高二数学竞赛——曲线系
曲线系是具有某种性质的曲线集合，利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想，整体处理的钥匙策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法．
曲线系：如果两条曲线方程是 f 1(x ,y )＝0和 f 2(x ,y )＝0, 它们的交点是P (x 0,y 0)，则方程 f 1(x ,y )＋
f 2(x ,y )＝0的曲线也经过点P (x 0,y 0) (是任意常数)．
证明：由方程??
?f 1(x ,y )＝0·······①f 2(x ,y )＝0·······②
得到 f 1(x ,y )＋ f 2(x ,y )＝0·······③ 只须
将（x 0, y 0）代入证明．
◆ 设圆C 1∶x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．若两圆相交，则过交点的圆系
方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋ (x 2＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0
( 为参数，圆系中不包括圆C 2， ＝－1为两圆的公共弦所在直线方程)．
◆ 设圆C ∶x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋ (Ax ＋By ＋C )＝0( 为参数)． 曲线系方程③不能包含过两曲线公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程③中呢? ——m ·f 1(x ,y )＋n ·f 2(x ,y )＝0
由直线生成的二次曲线系：
设f i ＝A i x ＋B i y ＋C i （i ＝1,2,3,···）
（1）若三角形三边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3），则经过三角形三个顶点的二次曲线系为：
f 1·f 2＋ f 2·f 3＋ f 3·f 1＝0（ 、 为参数）
（2）若四边形四条边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3,4），则经过四边形四个顶点的二次曲线系为：
f 1·f 3＋ f 2·f 4＝0（ 为参数）， 其中f 1＝0与f 3＝0、f 2＝0与f 4＝0分别为四边形的对边所在直线方程． （3）与两条直线f 1＝0、f 2＝0分别相切于M 1、M 2的二次曲线系为：
f 1·f 2＋ f 3·f 3＝0（ 为参数）， 其中f 3＝0是过M 1、M 2的直线方程．
（3）过直线f 1＝0、f 2＝0与一个二次曲线F (x ,y )＝0的4个交点的二次曲线系为：
F (x ,y )＋ f 1·f 2＝0（ 为参数）．
【例题选讲】
例1. 求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2
＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆
的方程．
解： 构造方程 x 2＋y 2＋6x －4＋ (x 2＋y 2
＋6y －28)＝0
即：(1＋ )x 2
＋(1＋ )y 2
＋6x ＋6 y －(4＋28 )＝0
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆，且圆心为(－3
1＋ ,－3 1＋
)
当该圆心在直线x －y －4＝0上时，即 －3
1＋ ＋3 1＋ －4＝0，解得： ＝－7．
∴ 所求圆方程为 x 2
＋y 2
－x ＋7y －32＝0
例2. 求与圆x 2
＋y 2
－4x －2y －20＝0切于A (―1,―3)，且过B (2,0)的圆的方程．
解法一：视A (―1,―3)为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2，当r →0时，极限圆(x ＋1)2＋(y ＋3)2
＝0
构造圆系：(x 2＋y 2－4x －2y －20)＋ [(x ＋1)2＋(y ＋3)2
]＝0
∵曲线过B (2,0) ∴ ＝43
∴所求的方程为：7x 2＋7y 2
－4x ＋18y －20＝0
解法二：过A (―1,―3)的圆的切线为：3x ＋4y ＋15＝0
与已知圆构造圆系：x 2＋y 2
－4x －2y －20＋ (3x ＋4y ＋15)＝0
∵曲线过B (2,0) ∴ ＝87 ∴所求的方程为：7x 2＋7y 2
－4x ＋18y －20＝0
例3. 求证：两椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2
、a 2x 2＋b 2y 2＝a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程．
解：设(b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2)＋ (a 2x 2＋b 2y 2－a 2b 2
)＝0
令 ＝1，得：(a 2
＋b 2
)(x 2
＋y 2
)＝2a 2b 2
，即：(x 2
＋y 2
)＝2a 2b
2
a 2＋
b 2
此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点．即原题得证． 注意：由以上分析可以看出，利用曲线系解题，可以快速求解，但有时却是失效的．
例4. 求以圆x 2＋y 2＝5与抛物线y 2
＝4x 的公共弦为直径的圆的方程.
