第3讲立体几何中的向量方法
高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.
真题感悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()
A.
3
2 B.
15
5 C.
10
5 D.
3
3
解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
图(1) 图(2)
则B (0，0，0)，B 1(0，0，1)，C 1(1，0，1).
又在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，则A (－1，3，0). 所以AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→
＝(1，0，1)， 则cos 〈AB 1→，BC 1→
〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|
＝
（1，－3，1）·（1，0，1）
5×2
＝
25×2
＝10
5， 因此，异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为10
5.
法二 如图(2)，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则PN ∥BC 1，MN ∥AB 1，
∴AB 1与BC 1所成的角是∠MNP 或其补角. ∵AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，
∴MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝2
2.
取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，则可知△PQM 为直角三角形，且PQ ＝1，MQ ＝1
2AC ，
在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×
? ????
－12＝7，AC ＝7， 则MQ ＝72，则△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝11
2， 则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 2
2·MN ·NP
＝? ????522＋? ????222－? ????1122
2×52×22
＝－105，
又异面直线所成角范围为? ?
???0，π2，则余弦值为105.
答案 C
2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点. (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值.
(1)证明 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . 因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，
所以BC ⊥平面CMD ，又DM ?平面CDM ，故BC ⊥DM .
因为M 为CD ︵
上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .
又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .
由于DM ?平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)解 以D 为坐标原点，DA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .
当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为CD ︵
的中点.
由题设得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，1)，
AM →＝(－2，1，1)，AB →＝(0，2，0)，DA →
＝(2，0，0). 设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量， 则?????n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即???－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0.
可取n ＝(1，0，2).
又DA →
是平面MCD 的法向量，
因此cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA →|n ||DA →|
＝55，sin 〈n ，DA →
〉＝255.
所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值为25
5. 3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD 为正方形， E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
(1)证明 由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，PF ，EF ?平面PEF ，所以BF ⊥平面PEF .
又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .
(2)解 作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD . 以H 为坐标原点，以HF →的方向为y 轴的正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz .
由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故EF 2＝PE 2＋PF 2，所以PE ⊥PF .
可得PH ＝32，EH ＝3
2.
则H (0，0，0)，P ?
????0，0，32，D ? ?
???－1，－32，0，
DP →＝? ????1，32，32，HP →＝? ????
0，0，32为平面ABFD 的一个法向量.
设DP 与平面ABFD 所成角为θ， 则sin θ＝?????
???HP →·DP →|HP →||DP →|＝343
＝3
4. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3
4.
考 点 整 合
1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则 (1)线面平行
l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直
l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行
α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.
2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算
设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同).
(1)线线夹角
设l ，m 的夹角为θ? ?
???0≤θ≤π2，则
cos θ＝|a ·b |
|a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|
a 21＋
b 21＋
c 21a 22＋b 22＋c 2
2
. (2)线面夹角
设直线l 与平面α的夹角为θ? ?
?
??0≤θ≤π2，则
sin θ＝|a ·μ|
|a ||μ|＝|cos a ，μ|. (3)面面夹角
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝|μ·v |
|μ||v |＝|cos
μ，v
|.
热点一 利用空间向量证明平行、垂直关系
【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明： (1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .
证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).
(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →
＝0. 所以BE ⊥DC .
(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ?平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，
所以向量AB →
＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量， 而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ?平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .
(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →
＝(2，0，0)，
设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·PD →＝0，n ·
DC →＝0，即???2y －2z ＝0，2x ＝0，
不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .
探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能
利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE ?平面P AD 而致误.
【训练1】 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点.求证： (1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .
证明 (1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则B (0，0，0)，D (0，2，2)，B 1(0，0，4)，C 1(0，2，4). 设BA ＝a ，则A (a ，0，0)，
所以BA →＝(a ，0，0)，BD →＝(0，2，2)，B 1D →
＝(0，2，－2). B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0， 则B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .
又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ?平面ABD ， 因此B 1D ⊥平面ABD .
