天津市高等数学竞赛试题及答案_4套(05~08)

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．=+++-++∞

→x

x x x x sin 1

14lim

22

x 3 。

2．设函数)(x y y =由方程

x

y y

x arctan

2

2

e

=+所确定，则曲线)(x y y =在点)0,1(处的法线方程为

01=-+y x 。

3．设函数)(x f 连续，则

=-?x

t t x tf x

22d )(d d

)(2

x xf 。

4．设函数f 和g 都可微，()x,xy f u =，()xy x g v +=，则

=???

??x

v

x

u ()g yf f y '???

??'+'+211 。

5．=-+?-21

2

1

2

d 1arcsin sin x x

x

x x π6

31-

。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确

选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 函数)(x f 在闭区间[1,2]上具有二阶导数，0)2()1(==f f ，f(x)x x F 2

)1()(-=，则)(x F ''在

开区间(1,2)内 ( B ) （A ） 没有零点； （B ）至少有一个零点；

（C ） 恰有两个零点； （D ）有且仅有一个零点。

2． 设函数)(x f 与)(x g 在开区间(a ,b )内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； ⑵ 若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >。

则（ A ）

（A ）两个命题均不正确； （B ）两个命题均正确；

（C ）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D ）命题⑴不正确，命题⑵正确。

3． 设常数0>δ，在开区间()δδ,-内，恒有0)(，)(2>''≤x f x x f ，记?-

=

δ

δ

x x f I d )(，则

（ C ）

(A ) I < 0； (B ) I = 0； (C ) I > 0； (D ) I 非零，且其符号不确定。

4． ()()

()

1lim

2

1

-=--→a x a f x f x ，则)(x f 在x =a 处（ D ）

（A ）导数存在，且0)(≠'a f ； （B ）导数不存在； （C ）取得极小值； （D ）取得极大值。

5． 累次积分()?

??

???cos 0

20

d sin cos d r r ,r r f π

可以写成（ D ）

（A ）()?

?-2

10

d d y

y x x,y f y ； （B ）()?

?-2

10

1

0d d y

x x,y f y ； （C ）()??1

10

d d y x,y f x ； （D ）()?

?-2

1

d d x

x y x,y f x 。

四、设)(x f 在),0[+∞上可导， 0)0(=f ，其反函数为()

x g ，

若()()()

x x t x t g x f x x

+=-?

+1ln d 2

，求：)(x f 。（本题6分）

解：命u x t =-，则u t d d =，于是

()()

()()()x x u u g dt x t g x f x f x x

+==-?

?

+1ln d 2

。

将等式()()

()x x u u g x f +=?

1ln d 2

两边同时对x 求导，同时注意到()x f(x)g =，于是有

()()x

x

x x x f x ++

+='11ln 22

，

当0≠x 时，有

()()x

x x x f ++

+='11ln 2。

对上式两端积分，得到

()()()()[]()()()C

1ln 21ln C 1ln 1ln 1ln 2d 11ln 2+-+++=++-+-+++=??

????

+++=

?x x x x x x x x x x x x x x x f 由)(x f 在x =0处连续，可知()C lim 0

=+→x f x ；又0)0(=f ，解得C=0，于是

()()()x x x x x f -+++=1ln 21ln 。

五、计算?

-π

2

d sin

sin x

x x 。（本题6分）

解：方法一

()()()()(

)[]

(

)

2

12ln 221

21

ln 12

4

d 14sin cos d 1sin cos

4d sin cos 1sin cos

2d 2

sin

2

cos

2

cos 2

sin

2d 2sin 2cos sin d sin 1sin d sin

sin 2

2

2

1

2

4

2

2

2

2

2

+

-=--

+-=

?-=+?-+=-?-+=-??=

??? ?

?

-=-=-?

?

??

?

?

?

u

u u

u u u

t t t t t

t t t t x x x x x x

x x x

x x x x x x π

π

π

π

π

π

方法二

()()

(

)()(

)(

)[

]

2

1ln 22

1

1ln 2

1124011ln 1ln 2

1124d 1114d

1114d 12d 12sin d sin

1sin sin 2d cos sin

sin cos 2d sin

sin 2

2

2

2

2

1

02

2

1

1

1

2

22

2

2

2

2

2

+

-=??

???

?++

-

+=??

??

??++

-++

+

+=???

? ?

?+-

+=+-+=+=--=--=-=-??

?

?

?

?

?

t

t t t

t

t t

t t

t t t

t u u u u u u u

u

u u x x

x

x x x x

x x x x x π

π

π

六、设闭区域D ：0

,2

2

≥≤+x y y

x 。),(y x f 为D 上的连续函数，且

()??-

--=

D

2

2

d d 8

1),(v

u u,v f y

x y x f π

，

求：()x,y f 。（本题7分）

解：设()A d d D

=??v u u,v f ，于是有A 8

1),(2

2π

-

--=

y

x y x f ，等式两边计算区域D 上的二重

积分，得

????

