用三垂线法求二面角的方法
三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB
证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α
∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ?PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ?平面PAB ∴a ⊥PB
总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.
三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠：
①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==
，AD =①求二面角
C AB
D --的大小；②求二面角B CD A --的大小；
1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥
∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4
π ∴二面角C AB D --的大小为
4
π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥
∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥
∴BD =
=∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥
∴1AB =
=在Rt ABC ?中，tan 1AB
ACB BC
∠=
=， ∴二面角B CD A --的大小为
4
π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线
AB 、斜线AC 及
其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。
A
B
D
C
2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E 为VB的中点．
求二面角A—VB—D的余弦值．
2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴DA⊥VP
又∵AD⊥AB ∴AD⊥平面VAB ∵VAB
?是正三角形，E为VB的中点，∴AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以AED
∠就是所求二面角的平面角.
由已知得3∴7∴
21
7
AE
COS AED
ED
∠==
故二面角A—VB—D的余弦值为
21
7
．
方法点拨：本题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点D到二面角的另一个平面AVB的垂线D 则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为AED
∠。,。.
3．一个三棱锥S ABC
-的三视图、直观图如图．求二面角S AB C
--的正切值．
3 解：由正视图、俯视图知4
AC=；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则3
BD=，
BD⊥平面SAC，BD AC
⊥；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则2
SO=，SO⊥平面ABC，SO AC
⊥．如图．
作CH AB
⊥于H，作//
OE CH交AB于E，则OE AB
⊥，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而OE AB
⊥，故由
V
E
A
D
B C
2 2
2
俯视图
三垂线定理得SE AB ⊥，∴SEO ∠为二面角S AB C --的平面角． △ABC 中，易求得13BA BC ==， 由△ABO 的面积相等关系：11
22
AO BD AB OE ??=??， 得9
13
AO BD OE AB ?=
=，
Rt SEO ?中，213tan 9SO SEO OE ∠=
=，故二面角S AB C --的正切值为213
9
. 方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面SAB 上一点S 作二面角的另一个平面ABC 的垂线SO,
再过垂足O 作二面角的棱AB 的垂线,从而得到斜线SE 及其射影OE,从而得到二面角的平面角为SEO ∠。
4．如图，ABC ?是以ABC ∠为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ， SA=BC=2，AB= 4. N 、D 分别是AB 、BC 的中点。
求二面角S —N D —A 的正切值．
4. 解： 过A 作AF ⊥ DN 且与DN 的延长线相交于点F ，连接SF ∵SA ⊥平面ABC ∴由三垂线定理得DF SF ⊥ ∴SFA ∠就是二面角S —ND —A 的平面角， 在Rt BDN ?中,225DN BD BN =
+=
在Rt AFN ?中，1
5
AF BD Sin ANF Sin BND AN ND ∠=
=∠== ∴ 1255
AF AN =
=g ∴ tan 5SA
SFA AF ∠==
故二面角S —ND —A 的正切值为5．
方法点拨：本题的关键是找到从二面角的一个平面SND 上一点S 到二面角的另一个平面AND 的垂线
AF,过垂足A 作二面角的棱DN 的垂线AF,从而得到斜线AF 及其射影AF, 从而得到二面角的平面角为SFA ∠。 5.如图所示，圆柱底面的直径AB 长度为22，O 为底面圆心， 正三角形ABP 的一个顶点P 在上底面的圆周上，PC 为圆柱的母线，
CO 的延长线交O e 于点E ，BP 的中点为F . 求二面角F CE B --的正切值.
