两直线所成的角（夹角）
教学目标 (一) 知识教学点：
一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二) 能力训练点
通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三) 学科渗透点
训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯． 二、教材分析
1． 重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两
直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请1l 、2l 的公式的推导方法及这一公式的应用． 2，难点：公式的记忆与应用．
2． 疑点：推导1l 、2l 的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计
分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 学生活动
答1：通过直线的斜率或从方程的特点来观察
答2：通过它们相交所得到的角的大小。
教师活动
前言：不重合的两条直线的位置关系，除了平行就是相交，在相交的情况下垂直关系是非常特殊的，那么还有那么多的一般的相交情况值得我们去研究。 一、提出问题、
1． 解析几何中怎样判断两条直线的平
行和垂直？
2． 对于两条相交的直线，怎样来刻画它
们之间的相交程度呢？
二、新课、
（出示图形）两条直线相交就构成了两对对顶角，同学们已经想到用角的大小来刻画两
答：学生说出哪个角为2l 到1l 的角。 归纳：“到”角的三个要点：
始边、终边和旋转方向。就此提出“到”角实际上是一个“方向角”。
答：1l 到2l 的角与2l 到1l 的角的和是180° 答：“到”角的范围为：),0(π
通过动画的演示由学生归纳出两直线的斜率变化的的确确导致了1l 到2l 的角的变化，增强信心推导公式。
条直线的相交程度。（取个名字是很重要的） 1、 概念的建立：
（1）“到”角：两直线相交，把直线1l 按逆
时针方向旋转到与2l 重合时所转的角，叫做
1l 到2l 的角。
题一：
（1） 求直线1l ：13+=x y 到直线2l ：
1=x 的角的大小。
（2） 求直线1l ：2=y 到直线2l ：
1+-=x y 的角的大小。
（3） 求直线1l ：32+-=x y 到直线2l ：
2
3
-
=x y 的角的大小。 （第3小题的解决带来的困难引出新课） 2．1l 到2l 的角的计算公式的推导： （几何画板演示）
问题1：两条直线的平行和垂直关系从解析几何研究的角度我们只要研究一下他们斜率的关系就可以，那么大胆预测1l 到2l 的角与两直线的斜率会有关系吗？
答：从图形中发现与1l 到2l 的角有直接联系的还应该是角。于是得到
12ααθ-=
学生活动：关于第二幅图的情况由学生进行找角和推导的工作，教师做适当和必要的提示。
)
tan()](tan[tan )()
(12121221ααααπθααπααπθ-=-+=∴-+=--=
学生活动：归纳理解公式 （1） 应用了两角差的正切公式 （2） 只能求斜交的两直线的夹角。 （3） 两直线垂直时应直接进行判断。
问题2：1l 到2l 的角与它们的斜率有关，是直接的关系吗？
问题3：公式如何得以推导？ 设1l 、2l 的倾斜角分别为12,αα，则
11tan k =α，22tan k =α（如图）
12ααθ-=
所以：
1
212
1212121tan tan 1tan tan )
tan(tan k k k k +-=+-=
-=ααααααθ
3． 概念的建立二：
夹角（两直线所成的角）的定义
两直线相交，不大于90°时的角叫做两直线所成的角，简称夹角。范围是]2
,0(π
4． 两直线夹角公式的推导： 若设1l 到2l 的角的角为θ
（1） 当0tan >θ时，?<
则夹角就等于“到”角。
（2） 当
tan <θ时，
?<
90θ，则夹角就等于θπ-
则：1
2121tan k k k k +-=α
题二：
（1） 求直线1l ：32+-=x y 与直线2l ：
2
3
-
=x y 的夹角。
学生活动：求两直线所成角的步骤：
1． 判断
（1）是否存在斜率 （2）是否垂直 2． 求斜率 3． 利用公式计算 4． 求出角。 （2） 求直线1l ：33
1
+=
x y 与直线2l ：43--=x y 的夹角。
（3） 求直线1l ：1=x 与直线2l ：
12-=x y 的夹角。
三、课堂练习：
1． 两条直线06=+-y x 与06=++y x 的夹角是（ ） A.
4
π B.
4
3π C. 0 D.
