离散数学24谓词演算的推理理论

谓词演算的

推理理论

在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.

1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：

例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(?y) F(x,y), 则(?x)P(x) ?P(z)=(?y) F(z,y).

而不能(?x) P(x) ?P(y)=(?y) F(y,y).

其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.

或 (?x ) P (x ) ∴ P (y ) (?x) P (x )

∴ P (c )

2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：

P(x)

∴ (?x)P(x)

其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中

自由出现.

3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：

(?x)P(x)

∴ P(c)

1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.

2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，

换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.

4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：

P(c)

∴ ( x)P(x)

其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.

谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.

1. 等价公式

2. 蕴含式

3. 推理规则：

(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则

(3) CP推理规则 (4)归谬论

(5) US规则 (6) UG规则

(7) ES规则 (8) EG规则

1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、

规则CP .

2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来

消去量词.

3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则

EG将其量词加入.

4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.

5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公

式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.

6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等

价公式和基本蕴涵公式.

7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公

式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。然后再使用命题演算中的推理规则，最后使用规则 UG或规则EG引入量词，得到所要的结论.

8) 如一个变量是用规则ES消去量词,对该变量在添加量词时,则

只能使用规则EG,而不能使用规则UG;如使用规则US消去量词, 对该变量在添加量词时,则可使用规则EG和规则UG.

9)如有两个含有存在量词的公式，当用规则ES消去量词时，不

能选用同样的一个常量符号来取代两个公式中的变元，而应用不同的常量符号来取代它们.

9)在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公

式的最前端.

10)在添加的量词(?x)、(?x)时，所选用的x不能在公式P(c)中以

任何约束出现.

解：设H(x)：x 是人；M(x)：x 是要死的；s ：苏格拉底。则符号化为：

(?x)(H(x)→M(x))，H(s)?M(s)

例1 证明 “所有的人都是要死的；苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。”

证明：(1)(?x)(H(x)→M(x)) P (2)H(x)→M(x) US(1) (3)H(s) P (4)M(s) T(2),(3) 证明：(1) (?x)(H(x)→M(x)) P (2) H(s)→M(s) US(1) (3) H(s) P (4) M(s) T(2),(3)

错了！ 正确的为：

例2 证明:

(?x)(P(x)→Q(x))，(?x)P(x)?(?x)Q(x) 证明1 ：

(1)(?X)(P(X)→Q(X)) P

(2)(P(X)→Q(X)) US(1)

(3)(?X)P(X) P

(4)P(X) ES

(5)Q(X) T(2),(4),I

(6)(?X)Q(X) EG(5)

错误，使用了US ES ,要用特定个体变量。

谓词逻辑归结原理源代码

#include #include #include #define null 0 typedef struct { char var; char *s; }mgu; void strreplace(char *string,char *str1,char *str2) { char *p; while(p=strstr(string,str1)) { int i=strlen(string); int j=strlen(str2); *(string+i+j-1)='\0'; for(int k=i-1;(string+k)!=p;k--) *(string+k+j-1)=*(string+k); for(i=0;is)) continue; if((u+i)->var==(u+j)->var) { delete (u+j)->s; (u+j)->s=null; k--; j=i; } if(((u+i)->s)&&((u+i)->var==*((u+i)->s))) { delete (u+i)->s; (u+i)->s=null; k--;

} } j=count; if(k==j)return; count=k; for(int i=1;i0;i++) { if((u+i)->s) continue; while(!((u+j)->s)) j--; (u+i)->var= (u+j)->var; (u+i)->s= (u+j)->s; (u+j)->s=null; k--; } cout<<"gjvjkhllknkln"; } class unifier { char *string; mgu unit[50]; int count; public: int num; unifier(); void input(); int differ(int n); int change(int i,int j,int n); void print(); ~unifier(){delete string;} }; unifier::unifier() { count=0; unit[0].s=null; } void unifier::input() { cout <>num;

离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习

第3章命题逻辑的推理理论 主要内容 1. 推理的形式结构： ①推理的前提 ②推理的结论 ③推理正确 ④有效结论 2. 判断推理是否正确的方法： ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明 4. ①自然推理系统P的定义 ②自然推理系统P的推理规则： 前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。 ③附加前提证明法 ④归谬法 学习要求 1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即 ①{A1,A2,…,A k}├B ②A1∧A2∧…∧A k→B ③前提与结论分开写： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。 2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。 3. 牢记P系统中的各条推理规则。 4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。 5. 会用附加前提证明法和归谬法。 3.1 推理的形式结构 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。