??

-

--=

D

D

2

2D

d d 8A

d d 1d d ),(y x y x y x y x y x f π

，

即 8

8A d d 1A D

2

2π

π?-

--=

??

y x y x ， 于是()??

?

??-=

=

-=

--=

??

?

??

32231d cos -13

1

d 1d d d 12A 2

3

sin 0

2

2

D

2

2π????

π

π

r r r y x y x ， 所以??

?

??-=

32261A π。 故??

?

??--

--=322341),(2

2

ππy x y x f 。

九、证明?

?

+≤

+2

2

2

2

d 1cos d 1sin π

π

x

x

x x x

x 。（本题8分）

证明：方法一（利用积分估值定理） 命??

?

+-+

+-=

+-=

2

4

2

4

2

2

2

d 1cos sin d 1cos sin d 1cos sin π

π

π

π

x x

x x x x

x x x x

x x I ，

对上式右端的第二个积分，取变换x t -=

2

π

，则t x d d -=，于是

()()()

??

?

?

??

???

? ????? ??-++-?

-=?????

?

?

??

???????? ??

-+-+-=

?

?? ?

?

-+-+

+-=

+-+

+-=

40

2

2

2

4

224

2

4

2

2

4

2

4

2

d 2114

cos sin

d 21111cos sin d 21sin cos d 1cos sin d 1cos sin d 1cos sin π

π

π

π

π

π

π

πππ

ππx

x x x

x x x x x x x t

t t

t x x

x x x x

x x x x

x x I

注意到：被积函数的两个因子在区间??

?

???4,0π上异号（0cos sin ≤-x x ，

()02114

2

2

2

≥???

?

?

???

?

?

?

-

++-πππ

x x x

），

由积分估值定理得知必有I ≤0，即知原不等式成立。

方法二（利用积分中值定理）

命??

?

+-+

+-=

+-=

2

4

2

4

2

2

2

d 1cos sin d 1cos sin d 1cos sin π

π

π

π

x x

x x x x x x x x

x x I ，

由积分中值定理，并在区间??

?

?

??2,

4

ππ上取变换x t -=

2

π

，同时注意到：21ξξ<，得

()()()()()??

???≤-??????+-+=-++

-+=

-++

-+=

4

2122

4

2

2

4

02

1

24

2

240

2

10d sin cos 1111d sin cos 11

d cos sin

11

d cos sin

11d cos sin

11π

π

ππ

ππ

ξξξξξξx x x t t t x x x x

x x x x x I

十、设正值函数)(x f 在闭区间[a,b ]上连续，

?

=b a

A

x x f d )(，证明：

)

)((d )

(1d e

)()

(A a b a b x x f x x f b

a

b a

x f +--≥?

?

。

（本题8分）

证明：化为二重积分证明。记{}b y a b x a x,y D ≤≤≤≤=,)(，则原式

)

)((d )(d )(d d 2)(2)(1d d e

d d e

)

()(e )()

(2

1d d e

)

()(d d e

)

()(d )(1d e

)(2

2

)

()()

()

()

()

()

(A a b a b x x f y a b y x y f x f y x y x y f x f x f y f y

x x f y f y x y f x f y y f x x f b

a

b

a

D

D

y f x f D

x f y f D

y f D

x f b

a

b

a

x f +--=+

-=??

????++≥

≥??

?

??

?+

=

=

=

=??

??

??

??

??

??

?

?

+左边

利用了e#>=1+X (由e#的幂级数展开式可得)

十一、设函数

)

(x f 在闭区间[a,b ]上具有连续

的二阶导数，证明：存在ξ∈(a ,b )，使得

)()(22)()(4

2ξf b f b a f a f a b ''=??

??

??+???

??+--。

（本题7分）

证明：

将函数)(x f 在点2

b a x

+=

处作泰勒展开，并分别取

x =a 和b ，得到

???

??+∈??? ??+-''+??? ??+-??? ??+'+??? ??+=2,2)(!21222)(12

1b a a b a a f b a a b a f b a f a f ，其中ξξ；

??

?

??+∈??? ??+-''+??? ??+-??? ??+'+??? ??+=b b a b a b f b a b b a f b a f b f ,2其中,2)(!21222)(2

2

2ξξ。 两式相加得到

[]2

212)()(!21)(22)(??

? ??-''+''=+???

??+-a b f f b f b a f a f ξξ。 由于)(x f ''连续，由介值定理知，存在[]2

1

,ξξξ∈使得

2

)

()()(21ξξξf f f ''+''=

''，从而得

())(41)(22)(2ξf a b b f b a f a f ''-=+?

?

?

??+-， 即 ()??