(2)由(1)知，E (0，0，3)，G ? ??
??
a 2，1，4，F (0，1，4)，
则EG →＝? ????a 2，1，1，EF →
＝(0，1，1)，
B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →
＝0＋2－2＝0， 即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .
又EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ?平面EGF ， 因此B 1D ⊥平面EGF .
结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD . 热点二 利用空间向量计算空间角
考法1 求线面角或异面直线所成的角
【例2－1】 (2018·烟台质检)如图，在梯形ABCD 中，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，平面BDFE ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，BE ⊥BD .
(1)求证：平面AFC ⊥平面BDFE ；
(2)若AB ＝2CD ＝22，BE ＝EF ＝2，求BF 与平面DFC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，平面BDFE ∩平面ABCD ＝BD ，AC ?平面ABCD ，AC ⊥BD ，
∴AC ⊥平面BDFE .又AC ?平面AFC ， ∴平面AFC ⊥平面BDFE .
(2)解 设AC ∩BD ＝O ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，AB ＝2CD ＝22， ∴OD ＝OC ＝1，OB ＝OA ＝2，
∵FE ∥OB 且FE ＝OB ，∴四边形FEBO 为平行四边形， ∴OF ∥BE ，且OF ＝BE ＝2，
又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD .
以O 为原点，向量OA →，OB →，OF →
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0，2，0)，D (0，－1，0)，F (0，0，2)，C (－1，0，0)，
DF →＝(0，1，2)，CD →＝(1，－1，0)，BF →
＝(0，－2，2)， 设平面DFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 有?????DF →·n ＝0，CD →·
n ＝0，即???y ＋2z ＝0，x －y ＝0.
不妨设z ＝1，得x ＝y ＝－2，得n ＝(－2，－2，1). 于是cos 〈n ，BF →
〉＝4＋28×9＝22.
设BF 与平面DFC 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BF →
〉|＝22.
∴BF 与平面DFC 所成角的正弦值为2
2.
探究提高 1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角).
【训练2】 (2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点. (1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.
解 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1 的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1.则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB .以{OB →，OC →，OO 1→
}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .因为AB ＝AA 1＝2，
所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2).
(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ? ??
??32，－1
2，2，
从而BP →＝? ????－32，－1
2，2，AC 1→＝(0，2，2)，
故|cos 〈BP →，AC 1→
〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|
＝|－1＋4|5×22＝31020.
因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310
20.
(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ? ??
??
32，12，0，
因此AQ →＝? ??
??32，32，0，AC 1→
＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2).
设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量， 则?????AQ →
·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即???32x ＋32y ＝0，
2y ＋2z ＝0.
不妨取n ＝(3，－1，1).
设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈CC 1→
，n 〉|＝|CC 1→
·n ||CC 1→|·|n |
＝25×2＝55，
所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为5
5. 考法2 二面角的计算
【例2－2】 (2018·福州模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1＝4，AB ＝2，AC ＝22，∠BAC ＝45°，点M 是棱AA 1上不同于A ，A 1的动点. (1)证明：BC ⊥B 1M ；
(2)若平面MB 1C 把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角M －B 1C －A 的余弦值.
(1)证明 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋8－2×2×22×cos 45°＝4，
∴BC ＝2，则有AB 2＋BC 2＝8＝AC 2， ∴∠ABC ＝90°，∴BC ⊥AB ， 又∵BB 1⊥BC ，BB 1∩AB ＝B ，
∴BC ⊥平面ABB 1A 1，又B 1M ?平面ABB 1A 1， 故BC ⊥B 1M .
(2)解 由题设知，平面MB 1C 把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C －ABB 1M 和四棱锥B 1－A 1MCC 1. 由(1)知四棱锥C －ABB 1M 的高为BC ＝2， ∵V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1＝12×2×2×4＝8，
∴V 四棱锥C －ABB 1M ＝1
2V 柱＝4，
又V 四棱锥C －ABB 1M ＝13S 梯形ABB 1M ·BC ＝2
3S 梯形ABB 1M ＝4， ∴S 梯形ABB 1M ＝6＝AM ＋42×2，∴AM ＝2. 此时M 为AA 1中点，
以点B 为坐标原点，BA →，BC →，BB 1→
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .
∴A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(0，0，4)，M (2，0，2). ∴CB 1→＝(0，－2，4)，B 1M →＝(2，0，－2)，AC →
＝(－2，2，0)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面CB 1M 的一个法向量， ∴?????n 1·CB 1→＝0，n 1·B 1M →＝0，即???－2y 1＋4z 1＝0，2x 1－2z 1＝0.
令z 1＝1，可得n 1＝(1，2，1)，
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACB 1的一个法向量， ∴?????n 2·CB 1→＝0，n 2·AC →＝0，即???－2y 2＋4z 2＝0，－2x 2＋2y 2＝0.
令z 2＝1，得n 2＝(2，2，1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2
|n 1|·|n 2|＝736＝
7618. 所以二面角M －B 1C －A 的余弦值等于76
18.
探究提高 1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.
2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.
【训练3】(2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1
⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中
点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交.
(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，
因为CC1⊥平面ABC，
所以四边形A1ACC1为矩形.
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
所以AC⊥EF.
因为AB＝BC，
所以AC⊥BE.
又EF∩BE＝E，
所以AC⊥平面BEF.
(2)解由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，
又CC1⊥平面ABC，
所以EF⊥平面ABC，
因为BE?平面ABC，
所以EF⊥BE.
如图建立空间直角坐标系E－xyz，由题意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).
所以BC →＝(－1，－2，0)，BD →
＝(1，－2，1). 设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则?????n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即???x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0.
令y 0＝－1，则x 0＝2，z 0＝－4. 于是n ＝(2，－1，－4).
又因为平面CC 1D 的法向量为EB →
＝(0，2，0)， 所以cos 〈n ，EB →
〉＝n ·EB →|n ||EB →|
＝－2121.
由题知二面角B －CD －C 1为钝角，所以其余弦值为－21
21.
(3)证明 由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，FG →
＝(0，2，－1). 因为n ·FG →
＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0， 所以直线FG 与平面BCD 相交. 热点三 利用空间向量求解探索性问题
【例3】 如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 的边长为2，侧棱长为2 2.
(1)若点E 为PD 上的点，且PB ∥平面EAC ，试确定E 点的
位置；
(2)在(1)的条件下，在线段P A 上是否存在点F ，使平面AEC 和平面BDF 所成的锐二面角的余弦值为1
14，若存在，求线段PF 的长度，若不存在，请说明理由. 解 (1)设BD 交AC 于点O ，连接OE .
∵PB ∥平面AEC ，平面AEC ∩平面BDP ＝OE ， ∴PB ∥OE .
又O 为BD 的中点，∴在△BDP 中E 为PD 中点. (2)连接OP ，由题知PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ， ∴以OC →，OD →，OP →
所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，如图.
OP ＝PD 2－OD 2＝ 6.
∴O (0，0，0)，A (－2，0，0)，B (0，－2，0)，C (2，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，6)，
则E ? ????0，22，62，OC →＝(2，0，0)，OE →＝? ????0，22，62，OD →
＝(0，2，0).
设平面AEC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1). 则?????m ·OC →
＝0，m ·
OE →＝0????x 1＝0，y 1＋3z 1＝0.
令z 1＝1，得平面AEC 的一个法向量m ＝(0，－3，1)，
假设在线段P A 上存在点F ，满足题设条件，不妨设PF →＝λP A →
(0≤λ≤1). 则F (－2λ，0，6－6λ)，OF →
＝(－2λ，0，6－6λ). 设平面BDF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴?????n ·OD →＝0，n ·OF →＝0????y 2＝0，－2λx 2＋（1－λ）6z 2＝0.
令z 2＝1得平面BDF 的一个法向量
n ＝? ??
??3（1－λ）λ，0，1.