2
π 2． 直线52
1
-=
x y 与直线23+=x y 的夹角是______________。 3． 直线012=-+y x 到直线03=++my x 的角是4
3π
，则m 的值是（ ）
A. 3
B. 31
C. －3
D. －3
1
4． 直线α的夹角为与32:3:21+==x y l x l ，则=αtan （ ） A.
2
1
B. －
2
1 C.
2 D. －2
5． 已
知
直
线
0:1111=++C y B x A l 和
直
线
:2222=++C y B x A l （0,0,0212121≠+≠≠B B A A B B ），直线1l 到直线2l 的角是θ， 求证：2
1211
221tan B B A A B A B A +-=θ
四、小结
1．求角推导求角公式定义角?? 2．主要的数学思想：
3.对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．
异面直线所成的角求法 总结加分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝ 3 ，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2 a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若 BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝ 5 ，GN ＝BM ＝ 6 ， cos∠GNA＝ 10 30 5 62556= ??-+。 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。 证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1， 故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。 设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。
A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．
高中数学两条异面直线所成的角练习 一、选择题： １．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ 所成的度数是（） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 4．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个 5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（） （A） d与a是不互相垂直的异面直线
（B） d与a是相交直线 （C） d与a是平行直线 （D） d与a是互相垂直的异面直线 6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（） （A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（） （A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（） （A）（B）（C）（D）- 二、填空题： 1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿＿＿＿． 2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是的直线有且仅有＿＿＿＿＿条． ４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ
两直线所成的角（夹角） 教学目标 (一) 知识教学点： 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二) 能力训练点 通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三) 学科渗透点 训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯． 二、教材分析 1． 重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两 直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请1l 、2l 的公式的推导方法及这一公式的应用． 2，难点：公式的记忆与应用． 2． 疑点：推导1l 、2l 的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计 分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 学生活动 答1：通过直线的斜率或从方程的特点来观察 答2：通过它们相交所得到的角的大小。 教师活动 前言：不重合的两条直线的位置关系，除了平行就是相交，在相交的情况下垂直关系是非常特殊的，那么还有那么多的一般的相交情况值得我们去研究。 一、提出问题、 1． 解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直？ 2． 对于两条相交的直线，怎样来刻画它 们之间的相交程度呢？ 二、新课、 （出示图形）两条直线相交就构成了两对对顶角，同学们已经想到用角的大小来刻画两
答：学生说出哪个角为2l 到1l 的角。 归纳：“到”角的三个要点： 始边、终边和旋转方向。就此提出“到”角实际上是一个“方向角”。 答：1l 到2l 的角与2l 到1l 的角的和是180° 答：“到”角的范围为：),0(π 通过动画的演示由学生归纳出两直线的斜率变化的的确确导致了1l 到2l 的角的变化，增强信心推导公式。 条直线的相交程度。（取个名字是很重要的） 1、 概念的建立： （1）“到”角：两直线相交，把直线1l 按逆 时针方向旋转到与2l 重合时所转的角，叫做 1l 到2l 的角。 题一： （1） 求直线1l ：13+=x y 到直线2l ： 1=x 的角的大小。 （2） 求直线1l ：2=y 到直线2l ： 1+-=x y 的角的大小。 （3） 求直线1l ：32+-=x y 到直线2l ： 2 3 - =x y 的角的大小。 （第3小题的解决带来的困难引出新课） 2．1l 到2l 的角的计算公式的推导： （几何画板演示） 问题1：两条直线的平行和垂直关系从解析几何研究的角度我们只要研究一下他们斜率的关系就可以，那么大胆预测1l 到2l 的角与两直线的斜率会有关系吗？
如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角 一、端点平移法 例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若 1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， //DF EC Q 且DF EC = ∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴ EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设2AB =, 则EF = AF = EA = 故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g arccos 10 EFA ∴∠= 二、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， ∴NO 为DAM ?的中位线， ∴//NO AM ， ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 设正四面体ABCD 的棱长为2 ，则有2NO = ，CN = ,2CO =, 故2222 cos 23 NO CN CO ONC NO CN +-∠= =g 2 arccos 3 ONC ∴∠= 1 B D C
科目：数学 课 题 §2.1.2.2异面直线所成的角课型新课 教学目标（1）理解异面直线所成的定义 （2）掌握求异面直线所成的角要注意的问题（3）掌握求异面直线所成角的一般步骤 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？ 2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题.
