?权力（power）一词，现在同阶级、性别、种族等一起成为社会学一般理论的基本范畴。对权力的讨论至今为止分歧百出，并没有统一的定论。说到底，这是由于"
当我们从理论上讨论权力时，我们其实是在论述整个社会世界的运作方式"。因此，对权力的不同论述代表了不同的社会学理论流派的基本观点。
早期的人们常常自然地使用"权力"一词，而没有企图去阐明它。对权力进行奠基论述的是韦伯和马克思。从20世纪开始，批判结构主义、后结构主义、功能主义、功利主义等对权力皆有过精辟的论述。下面我将结合各派主要观点讨论一下权力的基本含义。
?一、韦伯对权力的定义和类型划分
对权力作出最有影响定义的是韦伯。他是这样定义权力的，一个行动者能够任凭反抗而贯彻其个人意志的可能性，而不论这一可能性是建立在怎样的基础之上。[1] 这个定义强调了两点，第一，权力是一种能力，包括实际能力和潜在的能力；第二，强调了权力拥有者的主观意图。
韦伯将权力划分为强制和支配两种类型，其中，支配又分为合法支配（即权威）和凭借利益格局中垄断而取得的支配。合法支配有三种，这就是众所周知的传统型（t raditional domination）、克里斯玛型（charismatic domination）、个人魅力型（rational-legal domination）。
韦伯对权力的定义和划分是与其行动理论相关联的，不是从宏大的社会结构入手而是从行动者入手讨论的，表明了个体行动者的目的性和意向性。这种权力观点与马克思和帕森斯观点的对立，刚好表明了社会学理论中行动与结构的对立。
二、权力是物质资料占有关系的一个面相
这是马克思以及后来的批判结构主义者所持有的观点。
马克思对权力并没有作出单独的、系统的论述，但是探讨国家问题、社会管理和统治时不时地提到权力、权威等概念。在马克思看来，人类历史就是一种围绕物质资料的斗争，特别是生产资料。权力是生产资料所有制的附属品，拥有生产资料的社会实体拥有权力。在阶级社会里，社会划分为两大阶级，占有生产资料的是统治阶级，因此，运用权力、体验权力的不是特定的个人，而是各个阶级和群体。由于资本主义社会里财产完全可以让渡和私有化，导致权力趋向集中。
批判结构主义者们发挥了马克思的观点，主要根据对物质占有的社会结构来说明权力。他们主要观点有两个：（1）唯一真实的权力形式涉及各经济阶级围绕所有权的
斗争；（2）诸如国家或政治这样明显的权力复合体也可以化约为这种阶级斗争。[2]
对权力的宏观角度的讨论可以解释社会团体、社会组织的活动，但同时也淹没了每个具体的个人，尤其是个人的主观意志。在实际生活中，我们常常可以看到行使权力的个人由于主观意愿的不同而采取的不同行动导致的不同后果。这是宏大的理论结构所无法解释的。
三、权力是行动权而非控制权
如马克思及其后来的追随者这样把权力是为社会关系的一个面相，这种权力观点被其他学者称为"控制权"的观点，即强调一部分人对另一部分人的斗争和支配。而帕森斯则认为权力应当是行动权，而非控制权。行动权是指即定的有组织的权力结构可以作为"集体资源"发挥作用，是的有可能达到有益于全社会的、包括权力结构本身的下级成员的目标。[3] 也就是说，权力应当表述为"做......的能力"而不是"对......的权力"。权力本身是一种资源，同时也是一种一般化交换媒介（其他还有货币、影响和认同）。社会系统中的子系统政治系统运用权力将决策要素（贡献、命令和合法化价值）组合起来，以增强转换能力，达到政治系统的平衡、和谐。
这是从功能论的角度来探讨权力的性质和作用。同批判结构理论一样，两者都是从宏观的角度出发来探讨权力，所不同的是，前者视权力为物质资料所有的一个结果，后者则将权力本身视为资源；前者以冲突的观点看待权力的拥有和行使，而后者则以统一的、和谐的观点来看待权力的作用，视权力为社会整合的途径。这种过分强调和谐统一的功能论看到了权力行使的社会管理的一面。如马克思论述的，当权力政治化之后，其冲突的、控制的一面便很快地暴露出来了。
四、毛细血管状的权力
将权力的结构解构、从微观上考察权力、将之描述为毛细血管状，这就是福科的权力观点。
福科是这样论述权力的："在分析权力时，必须把它当作某种循环流动的东西，或者更准确地说，当作某种仅以链状形式发挥作用的东西。它从不会单单积聚在什么地方从不掌握在哪一个人的手中，从不会像一种商品或一份财富那样被占用。权力通过一种网状组织被使用和实施。个体不仅仅只是在权力的经纬网循环流动，他们总是处于同时经受这一权力和运用这一权力的位置。"[4]
他认为权力具有以下几个一般性特点：
权力是种种变动布局的不平等关系的一个面相。
权力是包括非政治关系在内的所有关系的一个面相。
重大社会支配也植根在日常的关系当中。
权力是一种有目的的、主观的关系。
任何权力关系都包含有反抗。
同批判结构主义相同的是，福科也将权力视为控制权，强调使用者与权力受力者之间的冲突。但他显然扩大了权力作用的范围，消解掉宏大的结构，深入到结构的下面去考察融入日常社会生活中权力的微观的运作方式。一方面，他认为权力是社会关系的属性，是无法消除的；另一方面，权力有其积极的一面，权力塑造了社会个体，没有权力就没有个体的存在，个体可以充分利用其先赋的权力。
五、交换和理性选择理论视野里的权力
有一种观点借用经济学的交换和理性选择理论，将每个个体视为理性人，以利益最大化为原则，围绕着权力的支配和对权力的反抗，持续地进行竞争和斗争，导致种种权益性结盟、操作性和解、实利行联合以及其他交易。其代表人物达尔认为权力的定义应包括以下三要素：行动——某甲必须有所作为，而谋乙必须有所反应；关系——行动必须针对某乙；行为主义——不涉及主观意义，仅涉及个体满足。
以上是对权力一些基本概念的讨论，涉及了不同学派对权力不同的观点。综合地来说，对权力概念的讨论都必须回答这样两个问题：（1）权力是严格限于权力的使用者A对受力者（或潜在的受力者）B一种特定形式的影响，还是凡在A对B有某种影响的场合都使用了权力。（2）A是有意的还是无意的。由此，可以建立关于权力概念的四种模式（参见《社会科学百科全书》"power权能"部分）：