????+??? ??+--=

'')(22)(4

)(2

b f b a f a f a b f ξ。

十二、设函数)

(x f 在闭区间[-2,2]上具有二

阶导数，

1

)(≤x f ，且[

][]4

)0()0(2

2

='+f f ，证明：存在一

点ξ∈(-2,2)，使得

)()(=''+ξξf f 。（本题8分）

证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数)(x f 应用拉格朗日中值定理

2

)2()0()()0,2(11--='-∈?f f f ηη使；

2

)

0()2()(使)2,0(22f f f -=

'∈?ηη。

注意到：1)(≤x f ，因此12

)

2()0()(1≤--=

'f f f η，1)(2≤'ηf 。

命：[][]

2

2

)()()(x f x f x F '+=，则)(x F 在区间[-2,2]上可导，且

构造新函数

[][]2)()()(2

12

11≤'+=ηηηf f F ； [][]2)()()(2

22

22≤'+=ηηηf f F ；

4)0(=F 。

故)(x F 在闭区间[]21

,ηη

上的最大值()

{}4)(Max

)(2

1,≥=∈x f F x ηηξ，且),(21ηηξ∈。由弗

马定理知0)(='ξF 。而

)()(2)()(2)(x f x f x f x f x F '''+'='，

故 []0)()()(2)(=''+'='ξξξξf f f F 。

由于[][]4)()()(2

2

≥'+=ξξξf f F ，所以0)(≠'ξf ，从而0)()(=''+ξξf f 。

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．若()?????≤->-=,x ,a x ,x f x

x

x

01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。

2．函数x x y 2sin +=在区间??

?

???ππ,2上的最大值为332+π 。

3．()=+?

--2

2

d e

x x x x

2

6e

2-- 。

4．由曲线?

??==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点(

)

230,

,处的指向外侧的单位法向

量为

{}

3205

1,,

。

5．设函数()x,y z z =由方程2e

=+----x

y z x x y z 所确定，则=

z d ()y x x x x

y z x

y z d d e

1e 1-1+++---- 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确

选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

6． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→?x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ?的（ A ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小；

（C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。

7． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。 8． 曲线12

+-+

=x x x y （ B ）

（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。

9． 设()()x,y x,y f ?与均为可微函数，且()0≠'x,y y

?。已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ?下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）

（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。 10．

设曲面(){}

0Σ2

2

22

≥=++=

,z k z

y x

x,y,z 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）

（A ）??∑

z y x d d 2

； （B ）??∑

z y x d d ；

（C ）??∑

x z z d d ； （D ）??∑

y x y d d 。

三、设函数f (x )具有连续的二阶导数，且

()0

lim

=→x

x f x ，

()4

0=''f ，求

()x

x x x f 101lim ??

????

+→。（本题6分）

解：由题设可推知f (0) = 0，()00='f ，于是有

()()()22

lim

2lim

lim

2

=''='=→→→x f x

x f x

x f x x x 。

故 ()()()()()

()()

2

20

01

0e 1ln exp lim 1lim 1lim 2

=??

???

??

???

??

????+=??

?

???????

?????

?

+=??

????

+

→→→x f x x x

x f x f x

x x x x x f x x f x x f x x f 。

五、设n 为自然数，计算积分()?

+=

2

d sin 12sin π

n

x

x

x

n I 。（本

题7分）

解：

注意到：对于每个固定的n ，总有

()1

2sin 12sin lim

+=+→n x

x

n x ， 无穷小代换

所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又

()()x nx x n x n sin 2cos212sin 12sin =--+，

于是有

()()00

sin21d cos22d sin 12sin 12sin 2

20

2

1==

=--+=

-??

-π

nx

n

x nx x x

x

n x n I I π

π

n n ，

上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有11I I I n n ===- 。所以

2

d cos 2d cos2d sin cos sin2sin cos2d sin sin320

2

2

2

2

1π

π

ππ

π

=

+=

+=

=

=??

?

?

x x x x x x

x

x x x x x

x I I n 。

六、设f (x )是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明()?

x t

t f 0

d 是

连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。（本题7分）

证明：因为

x = 0是f (x )的第一类跳跃间断点，所以()x f x +

→0

lim

存在，设为A ，

则A ≠0；又因f (x )为奇函数，所以()A

x f x -=-

→0

lim

。

命：

()()()???

??<+=>-=.A,x x f ;

x ,;A,x x f x 0000?

构造连续函数

则()x ?在x = 0点处连续，从而()x ?在()+∞∞-,上处处连续，且()x ?是奇函数：

当x > 0，则－x < 0，()()()()[]()x A x f A x f A x f x ??-=--=+-=+-=-； 当x < 0，则－x > 0，()()()()[]()x A x f A x f A x f x ??-=+-=--=--=-, 即()x ?是连续的奇函数，于是()?x

t t 0d ?是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又

()()x A t t f t t x

x

-=

??