由平面AEC 与平面ADF 所成锐二面角的余弦值为1
14， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n
|m ||n |＝
1
2·
1＋3? ???
?
1λ－12＝1
14， 解得λ＝1
5.
所以|PF →|＝15|P A →|＝225
.
故在线段P A 上存在点F ，当|PF |＝22
5时，使得平面AEC 和平面BDF 所成的锐
二面角的余弦值为1
14.
探究提高 1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.
2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论. 【训练4】 (2018·广州质检)如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE ＝22，DE >BF ，∠ABC ＝120°. (1)当BF 长为多少时，平面AEF ⊥平面CEF? (2)在(1)的条件下，求二面角E －AC －F 的余弦值. 解 (1)连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD . 取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE . ∵DE ⊥平面ABCD ，∴OG ⊥平面ABCD . ∴OG ，AC ，BD 两两垂直.
以AC ，BD ，OG 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)， 设BF ＝m (0 由题意，易求A (3，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，－1， 22)，F (0，1，m ).则AE →＝(－3，－1，22)，AF →＝(－3，1，m )，CE → ＝(3，－1，22)，CF → ＝(3，1，m )， 设平面AEF ，平面CEF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则?????n 1·AE →＝0，n 1· AF →＝0，∴???－3x 1－y 1＋22z 1＝0，－3x 1＋y 1＋mz 1＝0， 解得???z 1＝23m ＋22 x 1， y 1 ＝26－ 3m m ＋2 2 x 1. 取x 1＝m ＋22，得n 1＝(m ＋22，26－3m ，23). 同理可求n 2＝(m ＋22，3m －26，－23). 若平面AEF ⊥平面CEF ，则n 1·n 2＝0， ∴(m ＋22)2＋(3m －26)(26－3m )－12＝0， 解得m ＝2或m ＝72(舍)， 故当BF 长为2时，平面AEF ⊥平面CEF . (2)当m ＝2时，AE →＝(－3，－1，22)，AC →＝(－23，0，0)，EF →＝(0，2，－2)，AF →＝(－3，1，2)，CF → ＝(3，1，2)， 则EF →·AF →＝0，EF →·CF →＝0，所以EF ⊥AF ，EF ⊥CF ，且AF ∩CF ＝F ，所以EF ⊥平面AFC ， 所以平面AFC 的一个法向量为EF → ＝(0，2，－2). 设平面AEC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ?????n ·AE →＝0，n · AC →＝0，∴???－3x －y ＋22z ＝0，x ＝0，得???y ＝22z ，x ＝0. 令z ＝2，n ＝(0，4，2). 从而cos 〈n ，EF → 〉＝n ·EF → |n |·|EF →|＝663＝ 33. 故所求的二面角E －AC －F 的余弦值为3 3. 1.两条直线夹角的范围为???? ??0，π2.设直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2，其夹角为θ，则cos θ＝|cos n 1，n 2|＝|n 1·n 2| |n 1||n 2|. 2.二面角的范围为[0，π].设半平面α与β的法向量分别为n 1与n 2，二面角为θ，则|cos θ|＝|cos n 1，n 2 |＝|n 1·n 2||n 1 ||n 2 |. 3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错. 4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性. 一、选择题 1.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( ) A.32 B.22 C.104 D.64 解析 如图，建立空间直角坐标系， 易求点D ? ???? 32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1，0， 0)，所以sin α＝|cos 〈n ，AD → 〉|＝3 22＝64. 答案 D 2.(2018·合肥质检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是底面ABCD 上的动点，则(CE →－CA 1→)·D 1B 1→的最大值为( ) A.22 B.1 C. 2 D. 6 解析 由正方体性质知CA 1→·D 1B 1→＝0，则(CE →－CA 1→)·D 1B 1→ ＝CE →·D 1B 1→.建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，1，0)，C (0，1，0).