否定应该为“非p或非q”，“p或q”的形式，其否定应该为“非p且非q”，
命题的否定与否命题的区别 命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由一任何命题均有否定无论是真命题还是假命题而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。二命题的否定是原命题的矛盾命题两者的真假性必然是一真一假一假一真而否命题与原命题可能是同真同假也可能是一真一假。如下面真值表可知Pq┓p┓q”Pq┓p┓q”110011100101011010001111三原命题“若P则q”的形式它的否定命题在前面已讲过而它的否命题为“若非P则非q”记为“若┓p则┓q”即是说既否定条件又否定结论。 例6写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其真假性。 1若xy则5x5y。 2若x2x2则x2-x2。 3正方形的四条边相等。 4已知ab为实数若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0。 解1的否定xyxy且5x≤5y。 假命题否命题Vxyx≤y5x≤5y。 真命题原命题为Vxyxy5x5y。真命题2的否定xx2x2且x2-x≥2。真命题否命题Vxx2x≥2x2-x≥2。假命题原命题为Vxx2x2x2-x2。假命题3的否定存在一个四边形尽管它是正方形然而四条边中至少有两条边不相等。假命题否命题若一个四边形不是正方形则它的四条边不相等。假命题原命题是真命题。 看例554的否定存在两个实数ab虽然满足x2axb≤0有非空实解集但使a2-4b0。假命题否命题已知ab为实数若x2axb≤0没有非空实解集则a2-4b0。真命题原命题为对任意的实数ab若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0真命题在教学中务必理清各类型命题形式结构性质关系。才能真正准确地完整地表达出命题的否定才能避犯逻辑性错误才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
“命题的否定”与“否命题” ?p p）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和或“命题的否定（非写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键. AB”的否命题与命题的否定形式，则一、命题“若ABAB”就叫做原命题的否命题，“若非，则，则非”为原命题，那么，设命题“若否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……ppp的否，非则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题叫做命题?ABA p，，任何一个命题都有否定形式，命题“若）”的否定形式为“若定（记作，则B”.显然，则非“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反. ba1?，则2?2a?b) 江苏高考”的否命题为 . (2005.例1.命题“若 . 分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论ba12?a?b，则2?. 解：由题意原命题的否命题为“若”ba1b，则2?2?a?”评注：该命题的否定形式为“若，只 是否定原命题的结论.: 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题x3?x00|?|2x?y?5x|?|y?yy. ，，则且全为；，则(1)若(2)若3x?5?y?y?2x，则且解：(1) 命题的否定为：若；3x?5?yy?2x?否命题为：若；，则或 x00|?|?|yx|y，则不全为，； (2) 命题的否定为：若x00?|y||x|?y. 否命题为：若，不全为，则如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的“改写”这种使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.命题，. 的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样BA: ，则例3.将下列命题 改写成“若”的形式，并写出它们的否命题与否定形式 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； x0?aby?ax?. 的值随(2)时，函数值的增加而增加解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；?p否定形式（）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；x0a?b?y?ax时，若原命题可改写为：(2)增加，则函数的值也随着增加，1 专心爱心用心． x0?ay?ax?b的值也不增加；不增加，则函数否命题为：时，若?x0?a p y?ax?b的值不增加；否定形式（增加，则函数）为：时，若 x a?0y?ax?b的值也增加，，则函数原命题也可改写为：当增加时，若x a?0y?ax?b的值不增加. 否命题为：当，则函数增加时，若?x a?0p y?ax?b的值不增加）为：当. 增加时，若否定形式（，则函数评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键； （2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语. 常用词语的否定如下表：
命题的否定中的一个易错点 在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点，同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。本文主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。 首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题： 例：设函数()a x ax x f --=259的定义域为A ，若命题p ：A q A ∈∈5:3与命题有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围。 对于这道题目，同学给出了两种解法。 解法1：由题意可知，q p ,两个命题一真一假。 （1） 若p 真q 假，则需满足 Φ∈??????><<≤??????<--≥--a a a a a a a a 1255945301259504593或 （2） 若p 假q 真，则需满足 ()125,453,591255945301259504593???????∈??????<≤>