二、有效推理的等价定理 定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧A k )→B 为重言式。 A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确 {A1,A2,…,A k} B 可记为 A1∧A2∧…∧A k B 其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。 而判断命题公式永真性有三个方法： 1．真值表法 2．等值演算法 3．主析取范式法 三、重言蕴涵式 由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。

离散数学24谓词演算的推理理论

谓词演算的 推理理论

在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }. 1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ： 例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(?y) F(x,y), 则(?x)P(x) ?P(z)=(?y) F(z,y). 而不能(?x) P(x) ?P(y)=(?y) F(y,y). 其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量. 或 (?x ) P (x ) ∴ P (y ) (?x) P (x ) ∴ P (c )

2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG： P(x) ∴ (?x)P(x) 其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中 自由出现. 3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES： (?x)P(x) ∴ P(c) 1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的. 2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现， 换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.

4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG： P(c) ∴ ( x)P(x) 其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.

谓词逻辑的推理理论由下列要素构成. 1. 等价公式 2. 蕴含式 3. 推理规则： (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) CP推理规则 (4)归谬论 (5) US规则 (6) UG规则 (7) ES规则 (8) EG规则

1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、 规则CP . 2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来 消去量词. 3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则 EG将其量词加入. 4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法. 5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公 式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式. 6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等 价公式和基本蕴涵公式.

离散数学(命题逻辑)课后总结

离散数学（课件上习题） 第一章 例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴2是个素数。 ⑵雪是黑色的。 ⑶2013年人类将到达火星。 ⑷如果a>b且b>c，则a>c 。（其中a,b,c都是 确定的实数） ⑸x+y<5 ⑹请打开书！ ⑺您去吗？ ⑴⑵⑶⑷是命题 例1-2.1 P：2是素数。 ?P：2不是素数。 例1-2.2 P：小王能唱歌。 Q：小王能跳舞。 P∧Q：小王能歌善舞。 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。（析取“∨”） 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。（异或、排斥或。即“?”） 注意：P ?Q 与(P∧?Q)∨(Q∧?P ) 是一样的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“?”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“?”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“?” 例1-2.5：P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。 P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。 也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。 还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。 以下是关于蕴含式的一个例子 P：天气好。Q：我去公园。 1.如果天气好，我就去公园。 2.只要天气好，我就去公园。 3.天气好，我就去公园。 4.仅当天气好，我才去公园。 5.只有天气好，我才去公园。 6.我去公园，仅当天气好。 命题1.、2.、3.写成：P→Q 命题4.、5.、6.写成：Q→P 例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。Q ：△ABC是等角三角形。 P?Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。

谓词演算的推理理论(牛连强)

2.5 谓词演算的推理理论 1．推理定律 谓词演算中也存在一些基本的等价与蕴含关系，参见表2-2。我们以此作为推理的基础，即推理定律。 表2-2 序号 等价或蕴含关系 含义 E27 E28 ┐?xA(x)??x┐A(x) ┐?xA(x)??x┐A(x) 量词否定等值式 E29 E30?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x) ?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x) 量词分配等值式（量词分配律） E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B ?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B ?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B ?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B ?x(B∨A(x))? B∨?xA(x) ?x(B∧A(x))? B∧?xA(x) ?x(B∨A(x))? B∨?xA(x) ?x(B∧A(x))? B∧?xA(x) ?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) ?x(A(x)→B)??xA(x)→B ?xA(x)→B??x(A(x)→B) A→?xB(x)??x(A→B(x)) A→?xB(x)??x(A→B(x)) 量词作用域的扩张与收缩 I21 I22?xA(x)∨?xB(x)??x(A(x)∨B(x)) ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x) I23 ?xA(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x)) 表2-2中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。 2．量词的消除与产生规则 谓词推理可以看作是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词填式命题。如果仅由表2-2的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。 (1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为?-）