解法一：联立方程???x 2＋y 2
＝5y 2＝4x ，解得：???x 1＝1y 1＝2或???x 2＝1
y 2＝－2
以这两点为直径的圆的方程是：(x －1)2＋y 2
＝4
解法二：构造方程 (x 2＋y 2－5)＋ (y 2
－4x )＝0
即：x 2＋(1＋ )y 2
－4 x －5＝0 (*)
显然， ＝0不是所求圆方程，而在 ≠0时，方程(*)已不是圆方程了． ∴ 由(*)得不出所求结果．
例5. 【书P .131/16】过不在椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 作两条直线l 1、l 2分别交椭圆于A 、B
和C 、D 四点，若l 1、l 2的倾斜角分别为α、β，且α＋β＝π，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．
解法一：【直线的参数方程】
设P (x 0,y 0)，设l 1方程为：???x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α
（t 为参数）
直线l 2方程为：???x ＝x 0＋m cos β
y ＝y 0＋m sin β
（m 为参数）
将l 1方程代入椭圆方程得：
(x 0＋t cos α)
2
a 2
＋(y 0＋t sin α)2
b
2
＝1 整理得：(a 2sin 2α＋b 2cos 2α)t 2＋2(a 2y 0sin α＋b 2x 0cos α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2
＝0
∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝b 2x 2
0＋a 2y 2
0－a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2α，同理，|PC |·|PD |＝|m 1m 2|＝b 2x 2
0＋a 2y 2
0－a 2b 2
a 2sin 2β＋
b 2cos 2β
∵α＋β＝π，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β ∴|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |
由平面几何知识知A 、B 、C 、D 四点共圆． 解法二：【二次曲线系】设P (x 0,y 0)，记k ＝tan α，
设l 1：y ＝k (x －x 0)＋y 0，l 2：y ＝－k (x －x 0)＋y 0， ∴l 1：kx －y －kx 0＋y 0＝0，l 2：kx ＋y －kx 0－y 0＝0，
∴过A 、B 、C 、D 四点的二次曲线设为：x 2a 2＋y 2
b
2－1＋ (kx －y －kx 0＋y 0)(kx ＋y －kx 0－y 0)＝0
∴x 2a 2＋y 2b
2－1＋ (kx －kx 0)2－ (y －y 0)2
＝0 ∴? ????1a
2＋ k 2x 2＋? ??
??1b 2－ y 2－2 k 2x 0x ＋2 y 0y －1＋k 2 x 20－ y 20＝0
∴1
a 2＋ k 2
＝1
b 2－ 时，方程为圆的方程，此时， (k 2
＋1)＝1b 2－1
a 2，即 ＝
c 2a 2b 2(k 2＋1)． ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．
例6. 【2005年高考第21题】设A 、B 是椭圆3x 2＋y 2
＝ 上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段
AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （Ⅰ）确定 的取值围，并求直线AB 的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由． 解：（Ⅰ）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，设AB ：y ＝k (x －1)＋3，代入椭圆得：
(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2
－ ＝0 ∵x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3
＝2x N ＝2 解得k
∴△＝4k 2
(k －3)2
－4(k 2
＋3)[(k －3)2
－ ]＝4·42
－4·4(16－ )＞0∴ ＞12 直线AB 的方程为y ＝－x ＋4
【或】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由点差法【过程略】
y 2－y 1x 2－x 1＝－3(x 1＋x 2)
y 1＋y 2
∵N (1,3)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝2,y 1＋y 2＝6∴k AB ＝－1
又由N (1,3)在椭圆，∴3＋32
＜ ∴ ＞12（下略）
（Ⅱ）解法1：又设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，CD 的中点为M (x 0,y 0) ∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y ＝x ＋2，
代入椭圆方程整理得：4x 2
＋4x ＋4－ ＝0 ∴x 3＋x 4＝－1∴x 0＝－12，y 0＝32∴M (－12,32)
于是由弦长公式可得|CD |＝2|x 3－x 4|＝
2( －3) ④
将直线AB 的方程y ＝－x ＋4代入椭圆方程得4x 2
－8x ＋16－ ＝0 ⑤ 同理可得 |AB |＝2|x 1－x 2|＝2( －12) ⑥ ∵当 ＞12时，
2( －3)＞
2( －12)∴|AB |＜|CD |
假设存在 ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心. 点M (－12,32)到直线AB 的距离为d ＝|x 0＋y 0－4|2
＝32
2 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得|MA |2
＝|MB |2
＝d 2
＋? ????AB 22
＝92＋ －122＝ －32＝? ??
??CD 22
故当 ＞12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|CD |
2为半径的圆上.