00d d ?，

即

()()x A t t t t f x x

+=??0

d d ?，

所以()?x

t t f 0

d 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。

九、计算?+++-=L

y

x x y

x x y I d d ，其中L 为1=++y x x 正向一

周。（本题7分）

解：因为L 为1=++y x x ，故

()[]?????

=--=

+-=

D

D

L

y x x y I σσ

d 2d 11d d 格林公式

其中D 为L 所围区域，故??D

σd 为D 的面积。为此我们对L 加以讨论，用以搞清D 的面积。

当00≥+≥y x x 且时，0121=-+=-++y x y x x ； 当0且0≤+≥y x x 时，011=--=-++y y x x ； 当0且0≥+≤y x x 时，011=-=-++y y x x ； 当0且0≤+≤y x x 时，0121=---=-++y x y x x ，

故D 的面积为2×1=2。从而4d d =+++-=

?

L

y

x x y x x y I 。

十、⑴ 证明：当x 充分小时，不等式4

2

2

tan 0x

x x ≤-≤成立。

⑵ 设∑=+=n

k n

k n x 1

2

1tan ，求n

n x ∞

→lim 。（本题8分）

证明：⑴ 因为3

2tan lim

3

231sec lim

2tan lim

tan lim

tan lim

2

2

2

2

3

4

2

20

=

=

-=+?-=-→→→→→x

x x

x x

x

x x

x x x

x

x x x x x x ，

又注意到当x 充分小时，x x ≥tan ，所以成立不等式4

2

2

tan 0x x x ≤-≤。

⑵ 由⑴知，当n 充分大时有，()

2

2

1

11tan

1k n k

n k

n k

n ++

+≤

+≤+，故

()

n

k

n k n k

n x k

n n

k n

k n

k n n

k 111

111

1

2

1

1

+

+≤

++

+≤

≤+∑

∑

∑

∑

====，

而∑∑

==+

=

+n

k n

k n

k n

k

n 1

1

111

1，于是

ln2d 11111lim

1lim

1

1

1

=+=

+

=+?

∑

∑

=∞

→=∞

→x x

n

k n

k

n n

k n n

k n ，

为微积分方法

由夹逼定理知ln2lim =∞

→n n x 。

十二、设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a ，a > R ，求此半球壳对棒的引力。（本题7分）

解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z 轴上，则由于对称性，所求引力在x 轴与y 轴上的投影x F 及y F 均为零。

设k 为引力常数，则半球壳对细棒引力在z 轴方向的分量为：

()

[]

()[

]

()

[]

???

??

∑

-

-

+∑

?

???

??-++---++=-++-=ds d ds 2

122

2

2

122

21

2

32

12

2

1

a z y x l a z y x k z z z y x

z z k F l

a a

z ρμ

ρμ

记l ρM ,μπR M ==22

12。在球坐标下计算z F ，得到

()()[

]

[

]

()???

?

???

?+-+++

++=

?

???

??-+-+-++=?-

-

l

a R l a R

a

R

a R Rl

M kM a a R

l a R l a R R k F z 2

2

2

2

2

102

12

2

2

12

22

d sin cos 2cos 22π

?

??

?ρμπ

若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z 轴上，则

()?

??

?

???

?+-+-

-++=

l a R a

R a

R

l a R Rl

M

M F z 2

2

2

2

2

1G 。

2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案

二、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1. 设函数()(

)?

?=x

t at

x f sin 0

2

d si n ，()4

3

x x

x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷

小，则a = 3 。

2. 设函数x x y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x ln2

1-

。

3.

()

=+?

+∞

1

2

1d x x

x ln21-。

4. 曲线?????=+++=+0

2240

1223:L 2

222

2z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为524111--=--=-z y x 。

5.

=

+?

?

1

1

3

2

d 1d x

y y

xy x (

)

123

1-。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确

选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ A ）

（A ）()()[]??-+x

t t f t f t 0d ； （B ）()()[]??--x

t t f t f t 0

d ；

（C ）()?

x

t t

f 0

2

d ； （D ）()[]

?x

t t f 0

2

d 。

2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ D ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。

3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当

b x a <<时恒有（ B ）

（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。 4.考虑二元函数()x,y f 在点()00,y x 处的下面四条性质：

①连续； ②可微；

③()00,y x f x '与()00,y x f y '存在； ④()x,y f x '与()x,y f y '连续。 若用“P ?Q ”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ B ）

（A ）②?③?①； （B ）④?②?①； （C ）②?④?①； （D ）④?③?②。

5.设二元函数()x,y f 具有一阶连续偏导数，曲线L ：()1=x,y f 过第二象限内的点M 和第四象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分值为负的是（ C ）

（A ）()?Γ

?s x,y f d ； （B ）()?Γ

?x x,y f d ；

（C ）()?