人工智能原理教案02章 归结推理方法2.4 归结原理

2.4 归结原理 本节在上节的基础上，进一步具体介绍谓词逻辑的归结方法。谓词逻辑的归结法是以命题逻辑的归结法为基础，在Skolem 标准性的子句集上，通过置换和合一进行归结的。 下面先介绍一些本节中用到的必要概念： 一阶逻辑：谓词中不再含有谓词的逻辑关系式。 个体词：表示主语的词 谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词 量词：表示数量的词 个体常量：a,b,c 个体变量：x,y,z 谓词符号：P,Q,R 量词符号：, 归结原理正确性的根本在于，如果在子句集中找到矛盾可以肯定命题是不可满足的。 2.4.1 合一和置换 置换：置换可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。 定义： 置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}的有限集合。其中，x1, x2, …, x n是互不相同的变量，t1, t2, …, t n是不同于x i的项（常量、变量、函数）；t i/x i表示用t i置换x i，并且要求t i与x i不能相同，而且x i

不能循环地出现在另一个t i中。 例如 {a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。 {g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换，原因是它在x和y之间出现了循环置换现象。置换的目的是要将某些变量用另外的变量、常量或函数取代，使其不在公式中出现。但在{g(y)/x，f(x)/y}中，它用g(y)置换x，用f(g(y))置换y，既没有消去x，也没有消去y。若改为{g(a)/x，f(x)/y}就可以了。 通常，置换用希腊字母θ、σ、α、λ来表示的。 定义：置换的合成 设θ＝{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}，λ＝{u1/y1, u2/y2, …, u n/y n}，是两个置换。则θ与λ的合成也是一个置换，记作θ·λ。它是从集合{t1·λ/x1, t2·l/x2, …, t n·λ/x n, u1/y1, u2/y2, …, u n/y n} 即对ti先做λ置换然后再做θ置换，置换xi 中删去以下两种元素： i. 当t iλ＝x i时，删去t iλ/x i(i = 1, 2, …, n); ii. 当y i∈{x1,x2, …, x n}时，删去u j/y j(j = 1, 2, …, m) 最后剩下的元素所构成的集合。 例： 设θ＝{f(y)/x, z/y}，λ＝{a/x, b/y, y/z}，求θ与λ的合成。 解： 先求出集合

离散数学之命题逻辑考试参考答案2

离散数学之命题逻辑考试 1、分析下列语句那些是命题，哪些不是命题。（每小题1分，正确 “T ”错误写 “F ”，共10分） (1)、北京是中国首都。 (2)、大连是多么美丽啊！ (3)、素数只有有限个。 (4)、请勿吸烟！ (5)、6+8≥14。 (6)、明天有离散数学课吗？ (7)、不存在最大素数。 (8)、9<+Y X 。 (9)、所有素数都是奇数。 (10)实践出真理。 2、设P 表示命题“我学习努力”。Q 表示命题“我考试通过”。R 表示命题“我很快乐”。（每小题2分，共6分） 试用符号表示下列命题： 1) 我考试没通过，但我很快乐。 2) 如果我努力学习，那么我考试通过。 3) 如果我学习努力并且考试通过，那么我很快乐。 3、将下列命题符号化：（每小题2分，共14分） 1) 我美丽而又快乐。 2) 如果我快乐，那么天就下雨。 3) 电灯不亮，当且仅当灯泡或开关发生故障。 4) 仅当你去，我将留下。 5) 如果老张和老李都不去，他就去。 6) 你不能既吃饭又看电视。 7) 张刚总是在图书馆看书，除非图书馆不开门或张刚生病。 4、给出下列公式的真值表 （每小题5分，共10分） ⑴ )(R Q P ∨→ ⑵ )(Q P ∨??)(Q P ?∧? 5、证明下列等价式。（每小题3分，共12分） 1) P Q P Q P ??∧∨∧)()( 2) P Q Q P P ?→??→→)(

3) C B A C B A →?∧?∨→)()( 4) C A D B C D B C B A →→∧?∨→∧→∧))(())(())(( 6、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式。（每小题10分，共20分） 1) )()(Q R Q P →∧→ 2) R Q P →∨?)( 7、对于下列一组前提，请给出它们的有效结论并证明。（每小题4分，共8分） a) 如果我努力学习，那么我能通过考试，但我没有通过考试。 b) 统计表有错误，其原因有两个：一个原因是数据有错误；另一个原因是 计算有错误。现在查出统计表有错误，但计算没有错误。 8、符号化下述论断，并证明其有效性。（6分） 如果今天是周一，则要进行离散数学或C 语言程序设计两门课中的一门课考试。如果C 语言程序设计老师有会，则不考C 语言程序设计。今天是周一，C 语言程序设计老师有会，所以进行离散数学考试。 9、符号化下列命题，并推证。（6分） 如果厂方拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过一年并且工厂厂长辞职。因此，若厂方拒绝增加工资，而罢工又刚刚开始，罢工是不会停止的。 11、请根据下面事实，找出凶手：（8分） 1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。H:清洁工富裕. G:经理有钱.