1、不区分A对B的影响是有意还是无意，也不把权力这一术语局限于A对B 的特定的某种影响。福科对于权力的讨论可以归为这种类型。
2、当A以违背B的意愿、利益、需要等等方式影响B时，A就对B行使了权力，但是这并不要求A有意影响B，也不要求A能预见B的影响。这一模式抹去了个人的主观意愿，对应的是马克思及其追随者的观点。
3、只有A有意影响B的情况下才有权力，但它没有对A影响B的方式设置任何限制。它把找重点从A对B的权力转向了A为实现某些目的而行使的权力。这个模式与强调行动的韦伯的权力观点相一致。
4、A使得B去作A希望的但B本不会去做的事情。它强调了权力的实际影响而不是潜在影响，最有希望制作成为模型。交换和理性选择理论力图将权力专注于这个模式，并希望建立相应的科学模型。但它忽视了一点，A对B的潜在能力。实际上这种潜在能力比A对B施以实际影响更能表现出A的权力。
在这里，对权力的讨论只是限于对其涵义的概念性阐述，这是因为对权力的概念已经有诸多分歧以至于无法进行进一步的建设性的讨论。不同的社会学流派对权力的讨论代表了各自所持的基本立场，表现了结构—行动、主观—客观的根本性对立。
权力的特征
权力作为政治学和法学的重要概念，是一种政治上的强制力和职责范围内的支配力，反映了权力的所有者特别是代理者(使用者)对于权力资源的使用方向、使用规模（或流量）、授受循环情况及其内部的相互分工、制约、平衡和闭合程度。权力主要具有三大本质特征。
（1）权力的独占性
权力是决定利益分配的稀缺资源，以人和意志的存在为前提，能够给人带来地位、荣誉、利益等。因而，权力的主体不论是集体还是个人，不论是领袖还是一般官员，都具有自然的冲动性和内在的独占性。权力主体为了实现其意志和利益，既有法律赋予的不容许侵犯、挑战和分享的占有、支配地位和强制力量，形成权力主体与客体之间的命令与服从关系；同时，“经济人理性”和公共需求的膨胀，导致权力主体的“经济人”冲动和利益膨胀，加剧了权力的独占性特征，权力与权利之间的授受、制衡与回归关系断裂或虚缺，形成非理性、非制度化的独占、支配地位，甚至权力盗用、滥用、专制、极权等腐败现象。正如恩格斯在《家庭、私有制和国家的起源》中指出的，国家及其公共权力是“从社会中产生但又自居于社会之上并且日益同社会相异化的力量”《马克思恩格斯选集》第4卷，人民出版社1995年版，第171页。。
特别是在专制社会和威权时代，形成一种自身惯性和内在逻辑，执政时间越长，权力的高度越高，权力加速集中、独占垄断的倾向就越明显。如秦始皇虽然开创了皇帝亲掌决策权、宰相行使执行权、御史握有监督权的三权分立雏形，但中国几千年的封建社会始终是皇权独大的权力结构，即“普天之下，莫非王土；率土之滨，莫非王臣”。苏东共产党在“议行监合一”权力结构和等级授职制用人机制的强控制下，权力呈现过分且加速集中于党委的趋势，不搞权力分工，不搞监督制衡，高度集中一切权力，强力整合一切资源，“不适当地、不加分析地把一切权力集中于党委”，形成“权力过分集中”的“党的一元化领导”体制，参见《邓小平文选》第2卷，人民出版社1994年版，第329页。即党权独大体制。在横向上，党委不仅独占（“一元化领导”）了党内决策权、执行权和监督权，而且独占（“一元化领导”）了苏维埃（议会）权力、政府权力、司法权力、军警权力、社会组织和群众团体权力等一切权力；在纵向上，上级和中央领导机关集中垄断和支配独占（“一元化领导”）了基层、下级的权力。越是远离基层实际和第一线的上级和中央，越是管了很多管不好也管不了的事，其权力支配的高度、独占的宽度和垄断的长度就越大，“一元化领导”体制的弊端就越严重。
（2）权力的扩张性
“三权分立”理论的杰出代表孟德斯鸠，在《论法的精神》中明确指出：“一切有权力的人都容易滥用权力，这是万古不易的一条经验。有权力的人们使用权力一直到遇有界限的地方才休止。”〔法〕孟德斯鸠：《论法的精神》（上），张雁深译，商务印书馆1959年版，第184页。英国思想家罗素指出，权力从它产生的那一天起，就掺杂着私欲的成分；“动物只要能够生存和生殖就感到满足，而人类还希望扩展”〔英〕伯特兰？罗素：《权力论》，吴友三译，商务印书馆2011年版，第3页。。德国历史学家费里德里希的话更为经典：“腐败是附着在权力上的咒语，哪里有权力，哪里就有腐败的存在。”可见，权力还具有自然的扩张性特征，权力的行使者为实现其集团利益甚至私人利益最大化，必然积极扩张权力，突破权力边界，绕过监督盲区，甚至异化、虚化监督权能，致使人民“委托之权”、“授受之权”常常在不断扩张中变异、增值，甚至被乱用和滥用。因而，一部权力史，也就是一部权力扩张和权力制约的历史。
孟德斯鸠指出：“如果同一个人或是由重要人物、贵族或平民组成的同一个机关行使这三种权力，即制定法律权、执行公共决议权和裁判私人犯罪或争讼权，则一
切便都完了。”〔法〕孟德斯鸠：《论法的精神》（上），张雁深译，商务印书馆1959年版，第186页。于是，他以洛克分权学说为基础，大力主张权力分工和制约，将国家权力分解成立法权、行政权、司法权，并注重行政权对立法权的制约，防止立法权扩张和垄断，保持权力子系统之间的协调和平衡。为此，防止权力扩张，遏制权力滥用，必须从道德、制度以及权力、权利等层面，加强权力的“他律”建设。权力运行到哪里，“他律”必须跟进到哪里，遏制权力的扩张性，防治权力变异腐败，保障权力的公共性和廉洁性。
苏共自斯大林时代起，各级党委尤其是“一把手”的权力无限扩张以至极化和固化，虚化了立法决策机关（苏维埃、党代会）的最高监督权，替化了部长会议的行政执行权，异化了监察机关的专门监督权，矮化了司法机关的司法监督权，弱化了新闻媒体的舆论监督权，剥夺了广大民众的全面自由发展权，从而形成“议行监合一”的极权体制，加剧了苏共党权过分集中且加速集中的惯性，出现了不受监督制衡的“无限的权力”。
（3）权力的排他性
权力作为一种公共资源和支配力量，既具有法律赋予的不可转让或混淆的正向排他性；又具有非制度化的排除或阻止他人使用的负向排他性特征，颠倒了权力与权利的授受与委托关系。正如美国政治学家罗伯特？达尔所言：“一个懂得如何最大限度利用其资源的领导者与其说是他人的代理人，不如说他人是他的代理人。”