设点E (x ，y ，0)，则CE →＝(x ，y －1，0)，D 1B 1→＝DB → ＝(1，1，0).∴CE →·D 1B 1→ ＝(x ，y －1，0)·(1，1，0)＝x ＋y －1. 易知当E 位于点B 时，x ＋y 有最大值2.因此CE →·D 1B 1→的最大值为2－1＝1. 答案 B 3.(2018·衡水中学质检)如图，在四棱锥C －ABOD 中，CO ⊥平面ABOD ，AB ∥OD ，OB ⊥OD ，且AB ＝2OD ＝4，AD ＝22，异面直线CD 与AB 所成角为30°，若点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.72π B.8π C.28 3π D.263π 解析 ∵CD 与AB 所成角为30°，且AB ∥OD ，∴∠CDO ＝30°，由OD ＝2，知OC ＝OD ·tan 30°＝233.在直角梯形ABOD 中，OB ＝ AD 2－4＝2.因此(2R )2＝OB 2 ＋OD 2＋OC 2＝283，故球的表面积S ＝4πR 2＝28 3π. 答案 C 4.(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 解析 法一 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角.因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝ AD 2＋DD 21＝2，DM ＝ AD 2 ＋? ?? ??12AB 2 ＝52， DB 1＝ AB 2＋AD 2＋DD 21 ＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在 专题1 第3讲 1．(2017·重庆西北狼联盟试题)如图，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( C ) A.3gR 2 B ．3gR 2 C. 33gR 2 D ． 3gR 3 解析 小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，由此可知此时小球的速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝tan 30°2＝36，因此tan θ＝y x ＝y 3 2 R ， 则竖直位移y ＝ 34R ，v 2 y ＝2gy ＝3gR 2，所以tan 30°＝v y 0 ，v 0＝32 gR 33 ＝33 2 gR ，选项C 正确． 2．(2017·江西名校质检)(多选)如图所示，在竖直平面内，位于P 、Q 两点的两个小球相向做平抛运动，二者恰好在M 点相遇．已知P 、Q 、M 三点组成边长为 L 的等边三角形，则下列说法正确的是( BC ) A ．两个小球相向做平拋运动的初速度一定相同 B ．两个小球从拋出到相遇，运动的时间一定相同 C ．两个小球相遇时的速度大小一定相等 D ．两个小球相遇时速度方向间的夹角为60° 解析 根据平抛运动规律，两个小球相向做平抛运动的初速度大小一定相等，方向相反， 选项A 错误；两个小球从抛出到相遇，竖直位移相等，根据平抛运动规律，两个小球从抛出到相遇，运动的时间一定相同，选项B 正确；两个小球从抛出到相遇过程机械能守恒，由机械能守恒定律，可知两个小球相遇时的速度大小一定相等，选项C 正确；两个小球相遇时位移方向间的夹角为60°，故速度方向间的夹角小于60°，选项D 错误． 3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直． 一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( B ) A.v 2 16g B ．v 28g C ．v 24g D ．v 22g 解析 设轨道半径为R ，小物块从轨道上端飞出时的速度为v 1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律，有mg ×2R ＝12m v 2－1 2m v 21，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分 解有x ＝v 1t,2R ＝1 2 gt 2，求得x ＝ －16????R －v 2 8g 2＋v 4 4g 2，因此当R －v 2 8g ＝0，即R ＝v 2 8g 时，x 取得最大值，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 4．(2017·安徽师大附中模拟)(多选)如图所示，BOD 是半圆的水平直径，OC 为竖直半径，半圆半径为R .现有质量相同的a 、b 两个小球分别从A 、B 两点以一定的初速度水平抛出，分别击中半圆轨道上的D 点和C 点，已知b 球击中C 点时动能为E k ，A 点在B 点正上方且A 、B 间距为R ，不计空气阻力，则( AD ) A ．a 球击中D 点时动能为1.6E k B ．a 球击中D 点时动能为1.25E k C ．a 、b 两球初速度之比为1：1 D ．a 、b 小球与轨道碰撞瞬间，重力的瞬时功率之比为1：1 第3讲 数列的综合问题 「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分. 