Γ

?y x,y f d ； （D ）()()y x,y f x x,y f y x d d '+'?Γ

?。

四、证明：当x > -2时，()0

2e

e e

2x 2

2

2<+----x x x 。（本

题7分）

证明：设()()()22e e e

22

2

2

->+--=--x

,

x x x x x ?， ()()()02e

2e

4e

2e

e

2e

2222

2

2

2

2

2

22=++-=+----=--------?，

()(

)x

x

x x x x x e

e e 2

2e

2

22

2

+--+

='--?。

又设：()u

u u u f e e +=，则()(x f x f x -??

?-='22?。

由拉格朗日中值定理知，存在??

?-∈,x x

22，使 ()()()222

2

+'-=??

?--'='x f x x f x ξξ?，

而()()ξξξ

+='2e f ，又02

222

22>+=

+->

+x x ξ，故()0>'ξf 。从而，当x > 2时，

()()

02

2<+'-='x f x ξ?，

即()x ?单调减少，从而()0

五、设()x x x f sin22

=，求()

()

()

30≥n f

n 。（本题7分）

解：利用牛顿—莱布尼兹公式：

()()

()

()

()()

()

n k k n k

n n n n n uv

v u

v u

v u

uv ++++'+=-- C C 11

。

设x ,v x u sin22==，

注意到：()()30

2,2≥==''='j u u ,x u j ；

()

()

()

?? ?+==22sin 2sin2n πx x v

n

n n ，

()

()

()

()??? ??

-+==---212sin 2

sin21

11πn x x v

n n n ，

()

()

()

()??

? ??

-+==---222sin 2

sin22

22πn x x v

n n n 。

故

()(

)

()()()??

? ??

-+??-+

??

? ??-++??? ?

?+=-222sin 2221n n 212sin

222sin 2sin2222

πn x πn x x n n πx x x

x

n n

n n ，

于是有()

()()()()()32

sin

2

12

2sin

2102

2≥--=--=--n n n n n n n f

n n n ππ

。

六、设当10<≤x 时，()()2

1x x x f -=，且()()x af x f =+1，试确

定常数a 的值，使()x f 在x = 0点处可导，并求此导数。（本题7分）

解：首先写出()x f 在 x < 0附近的表达式：当01<≤-x 时，110<+≤x 。由()()x af x f =+1知，

()()()()[]()()2111111112++-

=

+-+=

+=

x x x a

x x a

x f a

x f ，

故有

()()()()()??

???<≤+-<≤-++-=.x ,x x x ,

x ,x x x a x f 101101211

()()()x x x a

f x 20

211lim 00

-

=-++-

='-

→-，

()()()0

11lim 00

=-+-='+

→+x x x f x 。

因()x f 在x = 0点处可导的充要条件为：()()00+-'='f f ，即

212-==-

a ,a

，

且()10='f 。

七、设函数()t f 在区间()+∞∞-,内连续，且满足

()2

1294d 2

2

1

320

-++=?

++xy y x t t f y x ，

⑴ 求()t f ；

⑵ 计算()()??+++=L

y x y x f I d 3d 2132，其中L 是从原点O 到点M （1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分）

解：⑴ 将原等式两边对x 求导，得到

y x y x f 1281322+=++，

所以()()y x y x f 322132+=++。

命：t y x =++132，于是有()()12-=t t f 。

⑵ 因为()()()()13231322++=++=y x f x,y Q ,y x f x,y P ，

所以()x

Q y x f y

P ??=

++'=??1326。

于是可知I 与积分路径无关，从而

()()()()(

)

()

??

+++=

+++=

3100d 3d 2132d 3d 2132,,L

y x y x f y x y x f I ，

命：t y x =++132，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。

故 ()()()

1211

122d 12d 2

12

1

12

1

=-

=

-=

=

?

?

t t

t

t t

t f

I 。

九、设

(){}(){}

1010Max ≤≤≤≤=

=y ,x x,y ,D x,y x,y f D

，计算

()??-=D

σ

x y x,y f I d 2

。（本题7分）

解：将区域D 分成三块：

(){}

(){}(){}

2

3

2

21010D 10D 110D x y ,x x,y x y ,x x x,y y ,x x x,y ≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤= 于是

()()()

()()()

40

11d 2

d 22d 23231d d d d d d d d d 1

5

1

5

431

4

3202

1

2

10

1

2

2

1

0D 2

D 2

D 2

2

2

32

1

=

+??

?

? ??+-+???

?

?

?+--=

-+-

+-=-+

-+

-=

?

?

?

?

?

?

?

?