二、 质 疑 提 问 思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？ 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否 发生变化？ 思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？ 三、 问 题 探 究 思考1：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交 得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐 角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之 为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角” 下个定义吗？ 对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 思考2:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？ 思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？ 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，
一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念 （1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。 （2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法 （1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。 （2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G
例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π ，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值． 例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S
《空间两条直线所成的角》教学设计 天长市工业学校单连智 课题：空间两条直线所成的角 一、教学目标： 1、知识目标：进一步了解空间直线位置关系；理解异面直线；会求简单异面直线所成角 2、能力目标：培养学生空间想象能力、动手操作、知识转化能力 二、教学重点：异面直线所成的角概念 三、教学难点：求两条异面直线所成的角 四、教学方法：启发式+互动式教学 五、课时安排：1课时 六、教学过程： （一）温故知新承前启后 空间两条直线位置关系 【课件展示】拿两支笔分别代表两条直线,请你摆放它们的位置来表示空间两条直线位置。 （二）动脑思考探索新知 1、两条相交直线的夹角 【课件展示】图中三支不同颜色的圆珠笔（红黄白）中，红色的圆珠笔与黄色的、白色的圆珠笔都是相交的，但它们之间又有何区别? 【课件展示】两条相交直线a 与b的形成4个夹角如图所示，直线a与b的夹角是α还是β？为什么？ 两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角。 【课件展示】一张纸上画有两条不相交的线段（但所在直线可以相交，交点在纸外）m、n 如图所示.现只给一副三角板和量角器，要求不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出m、n所成角的大小？看谁做的又快又好！ 2、异面直线所成的角 (1)定义 【做一做】拿两支笔分别代表两条直线,请你利用课桌面，摆放它们，使得它们的位置是异面直线关系。 【试一试】如图所示，如果红笔在桌上不动、蓝笔与桌面接触点不动，它们的相对位置如何？【思一思】两条异面直线不可能相交，如何形成夹角？ 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角． 【悟一悟】 ★异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。 ★点O常取在两条异面直线中的一条上。 (2)范围 【课件展示】请同学们看图，观察两条线（红、绿）是何特殊位置关系？
异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法 一．传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角. 解 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， HE ＝ 2 1 ，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴ sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 21 BC ，FG∥AD，且FG= 2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF= 2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。 注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两 条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值； H G F E D C B A A B C G F E D
3 3 如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那 么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角 、端点平移法 例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设 AB 2,则 EF 76，AF 730 arccos 10 、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， NO 为DAM 的中位线， NO//AM ， ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75，EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D
两条异面直线所成的角教学设计 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念； 2．两异面直线所成角的求法。 （二）能力训练点 利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性。 （三）德育渗透点 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线所成角的求法。 2．教学难点：两异面直线所成角的求法。 3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的。讲解时，首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性。 三、教与学的过程设计 （一）复习回顾引入课题 （从数学美学的角度，展示数学之美开题）由数学之美：分形几何的美丽（图片）指出数学之美无处不在，几何图形能给人带来美的享受，看似枯燥的数学蕴涵无限诗意，进入复习回顾（由描写异面直线的现代诗进行复习）：我们是两条异面直线/我与你不平行/因为我们没有并行着走向无尽的远方/我与你也不相交/因为我们没有那让人心动的交点/当然，我们更没有重合/虽然我时时都把它企盼/我与你根本就不在一个平面/我们只是空间的两条异面直线/但我们现在那么近/也许，把现在的你我相连/能得到一条垂直于你我的线段/。 （出示教具）结合诗文，指出：两条异面直线有一个相对角，相对两相交直线，两条异面直线有一个相对距离。 由数学的实用价值（解决高架桥的准确定位问题），引出新课。 师：那么要准确定位两条异面直线之间相互位置的不同状况，就需要通过角和距离来描述。例如要表示高架桥上下层汽车行驶方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念。 （二）异面直线所成的角的定义 师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？(教师拿出两根小棍做异面直线状，通过变换角度演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义)。 生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′、b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。 师：在定义中，由“a′、b′所成的锐角（或直角）” 指出：⑴两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]；