正向的排他性，是指权力主权的排他性和权力边界问题。“主权在民”，全民集体是权力的所有者，是权力的真正主人。这种主权是排他性的，是不可转让、不可分割的，是至高无上的、神圣不可侵犯的。人民只不过是把权力的使用权委托给代议机构和官员，代议机构和官员是主权者的代理人、执行人。但是，在代议制条件下，代议机构和代理人以获得相对多数（半数或2/3或3/5）的权力授予，就获得了对所有人的管理和控制权，就获得了排他性的权力和滥用权力的条件。同时，权力作为一种可配置的社会资源，必须划清其在个人、组织乃至阶级、政党、国家、社会等方面的职责边界、时间边界和空间边界；必须在权力系统内部划清决策权、执行权和监督权的职责边界、时间边界和空间问题；必须划清权力在中央与地方、上级与下级的职责边界、时间边界和空间问题。如在现代社会，议会和人民选出的代表拥有立法权，其他机关和人员不得越权；行政权归于总统、首相、总理、政府
主席等，其他人不得染指；裁判监督机关行使独立的司法权，不同的权力彼此相对独立、互不突破。
权力负向的排他性，是指权力的使用者在独占性和扩张性的惯性驱使下，具有“卧榻之旁岂容他人酣睡”的强烈排他性，以个人意志或利益取向将权力变为自己的消费品或交换物，只有亲用权力或服务所带来的利益的唯一性，既阻止他人占有、控制或使用，又不允许他人侵犯、挑战和分享，还排除他力监督、制衡，致使权力系统内部子系统之间的平衡被打破，权力不分工制衡，运行不能循环闭合，形成垄断一切权力、凌驾于一切人之上的超级权力。
苏共凭借“议行监合一”的权力结构，各级所有权力过分集中于党委，而“党委的权力又往往集中于几个书记，特别是集中于第一书记，什么事都要第一书记挂帅、拍板。党的一元化领导，往往因此而变成了个人领导”《邓小平文选》第2卷，人民出版社1994年版，第329页。，形成“一把手”、“一支笔”、“一言堂”、“一家长”、“一面倒”的绝对权力，形成“拥有无限的权力”、“一人说了算”、拥有“最后决定权”的“一把手”体制，进而派生出大大小小的“土皇帝”和“独立王国”。斯大林据此搞专制利己主义，不仅构建了“一把手”一人治体制，而且打造了捍卫其体制模式的“圣剑骑士团”和官僚腐败阶层；戈尔巴乔夫搞民主利己主义，打着公开性、民主化、多元化的旗号，打着一切权力归苏维埃的旗号，解散大量机构，转移权力中心，加速权力集中，搞“议行监三权合一”、凌驾于所有机构之上的超级总统制。
行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）． 性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，
1.1.1集合的含义与表示 一、教材分析 本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1，第一章1.1.1集合的含义与表示。《课程标准》对本课内容的要求是：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 集合在高中阶段的数学课程中，具有十分重要的地位。集合是高中阶段数学课程引入的第一个概念，是整个高中数学课程内容的基础，集合的初步知识与后续内容的学习有着密切的联系。集合是学习掌握使用数学语言的基础，集合形象化的将生活实际问题用数学符号表示出来，从而简化了用数学分析实际问题的语言，为相关数学知识奠定一定的理论基础。许多重要的高中数学内容，如函数，方程，不等式，立体几何解析几何，概率统计的，都需要用集合的语言来表述相关问题及核对这些内容的后续学习均发挥了显著作用。 集合是集合论中的原始的不定义只描述的概念。在初中数学不等式解集的定义中涉及过集合，学生已经有了一定的感性认识，在此基础上，本节结合实例引出集合与集合中元素的相关概念，集合中元素的特征，及集合的表示方法等。 二、学情分析 学生在初中阶段的学习中，已经有了对集合的初步认知，有了对周围事物的发现总结能力。对部分粗心大意的学生，培养其细致的观察力，在本节的学习中学生可能会对集合的表示方法：列举法和描述法会有所混淆，通过不断的练习巩固来达到标准要求。学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习，鼓励学生理解学习，事半功倍。 三、教学目标 1、知识与技能目标：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 2、过程与方法目标：通过集合含义教学，培养学生的抽象思维能力。通过集合表示方式的教学，培养学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力。树立用集合语言表示数学内容的意识。 3、情感态度与价值观目标：学生在掌握集合相关的基本概念的基础上，解决相关问题，获得数学学习的成就感；学生的数学学习进入到新阶段，培养学生对数学学习的兴趣。 四、教学重点和难点 1、教学重点：集合的含义与集合的表示方法； 2、教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 五、教学设计 （一）新课引入 体育课上课时，老师总说“请同学们集合”，同学们便会从四面八方集合到老师身边。这里的集合是一个动词，让同学们集中在一起。我们在数学中也有“集合”，这里的集合是一个名词，但是他的意义和以上说的动词集合有相似之处。这一节课，我们便来学习数学中的集合的含义与他的表示方法。（板书课题：集合的含义与表示） 那什么是集合呢？其实在我们生活中存在着很多集合的例子，比如我们全班同学这一个整体，他就是是一个集合；还有校园中所有的树，也构成一个集合；高一一班教室里所有的笔……在小学和初中的学习过程中，我们也已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆），那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