综上所述，[).125,453,59??? ????∈a 乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样？我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？ 让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而解法2中，对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。也就是说，两种解法在求命题的否定形式所表示的范围时采取了不同的方式：一种是先写写出否定形式，再求范围，另一种是先求范围，再对范围进行否定，从理论上讲，这两种方法都是对的，可为什么出现了上述不同的两种结果呢？ 经过进一步的对比研究发现，其实解法1中对含不等式命题的否定不全面， 从而导致了最终结果相差一个数字“45”。解法1中，命题p 等价于04593≥--a a ，而它的否定形式被写成04593<--a a 。这个写法是有问题的，我们不妨从两个不等式所表示的范围来分析一下， ,45304593<≤?≥--a a a 45304593>
命题的“否定”与“否命题”的辨析 （邮编331800）江西省东乡县实验中学数学组黄树华数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修1-1、2-1的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。 一、命题的“否命题” 关于“否命题”，教材中讲得很明确，仅针对命题“若P则q”提出来的。写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。即“若p则q”的否命题为“若非p则非q”。命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。如“若两个三角形全等则面积相等”（真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等”（假命题）。又如“若x≠2，则x2≠4”（假命题）的否命题为“若x=2，则x2=4”（真命题）。写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正方形”，结论是“这个四边形是菱形”，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形”。 二、命题的“否定” “非p”叫做命题p的非命题，即命题p的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓p”）称为命题的否定。“非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值正好相反，构成一对矛盾命题。但值得注意的是“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。以下分别举例说明： （一）简单命题的否定。简单命题是不含逻辑联结词的命题。常见的有： 1．形如“A是B”的命题，这类命题的否定为：“A不是B”。如命题“e是无理数。”的否定为“e不是无理数。” 例1．写出下列命题的否定：
对命题的否定与否命题的理解 四川省广汉中学：邱华 高中数学中，《简易逻辑》一节对于高一新生来说是较为抽象，特别是对命题的否定和否命题在理解上尚一定难度，特别是加之资料书上对这方面谈得少，知识上存在一定缺陷。本人根据自已的教学实践，谈谈对这个问题认识，供参考。 首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓P”）称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。 《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述： 1 简单命题的否定 在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。 例1 写出下列命题的否定。 （1）是有理数。 （2）菱形的对角线互相垂直。 （3）N {x R︱x＞–2}. （4）方程=1没有实数根。 解:（1）的否定：不是有理数。或者是并非是有理数。 （2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。 （3）的否定：N {x R︱x＞–2}。 （4）的否定：方程=1有x≠3的实数2 复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定。 给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q 的析取命题（也叫选言命题）。记作P q。它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假) P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 从表可知：┓(P q)与┓P ┓q的真值相同；┓(P q)与┓P ┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示： ┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q 从而知命题“P q”和“P q”的否定：既否定命题P,q;又改变联结词。 例2 写出下列命题的否定。