???????x

x

x x x x x x x x y

y x

x x y x

y x x y yx

y

x y x

x x

y

x x

y

y I x

x

x

x

σ

σσ

十、设函数()()x,y y x x,y f ?-=，其中()x,y ?在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：()x,y f 在点(0,0)处可微的充要条件是()000=,?。（本题8分）

证明：充分性

已知()000=,?，欲证()x,y f 在点(0,0)处可微，只需证

()0lim

2

2

=+-→→y x x,y y x y x ?。

注意到：

22

2

2

2

≤++≤

+-y

x y x y

x y x ，

所以

()()x,y y

x

x,y y x ??22

2

≤+-。

又()0lim 0

0=→→x,y y x ?，由夹逼定理知()0lim

2

2

0=+-→→y

x x,y y x y x ?。

从而()x,y f 在点(0,0)处可微，并且()0d =x,y f 。 必要性

已知()x,y f 在点(0,0)处可微，故()00,f x '与()00,f y '都存在。而

()()()

()0000000lim

000

,x

,x,x ,f x x ???±=--='→，

其中当+

→0x 时，()()0000,,f x ?='；当-

→0x 时，()()0000,,f x ?-='。由于()00,f x '存在，故

()000=,?。

十一、计算()[]()[]()[]??+++++=

Σ

y x z x,y,z f x z y x,y,z f z y x x,y,z f I d d d d 2d d ，其中()x,y,z f 为一

连续函数，Σ是平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧。（本题7分）

解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量()()1113

1cos cos cos 0

,,,,n -=

=→

γβα，则

()[]()[]()[]{}()()()()??

??

??

??++?+-+-=

????

??+-+

??????+-=

+++++=

xy

D Σ

Σ

Σ

σ

y x y x z y x x,y,z f x,y,z f x,y,z f z x,y,z f y x,y,z f x x,y,z f I d 11113

1dS 333

dS 31

3231dS

cos cos 2cos γβα

其中(){}0110≤≤-≤≤=

y ,x x x,y D xy 。 故2

1d d ==

??

xy

D y x I 。

十二、设函数()x f 在闭区间[a ,b ]上连续，在开区间(a ,b )内可导，且有()

2

1d arctan e

2

=

??πx x x f

，

()01=f ，则至少存在一点()10,∈ξ，使得()()1arctan

12

-='?+ξξξ

f 。

（本题6分） 证明：由积分中值定理知，存在??

?

?

?∈πη20,

，使 ()

4

2

12

1arctan e

π

π

ηη=

?=f 。

又()

4

arctan1e

1π

=

f ，故若设()()

[][]101arctan e

,,x ,

x x x f ?∈=η?，显然()x ?满足罗尔定理的各个

条件，从而至少存在一点()()101,,?∈ηξ使()0='ξ?。而

()()

()()

2

1e

arctan e

ξ

ξξξ?ξξ

++

'='f f f ，

从而有 ()()1arctan

12

-='?+ξξξf 。

2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．设f (0)>0，()00='f ，则()=???

??

?

???

?????? ??∞

→n

n f n f 01lim 1 。同工⑴

2．设()00,y x 为光滑曲线()x f y =上一点，在该点处曲线的一个法向量为｛5,－1｝，则

()

=00d d ,y x x

y 5 。

3．=-+

+?

-1

1

2

2

d 11cos 2x x

x x x π-4。同工⑶

4．设()

?

=

y

x t

t t,f z 2

d e ，其中f 具有连续的一阶偏导数，则

=???y

x z

2

??? ??'+'+2132

e 22

f f y x xf y

x 。

5．设函数()x,y z z =由方程52e =++xy z z ，则()=0,2,1d z y x d d 2--。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确

选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

11．

设当0→x 时，

()

(

)2

2

1ln 11x

x

+?--是比()n

x +1ln 高阶的无穷小，而()n

x +1ln 是比

x lncos 高阶的无穷小，则n 等于（ D ）同工⑴

（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1。 12．

设()()

()1lim

3

1

=--→a x a f x f a

x ，则函数()x f 在点a 处必（ D ）同工⑶

（A ）取极大值； （B ）取极小值；

（C ）可导； （D ）不可导。 13．

设函数f ，g 均可微，()??

? ?

?+=xy g x xy f z ln ，，则=??-??y

z y

x

z x

（ B ）

（A ）'

1f ； （B ）'

2f ； （C ）0； （D ）1。 14．

()=??

?

??

?-++

++++∞→n

πn n πn πn n 1cos

12cos

1cos 11lim （ A ）

（A ）

?

+π

x x 0

d cos 11

π

； （B ）?

+π

x x x

d cos 11

（C ）?+10

d cos 1x x ； （D ）?