【或】A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形?|AN |2
＝|CN |·|DN |，【相交弦定理的应用】
即 ? ????AB 22＝? ????|CD |2＋d ? ????|CD |2－d ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝ －122
由④和⑦知，⑧式右边＝?
????2( －3)2＋322? ????2( －3)2－322＝ －32－92＝ －12
2
∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.
【或二次曲线系】
∵AB ：x ＋y －4＝0，CD ：x －y ＋2＝0，∴(x ＋y －4)(x －y ＋2)＝0过A 、B 、C 、D 四点
∵3x 2＋y 2
－ ＝0过A 、B 、C 、D 四点
∴3x 2
＋y 2
－ ＋ (x ＋y －4)(x －y ＋2)＝0过A 、B 、C 、D 四点
∴3x 2
＋y 2
－ ＋ (x 2
－y 2
－2x ＋6y －8)＝0∴(3＋ )x 2
＋(1－ )y 2
－2 x ＋6 y －8 － ＝0 ∴当3＋ ＝1－ ，即 ＝－1时，方程为2x 2
＋2y 2
＋2x －6y ＋8－ ＝0 ∴x 2
＋y 2
＋x －3y ＋4－
2＝0∴(x ＋12)2＋(y －32)2＝ 2－4＋14＋94＝ 2－32＝ －3
2
∴A 、B 、C 、D 四点都在圆(x ＋12)2＋(y －32)2＝ －3
2
上．
例7. 【2010卷18】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点
为F ．设过点T (t ,m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，其中m ＞0,y 1＞1,y 2＜0．
（1）设动点P 满足PF 2－PB 2
＝4,求点P 的轨迹；
（2）设x 1＝2,x 2＝1
3
，求点T 的坐标；
（3）设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．
解（1）（2）略
（3）点T 的坐标为(9,m ) 直线TA 方程为：y ＝m 12(x ＋3)，TB ：y ＝m
6(x －3)．
分别与椭圆x 29＋y 2
5
＝1联立方程组，同时考虑到x A ＝－3，x B ＝3，
【过程略】解得：M (3(80－m 2)m 2＋80,40m m 2＋80)，N (3(m 2
－20)m 2＋20,－20m
m 2＋20
)．
（方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：
y ＋20m m 2＋20＝40m m 2＋80＋20m
m 2＋203(80－m 2)m 2＋80－3(m 2－20)m 2
＋20
(x －3(m 2
－20)
m 2＋20
)【整理略】 令y ＝0，解得：x ＝1．此时必过点D （1，0）；
当x 1＝x 2时，直线MN 方程为：x ＝1，与x 轴交点为D （1，0）． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）．
（方法二）若x 1＝x 2，则由3(80－m 2)m 2＋80＝3(m 2
－20)
m 2＋20
及m ＞0，得m ＝210，
此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D （1，0）．
若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝10m 40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝10m
40－m
2，
所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）．
解法三：由题意TA ：y ＝m 12(x ＋3)，TB ：y ＝m
6
(x －3)，AB ：y ＝0，设MN 方程为：px ＋qy ＋r ＝0，
上述4条直线两两的交点即A 、B 、M 、N （任三点不共线），
则经过这四点的二次曲线可表示为：??????y －m 12(x ＋3)·??????y －m
6(x －3)＋ y ·(px ＋qy ＋r )＝0
? ????y －m 12x －m 4·? ??