课题命题的否定 【教学目标】 1.理解“命题的否定”的内涵，会写出给定命题的否定形式； 2.经历命题的否定与否命题的辨析过程，建立命题的否定和补集之间联系； 3.通过命题的否定的学习，运用联系的观点，逐步建立命题和集合之间的联系，学会 运用辩证的观点分析问题、解决问题. 【教学重点】掌握“命题的否定”的基本数学内涵 【教学难点】辨析“命题的否定”和“否命题. 【教学过程】： 教学 程序 教学过程 预习情况反馈 课前30个学生已阅读材料《命题的“否定”与“否命题”》（见附页），预习后的反馈练习情况如下： 一、写出下列命题的否定形式 1、若1 x≠，则2210 x x -+≤.2 1210 x x x ≠-+≤ 若，则 正确答案：若1 x≠，则2210 x x -+>. 任意x R ∈，2 1 4 x x -+≥成立. 正确答案：存在x R ∈，使2 1 4 x x -+≥不成立. 或者是：存在x R ∈，2 1 4 x x -+<成立. 3、5是10的约数且是15的约数. 正确答案：5不是10的约数或不是15的约数. 4、2+2=5或3<2. 正确答案：22532 +≠≥ 且. 二、写出命题“菱形的对角线互相垂直”的否命题与命题的否定，并判断真假. 否命题：不是菱形的四边形对角线不互相垂直. 假命题 命题的否定：菱形的对角线不互相垂直. 假命题 通过学生反馈练习的正确率可以看出，大部分学生已基本掌握了一些简单命题的否定，说明学生的课前预习是较有效的.但同时学生们也提出了各种疑
惑，接下来，我们就学生提出的困惑一起来讨论，并完成例题. 概念 疑难辨析一、辨析：否命题与命题的否定 1、否命题：一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定， 我们把这样两个命题叫做互否命题. 其中一个叫原命题，另一个叫否命题.教材中否命题是针对“若p，则q”提出来的，所以否命题的形式是“若p，则q”. 2、命题的否定：一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个命题“非p” 称为命题的否定.简单地说，命题的否定就是对这个命题的结论进行否认.我们可联想到集合中的补集，若将命题P对应集合P,则命题“非P”为P对应的集合在全集U中的补集. 因此我们可以用“补集”的观点理解、解决“命题的否定”. 3、既然两个都是否定，区别在哪里？ 答：①否命题是将原命题的条件和结论都否定，而“命题的否定”是将结论做否定. ②任何命题均有否定；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的. 例1、写出下列命题的否定形式和否命题，并判定真假. （1）若x y >，则55 x y >（真命题） 否定形式：若x y >，则55 x y ≤. （假命题） 否命题：若x y ≤，则55 x y ≤. （真命题） （2）15能被5整除.（真命题） 否定形式：15不能被5整除.（假命题） 否命题：不是15的数不能被5整除.（假命题） 从中我们可以看出一个命题与它的否定形式是完全对立的. 两者之间有且只有一个成立，即一真一假. 而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系，可以同真同假，亦可以一真一假. 二、简单命题的否定 总结1、常见的关键词的否定： 词语是一定是全部都是大于 词语的 否定 不是一定不是不全，不都不都是 不大于（小于 等于）词语且或至少有一个至少有n个至多有一个 词语的 否定 或且一个也没有至多有n-1个至少有两个 例2、写出下列语句的否定形式 （1）,a b都是负数； （2）c a b 、、中至多有一个是正数； （3）三角形两边之差小于第三边. （4）AB平行且等于CD （5）2 a=± 总结2、全称命题和特称命题的否定：
命题的否定和否命题的区别 原命题：等腰三角形的底角相等 命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等；否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等. 结论：命题的否定是在原命题题设不变的情况下对结论进行否定. 而否命题是既要否定原命题题设,又要否定原命题的结论 命题的否定,主要针对简单命题（普通命题）、含有量词的命题,此时原命题的否定命题规则是：否定结论,并将量词“置换”,即将原命题中的全称量词（存在量词）换成存在量词（全称量词）.这种命题一般只有命题的否定,而没有否命题. 原命题的否命题：此时的原命题特指形如“如果p,则（那么）q”的命题,它的否命题是“如果非p,则（那么）非q”.这样的原命题的否定,同样是只否定结论,即原命题的否定为：“如果p,则（那么）非q”.注意：命题的否定与命题的否命题,是针对不同类型的原命题而言的,它们是两个不同的概念. 1、在高中阶段（国内），命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0, 使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A => B) 与A => 非B 并不是逻辑相等的。参考：滑铁卢大学数学教材对
于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。 2、一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
正确理解与区分命题的否定与否命题 命题的否定与否命题是逻辑学的难点之一，为了突破这一难点，本文试图全面而又详细地阐述之，以飨读者． 一、命题的否定与否命题的相关概念 １．定义： 设“若p 则q ”为原命题，那么“若非p 则非q ”就叫做原命题的否命题． 设“p ”是一个命题，那么“非p ”叫做命题p 的否定．“非p ”记作“p ?” ２．区别：否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假．而命题的否定是（1）在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可．（2）如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定．任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）． 二、命题的否定中的关键词剖析 １．一般命题中 “都…”对应于“不都…”，而不是对应于“都不…”； “全…”对应于“不全…”，而不是对应于“全不…”． “…且…”对应于“…或…”；“…或…”对应于“…且…”， ２．全称命题与存在性命题中 “任意…” 对应于“有些…”等；“存在…” 对应于“所有…”等． “至少有一个” 对应于“一个都没有”等；“至多有一个” 对应于“至少有两个”等． 三、否命题的改写说明：原命题如果是“若p 则q ”或“如果…，那么…”的形式，则按照否命题的定义改写即可，原命题如果不是上面的形式，则先改写成上面的形式后，再去写它的否命题． 四、命题的否定与否命题的易错题举例． １．写出“若a ，b 都是正数，则ab b a 2≥+．”的否命题． 解答：若a ，b 不都是正数，则ab b a 2<+． 评注： “都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a ，b 都是正数”理解成“a 是正数且b 是正数”，则其否定也可写成“a 不是正数或b 不是正数”． ２．