核心知识回顾 数列综合应用主要体现在以下两点： (1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等． (2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力． 热点考向探究 考向1 数列与函数的综合问题 例 1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2 |对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N * )． (1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x －x 2 ＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)； (2)若b n ＝a n ·? ?? ??13an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N * ，都有S n 主旨大意题——标题归纳题 (建议用时：25分钟) A (2019·青岛质量检测)Recently whenever I turned on my computer or my mobile phone, news about the great effect of Hurricane Harvey on thousands of people caught my eye. I saw many unfortunate events. However, there was also the bright news that confirmed the goodness of mankind. As a journalist, I wrote many human-interest stories during my career. That’s why the story about the guys in the bakery caught my eye. When the staff at a Mexican bakery chain in Houston were trapped inside the building for two days, they didn’t sit there feeling sorry for themselves. They used their time wisely after flooding caused by Hurricane Harvey. While they were waiting for the eventual rescue that came on Monday morning, four decided to make as many loaves of bread as possible for their community. The flood water rose in the street outside. They took advantage of their emergency power supply to bake bread. They used more than 4，200 pounds of flour to create hundreds of loaves and sheets of sweet bread. Although the water kept rising, they continued baking to help more people. By the time the owner managed to get to them, they had made so much bread that they took the loaves to loads of emergency centers across the city for people affected by the floods. The store manager, Brian Alvarado, told The Independent, “Whenever a disaster occurs, nobody should just feel forlorn. Instead, we should take positive action to save ourselves and help others. Our acts of kindness will make a big difference.” 【解题导语】本文是一篇记叙文。一家连锁面包店的员工们在面对哈维飓风带来的洪水、断电时，在等待救援的同时采取积极的行动，利用应急电源烤面包去帮助社区受洪水影响的居民。 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题) 热点一 三角形基本量的求解 求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果. 例1 (2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对 的边，已知a cos A ＝R ，其中R 为△ABC 外接圆的半径，a 2＋c 2－b 2＝433 S ，其中S 为△ABC 的面积. (1)求sin C ； (2)若a －b ＝2－3，求△ABC 的周长. 解 (1)由正弦定理得a cos A ＝a 2sin A ， ∴sin 2A ＝1，又0<2A <π， ∴2A ＝π2，则A ＝π4 . 