??y －m 6x ＋m 2＋ (pxy ＋qy 2＋ry )＝0
整理得：m 2
72x 2＋(1＋ q )y 2
＋( p －m 4)xy ＋( r ＋m 4)y －m 2
8＝0······(*)
当方程(*)表示椭圆x 29＋y 2
5
－1＝0时，比较系数得：
????? p －m
4＝0 r ＋m
4＝0m 272∶1＋ q ∶－m 2
8＝19∶15∶－1 ∴?????p ＝
m
4 r ＝－m 4
m 2
8＝5(1＋ q )∴?????p ＝
m
4 r ＝－m 4 q ＝m 2
－4040
∴MN ：m
4
x ＋m 2－4040
y －m 4
＝0 ∴mx ＋m 2－4010
y －m ＝0
∴MN ：m (x －1)＋m 2－4010
y ＝0恒过定点(1,0)．
例8. 【2011理21】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，
并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（Ⅰ）当|CD |＝3
2
2时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：→OP ·→
OQ 为定值．
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
由已知得b ＝1，c ＝1，所以a 2
＝2，则椭圆方程为x 2
＋y 2
2
＝1．
直线l 垂直于x 轴时与题意不符．
设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立得：(k 2＋2)x 2
＋2kx －1＝0， 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则△＝4k 2
＋4(k 2
＋2)＝8(k 2
＋1)，x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2
＝－1
k 2＋2
， |CD |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝22(k 2
＋1)
k 2＋2
．
由已知得22(k 2
＋1)k 2＋2＝3
2
2，解得k ＝±2，所以直线l 的方程为y ＝±2x ＋1．
（Ⅱ）直线l 垂直于x 轴时与题意不符．
设直线l 的方程为y ＝kx ＋1（k ≠0且k ≠±1），所以P 点的坐标为(－1
k
,0)．
设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，由（Ⅰ）知x 1＋x 2＝－2k k 2
＋2，x 1x 2＝－1
k 2＋2
， 直线AC 的方程为：y ＝
y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为：y ＝y 2
x 2－1
(x －1)，
方法一：联立方程???y ＝y 1x 1
＋1(x ＋1)y ＝y 2x 2
－1(x －1)
，设Q (x 0
,y 0
)，解得x 0
＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2－1)
y 2
(x 1
＋1)－y 1
(x 2
－1)
，
不妨设x 1＞x 2，
则x 0＝(kx 2＋1)(x 1＋1)＋(kx 1＋1)(x 2－1)(kx 2＋1)(x 1＋1)－(kx 1＋1)(x 2－1)＝2kx 1x 2＋(x 1＋x 2)＋k (x 2－x 1)k (x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＋2＝－4k －2k 2(k 2
＋1)
22(k 2
＋1)＋4
＝－k ，
∴Q (－k ,y 0)，又P (－1k ,0)，∴→OP ·→
OQ ＝(－k )·(－1k
)＋0＝1．
故→OP ·→
OQ 为定值．
方法二：联立方程???y ＝y 1x 1
＋1(x ＋1)y ＝y 2
x 2
＋1(x －1)
，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1
(x 2
－1)，∵－1＜x 1
,x 2
＜1，∴x ＋1x －1与y
2
y 1
异号．
? ????x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2
y 21
(x 2－1)2＝2－2x 222－2x 21
·(x 1＋1)2
(x 2－1)2＝(x 1＋1)(x 2＋1)(1－x 1)(1－x 2)＝1－2k k 2＋2－1k 2＋21＋2k k 2＋2－1k 2
＋2＝? ??
??k －1k ＋12
又y 1y 2＝k 2
x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2
k 2＋2·k －1k ＋1
，
∴k ＋1k －1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k ＋1k －1同号，∴x ＋1x －1＝k ＋1k －1
，解得x ＝－k ． 因此Q 点的坐标为(－k ,y 0)，又P (－1k
,0)，∴→OP ·→
OQ ＝1．
故→
OP·→
OQ为定值．
例9. 【2011理21】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，
并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（Ⅱ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：→OP ·→
OQ 为定值．
证法三：设直线CD 方程为：y ＝kx ＋1，与x 轴交点为P (－1
k
,0)．
直线AC 方程为：y ＝k 1(x ＋1)，直线BD 方程为：y ＝k 2(x －1)
解得：x Q ＝k 1＋k 2k 2－k 1，故→OP ·→
OQ ＝－k 1＋k 2k (k 2－k 1)
∵AC ：k 1x －y ＋k 1＝0，BD ：k 2x －y －k 2＝0，AB ：y ＝0，CD ：kx －y ＋1＝0 ∴经过A ，B ，C ，D 四点的二次曲线方程可设为： y ·(kx －y ＋1)＋ (k 1x －y ＋k 1)(k 2x －y －k 2)＝0
∴kxy －y 2
＋y ＋ k 1k 2x 2
＋ y 2
－ (k 1＋k 2)xy ＋ (k 2－k 1)y － k 1k 2＝0 ∴ k 1k 2x 2
＋[k － (k 1＋k 2)]xy ＋( －1)y 2
＋＋[ (k 2－k 1)＋1]y － k 1k 2＝0 与椭圆x 2
＋y 2
2＝1比较系数得：???k － (k 1＋k 2)＝0 (k 2－k 1)＋1＝0∴?
