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【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天
不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】
乘法公式与因式分解
考点一：完全平方公式
1．（2014?南充）下列运算正确的是（）
A．a3?a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2
2．（2014?莆田）下列运算正确的是（）
A．a3?a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014?贵港）下列运算正确的是（）
A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a?a2=a3D．（2a）2=2a2
考点二：平方差公式
4．（2014?句容市一模）下列运算正确的是（）
A．3a+2a=a5B．a2?a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2
5．（2014?锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（）
A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+4
6．（2013?益阳）下列运算正确的是（）
A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2
考点三：因式分解的意义
7．（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）
A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25
考点四：公因式
8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中
有公因式的是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
考点五：因式分解—提取公因式
9．（2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013?槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（）
A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2）
考点六：因式分解—公式法
11．（2014?衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个B．2个C．1个D．0个
12．（2014?常德）下面分解因式正确的是（）
A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2
考点七：因式分解—分组分解
13．（2010?自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）
A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）考点八：因式分解—十字相乘
14．（2014?保定二模）下列因式分解正确的是（）
A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）
C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）15．（2000?内江）在下列因式分解中，错误的是（）
A．2a3﹣8a2+12a=2a（a2﹣4a+6）B．x2﹣5x﹣6=（x﹣2）（x﹣3）
C．（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）D．x2+xy+xz+yz=（x+y）（x+z）
16．（1998?东城区）下列因式分解结果正确的是（）
A．a2b﹣ab2+ab=ab（a﹣b）B．x4+16=（x2﹣4）（x2﹣4）
C．x3﹣y3=（x﹣y）（x2﹣xy+y2）D．x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）
二．解答题（共14小题）
17．（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________．
18．（2012?丽水）已知A=2x+y，B=2x﹣y，计算A2﹣B2．
19．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形
状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：_________
方法2：_________
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．_________（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=_________．
20．（2003?黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．
21．多项式x2+1加上一个整式后是含x的二项式的完全平方式．
例题：x2+1+_________=（x+1）2．
（1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）：
①x2+1+_________=（x﹣1）2；
②x2+1+_________=（x2+1）2．
（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平方式
x2+1+_________=（x2+1）2．
22．（2014?宜昌）化简：（a+b）（a﹣b）+2b2．
23．（2009?临夏州）若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．24．（2006?江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）
25．（2003?青海）请先观察下列算式，再填空：
32﹣12=8×1
52﹣32=8×2
（1）72﹣52=8×_________
（2）92﹣（_________）2=8×4
（3）（_________）2﹣92=8×5
（4）132﹣（_________）2=8×_________…
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：_________．
26．化简：（2x﹣y﹣5）（2x+y+5）．
27．计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（21024+1）．
28．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_________（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是_________，长是_________，面积是_________（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_________（用式子表达）．
29．（2009?十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2
30．因式分解：a（2a+b）﹣b（2a+b）．
典中点整式的乘除与因式分解专训3 活用乘法公式进行计算的六种技巧 ?名师点金? 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式,公式可以正用,也可以逆用.在使用公式时,要注意以下几点：(1)公式中的字母a,b 可以是任意一个式子;(2)公式可以连续使用;(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点;(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧。 技巧1：巧用乘法公式求式子的值 1.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4.求a 2+b 2和ab 的值 2.已知x x 1+ ,求441x x +的值 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 3.计算 (1)1982 (2)20172-2016×2018; (3)1002-992+982-972+…+42-32+22-1
技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 4.对任意正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是不是10的倍数?为什么? 技巧4：应用乘法公式巧定个位数字 5.试求(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字。 技巧5：巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6.计算2 201820182018201620182017222 -+的值。 技巧6：巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想） 7.王老师在一次团体操队列队形设计中,先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形,且总人数 不少于25人),人数正好够用,然后再进行各种队形变化，其中有一个队形需分为5人一组,手执彩带进行队形变换,在讨论分组方案时,有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人,你说这可能吗?