S
C
D
B
N
F
A
S C
D
B
N
A
5.解：取BC 的中点K , 取OC 的中点N ,则KN ∥OB
∵F 是PB 的中点 ∴FK ∥PC
∵PC 为圆柱的母线∴PC ⊥平面CEB ∴FK ⊥平面CEB ∵正三角形ABP 中，O 为AB 的中点 ∴AB ⊥OP
∴由三垂线定理的逆定理得AB ⊥OC ∴KN ⊥OC
∴由三垂线定理得CE ⊥FN ∴KNF ∠为二面角F CE B --的平面角
由已知得1222KN OB == ,6OP = , ∴2PC =∴112
KF PC ==
∴tan KNF ∠=
2KF
KN
= ,即二面角F CE B --的正切值为2. 方法点拨：本题的难点是找到二面角的一个平面BCE 的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE 上一点
F 作PC 的平行线FK 就是二面角的另一个平面BCE 的垂线,过垂足K 作二面角的棱CE 的垂线KN,从而得到斜线FN 及其射影KN, 从而得到二面角的平面角为FNK ∠。 6、 如图，P-AD-C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD=1200
的菱形，PA=AB=2，PA ⊥ AD ，试问在线段AB(不包括端点) 上是否存在一点F ，使得二面角A-PF-D 的大小为450
? 若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．
6.解：设AF=x,过点D 作BA 延长线的垂线DH ，垂足为H 。 ∵PA ⊥AD ，二面角P-AD-C 是直二面角， ∴PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥DH
由于DH ⊥AB ，DH ⊥PA,且PA ?AB=A ，故DH ⊥平面PAB
过H 作PF 的垂线HO,O 为垂足，再连接D0，由三垂线定理得：D0⊥PF ， 所以∠HOD 就为二面角A-PF-D 的平面角。 在Rt △ADH 中，求得：AH=1,DH=3
在Rt △FHD 中，FH=AF+AH=x+1, 由PFH ?的面积相等关系得,OH=
FH PA PF =
g 24)
1(2x
x ++ 在Rt △HOD 中，当∠HOD=45o,则有：OH=DH,此时：
34)
1(22
=++x
x ，解得：x=462-
所以,在AB 上存在一点F ，使得二面角A-PF —D 的大小为45o，此时AF=462-.
方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面PFD 上一点D 作二面角的另一个平面PAF 的垂线DH,
再过垂足H 作二面角的棱PF 的垂线DO,从而得到斜线DO 及其射影OH,从而得到二面角的平面角为HOD ∠。
7．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，
B
A
C
D
P F B
A
C
D
P
F H
O S
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，
ＡＤ＝
2
1
．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
7.解法一：延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线
. 又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，
故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ，
所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222
∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝
2
2
=SB BC 即所求二面角的正切值为2
2
解法二：延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱
过A 作AF ⊥SE ，垂足为F ，连结FD
∵ＳＡ⊥面ABCD ∴AD ⊥SA 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，AD BC P ∴AD ⊥AB 而AD SA A ?=∴DA ⊥面SAE
∴由三垂线定理得：SE ⊥DF ∴∠DFA 是所求二面角的平面角
由已知得A 为BE 的中点 ∴AE =1 ，SE =
由SAE ?面积相等关系得2
SA AE AF SE ==g
在Rt FAD ?中，tan 2AD DFA AF ∠=
= 即所求二面角的正切值为2
2 解法三（提示）：取SC 的中点Q ，BC 的中点H ，连结QH 、DH 、DQ ， 则//,//QH SB DH AB ,从而平面QHD //平面SBA ，
所以面QHD 与面SCD 所成二面角的大小等于面SCD 与面SBA 所成二面角的大小
而面QHD 与面SCD 的公共棱为QD ，。 ∵ＳＡ⊥面ABCD ∴SA ⊥BC,又∵∠ＡＢＣ＝９０° ∴BC ⊥面SAB ∴CH ⊥面QHD 由已知得:SD CD =
=
== ∴SD=CD,又Q 为SC 的中点 ∴QD QC ⊥
由三垂线逆定理得：QD QH ⊥ 所以,CQH ∠是面QHD 与面SCD 所成二面角的平面角
A B
C
D
S E A
B
C
D
S
E
F
A
B
C
D
S Q
H
由已知得
:111,2222CH BC QH SB =
=== 在Rt QHC ?中
,tan CH CQH QH ∠== 解法四（提示用面积投影法）：∵ＳＡ⊥面ABCD ∴SA ⊥BC,又∵∠ＡＢＣ＝９０°
∴BC ⊥面SAB ∵BC//AD ∴AD ⊥面SAB ∴C 在平面SAB 上的射影为B, D 在平面SAB 上的射影为A, ∴面SCD ?的投影面为面SAB ?，设Q 为S C 的中点,所求二面角的大小为θ，则 由已知得
:,22
SD CD =
=
==
2SC ====
,111,222SAB SCD S SA AB S SC DQ ====V V g g g g
cos SAB SCD S S θ??=
=
从而求得tan 2θ= 方法点拨：本题的难点是作二面角的公共棱,方法①是先延展两个面SCD 与面SBA 得到公共棱SE,
然后找其中一个面SBA 的重线DA 或CB, 方法②是先平移面SBA 到面HQD 得到公共棱QD,然后找
其中一个面HQD 的垂线,,解法3用二面角的定义得 面QHD 与面SCD 所成二面角的平面角为HQC ∠,解法四用三垂线法得 面QHD 与面SCD 所成二面角的平面角为HNC ∠.