????k 1＋k 2＝
k
k 2－k 1＝－
1
代入→OP ·→
OQ ＝－k 1＋k 2k (k 2－k 1)
＝1（定值）．
一般地．取曲线方程中的特征量（如直线方程中的斜率k ，截距b 等）为变数时，便可得出曲线系． 例10.已知有向线段PQ 的起点P 的终点Q 的坐标分别为(－1,1)和(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与PQ
的延长线相交，求m 的取值围． 分析：直线l 变形为x ＝0(m ＝0) 或y ＝－1m x －1(m ≠0)是过(0,－1)斜率为－1m
的直线，
只须找到与Q 点相交、与PQ 平行的直线的夹角围即可．
解： ∵x ＋my ＋m ＝0 ∴直线l 经过M (0,－1)
∴13＜－1m ＜32 ∴－3＜m ＜－23 思考：用定比分点的思想可以吗？
例11.平面上有两个圆，它们的方程分别是x 2＋y 2＝16和x 2＋y 2
－6x ＋8y ＋24＝0，求这两个圆的公切线
方程．
分析：由x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0得：(x －3)2＋(y ＋4)2
＝1，显然这两圆的关系是外切．
解： ∵x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0 ∴(x －3)2＋(y ＋4)2
＝1
∴这两圆是外切
∴(x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24)－(x 2＋y 2
－16)＝0 ∴3x －4y －20＝0 ∴所求的两圆公切线的方程为：3x －4y －20＝0
注意：对于不同心的两个圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0, C 2：x 2＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，
圆系方程C 1＋ C 2＝0 例12.求证：如果两条抛物线有四个交点且对称轴垂直，则此四点共圆． 分析：证明四点共圆，可以利用曲线系，得出一个四点满足的圆的方程即可．
证明：取一条抛物线的顶点为原点，对称轴为x 轴，则它的方程为：y 2
＝2px ①
∴另一条抛物线的方程为：(x －a )2
＝2k (y －b ) ②
∴①＋②得：y 2＋(x －a )2
－2px －2k (y －b )＝0 ③
∵若①和②有四个解，即两条抛物线有四个交点时，这四个交点坐标一定满足方程③ ∴命题成立
例13.已知A 、B 为定二次曲线ax 2＋bxy ＋cy 2
＋ex ＋fy ＋g ＝0 (a ≠0)上的两点，过A 、B 任作一圆，设该
圆与定二次曲线交于另外两点C 、D ，求证：CD 有定向． 分析：可以把过A 、B 的曲线系表示出来，得到C 、D 满足的方程．
解：取A 点为坐标原点，AB 为x 轴，设B 点的坐标为(l ,0)，不妨假定a ＝1，
∴ax 2＋bxy ＋cy 2＋ex ＋fy ＋g ＝0 ∴ x 2＋bxy ＋cy 2
－lx ＋fy ＝0 ①
过A 、B 的圆的方程为：x 2＋y 2
－lx ＋ky ＝0 ②
∴过A 、B 的曲线系方程为：(x 2＋bxy ＋cy 2－lx ＋fy )＋ (x 2＋y 2
－lx ＋ky )＝0
∵曲线也过C 、D ∴取 ＝－1可得y [bx ＋(c －1)y ＋(f －k )]＝0 ③
∵A 、B 、C 、D 的坐标必须满足③
∵C 、D 不在AB （即x 轴）上 ∴y ≠0 ∴CD 的方程为：bx ＋(c －1)y ＋(f －k )＝0 ∵b , c －1都是定值 ∴直线CD 有定向
例14.设0＜a ＜b ，过两定点A (a ,0)和B (b ,0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2
＝x 有四个不同的交点，
当这四个点共圆时，求这种直线l 和m 的交点P 的轨迹．
分析：本题的关键是如何利用四点共圆的条件．思路一：设定点的两条直线方程，引进参数k 和k '，代
入y 2
＝x ，求出四个交点，由三个交点确定一个圆，代入第四点，化简，或求出定点的两条直线的交点，用相交弦定理求解，但计算量太大、太烦．思路二：利用直线系和圆系知识求解． 解：设l 的的方程为：y －kx ＋ka ＝0, m 的的方程为：y －k 'x ＋k 'b ＝0
∴过l,m 与y 2＝x 的四个不同交点为的二次曲线的方程为：(y 2
－x )＋ (y －kx ＋ka )( y －k 'x ＋k 'b )＝
∴(1＋ )y 2－ (k ＋k ')xy ＋ kk 'x 2
＋ (ka ＋k 'b )y －[ kk '(a ＋b )＋1]x ＋ kk 'ab ＝0 ①
∵①成为圆的条件是：?