班级姓名 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 【预习要点】 1、初步理解集合的含义，了解集合元素的性质。 2、知道常用数集及其记法。 3、了解“属于”关系的意义。 4、了解有限集、无限集、空集的意义。 5、集合的两种表示方法. 【预习要求】 1、能判断元素与集合的关系。 2、记忆并运用常用数集符号。 3、能够运用集合元素的基本性质辨析集合问题。 4、能选择适当的方法正确的表示一个集合。 【知识再现】 1、回顾数集的分类。 2、圆是怎样定义的？ 【概念探究】 阅读课本2页到5页练习上方，完成下列问题 1、集合是怎样定义的？什么叫做集合的元素？ 2、回忆一下初中所学知识，你还能举出哪些集合的例子？ 3、集合通常用怎样的符号来表示？元素习惯上用什么符号来表示？ 元素与集合是什么关系？其关系用什么符号表示？ 4、空集是怎样定义的？用什么符号来表示？ 5、集合中的元素有哪些特征？思考：你能否确定，你所在班级中，高个子同学的构成的集合？你能否确定你所在班级中最高的3位同学构成的集合？并说明理由 6、根据集合含有元素的个数可以把集合分为哪几类？你能否再举出一些有限集和无限集的例子？ 7、常用数集用什么符号表示？自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集； 8、何为列举法、描述法？在用列举法和描述法表示一个集合时应分别注意什么问题？你能总结一下什么样的集合用列举法好？什么样的集合用描述法好吗？ 【例题解析】 例1、下面的各组对象能组成集合的是 （1）正三角形的全体 （2）血压很高的人 （3）鲜艳的颜色 （4）某校2008级高一新生 （5）所有数学难题 （6）所有不大于3，不小于0的整数 （7）充分接近100的全体实数 例2、用“=”、“>”、“<”、“∈”、“?”填空 （1）3．14 Q；（2 ；（3）0 * N；（4； （5）π 3.14；（6）0 N；（7）0 φ； 【巩固提高】 1、已知集合A=2 {2,25,12} a a a -+，且3-∈A，求实数a的值。 2、当a、b满足什么条件时，方程0 ax b +=的解构成的集合为（1）、有限集（2）、无限集（3）、空集？
第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R
1-1-1集合的概念及其表示 （一）基础过关 一、选择题 1．下列各项中，可以构成集合的是（ ） A ．高一数学中的难题 B ．直角坐标平面第一象限的一些点 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212 =+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．集合A 中含有三个元素2，4，6，若∈a A ，且6-∈a A ，那么a 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．24或 D ．0 4．下列各组集合表示同一集合的是（ ） A ．(){}(){}3,2,2,3= =M N B ．{}{}3,2,2,3==M N C ．(){}{},1,1=+==+=M x y x y N y x y D ．{}{}3,2,2,4==M N 5．下列命题正确的是（ ） A ．集合{}21,==∈A x x x R 中有两个元素 B ．集合{}0=B 中没有元素 C {＜∈x R x D ．集合{}21,230与? ?==∈+-=???? A B x R x x 是不同的集合 二、填空题 6．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______+N , 16______N ，0-______Z , （2）1_____________2 ，π-Q Q ))22 11______+Q （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈
7．已知集合A 含有两个元素2和a a ，若1∈A ，则实数a 的值为 . 8．已知某集合中有三个元素：20,,-x x ，则实数x 应满足条件 . 9．方程组2219+=??-=? x y x y 的解构成的集合用列举法表示是 . 10．已知{}1,2,0,1=--A ，{} 2,==∈B x x y y A ，则=B . 三、解答题： 11．分别用描述法和列举法表示下列集合 （1）不大于10的非负偶数组成的集合. （2）由方程32 20--=x x x 的解构成的集合. （3）函数23103=-+y x x 与x 轴和y 轴的交点构成的集合. 12．设集合A 是由满足不等式7＜x 的自然数所组成的集合，若3且∈∈a A a A ,求a 的值. （二）强化提高 一、选择题 1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集； A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2. 下列集合中不同于另外三个集合的是（ ） A ．{}21∈=x R x B ．{}1,1- C ．{}22＜＜∈-x Z x D ．1? ?∈=???? x Q x x