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步）
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p)2 -(x+q)2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b)2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y)2-(x+2y)2 33、1+10t+25t2 34、m2-14m+49
35、y2+y+0.25 36、(m+n)2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c)2 39、(a-b)2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是( ) A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)
A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是( ) A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得( ) A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( ) A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( ) A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得( ) A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得( ) A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得( ) A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得( ) A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得( )
乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ）
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
因式分解易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．2112(12)(12)22a a a -=+- B ．2224(2)x y x y +=+ C ．2239(3)x x x -+=- D ．222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误； C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误； D. ()22 ()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式. 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.
戴氏教育中高考学校教育中心 【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天 不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】 乘法公式与因式分解 考点一：完全平方公式 1．（2014?南充）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2 2．（2014?莆田）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014?贵港）下列运算正确的是（） A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a?a2=a3D．（2a）2=2a2 考点二：平方差公式 4．（2014?句容市一模）下列运算正确的是（） A．3a+2a=a5B．a2?a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 5．（2014?锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（） A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+4 6．（2013?益阳）下列运算正确的是（） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 考点三：因式分解的意义 7．（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 考点四：公因式 8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中 有公因式的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 考点五：因式分解—提取公因式 9．（2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013?槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（） A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2） 考点六：因式分解—公式法 11．（2014?衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A．3个B．2个C．1个D．0个 12．（2014?常德）下面分解因式正确的是（） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2 考点七：因式分解—分组分解 13．（2010?自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
乘法公式—因式分解(二) 【基础演练】 一、填空题 1. 因式分解：2 44x x ++= ． 2. 利用因式分解计算： 2 2248 25210000 -＝ . 3. 分解因式：33 416m n mn -= _______________________． 4. 一个长方形的面积是（x 2－9）平方米，其长为（x ＋3）米，用含有x 的整式表示它的宽为__________米． 5. 若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是___ _____. 6. 如果x ＋y ＝－4，x －y ＝8，那么代数式x 2－y 2的值是________． 二、选择题 7. 下列分解因式正确的是（ ） A ．)1(222 --=--y x x x xy x B.)32(322 ---=-+-x xy y y xy xy C ．2 )()()(y x y x y y x x -=--- D.3)1(32 --=--x x x x 8. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A ．x 2－xy B ．x 2＋xy C ．x 2－y 2 D ．x 2＋y 2 9. 下列各式是完全平方式的是（ ） A.4 12 + -x x B.21x + C.1++xy x D.122 -+x x 10. 多项式x 2＋y 2、－x 2＋y 2、－x 2－y 2、x 2＋（－y 2）、8x 2－y 2、（y －x ）3＋（x －y ）、2x 2－1 2 y 2 中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 若(2x)n －81＝(4x 2＋9)(2x ＋3)(2x －3)，则n 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 12.把2 16a +-分解因式，结果是（ ） A ．)8)(8(+-a a B.)4)(4(-+a a C.)2)(2(+-a a D.2 )4.(-a
因式分解难题经典题 1、若实数满足，则． 2、已知，则的值为 3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________. 4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值． 5、因式分解： 6、已知实数满足，则的平方根等于． 7、若，则的值是_______________． 8、，则___________。 9、如果是一个完全平方式，则= . 10、已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________. 11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知，则 . 13、－a4÷(－a)＝； 15、把下列各式分解因式：
18、如果，求的值． 19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值． 20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8． 22、 23、（1）已知a m=2，a n=3，求①a m+n的值；②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。 三、选择题 25、若的值为（） A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 26、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）。 A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2