实现基于谓词逻辑的归结原理

河南城建学院 《人工智能》实验报告 实验名称：实现基于谓词逻辑的归结原理 成绩：____ 专业班级： 学号： 姓名： 实验日期：20 14 年 05 月 13日 实验器材：一台装PC机。 一、实验目的 熟练掌握使用归结原理进行定理证明的过程，掌握基于谓词逻辑的归结过程中，子句变换过程、替换与合一算法、归结过程及简单归结策略等重要环节，进一步了解机器自动定理证明的实现过程。 二、实验要求 对于任意给定的一阶谓词逻辑所描述的定理，要求实现如下过程： (1) 谓词公式到子句集变换； (2) 替换与合一算法； (3) 在某简单归结策略下的归结。 三、实验步骤 步1 设计谓词公式及自居的存储结构，即内部表示。注意对全称量词?x和存在量词?x可采用其他符号代替； 步2 实现谓词公式到子句集变换过程； 步3 实现替换与合一算法； 步4 实现某简单归结策略；

步5 设计输出，动态演示归结过程，可以以归结树的形式给出； 步6 实现谓词逻辑中的归结过程，其中要调用替换与合一算法和归结策略。 四、代码 谓词公式到子句集变换的源代码： #include #include #include #include using namespace std; //一些函数的定义 void initString(string &ini);//初始化 string del_inlclue(string temp);//消去蕴涵符号 string dec_neg_rand(string temp);//减少否定符号的辖域 string standard_var(string temp);//对变量标准化 string del_exists(string temp);//消去存在量词 string convert_to_front(string temp);//化为前束形 string convert_to_and(string temp);//把母式化为合取范式 string del_all(string temp);//消去全称量词 string del_and(string temp);//消去连接符号合取% string change_name(string temp);//更换变量名称 //辅助函数定义 bool isAlbum(char temp);//是字母 string del_null_bracket(string temp);//删除多余的括号 string del_blank(string temp);//删除多余的空格 void checkLegal(string temp);//检查合法性 char numAfectChar(int temp);//数字显示为字符 //主函数 void main() { cout<<"------------------求子句集九步法演示-----------------------"<

离散数学命题逻辑练习题

一、选择题 1. 设命题公式)(R Q P ∧→?，记作G ，使G 的真值指派为1的P ，Q ，R 的真值是( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 2. 与命题公式P →（Q →R ）等价的公式是( ) A ()P Q R ∨→ B ()P Q R ∧→ C ()P Q R →→ D ()P Q R →∨ 3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的 ( ) A ,P P B ,P P ? C ,()A A ** D ,A A (其中P 为单独的命题变元，A 为含有联结词的公式) 4. 命题公式(P ∧(P →Q))→Q 是_____式。 A 重言 B 矛盾 C 可满足 D 非永真的可满足 5. 下面命题联结词集合中，哪个是最小联结词 ( ) A {,}?€ B {,,}?∧∨ C {}↑ D {,}∧→ 6. 命题公式()P Q R ?∧→的主析取范式种含小项的个数为 ( ) A 8 B 3 C 5 D 0 7. 如果A B ?成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立 ( ) A B A ? B A B ??? C B A ??? D A B ?? 8. 命题公式()()P Q P R →∧→的主析取范式中包含小项 ( ) A P Q R ∧∧ B P Q R ∧∧? C P Q R ∧?∧ D P Q R ∧?∧? 9. ,,A B C 为任意命题公式，当（ ）成立时，有A B ?。 A A B ??? B A C B C ∨?∨ C A C B C ∧?∧ D C A C B →?→ 10. 下面4个推理定律中，不正确的是 ( ) A ()A A B ?∧ B ()A B A B ∨∧?? C ()A B A B →∧? D ()A B B A →∧??? 11. 下列命题公式是等价公式的为（ ）． A ．?P ∧?Q ?P ∨Q B ．A →(?B →A) ??A →(A →B) C ．Q →(P ∨Q )??Q ∧(P ∨Q ) D ．?A ∨(A ∧B) ?B

