”
三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：
如图1，在二面角α—l一β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角。α—l—β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连，其中AO为“第一垂线．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：
1．善于利用图中已有的“第一垂线”
例1已知斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，∠BCA=90°，AC=BC，A
1
在底
面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA
1
与底面ABC所成的角为60°．
(1)求证：BC⊥平面AA
1
CC
1
；
(2)求二面角B一AA
1
—C的大小．
-可编辑修改-
的平面角．设 AC ＝BC ＝ ，正△
a AA 1C 的边长
为 a ，所以 CN =
3
a ，在 Rt△
” ” 剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了 BC 就是我们要寻求
的“第一垂线．
略解 2 A 1A 与底面 AB 成的角为 60°，所以∠A 1AC ＝60°，又 M 是 AC
中点，所以 △AA 1C 是正三角形，作 CN ⊥AA 1 于 N ，点 N 为 A 1A 的中点，连
结 BN ，由 BC ⊥平面 AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角 B 一 AA 1 一 C
2
BNC 中，tan∠BNC = BC = a = 2 3 ，即∠BNC = arctan 2 3 .
NC
a 3 3
3
2
例 2
如图 3，在底面是直角梯形的四棱锥 S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，
SA ⊥面 ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝ 1
2
(1)求四棱锥 S —ABCD 的体积；
(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值．
剖析：由 SA ⊥面 ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线，
但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．
略解 2 延长 BA 、CD 相交于点 E ，连结 SE ，则 SE 是所求二面角的棱，
因为 AD ∥BC ，BC =2AD ，所以 EA =AB =SA ，所以 SE ⊥SB ，因为 SA ⊥面 ABCD ，
得面 SEB ⊥面 EBC ，EB 是交线，又 BC ⊥EB ，所以 BC ⊥面 SEB ，故 SB 是
CS 在面 SEB 上的射影，所以 CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，
因为 SB = SA 2
+ AB 2
= 2 ，BC =1，BC ⊥SB ，因为 tan∠BSC = = BC = 2
，即所
SB
2
求二面角的正切值为 2 ．
2
-可编辑修改-
例3如图4，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底边长为a，侧棱长为2a，
DF⊥面A
1
AB
1
，即DF为我们要作的“第一垂线．
因为D是A
1
C
1
中点，A
1
B
1
＝a，所以B
1
F=
3
a，DF=
3
a，在Rt△DFG，可2．借助第三个平面，作“第一垂线”
2
若经过对角线AB
1
且与对角线BC
1
平行的平面交上底面一边A
1
C
1
于点D．
(1)确定点D的位置，并证明你的结论；
(2)求二面角A
1
—AB
1
—D的大小．
剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A
1
C
1
中
点．二面角A
1
—AB
1
一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，
平面A
1
B
1
C
1
过点D且与平面A
1
AB
1
垂直，这样的平面相对于二面角的两个
平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A
1
B
1
，由面面垂直的性质知，
”
略解2在平面A
1
B
1
C
1
内，作CF⊥A
1
B
1
于F，连DC，由三垂线定理可
证AB
1
⊥DG，∠DGF就是二面角A
1
—AB
1
一D的平面角，在正△A
1
B
1
C
1
中，
44
求得∠DCF=45°．
3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
-可编辑修改-
例4已知：△Rt ABC的斜边BC在平面α内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面α与△ABC所在平面所成二面角的大小．
剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面α所成的角均已给出，只要过A作AO⊥α于O，就可以同时找到AB、AC在平面α内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．
解：作AO⊥α于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO＝x，在Rt△AOB 中，∠ABO＝30°，所以AB＝2x，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，所以AC=2x，因为∠BAC=90°，所以BC=6x，所以AD=2x?2x=23x。
6x3
在Rt△AOD中，sin∠ADO=AO=3，所以∠ADO＝60°，所以三角形ABC
AD2
与面α成60°或120°的二面角．
-可编辑修改-
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-可编辑修改-