????k ＋k '＝0
1＋ ＝ kk '
∴两条直线的交点坐标为P ?
?a ＋b 2,???k
2(b －a ) ∴P 点在AB 线段的中垂线上
∴点P 的轨迹是直线x ＝a ＋b 2
除去与y ＝0或y 2
＝x 的三个交点．
例15.给定曲线族2(2sin θ－cos θ＋3)x 2
－(8sin θ＋cos θ＋1)y ＝0，θ为参数，求该曲线族在直线y
＝2x 上截得的弦长的最大值． 分析：显然此曲线族是过原点的抛物线系
解：∵曲线族是过原点 ∴直线y ＝2x 也过原点
∴曲线族在y ＝2x 上所截得的弦长公取决于曲线族与y ＝2x 的另一个交点的坐标
∴将y ＝2x 代入曲线系得：(2sin θ－cos θ＋3)x 2
－(8sin θ＋cos θ＋1)x ＝0
∵2sin θ－cos θ＋3＝5sin(θ－arctan 1
2
)＋3＞0
∴当x ≠0时，x ＝8sin θ＋cos θ＋1
2sin θ－cos θ＋3
令sin θ＝2u u 2＋1, cos θ＝1－u 2
1＋u 2，其中u ＝tan
θ
2 ∴x ＝8u ＋12u 2＋2u ＋1
∴2xu 2
＋2(x －4)u ＋(x －1)＝0 ∵u ∈R 且x ≠0
∴△≥0 ∴[2(x －4)]2－8x (x －1)≥0∴x 2
＋6x －16≤0∴－8≤x ≤2 ∴|x |max ＝8
∵y ＝2x ∴|y |max ＝16
∴所求弦长的最大值为82＋162
＝85． 练习：
1、 对于边长a 、b 、c (对角依次是A 、B 、C )不定且⊿C 是钝角的⊿ABC 和直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，给出以
下四个命题：①l 的倾斜角是钝角；②l 不穿过第一象限；③l 和单位圆相切；④l 过定点；其中，正确命题的个数是（）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、 在平面直角坐标系中，若方程m (x 2＋y 2＋2y ＋1)＝(x －2y ＋3)2
表示的曲线为椭圆，则m 的取值围为
（）
A ．(0,1)
B ．(1,＋∞)
C ．(0,5)
D ．(5,＋∞)
3、 设P 1、P 2是抛物线x 2
＝y 的一条弦，如果P 1P 2的垂直平分方程是y ＝－x ＋3，则弦P 1P 2所在直线的方
程是
A ．y ＝x ＋3
B ．y ＝x －3
C ．y ＝x ＋2
D ．无法确定
4、 过圆x 2＋y 2
－4x ＋2y ＝0的圆心，并且和点A (―1,―2)、B (5,3)距离相等的直线l 的方程
是 ．
5、 从点A (4,3)向圆(x －2)2＋(y －1)2
＝1作切线，设两切点分别为M 和N ，则过点M ，怕直线方程
是 ．
6、 从点A (－1,12
)向圆4x 2＋4y 2
－8x ＋4y －21＝0引两条切线，则过切点弦的方程是 ．
7、 对于任意的a ∈R ，曲线ax 2
－2xy ―ax ―y ―2a ＋1＝0的所有曲线都经过两个定点，这两个定点的坐标
是 ．
8、 已知k ∈R ，关于x ,y 的方程y 4＋4y 3＋(2x ＋2kx －kx 2)y 2＋8xy ＋(4kx 2－2kx 3
)＝0表示一组曲线，其中
有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系． 答案：
1、B
2、D
3、C
4、x ＝2或5x ―6y ―16＝0
5、2x ＋2y －7＝0
6、不存在
7、(―1,―1)和(2,1
5
) 8、①当k ＝－1时，表示圆和抛物线；②当k ＞0且k ≠4时，表示双曲线和抛物线；③当k ＜0且k ≠－1时，表示椭圆和双曲线．
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100） 解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。 一、用函数(变量)的观点来解决问题 函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。 【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线2 6y x =上的两个动点11(,)A x y 和 22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ ABC 面积的最大值. 【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把?ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：121222 1212120 63 66 --= ===-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：0 0(2)3 -=- -y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：00 3(2)-=-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：22 00 22120-+-=y y y y （1）， 由题意， 12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所 以 22 00044(212)0?=-->?-< 《解析几何》专题训练 一、选择题 1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程 1(,22x y x y a b a b +-+ =为相异正数),所表示的曲线 是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a , (,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知 它是非正方形的菱形. 2、若椭圆22 13620 x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为 A, B,(- C,(3, D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又 20 2 93 PF e x == -,得03x =, 代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22 221x y a b -= 的离心率 e 2?∈??? ，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ?????? B ．,62ππ?????? C ．,32ππ?????? D ．2,33ππ?? ???? 4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。 （ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5= AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条 共切线。正确答案为C 。 5、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别 以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即??? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0， 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． 高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时， 高二数学竞赛——曲线系 曲线系是具有某种性质的曲线集合，利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想，整体处理的钥匙策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法． 曲线系：如果两条曲线方程是 f 1(x ,y )＝0和 f 2(x ,y )＝0, 它们的交点是P (x 0,y 0)，则方程 f 1(x ,y )＋ f 2(x ,y )＝0的曲线也经过点P (x 0,y 0) (是任意常数)． 证明：由方程?? ?f 1(x ,y )＝0·······①f 2(x ,y )＝0·······② 得到 f 1(x ,y )＋ f 2(x ,y )＝0·······③ 只须 将（x 0, y 0）代入证明． ◆ 设圆C 1∶x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．