8.（本小题满分14分）已知DBC ??和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，
0120=∠=∠DBC CBA ，求：
⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．
8. 解：⑴如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，
∵DBC ??和ABC 所在的平面互相垂直∴AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角 由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45°…………….5分 ⑵∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90° ……9分
⑶过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角 ， 设BC =a ,则由题设知，
AH =DH =
2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =
43
a ，∴tan ARH =HR
AH =2 故二面角A —BD —C 的余弦值的大小为5
5
- …………14分
9．如图，在四棱锥C ABDE -中，ABC ?为正三角形，
AE ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，M 为 CD 上一点，22BD BC AE ===. （Ⅰ）求证：//AE 平面BCD ；
（Ⅱ）当EM BD ⊥时，求二面角M AB C --的正切值. 9解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ∴AE ∥BD
而AE ?平面BCD BD ?平面BCD ∴AE ∥平面BCD
（Ⅱ）∵BD ⊥平面ABC ∴平面BCD ⊥平面ABC
在平面BCD 中过点M 做MN BC ⊥，垂足为N ，则有
MN ⊥平面ABC ， MN ∥BD ，∴2
EMN π
∠=
且MN ∥AE ，过N 做NG AB ⊥于G ，
则MG AB ⊥，则MGN ∠为二面角M AB C --的平面角， 在四边形AEMN 中， ∵2
EAN ANM NME π
∠=∠=∠=
，∴四边形AEMN 为矩形
∴MN =1AE =，∴M 为CD 的中点，N 为BC 的中点，在Rt MNG ?中，1MN =，
3sin NG BN ABC =?∠=
∴23
tan 33
2
MN MGN NG ∠=== 10. (2012广东理)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。 （1） 证明：BD ⊥平面PAC ；
（2） 若1,2PA AD ==，求二面角B PC A --的正切值；
10.解：（1）PC ⊥平面BDE ，BD ?面BDE BD PC ?⊥
PA ⊥平面ABCD ，BD ?面ABCD BD PA ?⊥
又PA PC P BD =?⊥I 面PAC
（2）法一：(定义法)设AC BD O =I 由（1）得：BD AC AB AD ⊥?=，1,22PA AD AB ==?=， PC ⊥平面,BDE BE PC OE PC ?⊥⊥BEO ?∠是二面角B PC A --的平面角
在PBC ?中，25
5,2,390BP BC PB BC PC PBC BE PC ο
?===?∠=?=
=
在Rt BOE ?中，22
22,tan 33BO BO OE BE BO BEO OE
==-=?∠== 得：二面角B PC A --的正切值为3
法二：(三垂线法) 设AC BD O =I 由（1）得：BO ⊥平面PAC ,过垂足O 作公共棱的垂线OF, 连结BF ,则由三垂线定理得PC BF ⊥∴BFO ∠就是二面角B PC A --的平面角.
∵底面ABCD 为矩形, BD AC ⊥ ∴AB AD =2=,BO =222,3OC PC PA AC ==+=
易得Rt PAC ?∽Rt OFC ?∴2OC OF PA PC ==g 在Rt BOF ?中,tan 3BO
BFO OF
∠==
故二面角B PC A --的正切值为3
A
B C E
P
D
O
11 (2011广东高考题改编)（本小题满分13分）
如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长
为1的菱形，且0
60DAB ∠=,132PA PD ==
,21
,2
PB =
求二面角P AD B --的大小.
法一：(定义法)取AD 的中点H ,连结BH 、PH ∵PA PD =,H 为AD 的中点 ∴PH AD ⊥ ∵AD AB =, 0
60DAB ∠=
∴ABD ?是等边三角形 ∵H 为AD 的中点 ∴BH AD ⊥
∴PHB ∠就是二面角P AD B --的平面角.
由已知得3PH =，32
BH =
过P 作PN BH ⊥交其延长线于N ,则2
2
2
2
2
PN PH NH PB BN =-=-
即2
2
22213(3)(
)()22NH NH -=-+,解得32
NH = ∴60PHN ∠=o
从而PHB ∠120=o
，故二面角P AD B --的大小.为120o
法二： (三垂线法)过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O 点,连结OA 、OD
作OH AD ⊥于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AD PH ⊥ ∴OHP ∠就是就是二面角P AD B --的平面角的补角，
∵AD PH ⊥，PA PD =
∴H 为AD 的中点∴223PH PA AH =
-=
∵AB AD =,0
60DAB ∠=
∴ABD ?是等边三角形
∴BH AD ⊥，∵OH AD ⊥∴O 、H 、B 三点共线 设OH x =,则22222
OP PH OH PB OB =-=-
即2
2
22213(3)(
)()2x x -=-+,解得3x = 在Rt POH ?中,1
cos 2
OH OHP PH ∠=
=, ∴OHP ∠60=o
所以二面角P AD B --的大小.为120o
N
C D O
B
E
'
A H
12．(2013广东高考题)（本小题满分14分）
如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,
D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2
所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.