+π

x x 0

d cos 1。

15． 设平面区域(){}

12

2

≤+=

y x

x ,y D ，()??+=

D

σy x M d 3

，??=

D

x x N σd sin cos

2

2

，

(

)

()

??-=+-D

y

x P σd 1e

2

2

，则( C )

（A ）M > N > P ； （B ）M > P > N ；

（C ）N > M > P ； （D ）N > P > M 。 三、求常数a ，b ，使

()????

?

??

??>-≤≤+<--=1,11arctan ,10,0,1

1x x x b,ax x x ax x f

在所定义的区间上连续。（本题6分）

解：当x ≠ 0,1时，()x f 在定义区间内其它各点处处连续。

()(

)

2

1

1lim 1

1lim lim 0

a ax x

ax x

ax x f x x x -

=+--=--=-

-

-→→→，

()()b b ax x f x x =+=++→→0

lim lim ，()b f =0，

于是有b a =-

2

，即02=+b a 。

又()()b a b ax x f x x +=+=-

-

→→1

1

lim lim ，()b a f +=1，

()2

1

1arctan

lim lim 1

1

π

=

-=++→→x x f x x ，

于是有2

π

=

+b a 。

解方程组?????=+=+202πb a b a ，得到??

?

??-

==2π

b π

a 。即当πa =，2π

b -=时()x f 在定义区间上连续。 四、对t 的不同取值，讨论函数()2

221x

x x f ++=

在区间),t [+∞上是否有最大值或最小值，若存在最大

值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分）理工三

解：显然()x f 的定义域为：),(-+∞∞，

()(

)()()()()()

2

22

22

2122221222x x x x x x x

x f +-+=++-+=

'，得驻点：1221

=-=x ,x 。

于是有

又：()()0lim 0,lim ==-∞

→+∞

→x f x f x x 。

记：()t M 与()t m 分别表示()x f 在区间),t [+∞上的最大值与最小值。 又上表不难看出：

① 2-≤t 时，()()()()11,2

12==-=-=f t M f t m ； ② 2

12-≤<-t 时，()()()()11,221t 2

==++==f t M t

t f t m ；

③ 12

1≤<-

t 时，无()t m ，()()11==f t M ；

④ t <1时，无()t m ，()()2

221t

t t f t M ++==。

五、过曲线()03

≥=

x x y 上点A 作切线，使该切线与曲线3

x y =

及x 轴所围平面图形D 的面积

4

3=

S 。

⑴ 求点A 的坐标；

⑵ 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分）理工十一 解：⑴ 设A 点坐标为()

3t t,，则切线方程为：()t x t

t y -=

-

3

2

3

31，即3

3

2

3

23t t

x y

+

=

。

命：y = 0，得此切线与x 轴的交点横坐标为t x 20-=，从而图形D 的面积为

4

34

30

4

30

320632d 32

33

22213

3

4

3

32

23

03

3

323

=

?

=

-

++?=???

? ??-

+

+?

?=

?t

t t x

t x

t t t x

t t x x t t

x t t S t

。

1=?t 。即A 点的坐标为(1,1)。

⑵ 平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为：

()()

()πππx x ππx x x ππV 525301532271278d 2312323135

3

102

3

2

2=-=??????-++=

??

?????

???-

???

???++???? ??=?。 六、设函数()()

?

=x

t tx f x sin 0

2

d ?，其中()x f 是连续函数，且()20=f 。

⑴ 求()x ?'；

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知

高等数学试题及答案新编

《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

高等数学试题及答案91398

《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

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高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

(完整)高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

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高等数学试题库 第一章 极限与连续 一．判断题 1-1-1 函数y=1/ln(x+1)的定义域是(-1, ∞)．( ) 1-1-2 函数y=lg((1-x)/(1+x))是奇函数．( ) 1-1-3 函数y=x 2+1的反函数是y=(x+1)1/2．( ) 1-1-4 y=arctgx+1010是有界函数．( ) 1-1-5 若()lim x f x →=2 3，则f(2)=3．( ) 1-1-6 若()lim x f x →=23，则f(x)在x=2处连续．( ) 1-1-7 若f(x)在x 0无定义，则lim x x →0 f(x)必不存在．( ) 1-1-8 lim sin lim limsin x x x x x x x →→→=?=0100 10．( ) 1-1-9 lim x →1 (1/(1-x)－1/(1-x 3))= lim x →11/(1-x)－lim x →11/(1-x 3)=∞- ∞=0．( ) 1-1-10 lim x →1x/(x-1)= lim x →1x/lim x →1(x-1)= ∞．( ) 1-1-11 lim n →∞(1/n 2+2/n 2+3/n 2+…+n/n 2)=0+0+0+…+0=0．( ) 1-1-12 若f(x 0-0)=f(x 0+0)，则f(x)在x 0连续．( ) 1-1-13 方程x ·2x =1至少有一个小于1的正数根．( ) 1-1-14 若f(x)在闭区间[a ，b]上不连续，则f(x)在闭区间[a ，b]上必无最大值和最小 值．( ) 二．填空题 1-2-1 lim x →4 (x 2-5x+4)/(x-4)=________． 1-2-2 lim x x x →+--42134 =________． 1-2-3 lim n →∞ (1+2+3+…+n)/n 2=________． 1-2-4 lim x →0x 2/(1-cosx)=________． 1-2-5 lim n →∞ n[ln(1+n)-ln(n)]=________． 1-2-6 设f(x)= sin ,, x x x 222+≠=???ππ ，则lim x →πf(x)=________． 1-2-7 当a=________时，函数f(x)= a x x x x x x ++≤>???21030,sin , ，在x=0处连续． 1-2-8 函数 f(x)= (x-1)/(x 2+x-2) 的间断点是＿＿＿＿． 1-2-9 已知极限lim x →3 (x 2-2x+k)/(x-3) 存在(k 为实数)，则此极限值是________．