写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定． 解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数． 命题的否定：两个奇数的和不是偶数 评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”． (2) “是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是 “是奇数”（为什么？）． ３．写出下列命题的否定： (1)有些常数数列不是等比数列． (2)平行四边形是菱形． 解答：(1) 任意一个常数数列都是等比数列．(2) 平行四边形不都是菱形． 评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的．
命题的否定和否命题的区别 【否命题和命题的否定的含义】 1.什么是命题的否定 命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。命题的否定与原命题真假性相反。 设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定．“非p”记作“-p”。 2.否命题的概念 否命题是数学中的一个概念。一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了。如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。 设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题。 【命题的否定和否命题的区别】 1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。 比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国
外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。 参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。 2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。 否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假。而命题的否定是：a.在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可;b.如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）。 注意：命题的否定和否命题的根本区别是命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。 例如： 原命题：等腰三角形的底角相等。 命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等; 否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等。
1.3.3 全称命题与特称命题的否定 一、创设情境 “所有”、“任意”、等与“存在着”、“有”、“至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数； （3）?x∈R，x2-2x+1≥0 分析：（1）?，否定：存在一个矩形不是平行四边形； （2），否定：存在一个素数不是奇数； （3），否定：?x∈R，x2-2x+1<0； 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究 问题2：写出命题的否定 （1）p：?x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）? x∈R，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：, 四、数学理论 1.全称命题、存在性命题的否定 一般地，全称命题P：? x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：?x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：?x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：? x∈M,有P（x）不成立。 用符号语言表示： P:?∈M, p(x）否定为? P: ?∈M, ? P（x） P:?∈M, p(x）否定为? P: ?∈M, ? P（x） 2.关键量词的否定 五、巩固运用 例1写出下列全称命题的否定： （1）p：所有人都晨练；（2）p：?x∈R，x2＋x+1>0；
第5课时《全称命题与特称命题的否定》导学案 设计人：黄清 审核人：李锁详 日期：2013/11/19 班级：___________ 组名： ____________ 姓名：___________ 【教学目标】 1. 知识与技能：会对含有全称量词，存在量词的全称命题，特称命题进行否定. 2. 过程与方法：(1)通过对全称命题，特称命题的否定的学习，体会从特殊到一般的探索性学习方法. (2)通过学习体会命题间的逻辑关系. 3. 情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体会探索的乐趣，培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力. 【教学重点】写出含有量词的命题的否定，并判断其真假. 【教学难点】全称命题，特称命题的否定及真假判断. 【教学过程】 一．复习引入 二．自主学习 1.按要求完成下列各题： (1).“数列1,2,3,4,5,…的每一项都是偶数”的否定是： (2).“集合{}2,1,0,1,2--中的数都大于0 ”的否定是： (3).“一元二次不等式都有实数解”的否定是： (4).命题“方程2560x x -+=至少有一个负实根”的否定是： (5).试判断命题：“234510,10,10,10,10中有一个数能被3整除，” 的真假,并说明理由. 2.全称命题的否定： 3.特定命题的否定：