新课标 集合的含义及其表示 姓名：_________ 一、选择题： 1.下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）若a N -?，则a N ∈ （3）244x x +=的解集为{2，2}；（4）0.7Q ∈，其中不正确命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A.(){}(){}3,2,2,3M N = B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N == 3.下列方程的实数解的集合为12,23?? -???? 的个数为 （ ） （1）224941250x y x y +-++=;(2)2620x x +-=; (3) ()()2 21320x x -+=;(4) 2 620x x --= A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合{} (){} 2 2 10,6100 A x x x B x N x x x =++==∈++=，{}450 C x Q x =∈+<， {}2D x x =为小于的质数 ，其中时空集的有 （ ） A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 5. 下列关系中表述正确的是 （ ） A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是（ ） A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）方程()()()3 1250x x x -+-=的 解集含有3个元素；（3）0∈?（4）满足1x x +>的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二．填空题： 8.用列举法表示不等式组240121x x x +>??+≥-?的整数解集合为 9.已知集合12,6A x x N N x ?? =∈∈??-?? 用列举法表示集合A 为 10.已知集合241x A a x a ??-?? ==??+???? 有惟一解，又列举法表示集合A 为 三、解答题： 11．已知{}{}2A=1,a,b ,,,B a a ab =，且A=B ，求实数a,b ; 12. 已知集合{} 2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数 （1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值 （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围 13. 设集合{} 22,M a a x y a Z ==-∈ （1）请推断任意奇数与集合M 的关系 （2）关于集合M ，你还可以得到一些什么样的结论
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
第一章 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 一、选择题 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050 的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2 ＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2 ＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2 ＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ② 2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．
1.1集合与集合的表示方法 一、知识点 1.1.1、集合的有关概念 1.1.2、集合的表示方法 考点1：集合的有关概念 知识点： 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 例1：下列各组对象不能组成集合的是( )。 A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=x 1 图象上所有的点 练习： 1.下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 2.下列对象能否组成集合: (1)数组1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足3x-2>x+3的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于6的数; (7)所有绝对值小于3的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员; 知识点： 2.一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。 3.集合用大写字母来表示，元素用小写字母来表示。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情 况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复 出现同一元素。 （3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。
例2：方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31 },则a=________,c=_______. 练习： 1.在数集{2x,x 2 -x}中,实数x 的取值范围是 2.数集{3,x,x 2 -2x}中,实数x 满足什么条件? 3.已知数集A=}{A a a ∈+16,7,3,2 且，求实数a 的值。 4.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2 -3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值. 5.所有素质好的人能否表示为集合? 6.A={2,2,4}表示是否准确? 知识点：（学生易混淆点） 5.