离散数学命题逻辑练习题

离散数学命题逻辑练习 题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

一、选择题 1. 设命题公式) ?，记作G，使G的真值指派为1的P，Q，R的真值是( ) P∧ → (R Q 2. 与命题公式P（QR）等价的公式是( ) A () →→ D () P Q R P Q R →∨ P Q R ∨→ B () P Q R ∧→ C () 3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的 ( ) A ,P P B ,P P A A** D ,A A ? C ,() (其中P为单独的命题变元，A为含有联结词的公式) 4. 命题公式(P∧(P→Q))→Q是_____式。 A 重言 B 矛盾 C 可满足 D 非永真的可满足 5. 下面命题联结词集合中，哪个是最小联结词 ( ) A {,} ∧→ ?∧∨ C {}↑ D {,} ? B {,,} 6. 命题公式() ?∧→的主析取范式种含小项的个数为 ( ) P Q R A 8 B 3 C 5 D 0 7. 如果A B ?成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立 ( ) A B A ?? ??? D A B ??? C B A ? B A B 8. 命题公式()() →∧→的主析取范式中包含小项 ( ) P Q P R A P Q R ∧?∧? ∧?∧ D P Q R ∧∧? C P Q R ∧∧ B P Q R 9. ,, A B C为任意命题公式，当（）成立时，有A B ?。 A A B ∧?∧ D C A C B →?→??? B A C B C ∨?∨ C A C B C 10. 下面4个推理定律中，不正确的是 ( ) A () ∨∧?? A B A B A A B ?∧ B () C () →∧??? A B B A A B A B →∧? D ()

离散数学答案

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案 1.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 2.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 4.因为p与q不能同时为真. 5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 4. .将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0

谓词逻辑_归结原理习题

谓词逻辑-归结原理例题 习题3.5, 1. (1) ()P x ：x 是大学生 ()Q x ：x 是诚实的 则命题可表示为： 已知：1:(()())G x P x Q x ?→， 2:()G Q a ? 证明：()P a ? 习题3.5, 1. (2) 将下面的命题符号化，并证明之：已知每一个运动员都是强壮的，而每一个既强壮又聪明的人在他所从事的事业中都能获得成功，彼得是运动员并且是聪明的，证明彼得在他的事业中将会成功。 提示：定义谓词 ()P x ：x 是运动员 ()Q x ：x 是强壮的 ()R x ：x 是聪明的 ()S x ：x 在他所从事的事业中获得成功。 则命题可表示为： 已知：1:(()())G x P x Q x ?→， 2:(()()())G x Q x R x S x ?∧→，()P a ，()R a 证明：()S a 提示：可用归结原理证明：（1）先把公式都化成Skolem 范式，（2）然后利用US ，ES 将公式中的量词除去，（3）化成合取范式，（4）化成蕴涵式，（5）化成子句集（结论用否定加入）， （6）进行归结，直至引出矛盾。 可化成如下子句集： {()()P x Q x →，()()()Q x R x S x ∧→，()P a →，()R a →，}()S a → 归结： （1）()()P x Q x → （2）()P a → （3）()Q a → 由（1）（2）

（4）()()()Q x R x S x ∧→ （5）()()R a S a → 由（3）（4） （6）()R a → （7）()S a → 由（5）（6） （8）()S a → （9） 由（7）（8） 习题3.5, 1. (3) ()E x ：x 进入国境 ()V x ：x 是重要人物 ()C x ：x 是海关人员 ()P x ：x 是走私者 (,)S x y ：y 检查x 已知： 1:((()())(()(,)))G x E x V x y C y S x y ?∧?→?∧， 2:(()()((,)()))G x P x E x y S x y P y ?∧∧?→ 3:(()())G x P x V x ?→? 证明：(()())x P x C x ?∧ 先化成子句集： {} 1((()())(()(,))) ((()())(()(,))) ((()()())(()()(,))) ()()(()),()()(,())G x E x V x y C y S x y x y E x V x C y S x y x y E x V x C y E x V x S x y E x V x C f x E x V x S x f x =??∧?∨?∧=???∨∨∧=???∨∨∧?∨∨?→∨→∨ {}2(()()((,)()))(),(),(,)()G x y P x E x S x y P y P a E a S a y P y =??∧∧→?→→→ 注意G2，如果理解成(()()(,)())x y P x E x S x y P y ??∧∧→，则还需有条件(()())x P x E x ?∧，最后同样能得到如上的子句集{}(),(),(,)()P a E a S a y P y →→→。不