三．问题探究 1.写出下列全称命题和特称命题的否定： (1) 三个给定产品都是次品； (2) 方程28150x x -+=有一个根是偶数； (3) 三个数- (4) 对任意一个实数x ,都有240.x +≥ 2.指出下列命题是全称命题还是特称命题，并对这些命题进行否定： (1)我们班每个同学的身高都超过1.85m ； (2)我们组没有女生； (3)学生会中至少有1名高二年级的学生. 四．拓展训练 1.设原命题为“二次方程都有实数解”： (1)写出它的逆命题、否命题和逆否命题； (2)判断这四个命题的真假； (3)写出上述假命题的否定. 2.写出下列命题的否定，并判断真假. (1) p ：任意x R ∈，都有x x =； (2) p ：任意x R ∈，都有32x x >； (3) p ：至少有一个二次函数没有零点. 五、反思小结 1.我的问题 2.我的收获
否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即.如： 命题: 若，则． 命题的否命题：若，则． 命题的否定即:若，则． 全称命题与特称命题的否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题：， 的否定：，； （2）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题：， 的否定：，； （3）“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p或q”的否定； “p且q”的否定 3．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假. （1）：在整数范围内，、都是偶数，则是偶数 （2）：若且，则． 解析： (1) ：在整数范围内，、都是偶数，则不是偶数（假命题）； 的否命题是：在整数范围内，若、不都是偶数，则不是偶数（假命题）； (2) ：若且，则（假命题）； 的否命题是：若或，则（假命题）. 5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假。（1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）；
（5）。 解析： （1）是全称命题且为真命题。 命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题。 （2）是全称命题且为假命题。 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题。 （3）是特称命题且为真命题。 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题。 （4）是全称命题且为真命题。 由于都有，故，为真命题； ：，为假命题 （5）是特称命题且为假命题。 因为不存在一个实数，使成立，为假命题； 6．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 解析： q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 又∵m＞0 ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m ∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m＞0)的解集的子集。 ∴实数m的取值范围是 【变式】已知p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，判断p是q的什么条件。 【答案】； q ∴p是q的必要不充分条件。
摘要]《简易逻辑》中“命题的否定”这一课堂教学案例，说明合作探究学习可促使学生在更高的层面上开展学习，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。 [关键词]合作探究命题的否定 在讲授《简易逻辑》—1.6逻辑联结词时，学生甲提出一个问题，命题p：菱形的对角线相等。非p命题是什么？学生乙不假思索地答道：“菱形的对角线不相等。”学生甲又指出命题p显然为假，而正方形是菱形，其对角线相等，所以非p：“菱形的对角线不相等。”亦为假，这不与“非p的真假与p相反”相矛盾吗？我问全班同学：“那你们说问题出在哪？”，这下热闹起来了，有的说“菱形的对角线相等”不是命题，马上有学生反驳说：课本第26页练习中的“矩形的对角线相等”不是命题吗？难道课本有错？又有的说“非p的真假与p相反”是不是错了？有人反驳说：“这是课本真值表总结的结论，应该不会有错吧。” 然后，我总结说：“我提出个人的观点，如有不妥请同学们指出来。”首先“菱形的对角线相等”是个命题，因为它是可以判断真假的语句；其次“非p的真假与p相反”也没错，那么问题出在哪儿呢？其实命题p：“菱形的对角线相等”省略了“一定”两字，命题p应为“菱形的对角线一定相等”（假），故其否定形式可写成“菱形的对角线不一定相等”（真）。沉默片刻后，又有学生丙提出“矩形的对角线相等”的否定不是要写成“矩形的对角线不一定相等”吗？“不一定”好像有点不妥。我想了想，说：“菱形的对角线都相等”（假），其否定形式写成“菱形的对角线不都相等”（真），这下可以了吧？同学们不再有异议。 我告诉学生，这样的答案虽然没错，但对于类似的问题应有一个比较统一的解决办法。现补充一些有关命题的概念和结论如下：“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等表示所描述事物的全体，逻辑中通常称做全称量词，含有全称量词的命题称为全称命题。全称量词“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”的否定是“存在”、“至少有一个”、“某个”、“有的”等。 那么，如何否定一个全称命题呢？其实否定它只需举一个反例即可，因此需先否定全称量词，再否定结论。比如“所有的菱形，其对角线相等”的否定是“至少存在一个菱形，它的对角线不相等”。仔细品味一下，它与“菱形的对角线不都相等”其实是一个意思的。 学生再做下面一些练习，就不觉得有什么困难了。①命题“任何实数x都是方程3x+2=0的根”的否定是“存在实数x不是方程3x+2=0的根”；②命题“平行四边形的对边相等”的否定是“至少有一个平行四边形的对边不相等”；③命题“所有的自然数都是偶数”的否定是“有的自然数不是偶数”。 教师从学生的一个问题出发，引导和鼓励学生积极参与师生之间、学生之间的合作探究学习，可以促使学生在更高的层面上开展学习，提高继续学习的能力。通过上面对命题的否定的研究、讨论，我认识到《简易逻辑》这一单元的教学并不简单，在教学中教师和学生都存在一定程度的困惑和疑问，有些参考书的解答也不尽如人意。如命题q：四边相等的四边