27、不论为什么实数，代数式的值（） A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 28、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（） A．24 B．﹣12 C．±12D．±24 29、下列各式中与2nm﹣m2﹣n2相等的是（） A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2 30、.若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或－1 D.－1 31、下列计算中，①x(2x2－x＋1)＝2x3－x2＋1；②(a＋b)2＝a2＋b2；③(x－4)2＝x2－4x＋16；④(5a－1)(－5a－1)＝25a2－1；⑤(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2；其中准确的个数有…（） A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 四、计算题 32、因式分解：； 33、已知a+b=3，ab=2，试求(1)a2+b2；(2)(a b)2。
乘法公式、多項式與因式分解 主題一：乘法公式的判別與求值 1. 乘法公式 1.2222)(b ab a b a ++=+（和的平方） 2.2222)(b ab a b a +-=-（差的平方） 3.22))((b a b a b a -=-+ （平方差） 4.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （乘法分配律） 5. ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（三項和的平方） 6.3223333)(b ab b a a b a +++=+（和的立方） 7.3223333)(b ab b a a b a -+-=-（差的立方） 8.3322))((b a b ab a b a +=+-+（立方和） 9.3322))((b a b ab a b a -=++-（立方差） 10.42242222))((b b a a b ab a b ab a ++=+-++ 2. 求值公式： （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab 【若已知a ＋b 及ab ，欲求a －b 時，須先算出（a －b ）2，再用平方根來求】 （2） x 2＋x 21＝（x ＋x 1）2－2＝（x －x 1）2＋2 （3） a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1〔（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2〕 （4） （a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab （5） （a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab 3.乘法公式的應用與式子的展開： （1）（ax ＋b ）（cx ＋d ）＝acx 2＋＋ad x ＋bcx ＋bd （2）（ax ＋b ）2＝（ax ）2＋2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2＋2abx ＋b 2 （3）（ax －b ）2＝（ax ）2－2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2－2abx ＋b 2 （4）（ax ＋b ）（ax －b ）＝（ax ）2－b 2＝a 2x 2－b 2 （5）（-ax ＋b ）2＝（ax －b ）2；（-ax －b ）2＝（ax ＋b ）2 主題二：多項式 1. 多項式的定義：由數和文字符號x 進行加法和乘法運算所構成的式子。多項式的文字x 不可在分母、指數、根號內與絕對值內，且須為有限項。 例：231 +X ，22-X ，5-X ，.....12+++X X 不是X 的多項式。 2.多項式的次數： （1） 只含一個文字的多項式，以文字的最高次數為此多項式之次數。 （2） 含二個或二個以上文字的多項式，以各項中文字的次數總和的最高次數為此多項式之次數。 （3） 常數多項式，包含零次多項式（只有常數項，且不為0）及零多項式（就是0）。
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2 -(x+q) 2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y) 2-(x+2y) 2 33、1+10t+25t2
34、m2-14m+49 35、y2+y+0.25 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
初中数学因式分解经典测试题含解析 一、选择题 1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 将各项分解得到结果，即可作出判断． 【详解】 ①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误； ②2244(2)x x x ++=+，故②正确； ③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确； ④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误. 则正确的有2个. 故选：B. 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2 B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣a
12乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 11.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a +2)(a －2) C ．a (a +2) (a －2) D ．(a －2)2－4
> 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 、 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．三、因式分解：
1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； — 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； : 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；
17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； > 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；/ 四、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
第12章 乘法公式和因式分解 姓名----------成绩------ 一、选择（每题3分 共30分） 1.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 2..把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a +2)(a －2) C ．a (a +2) (a －2) D ．(a －2)2－4 3.化简)23(4)325x x -+-（ 的结果为（ ） A ．32-x B ．92+x C ．38-x D ．318-x 4.下列计算正确的是 Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=-- C ．()()22222x y x y x y +-=- D ．()2222x y x xy y -+=-+ 5.下列各因式分解正确的是（ ） A.)2)(2()2(22+-=-+-x x x B.22)1(12-=-+x x x C.22)12(144-=+-x x x D.)2)(2(42-+=-x x x x x 6.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ） A ．x 2 +1 B .x 2+2x －1 C .x 2+x +1 D .x 2+4x +4 7.下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A ．m 2+n B ．m 2﹣m+1 C ．m 2﹣n D ．m 2﹣2m+1 8.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( ) A ．(x －1)(x －2) B ． x 2 C ．(x +1)2 D ． (x －2)2 9.下列多项式能分解因式的是（ ） A ． x 2+y 2 B ． ﹣x 2+y 2 C ． ﹣x 2+2xy D ． x 2﹣xy+y 2 10.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---