离散数学 数理逻辑 课后答案

第一章命题逻辑基本概念 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 8.p:2<1，q:3<2 （1）p→q， （2）p→┐q， （3）┐q→p， （4）┐q→p， （5）┐q→p， （6）p→q， 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 16.设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1

人工智能原理教案02章 归结推理方法2.2 命题逻辑的归结

2.2命题逻辑的归结 2.2.1命题逻辑基础 逻辑可分为经典逻辑和非经典逻辑，其中经典逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。归结原理是一种主要基于谓词（逻辑）知识表示的推理方法，而命题逻辑是谓词逻辑的基础。因此，在讨论谓词逻辑之前，先讨论命题逻辑的归结，便于内容上的理解。 本节中，将主要介绍命题逻辑的归结方法，以及有关的一些基础知识和重要概念，如数理逻辑基本公式变形、前束范式、子句集等。 描述事实、事物的状态、关系等性质的文字串，取值为真或假（表示是否成立）的句子称作命题。 命题：非真即假的简单陈述句 在命题逻辑里，单元命题是基本的单元或作为不可再分的原子。下面所列出的是一些基本的数理逻辑公理公式和一些有用的基本定义，如合取范式、子句集，这些公式和定义在归结法的推理过程中是必不可少的，也是归结法的基础，应该熟练掌握。 －数理逻辑的基本定义 下面所列的是一些数理逻辑中重要的定义，在后面的分

析中要用到： ·合取式：p与q，记做p∧q ·析取式：p或q，记做p∨q ·蕴含式：如果p则q，记做p→q ·等价式：p当且仅当q，记做p q ·若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式； ·若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式； ·若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的； ·析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取式 ·合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取式 －数理逻辑的基本等值式 下面这些基本的等式在归结原理实施之前的公式转化过程中是非常重要的。只有将逻辑公式正确转换成为归结原理要求的范式，才能够保证归结的正常进行。 ·交换律：p∨q q∨p； p∧q q∧p ·结合律：(p∨q)∨r p∨(q∨r); (p∧q)∧r p∧(q∧r) ·分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)； p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)·双重否定律：p～～p ·等幂律：p p∨p；p p∧p

离散数学答案命题逻辑

第二章 命题逻辑 习题2.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题2.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题. 说明:

05-L.01 谓词逻辑的推理结构

? 离散数学基础 2017-11-19?定义：谓词逻辑的推理结构 ?设有谓词公式 A、B，若在令 A 为真的任一解释下，B 亦为真，则说 B 是 A 的逻辑推论，或称推理结构 A├ B 是正确的（或者有效的），记为 A ? B。 ?例1：所有的整数都是有理数，所有的有理数都是实数，所以所有的整数都是实 数。 ?解：设 P(x)：x 是整数。 Q(x)：x 是有理数。 R(x)：x 是实数。 形式化： ① (?x)(P(x) →Q(x)) ②(?x)(Q(x) →R(x)) ③(?x)(P(x) →R(x)) 推理结构： ①, ② ├ ③ ?例2：人总是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底也是要死的。 ?解：设 P(x)：x 总是要死的。 Q(x)：x 是人。 形式化： ① (?x)(Q(x) →P(x)) ②Q(苏格拉底) ③P(苏格拉底) 推理结构： ①, ② ├ ③ ?例3：有一个人又高又胖，所以必有一个高个子和一个胖子。 ?解：设论域为人的集合 P(x)：x 是高的。 Q(x)：x 是胖的。 推理结构： (?x)(P(x)∧Q(x)) ├ (?x)P(x)∧(?x)Q(x) ?定理：演绎定理 ?设谓词公式 A、B，如果从 A 应用推理规则得到 B，并且在推出过程中，A 中