点集就是点的集合，点可以用坐标表示，所以点集的形式是{（x,y ）|x+y=2} 数集就是数的集合，数可以用变量表示，所以数集的形式是{ x |x 2=1} 方法对接: 解决集合问题时，首先将不明显的集合转化成明显的集合。然后根据一下三种集合类型，选择合适的方法。 1.抽象集合（元素个数很少时）————维恩图法 2.数集———------------------———画数轴法 3.点集——-—-----------------------画图像法 例1：试着说明下列集合中元素的含义 A={x |()1||x y x R x =- ∈+} B={y |()1||x y x R x =-∈+} C={(x ,y )|()1|| x y x R x =-∈+} 练习： 1：下面三个集合：①{x|y ＝x 2＋1}；②{y|y ＝x 2＋1}；③{(x ，y)|y ＝x 2 ＋1}． (1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？ 2：若 {} |2A x x n n ==∈Z ，， {} |22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等 3.已知集合 { }3 2+==x y x A ，{}3 2 +==x y y B ，(){}3 ,2 +==x y y x C 他们三个相等吗？试说明理由？ 4.A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合? 知识点：
集合的概念及其表示（B ） 一、选择题 1、以下四种说法中正确的是（ ） A 、“实数集”可记为{}R 或{}实数集 B ，{}d c b a ,,,与{}a b d c ,,,是两个不同的集合 C 、“某次数学测验后各位同学的考分”必组成一个集合 D 、“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合，因为其对象不确定。 2、下列备选项中可以组成集合的是（ ） A 、与2非常接近的全体实数 B 、很著名的科学家的全体 C 、某教室内的全体桌子 D 、与无理数π相差很小的 3、已知2是集合{} 23,,02+-=a a a M 中的元素则实数a 为（ ） A 、2 B 、0或3 C 、3 D 、0，2，3均可 4、下面四个命题正确的是（ ） A 、10以内的质数集合是{}7,5,3,0 B 、“个子较高的人”不能构成集合 C 、方程0122=+-x x 的解集是}1,1{ D 、偶数集为{}N x k x x ∈=,2 5、下面的结论正确的是（ ） A 、Q ax ∈，则N a ∈ B 、N a ∈，则{ }自然数∈a C 、012=-x 的解集是}1,1{- D 、正偶数集是有限集 6、已知3=a ，{} 2≥=x x A ，则（ ） A 、A a ? B 、A a ∈ C 、{}A a = D 、{}a a ? 二、填空题 1、现有：①不大于3的正有理数．②我校高一年级所有高个子的同学．③全部正方形．④全体无实根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组成集合的有___________．（填代号即可） 2、设集合{}{} 的值时代数式、12,1,0,1,22-∈=--=x A x B A ．则B 中的元素是_____________。 3、已知? ?????∈∈-=+N ,N 36x x x A 试用列举法表示集合A 。 4、设{}23,15=≤=m x x P ，则m P 。 5、0 ?． 6、1 {} +∈+-=N a a x x ,12。
一、 新知识引入 在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？ <1>交大附中全体高一学生能否构成一个集合？ <2>高一的所有女生能否构成一个集合？ <3>剑桥英语词典的所有英语单词能否构成一个集合？ 其实,生活中有很多东西能构成集合，我们生活中的很多东西都能构成集合，你能举出一些例子吗？通过以上分析，你能给出集合的含义吗？ 结论：<1>能.<2>能.<3>能；我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”。 <4>如果用A 表示黄冈实验学校全体高一学生组成的集合，用a 表示黄冈实验学校高一学生中的一位同学,b 是高二年级的一位同学，那么a 、b 与集合A 分别有什么关系?由此可见元素与集合之间有什么关系？ 结论：<4>a 是集合A 的元素，b 不是集合A 的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.用符号表示即为∈、?.亦即A b A a ?∈;. 【注意】：我们一般用大写字母A 、B 、C 、...表示集合，用小写字母a 、b 、c 、...表示元素 <5>大于3小于11的偶数能否构成集合？（引申：你能说出它们的元素吗） <6>我国的小河流能否构成集合？（引申：若不能，为什么？若能，你能说出它的元素吗？） <7>问题<5>、<6>说明集合中的元素具有什么性质？ <8>由实数31、23、34、31组成的集合有几个元素？（你能说出原因吗？） <9>问题<8>说明集合中的元素具有什么性质？ <10>由实数31、23、34组成的集合记为M ，由实数23、31、34组成的集合记为N ，这两个集合中的元序号：01-01 高中数学备课组 教师： 年级：高一 日期: 上课时间 学生： 学生情况： 新授课 主课题： 1.1 集合的概念与表示 教学目的： 1．了解集合含义；理解元素与集合“属于”关系；熟记常用数集专用符号； 2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题； 3．能选择集合不同的语言形式描述具体的问题； 教学重点： 1. 集合与元素的定义； 2. 常用数集合的概念； 3. 会用列举法、描述法表示集合； 教学难点： 运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