若两圆相交，则过交点的圆系 方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋ (x 2＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0 ( 为参数，圆系中不包括圆C 2， ＝－1为两圆的公共弦所在直线方程)． ◆ 设圆C ∶x 2 ＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋ (Ax ＋By ＋C )＝0( 为参数)． 曲线系方程③不能包含过两曲线公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程③中呢? ——m ·f 1(x ,y )＋n ·f 2(x ,y )＝0 由直线生成的二次曲线系： 设f i ＝A i x ＋B i y ＋C i （i ＝1,2,3,···） （1）若三角形三边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3），则经过三角形三个顶点的二次曲线系为： f 1·f 2＋ f 2·f 3＋ f 3·f 1＝0（ 、 为参数） （2）若四边形四条边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3,4），则经过四边形四个顶点的二次曲线系为： f 1·f 3＋ f 2·f 4＝0（ 为参数）， 其中f 1＝0与f 3＝0、f 2＝0与f 4＝0分别为四边形的对边所在直线方程． （3）与两条直线f 1＝0、f 2＝0分别相切于M 1、M 2的二次曲线系为： f 1·f 2＋ f 3·f 3＝0（ 为参数）， 其中f 3＝0是过M 1、M 2的直线方程． （3）过直线f 1＝0、f 2＝0与一个二次曲线F (x ,y )＝0的4个交点的二次曲线系为： F (x ,y )＋ f 1·f 2＝0（ 为参数）． 【例题选讲】 例1. 求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2 ＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆 的方程． 解： 构造方程 x 2＋y 2＋6x －4＋ (x 2＋y 2 ＋6y －28)＝0 即：(1＋ )x 2 ＋(1＋ )y 2 ＋6x ＋6 y －(4＋28 )＝0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆，且圆心为(－3 1＋ ,－3 1＋ ) 当该圆心在直线x －y －4＝0上时，即 －3 1＋ ＋3 1＋ －4＝0，解得： ＝－7． ∴ 所求圆方程为 x 2 ＋y 2 －x ＋7y －32＝0 例2. 求与圆x 2 ＋y 2 －4x －2y －20＝0切于A (―1,―3)，且过B (2,0)的圆的方程． 解法一：视A (―1,―3)为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2，当r →0时，极限圆(x ＋1)2＋(y ＋3)2 ＝0 构造圆系：(x 2＋y 2－4x －2y －20)＋ [(x ＋1)2＋(y ＋3)2 ]＝0 空间解析几何数学竞赛辅导 一. 向量代数 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 ),,(12121221z z y y x x M M ---=→ 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→ ，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→ → （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→ →?b a （1）><→ →b a ,为向量→ → b a ,的夹角，且π>≤≤<→ →b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→ → ?b a （遵循右手原则，且→ → → ⊥?a b a 、→ → → ⊥?b b a ） 3 2 1 3 21 b b b a a a k j i b a → → → → →=? （1）3 3 2211//b a b a b a b a b a ==? =?→ → → → λ （2）00332211=++?=??⊥→ →→ → b a b a b a b a b a （3）几何意义： ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ； 平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为 212131 3111 |||0|22 ABC i j k S AB AC x x y y x x y y =?=---- 21 21 31 3112x x y y x x y y --=--的绝对值 也可以写成1 1223 31 1121 ABC x y S x y x y =的绝对值。 5. 混合积：(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b == (2)坐标表示：1 11 2 223 3 3 (,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。 (3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体 的体积。 ,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。 空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z , 444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为 解析几何竞赛题求解的几种常见策略 解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江 省东阳中学 322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30 分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。 一、用函数（变量）的观点来解决问题函数是描 述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题 中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐 标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示 出来，从而变成一个函数的问题，这就是解决问题的函 数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量 （很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面 积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解 析几何的一种重要方法。 【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线y2 6x上的 两个动点和B（X2,y2）,其中人x?且人x? 4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C ,求厶ABC面积的最大值. 【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把ABC 的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB的中点M坐标为（（2, y o），贝I」则直线AB的斜率：k 7 42 —- X i X2 、亘y y2 y o 6 6 线段AB的中垂线方程：八。鲁（X 2），易知线段 AB的中垂线与x轴的交点为定点C（5,0）直线AB的方程：y y o 2（x 2），联立抛物线方程消 y o 去x可得：y2 2y o y 2y2 12 0 （ 1 ）， 由题意，y1,y2是方程（1 ）的两个实根，且y1 y2，所以4y； 4（2 y2 12） o 2.3 y 2 3 弦长|AB| ..1 （；）2|% y2| （1 ?）［（% y2）2 4^2〕21（9 S）（12 y；） 点C（5，o）到直线AB的距离：h |CM|十 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何 1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为． 【答案】[]36， 【解析】设()9A a a -， ，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交，得 d 36a ≤≤． 2、（2009一试5）椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的最小值为． 