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案（B）

一、填空题（本大题共5小题，每小题2分， 计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分） 当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）

解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分） 当0x =时， 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分） 当1x =时， 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分） 当1x =-时， 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分） 考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人

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《高等数学》试题 30 考试日期： 2004 年 7 月 14 日 星期三 考试时间： 120 分钟 一. 选择题 1. 当 x 0 时， y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的 （ ） A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的（ ） A 必要条件 B )、 充分条件 C )、 充要条件 D )、 无关条件 )、 3. 下列各组函数中， f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有（ ） . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、 x x dx 2x ln 2 C B ）、 sin tdt cost C C ）、 dx dx arctan x D ）、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是（ ） . A ）、 d b f x dx f x B ）、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D ）、 d x F x C ）、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x （ ） x 0 A ）、0 B ）、 1 C ）、 2 D ）、 4 7. 设 f (x) sin bx ，则 xf ( x)dx （ ） A ）、 x cosbx sin bx C B ）、 x cosbx cosbx C b b C ）、 bxcosbx sinbx C D ）、 bxsin bx b cosbx C

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《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

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【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：

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华中师范大学网络教育 《高等数学》练习测试题库 一．选择题 1.函数y= 1 12+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） A.x 2-1 B. x 3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ）

A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x 必不连续 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)= （） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 C、tan[f(x)] D、f[f(x)] 16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A、[0,л] B、（0,л） C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4） 17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关

《高等数学》题库及答案

《高等数学（一）》题库及参考答案 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； （2）)1ln(+=x y 。 （1）;11x y -= 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x (3）41≤+x ； 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1(lim +∞→； (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4)211lim(2)x x x →∞-+; (5)x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3 n n +∞→； (11）55sin()lim sin x x x →∞；

(12）0tan 3lim x x x →； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; (6)x y 211+=; (7);)7(5+=x y (8)21x e y +=； (9)3.1x y =； (10))1ln(2x y +=； (11)4)52(+=x y ； (12）)ln(ln x y =； 六、求下列函数的二阶导数 （1）)1ln(x y +=； （2）x e x y 22=。 （3）x y sin =； 七、求下列不定积分 (1）x dx ?； (2）xdx 2cos ?； (3）x dx +?1； (4)xdx ? 3sin ;

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入学考试题库（共180题） 1．函数、极限和连续（53题） 函数（8题） 1．函数lg arcsin 23x x y x =+-的定义域是（ ）。A A. [3,0) (2,3]-； B. [3,3]-； C. [3,0)(1,3]-； D. [2,0)(1,2)-. 2．如果函数()f x 的定义域是1[2,]3-,则1 ()f x 的定义域是（ ）。D A. 1[,3]2- ； B. 1 [,0)[3,)2-?+∞； C. 1[,0)(0,3]2-?； D. 1 (,][3,)2 -∞-?+∞. 3. 如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则2(log )f x 的定义域是（ ）。B A. 1[,0) (0,4]4-； B. 1[,4]4； C. 1[,0)(0,2]2- ； D. 1 [,2]2 . 4．如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则3(log )f x 的定义域是（ ）．D A. 1 [,0)(0,3]3-?； B. 1[,3]3； C. 1[,0)(0,9]9-? ； D. 1[,9]9 . 5．如果)(x f 的定义域是[0，1]，则(arcsin )f x 的定义域是（ ）。C A. [0,1]； B. 1[0, ]2； C. [0,]2 π ； D. [0,]π. 6.设()()22 2 21,1x f x x x x ??+??==??-，则()f x =( )．A A ． 211x x +-； B. 211x x -+； C. 121x x -+； D. 1 21 x x +-. 7．函数331 x x y =+的反函数y =（ ）。B A ．3log ( )1x x +； B. 3log ()1x x -； C. 3log ()1x x -； D. 31log ()x x -. 8．如果2sin (cos )cos 2x f x x =，则()f x =( )．C