《空间两条直线所成的角》教学设计 罗央旦 一、教材分析 《异面直线所成角》是高等教育出版社数学基础模块下册9.3.1内容。它是职高数学教学的重点和难点之一，并且与直线与平面所成的角，平面与平面所成的角都有很大的关联。所以这块内容掌握的好坏直接影响后面的学习，非常关键。学生在初中已经学习过平面两条直线所成角，如何把空间两条直线所成角转化成平面中两条直线所成角，这是本节课的关键。对立体几何这块内容，新大纲要求采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象，从特殊到一般的教学原则，利用计算机软件多媒体方式呈现空间几合体，这就需要适当引导学生通过实验，亲身做一做，观察等引出新知识，在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问题，提高学生的学习兴趣。 三、学情分析 对学生而言，本节内容比较抽象，难学。尤其是初中平面几何基础掌握不是很好的，听课似乎是云里雾里。本节主要内容是两条异面直线所成角的概念，学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念。突破这个难点的关键是采用多媒体课件进行辅助教学，通过直观的演示，使学生切实明白。弄清楚了概念后，如何求出这个角也是关键。涉及到计算问题，就要复习解三角形的相关概念，余弦定理等都要提及。 三、教学目标 知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。 能力目标：培养学生的识图、作图能力，在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。 情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。 四、教学重点难点 教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。 教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。 五、设计思想 “授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，我们要传授学生课本知识，但比课本知识更重要的是，通过学习培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，这才是教学的终极目标。在教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在师生积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。本着这个思想，本节课从学生专业出发，设计了观察素描画像，做实验、观看多媒体动画等环节，让学生参与到每一个环节，充分发挥学生在学习过程中的主动性、积极性和创造性。 六、教学策略与手段 1.“主导—主体—主线”三位一体的探究式教学模式 强调学生的主体性，要求充分发挥学生在学习过程中的主动性、积极性和创造性。学生被看作知识建构过程的积极参与者，学习的许多目标和任务都要学生主动、有目的地获取材料来实现。教师是教学过程的组织者、指导者、促进者和咨询者，教师的主导作用可以使教学过程更加优化，是教学活动中重要的一环，它自始至终是以学生自主探究为主线的。 2.多媒体，实验等教学手段
3 A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）5 4 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．
两条直线所成的角教案1 教学目标 1．使学生理解两条直线夹角的概念，掌握夹角公式的推导及运用． 2．通过夹角公式推导过程的教学，培养学生周密分析、严格论证的能力． 3．使学生进一步体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法． 教学重点与难点 夹角公式的推导及解析法的运用． 教学过程 一、复习提问 师：请同学们回忆一下，平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？分别是什么？ 生：两条直线的位置关系有平行和相交两种． (学生有可能答平行和垂直两种位置关系，教师应注意纠正．) 师：相交这种位置关系中有一种非常特殊的情况，即两条直线垂直，在解析几何中是利用什么来判定两条直线垂直的呢？ 生：利用两条直线的方程． 师：对！直线方程是直线这一平面图形的代数化，通过对直线方程的性质的研究就可以得到相应的图形——直线的性质，那么两条直线l1和l2的方程有什么性质，两条直线便垂直了？ 生：如果两条直线的斜率都存在，而且斜率互为负倒数，两条直线互相垂直．反之，若两条直线互相垂直，斜率互为负倒数． 师：如果两条直线斜率都不存在呢？ 生：因为这两条直线都垂直于x轴，所以根本不可能互相垂直． 师：如果一条直线l1的斜率存在，而另一条直线l2斜率不存在呢？
生：关键是看l1的斜率k1是不是等于零，如果k1=0，那么l1垂直于l2，如果k1≠0，l1与l2肯定不垂直． (如果学生答不出来，可以画出l2帮助思考．) 师：好，通过以上这些问题，综合起来才是完整的，同学们在考虑直线的问题时，一定要注意直线的斜率是否存在．另外，直线间的位置关系与直线的斜率密切相关，斜率又由倾斜角来确定，所以研究直线的位置关系就离不开倾斜角这一几何图形的帮助，这一点同学们在推导两条直线平行垂直的判定方法时就应该注意到了． 然而两条直线相交更一般的情况是不垂直，那用什么来刻画两条直线的相对位置呢？ (用两支铅笔演示两条直线相交成角变化，学生一般能回答出来用角来刻画．) 二、讲授新课 师：请同学们看，两条直线相交，一共构成几个角？它们之间有什么关系？ 生：一共构成4个角，它们是两对对顶角． 师：如果这4个角全相等，我们称这两条直线垂直．如果这4个角不全相等，为统一也为研究方便，我们研究哪对对顶角更好呢？ 生：愿意研究锐角． 师：我们给出定义． (板书) 1．两条直线所成的角．两条直线相交，称不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称夹角． 师：由夹角定义，能否得到夹角θ的取值范围呢？ 师：如果只研究两条直线斜交的位置关系，有两条直线的夹角就足够了，但是要研究多条直线时，夹角就有局限性，比如图1－24中，l1与l3的夹角等于l2与l3的夹角，但l1与l2的位置关系并不确定，所以最好让“角”也具有方向．
两条异面直线所成的角（B）一、选择题： １．在正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC 1 的中点，直线MN与PQ 所成的度数是（） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 4．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个 5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（） （A） d与a是不互相垂直的异面直线
（B） d与a是相交直线 （C） d与a是平行直线 （D） d与a是互相垂直的异面直线 6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（）（A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（）（A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 8．正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值 为（） （A）（B）（C）（D）-二、填空题： 1．正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 的棱长为1，则BD 1 与CC 1 所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD 1 与CC 1 的 距离为＿＿＿＿＿． 2．长方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=2a，ＡＡ 1 ＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ 1 Ｂ 1 、ＢＢ 1 的中点，则Ａ 1 Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是 的直线有且仅有＿＿＿＿＿条． ４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ
两条异面直线所成的角和距离教案 北京师大二附中古永喜 教学目标 1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性； 2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题． 教学重点和难点 这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念． 教学设计过程 一、引入有关概念的必要性 师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念． （这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说） 例如a∥b， c∥d（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？ 生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同． 师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念． （这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说）
师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？ 生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同． 师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引 入有关“角”的概念． （这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察 后，得出相应的结论） 师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同． （这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察 后，得出相应的结论） 师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同． 师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角 和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义． 二、异面直线所成的角的定义 （教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义） 师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？ 生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角． 师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义．
D B A C α 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角， 则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①
两条直线所成的角 一、教学目标 (一)知识教学点 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二)能力训练点 通过课题的引入，训练学生由专门到一样，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力． (三)学科渗透点 训练学生由专门到一样，定性、定量逐步深入地研究问题的适应． 二、教材分析 1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情形作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直截了当得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2，难点：公式的经历与应用． 3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据． 三、活动设计 分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 (一)引入新课 我们差不多研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情形，关于两条相交直线，如何样依照它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题． (二)l1到l2的角正切 两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．
l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向． 现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是 l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 假如1+k1k2=0，那么θ=90°， 下面研究1+k1k2≠0的情形． 由于直线的方向是由直线的倾角决定的，因此我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题． 设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)，甲图的特点是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特点是l1到l2的角是l1、l2与x 轴围成的三角形的外角． tgα1=k1， tgα2=k2． ∵θ=α2-α1(图1-32)， 或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)， ∴tgθ=tg(α2-α1)． 或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)． 可得 即 eq \x( )
两异面直线所成的角题目解法大全（配有高考真题练习题） 异面直线所成角的求法 例一、已知正四棱锥P—ABCD侧棱长与底面边长相等，E、F分别为PC、PD的中点，求异面直线BE与CF所成的角的余弦值. 绿色通道： 法一、BE不动，在面PDC内过点E平移CF； 法二、CF不动，过F平移EB，其中是以平行四边形BEFH为依托； 法三、利用空间向量知识来求解. 解法一：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC内过E作EG平行于 ∠或其补角为BE与CF所成角. BD=22,又PB=PD=2, CF，交PD于G，连结BG. 则BEG
所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2 )2 1(= 4 17 .又CF=3, EG=23.在BEG ?中,cos BEG ∠=EG BE BG EG BE .2222-+= —6 1 ，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小 C B A P 为arccos 6 1 . 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH // 2 1 CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结 HC ，则HC=5,CF=3.在?CFH 中，cos ∠CFH = FH CF CH FH CF ?-+2222=6 1 , 所以BE 与CF 所成角大小为arccos 6 1 . 解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0, 2,0), E(0, 22，22)，F(—22，0，2 2) , 则