(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；
(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
12【解析】
(Ⅰ) 在图1
中,易得3,OC AC AD ===
连结,OD OE
,在OCD ?中,
由余弦定理可得
OD
=由翻折不变性可知A D '=,
所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
同理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =I ,所以A O '⊥平面BCDE .
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ',
因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1
可知,H 为AC 中点,
故2
OH
=,从而2A H '
==
所以cos OH A HO A H '∠=
=', 所以二面角
A CD
B '--
.
C
O B
D
E
A C D
O
B
E
'A
图1
图2
三垂线定理 周口市第三高级中学 王杰 教学目标 三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此 能够进行推理，论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点 三垂线定理及其逆定理的理解和应用 教学方法 启发式教学法 依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的 思路。 教学过程 引例： 如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，求证：BC ⊥PB 。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内， ∴PA ⊥BC ，又∠ABC=90°， ∴BC ⊥AB ∴BC ⊥平面PAB ，PB 在平面PAB 内 ∴BC ⊥PB 思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 线线垂直的方法 ： （1）a ⊥? ,b 在?内，则a ⊥b （2）a ∥b ，m ⊥b ，则a ⊥m （3）三垂线定理及其逆定理 三垂线定理包含几种垂直关系？ ○ 1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 定理 直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平 的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直 逆定理 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么， 它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂直。 B
例1： 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°， AQ ⊥PC ，AR ⊥PB ，试 证?PBC 、 ?PQR 为直角三角形。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°∴AC ⊥BC ∵AC 是斜线PC 在平面ABC 的射影 ∴BC ⊥PC ∴?PBC 是直角三角形；∴BC ⊥平面PAC ∵AQ 在平面PAC 内，∴BC ⊥AQ ，又PC ⊥AQ ， ∴ AQ ⊥平面PBC ，∴QR 是AR 在平面PBC 的射影 又AR ⊥PB ，∴QR ⊥PB （三垂线逆定理）， ∴?PQR 是直角三角形。 小结： 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明， 而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。 例2. 在四面体ABCD 中，已知AB ⊥CD ，AC ⊥BD 求证：AD 证明：作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO 则BO ，CO ，DO 分别为AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影。 ∵AB ⊥CD ，∴BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD 于是O 是△BCD 的垂心， ∴DO ⊥BC ，于是AD ⊥BC. 小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影. 例3 . 如图，已知DB 、EC 都垂直于正三角ABC 所在的平面，，BC=EC=2DB ， 求平面ADE 与平面ABC 所成二面角的平面角。 解：延长ED 、BC 交于F ，连AF ，则AF 为二面角的棱 由已知DB 、EC 都垂直正三角ABC ，∴ DB//EC 又BC=EC=2DB ∴ FB=BC=AB ，∴ ?FAC 为直角三角形，且FA ⊥AC 而EC ⊥平面ABC ∴ AF ⊥AE （三垂线定理） 于是∠EAC 为平面ABC 与平面ADE 的平面角， 又EC=AC ，∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。 思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？ （ 用 c o s ABC ADE s S θ??= ） 小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在 二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。 此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等. 例4： 直角三角形ABC 中，∠B= 90°，∠C= 30°，D 是BC 的中点，AC=2， DE ⊥平面ABC 且DE=1，求E 到斜线AC 的距离？ 解：过点D 作DF ⊥AC 于F ，连结EF ， ∵DE ⊥平面ABC ，由三垂线定理知EF ⊥AC 即E 到斜线AC 的距离为EF 在Rt ?ABC 中， ∠B= 90°，∠C= 30°，C=2 A
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
用三垂线法求二面角的方法 三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB 证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α ∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ?PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ?平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直. 三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。 运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD == ，AD =①求二面角 C AB D --的大小；②求二面角B CD A --的大小； 1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥ ∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4 π ∴二面角C AB D --的大小为 4 π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥ ∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥ ∴BD = =∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥ ∴1AB = =在Rt ABC ?中，tan 1AB ACB BC ∠= =， ∴二面角B CD A --的大小为 4 π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线AC 及 其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。 A B D C
三垂线定理及其逆定理 【学习内容分析】 “三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。 【课程目标】 一.知识与技能目标 理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二.过程与方法目标 1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。 三．情感、态度和价值观目标 3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。 【教学重点和难点】 一.教学重点 定理的理解和运用 二．教学难点 如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。 【教学方法】 以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。 【教学过程】 一复习引入： 1.复习提问 1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念； 设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。） 2.有意设疑，引入新课。 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢 学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。 启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题： 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书） 设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力） 二、新课讲授： 由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。 PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO ⊥a，问PA与a所成的角； 显然PO⊥α?PO a ⊥ α ? a OA a ⊥?a⊥平面POA ?PA PO I OA=O PA?平面POA 即：PA与a所成的角为900 三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO， 才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书） 设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。） 剖析命题 （1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。 （2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结： 一找垂面：即先确定平面及平面的垂线： 二找斜线：接着确定平面的斜线： 三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影； 四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书） 设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。） 三讲解例题