§1．1集合的含义与表示 李宁陕西师范大学附属中学 710061 【教材版本】北师大版 【教材分析】 1．知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力．2．知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．教学建议与学法指导 由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性． 【学情分析】 在初中，学生学习过一些点的集合或轨迹，如：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）；到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合（线段的垂直平分线）．这对学生学习本节课的知识有一定的帮助，只不过现在我们要把这个“集合”推广，它不仅仅是点的集合或图形的集合，而是“指定的某些对象的全体”．集合语言是现代数学的基本语言，使用这种语言，不仅有助于简洁、准确地表达数学内容，还可以用来刻画和解决生活中的许多问题．学习集合，可以发展同学们用数学语言进行交流的能力． 【教学目标】 1．知识与技能
（1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，知道常用数集及其记法； （2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法． 2．过程与方法 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识． 3．情态与价值 在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【重点难点】 1．教学重点：集合的基本概念与表示方法． 2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合． 【教学环境】 ◆多媒体教室 ◆课件 【教学思路】 通过实例以及学生熟悉的数集，引入集合的概念，进而给出集合的表示方法，学生通过自我体会、自主学习、自我总结达到掌握本节课内容的目的．教学过程按照“提出问题——学生讨论——归纳总结——获得新知——自我检测”环节安排． 【教学过程】 一、导入新课 师：同学们，我们在初中时最开始接触到的有理数的分类大家应该还很熟悉．下面我们来看一个当时我们常见的很简单的题目： 问题1：将下列各数填入相应的图形中：
高中数学必修1-1.1.1集合的含义与表示 课时1 集合的含义 问题提出 “集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？ 知识探究（一） 考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）师大附中0705班的所有男同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么？ 思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？ 把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？ 思考4：美国NBA火箭队的全体队员是否组成一个集合？若是，这个集合中有哪些元素？ 思考5：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素. 知识探究（二） 任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？ 思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 集合中的元素必须是确定的（确定性） 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的（互异性） 思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 集合中的元素是没有顺序的（无序性） 知识探究（三） 思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？ 思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？ 思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？ a属于集合A，记作a A ∈ 思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？ a不属于集合A，记作a A ? 知识探究（四） 思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？ 思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？自然数集（非负整数集）：记作N正整数集：记作N+或N+ 整数集：记作Z有理数集：记作Q 实数集：记作R