的自由变量保持不变，则A→B 是普遍有效的。 ?由于普遍有效性的不可判定性，在谓词逻辑中应用推理规则更为重要。 ?推理定理 ?若干常用的正确的推理形式： (1)(?x)P(x)∨(?x)Q(x) ? (?x)(P(x)∨Q(x)) (2)(?x)(P(x)∧Q(x)) ? (?x)P(x)∧(?x)Q(x) (3)(?x)(P(x)→Q(x)) ? (?x)P(x)→(?x)Q(x) (4)(?x)(P(x)→Q(x)) ? (?x)P(x)→(?x)Q(x) (5)(?x)(?y)P(x, y) ? (?y)(?x)P(x, y) (6)(?x)(?y)P(x, y) ? (?y)(?x)P(x, y) (7)(?x)(?y)P(x, y) ? (?x)(?y)P(x, y) ?推理定理 ?(3) 证：(?x)(P(x)→Q(x)) ? (?x)P(x)→(?x)Q(x) ?设 (?x)(P(x)→Q(x))=T ?当 (?x)P(x)=T时，对任意 x0，有P(x0)=T。 ?对此 x0，由假设知，P(x0)→Q(x0)=T ?故此时只能 Q(x0)=T ?从 x0 的任意性得 (?x)Q(x)=T ?即 (?x)P(x)→(?x)Q(x)=T ?故上述推理形式是有效的。 ?推理定理 ?(5) 证： (?x)(?y)P(x, y) ? (?y)(?x)P(x, y) ?设 (?x)(?y)P(x, y)=T ?即任意的 x 与所有的 y 都有 P(x, y)=T ?则对任意的 x 与某一固定的 y0，都有 P(x, y0)=T ?即 (?x)P(x, y0)=T ?故 (?y)(?x)P(x, y)=T ?即上述推理形式是有效的。 ?推理规则 ?在谓词逻辑的推理中，可以直接引用命题逻辑的推理规则。我们还需要建立一些新的推理规则处理与个体和量词相关的推理过程。 ?(1) 全称量词消去 US ?① (?x)A(x) ? A(y) –假设 y 不在 A(x) 中约束出现 ?② (?x)A(x) ? A(c) –假设 c 是个体域中的任一常量 ?(2) 全称量词引入 UG

谓词逻辑

第二章 谓词逻辑 学习指导 2 .1 谓词逻辑的基本概念 谓词 在原子命题中，所描述的对象称为个体，用以描述一个个体的性质或多个个体间关系的部分，称为谓词。一般用大写字母P ，Q ，R ，… 等来表示它们。另外这些大写字母还可以用来表示一个谓词所在的位置，而不表示具体的谓词，此时称之为谓词符号。如果一个谓词描述n 个个体的性质或关系，那么称此谓词为n 元谓词。表示一个n 元谓词所在位置的字母称为n 元谓词符号。约定0元谓词符号为命题变元。 个体常元和个体变元 表示具体的，特指的个体词，称为个体常元，常用小写字母 , … 或带下标的小写字母, … 来表示。同样这些小写字母也可以用来表示一个个体常元所在的位置，而不表示具体的个体常元，此时称之为个体常元符号。表示抽象的，泛指的或在一定范围内变化的个体词，称为个体变元，常用小写字母c b a ,,i i i c b a ,,z y x ,,, … 或 带下标的小写字母, … 来表示。 个体变元的取值范围称为个体域，常用大写字母表示。个体常元符号与个体变元是两个不同的概念，例如对个体变元可以加量词，但对个体常元符号却不能加。 i i i z y x ,,D n 元谓词函数 设P 为一个元谓词符号，为个个体变元，由它们组成的称为n 元谓词函数。本身不是一个命题， 但在用具体的谓词代替P ，用n 个个体常元分别代替个个体变元n n x x x ",,21n ),,(21n x x x P "),,(21n x x x P "n 12,,,n x x "x 之后，它就是一个命题了。 量词 （1） 符号“”称为全称量词符，用来表达个体域中所有个体，对应于自然语言中“对所有的”，“每一个”，“对任何一个”和“一切”等词语。?x ?称为全称量词，x 称为其指导变元。 （2）符号“”称为存在量词符，用来表达个体域中某个或某些个体，对应于自然语言中“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”和“有的”等词语。?x ?称为存在量词，x 称为其指导变元。 全总个体域 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。 一般地，命题中个体变元的个体域是被明确给出的，如果没有明确给出个体域，那么我们就认为个体域是全总个体域。 特性谓词 我们把为了确定个体变元的取值范围而引进的谓词称为特性谓词。一般地对全称量词的指导变元限制取值范围用特性谓词和条件式，对存在量词的指导变元限制取值范围用特性谓词和合取式。 2 .2. 谓词公式