（精品）三垂线法求二面角专题 1、（本小题满分13分）如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形， 在△ABE 中，AE=1，BE=3。 （Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； 解：（Ⅰ）DA ⊥平面ABE ， ∴DA ⊥BE △ABE 中，AE=1 BE= 3 AB=2 ∴BE ⊥EA BE ADE BE BCE ⊥? ∴ ???? 平面平面平面ADE ⊥平面BCE （注：此题也可证明BCE AE ⊥面，ADE AE ?面，从而平面ADE ⊥平面BCE ） （Ⅱ）过点E 作EF ⊥AB 与F ∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE ∴EF ⊥平面ABCD 过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，则EG ⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF 为二面角B —AC —E 的平面角。 在Rt △EFG 中 6a r c t a n ,6t a n =∠∴= =∠E G F GF EF EGF （注：此题答案还可写成42arcsin 7 或者是写成7arccos 7 ） 2、（本小题满分12分）如图，ABCD 为直角梯形， 90=∠=∠ABC DAB ，1==BC AB ， 2=AD ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA 。 ⑴、求点P 到CD 的距离； ⑵、求证：平面⊥PAC 平面PCD ； ⑶、求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。 ⑴解：取AD 的中点F ，连结CF 。 易证四边形ABCF 是正方形， ∴1==AB CF 又∵2=AD ∴1 12C F AD ==，∴C F A F F D == ∴ 90=∠ACD 即CD AC ⊥ ∵⊥PA 平面ABCD ∴CD PC ⊥ ∴P 到CD 的距离为PC ， 3= PC ⑵证明：∵CD AC ⊥， A B C D P G H F
1二面角的求法 一、思想方法 求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种： 方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。 方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图2。 方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）. 方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/ S S . 方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂直.若AC=m ，BD=n, CD=d ，则有AB 2 =m 2 +n 2 +d 2 -2mncos θ，故cos θ=2 2 2 2 2m n d AB mn ++- （1） 在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ. 说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况 公式是AB 2=m 2+n 2+d 2 ±2mncos θ.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）. 方法六（空间向量法）如图5，设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指 向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 。 二、例题： 例1．在棱长为1的正方体 1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小； （2 ）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 例2．如果二面角l α β--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4, 的大小 例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 应用“垂面、三垂线定理”求“二面角” 王志强 三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。三垂线定理及其逆定理，概括起来，可叙述为：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影，若垂直其中之一，则必垂直于另一。欲运用上述定理解题，关键注意以下几点： ①要善于观察平面不是水平位置的情况，即选好“平面”。 ②要注意四条线：平面内的一条直线、斜线、垂线、射影，找出（作出）垂线是至关重要的； ③三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。 若利用三垂线定理作二面角的平面角（这里以二面角为锐角加以说明，以下若不作说明，都是以锐角为例，当然若遇到钝角可以转化为求锐角的大小）。我们知道关键是由一个半平面内一点，作另一个半平面的垂线，此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线，而这条垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供！因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面垂直。即：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，就垂直于另一个平面（简记为：面面垂直找交线，垂直交线垂直面。）。这样在解题过程中，三垂线定理及两面垂直的性质定理两者有机地结合起来，达到严密推理，快速解题之目的。 综上所述，我们在作二面角的平面角时，可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个平面（怎样尽快找到第三个平面呢？可从结论出发，使用逆向思维）。若存在（已知图形中不存在，可以作）第三个平面，就在此平面内作交线的垂线，就等于作出了那个半平面的垂线，这时要注意在第三个平面内，过哪一点向交线作垂线呢？回答是这个点必在另一个半平面内（此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点，有时看结论所求二面角的形式，就知道这一“点”。），这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角，此平面角含在封闭的直角三角形中，到此完成了由二面角向平面角转化的过程。 例1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，AC=1，。连结、，求二面角的大小。 分析从结论“求二面角的大小”出发，一方面考虑从点A向平面引垂线，关键是看这条垂线是否落在垂直于平面的某一“垂面”内？换句话说在图中有没有垂直于平面的某个平面？如图1找一下，没有。这时从另一方面就该调换个角度考虑从点C向平面引垂线，同样找一找在图中有没有垂直于平面的某个平面？显然存在，就是底面ABC。那么在底面ABC内，过点C引CD于D，D为AB的中点，由两个平面垂直的性质定理可知：CD平面，下面的道路比较平坦了，在侧面内利用三垂线定理作出二面角的平面角：过D向棱引垂线，即DE于E，连结CE，有，故是二面角的平面角。
三垂线定理及其逆定理例题 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； P D A B C 1 A C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：Rt ABC ?中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3 PAB PAc π ∠=∠=。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
五法求二面角 从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份， 并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G