墨微教育课后作业 学生科目集合的概念与表示法教师 完成课次1完成时间 情况 一、选择题： 1.下面四个命题： (1) 集合 N中的最小元素是1：（2）若 a N ，则 a N（3）x244x 的解集为 {2 ， 2} ；（ 4） 0.7Q ，其中不正确命题的个数为（） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是（） A. M3,2, N2,3 B.M3,2, N2,3 C.M x, y x y 1 ， N y x y1 D.M1,2, N 1.2 3.下列方程的实数解的集合为 1 ,2的个数为（） 23 （ 1） 2 9 y 2 4x12 y 5 0 ;(2)6x 2 x20 ;(3)2x 2 3x 20 ;(4)6x 2 x 2 0 4 x1 A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合 A x x2x 1 0 , B x N x x26x 10 0， C x Q 4x 5 0， D x x为小于 2的质 数，其中时空集的有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列关系中表述正确的是（） A. 0x20 B. 00,0 C. 0 D.0N 6.下列表述正确的是（） A. 0 B.1,22,1 C. D.0N 7.下面四个命题： (1)集合 N 中的最小元素是1：（ 2）方程 x 3 2x50的解集含1 x 有3 个元素；（3） 0（4）满足 1 x x的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是（） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题：
8. 用列举法表示不等式组 2 x4 0 的整数解集合为 1x2x1 9. 已知集合 A x x N , 12 N用列举法表示集合 A 为 6 x 10. 已知集合A a x 2 41有惟一解，又列举法表示集合 A 为x a 三、解答题： 11．已知 A= 1,a,b , B a,a2 , ab ，且 A=B，求实数 a,b ; 12.已知集合A x ax22x 1 0, x R ，a为实数 （1）若 A 是空集，求 a 的取值范围（ 2）若 A是单元素集，求 a 的值 （3）若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围 13.设集合M a a x2y2 , a Z （ 1）请推断任意奇数与集合M的关系（2）关于集合M，你还可以得到一些什么样的结论 学生完成情况自我评价：（优、良、中、差） 教师签字：审阅签字：时间：
1.1第一课时集合的概念与表示
______________________________________________________________________________________________________ 精彩就在你身边2 1.1集合的概念与表示 [三维目标] 一、知识与技能 1，理解集合的含义，知道常用数集及其记法 2，了解元素与集合的关系及符号表示；了解有限集、无限集、空集的意义3，掌握集合表示法的基本框架 二、过程与方法 1，通过学生看书及事例汇总出集合的含义，引出集合的特性及元素与集合的关系 2，通过例子辨别表示法及有限、无限集合，用自己熟悉的表示法表示集合三、情感态度和价值观 1，通过组织学生预习→教师汇总→学生应用的方式，体现以学生为主体的思想特征 2，通过汇总，培养学生找不足、差距及联系的观点，并比较与初中学习方法的不同 [重点]课件 集合的含义及表示方法 [难点] 集合的表示方法 [教具] [过程] 一，看书P5---P7,教师版书：集合的含义及表示方法 例1：看下面事例 ⑴15的正约数 ⑵兴化中学高一年级的全体学生 ⑶所有的自然数 ⑷老人 ⑸方程x+1=0的解 ⑹漂亮的女孩 ⑺抛物线y=x2上所有的点 二、教师汇总 1、集合的含义 象⑴⑵⑶⑸⑺这样具有确定的共同属性的对象的全体就构成一个集合，其中的每个对象称这个集合的一个元素，元素的个数为有限个称有限集如⑴⑵⑸，无限的称无限集⑶⑺，将不含有任何元素的集合称空集，如：x2+1=0的实数解 根据集合的含义可以知道，一个集合具有： 确定性：任何一个事物要么在这个集合中，要么不在，不能摸棱两可。在
☆知识点☆ ★1、集合的概念： 一般地, 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合， 集合中每一个对象叫做这个集合的元素 ★2、集合元素的特征：确定性，互异性，无序性 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元 素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集 合中不应重复出现同一元素. （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由 小到大的顺序书写 即时练习：判断下列各组对象能否构成一个集合？ ① 2，3，4 ②（2，3），（3，4） ③ 三角形 ④ 2，4，6，8，… ⑤ 1，2，（1，2），{1，2} ⑥ 我国的小河流 ⑦ 方程042=+x 的所有实数解 ⑧ 好心的人 ⑨ 著名的数学家 ⑩ 方程0122=++x x 的解 ★3、集合相等： 一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的 任何一个元素都是集合A 的元素.我们就说集合A 等于集合B.记作A ＝B. 如：{a ，b ，c ，d}与{b ，c ，d ，a}相等； {2，3，4}与{3，4，2}相等； {2，3}与{3，2}相等. “与2相差3的所有整数所组成的集合”，即{}{}5,132-==-∈x N x 思考：A ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈Z}相等吗？ ★4、集合元素与集合的关系: 集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示： （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈ （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? ★5、常用数集及其记法: N 表示：非负整数集（或自然数集） N*或N+表示：除0的非负整数集 Z 表示：整数集 Q 表示：有理数集