【答案】22 222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ??????±± ? ? ?????? ?，． 由P ，Q 在椭圆上，有 222221 cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得222211 11a b OP OQ +=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22 222a b a b +． 3、（2010一试3）双曲线12 2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】9800 4、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为． 【答案】)2,1(-或)6,9(- 即0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ， 《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时） 4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B 4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100） 解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。 一、用函数(变量)的观点来解决问题 函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。 【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线2 6y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且 124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值. 【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把?ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：121222 1212120 63 66 --= ===-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：0 0(2)3 -=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：00 3(2)-= -y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：22 0022120-+-=y y y y （1）， 由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所以22 00044(212)0?=-->?-< 高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。 解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以 '223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=?=为基本向量 建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为 '' 2222 ''2222'/B A x x z A B A B A B y D B x z A B A B z y ?=+?++? ?=-- +?++? ?=?? 在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2'''' 22 22 2 2 2 2 6( )(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B ++ -- + =+++ + 所以交线的方程为： '2' '''22 22 22 22 '6()(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ?++--+ =?++++? ?=? 化简得： '2' '22 22 '6()(/)1 0B A y x D B x A B A B z ?+--=?++? ?=? 因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得 322A B =-. 试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ? ? ?=+=+++?? ?=+=++020 13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。 解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1 11 2 :,1 20 1:21-+==-=+=-z y x l z y x l 设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=， 试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程. 解：设所求的直线的方程为:141x lt y mt z nt =+??=-+??=+? ,又因为所求的直线在二次曲 面上,所以对任意的,t 有 2222(1 )(4)(1) 3(1)( 4)(1)(1 )6(1) l t m t n t l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=, 化简得; 2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以 222230 (1)7570l m n ml nl l m n ?+-++=? ++=? 由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得 220 (1)570 m n m n ?-=? +=? 高一上期数学竞赛培训资料（16） ——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题 一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤： （1）建：建立直角坐标系； （2）设：设立动点坐标P （x ，y ）； （3）现：将动点的等量关系呈现出来； （4）代：代入点的坐标； （5）化：化简上述等式。 应注意：所求方程的完备性！ 二、题型示例： 1、ABC ?的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ?重心的轨迹方程。 2、过原点作曲线2 1y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的 P 的轨迹方程。 3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA 和QB 的交点M 4、已知ABC ?的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ?的外心M 的轨迹方程。 5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足 12 PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。 6、ABC ?中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。 7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。 8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。 9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ?垂心的轨迹方程。 10、已知点P 是圆22 :4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。 （1）试求线段PQ 中点的轨迹方程； （2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。 153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程． 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)
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