用三垂线法求二面角的方法 三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB 证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ?平面α ∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ?PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ?平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直. 三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。 运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD == ，AD =①求二面角 C AB D --的大小；②求二面角B CD A --的大小； 1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥ ∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4 π ∴二面角C AB D --的大小为 4 π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥ ∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥ ∴BD = =∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥ ∴1AB = =在Rt ABC ?中，tan 1AB ACB BC ∠= =， ∴二面角B CD A --的大小为 4 π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线AC 及 其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB ∠。 A B D C
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 (1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 练习2如图，在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用 补棱法解决 例3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点， PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
立体几何：三垂线定理及其逆定理
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用；
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，
那么这条直线就和这条斜线垂直；
已 知 ： PA, PO 分 别 是 平 面 α 的 垂 线 和 斜 线 ， AO 是 PO 在 平 面 α 的 射
影, a ? α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ? 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
大行不倦 呕心沥血 传道授业解惑！大思行广 打通大脑思维的任督二脉，大行无疆 捍卫中国文化最后良心！第 1 页
五种方法求二面角及练习题 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，， ，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点 （1）求二面角的余弦值。 二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B
2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中 点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5
三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平 面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解题受阻． 我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为： 如图1，在二面角—l一中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作OB⊥l于B（过A点作AB⊥于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），则∠ABO为二面角。—l—的平面角． 作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB两点（或OB 两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点： 1．善于利用图中已有的“第一垂线” 例1 已知斜三棱柱ABC—A1 B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC，A1 在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．（1）求证：BC⊥平面AA1CC1； （2）求二面角B一AA1—C的大小．
剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”． 略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC＝60°，又M是AC 中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C 的平面角．设AC＝BC＝a，正△AA1C的边长为a，所以CN = 3a，在Rt△ 2 BNC中，tan∠BNC= BC = a = 2 3，即∠BNC= arctan 2 3. NC a 3 3 3 2 例2 如图3 ，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝1 2 (1)求四棱锥S—ABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂 线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱． 略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为SB = SA2+ AB2= 2 ，BC=1，BC⊥SB，因为tan∠BSC== BC = 2，即所 SB 2 求二面角的
三垂线定理 教学目标： 1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明 2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 教学方法：启发式教学法 教 具：模具 教学过程 一、复习引入： 1.直线与平面垂直的定义： 2.直线与平面垂直的判定定理： 3.平面的斜线，斜线在平面内的射影： 4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？ 二、新授： 1.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α?，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 证明：∵PO α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥= ∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥． 说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； (2)符号表达：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈??=?⊥???⊥? . (3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线. 2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 说明：符号表达： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈??=?⊥???⊥? ． 注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 (2)要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 (3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
三垂线定理及其逆定理 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，A O 是P O 在平面α的射影,,a α?a A O ⊥。 求证：a P O ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与P O 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知P A ⊥正方形A B C D 所在平面，O 为对角线B D 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：11111,A C B D A C BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）A D B C ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是B C D ?的垂心； P D A B C 1
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：R t A B C ?中，,3,42 A A B A C π ∠= ==，PA 是面ABC 的斜线，3 P A B P A c π ∠=∠= 。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
v1.0 可编辑可修改 五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600 的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 四、射影面积法（cos s S q = 射影） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D