又a 2＋c 2－b 2＝433·12 ac sin B ， 由余弦定理可得2ac cos B ＝ 233 ac sin B ， ∴tan B ＝3， 又0 又sin C ＝ 2＋64， ∴c ＝22 2·2＋64＝2＋62， ∴a ＋b ＋c ＝322＋3＋62 . 跟踪演练1 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos A ＝b cos C ＋c cos B . (1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝8，求c . 解 (1)方法一 由余弦定理cos B ＝c 2＋a 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ， 得2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ＝a ， ∴cos A ＝12 . ∵0 一、选择题 (2011年广东佛山市模拟)下图为某地区水循环示意图，读图回答1～2题。 1．图示地区建有大型水库，水库建成后对水循环的各环节可能造成的影响，说法不．正确的 是() A．库区下渗加强，周边地下水位上升 B．库区水汽蒸发增强，周边空气湿度增大 C．库区受热力环流影响，冬季降水减少，夏季降水增加 D．库区下游河流径流量变化幅度减小 2．在F处建有一座海水淡化工厂，从水循环角度看其作用类似于() A．海陆间循环B．跨流域调水 C．水库D．地下水补给湖水 解析：建水库后，库区下渗量增大，必然导致周边地下水位升高；库区蒸发量增大，周边空气湿度增大；由于水库的调节作用，下游河流的径流季节变化幅度减小；库区形成小型“海陆风”，冬季库区降温慢，相对周边地区是热源，故降水增加，夏季库区增温慢，相对周边地区是冷源，故降水减少。海陆间循环可以使陆地的淡水资源得到更新，这与海水淡化的作用类似。 答案：1.C 2.A 一年中等于和大于某一水位出现的天数之和称为历时。下图为“在某河流某水文观测站测得的水位过程线(水位随时间变化的曲线)与水位历时曲线图”。读图完成3～4题。 3．图中曲线表示水位历时曲线的是() A．甲B．乙 C．丙D．丁 4．若该河流水位高于58米时可通航，则通航时间大约有() A．210天B．240天 C．300天D．366天 解析：第3题，根据历时的含义可知，水位高，历时时间短，水位低，历时时间长，所以甲表示水位历时曲线。第4题，读图可知，该河流水位高于58米的时段为1～10月，所以通航时间大约有300天。 答案：3.A 4.C 5．读下图，若此时地球公转速度较慢，甲地的河水和地下水的互补关系最有可能的是() 专题三 语言表达简明、连贯、得体，准确、鲜明、生动(含应用文体写作) 第1讲 语言表达得体——老题型有可 能披上“新嫁衣” 1．(2018·全国卷Ⅰ)下面是某校一则启事初稿的片段，其中有 五处不合书面语体的要求，请找出并作修改。(5分) 我校学生宿舍下水道时常堵住。后勤处认真调查了原因，发现管子陈旧，需要换掉。学校打算7月15日开始施工。施工期间正遇上暑假，为安全起见，请 全体学生暑假期间不要在校住宿。望大家配合。 解析：启事应用书面语，“下水道时常堵住”“管子陈旧”“需要换掉”等几处语言表达口语化，应将“堵住”改为“堵塞”，“管子”改为“管道”，“换掉”改为“更换”，“打算”改为“计划”，“正遇上”改为“正值”。 答案：①“堵住”改为“堵塞”；②“管子”改为“管道”；③“换掉”改为“更换”；④“打算”改为“计划”；⑤“正遇上”改为“正值”。(每点1分) 2．(2018·全国卷Ⅲ)下面是一封信的主要内容，其中有五处不得体，请找出并作修改。(5分) 获悉文学院下周举办活动，隆重庆贺先生教书50周年，我因 俗务缠身，不能光临，特惠赠鲜花一束，以表敬意。随信寄去近期出版的拙著一册，还望先生先睹为快。 盛夏快来了，请先生保重身体。 解析：作答本题，要注意题干中“五处不得体”“找出并作修改”等关键信息。阅读文段，可以先圈出文段中涉及得体的词句，如“获悉”“隆重庆贺”“俗务缠身”“光临”“惠赠”“以表敬意”“拙著”“先睹为快”“请先生保重身体”等，然后再根据具体语境判断这些词句使用是否得体，例如“光临”是对他人来访的敬称，“惠赠”是对别人赠予自己东西的敬称，“先睹为快”是说自己殷切盼望，用在句中都不得体。另外，从文段整体来看，语言较为文雅，相比之下，“教书”“快来了”就显得过于口语化了，也不得体。 答案：(示例)①“教书”改为“从教”；②“光临”改为“前往”或“参加”；③“惠赠”改为“奉上”“奉送”或“敬赠”；④“先睹 1．(2017·新课标全国卷)某同学利用螺旋测微器测量一金属板的厚度。该螺旋测微器校零时的示数如图1(a)所示，测量金属板厚度时的示数如图(b)所示。图(a)所示读数为________ mm，图(b)所示读数为________ mm，所测金属板的厚度为________ mm。 图1 解析：图(a)：0 mm＋0.01 mm×1.0＝0.010 mm；图(b)：6.5 mm＋0.01 mm×37.0＝6.870 mm；故所测金属板的厚度为6.870 mm－0.010 mm＝6.860 mm。 答案：0.010 6.870 6.860 2．(2017·合肥一模)甲、乙和丙三位同学做“互成角度的两个力的合成”的实验，所用弹簧测力计的量程为0～5 N，他们都把橡皮条的一端固定在木板上的A点，橡皮条的另一端通过细绳连接弹簧测力计，用两个弹簧测力计把橡皮条的另一端拉到某一确定的O点，如图2所示，此时细绳都与平板平行，用F1和F2表示拉力的方向和大小。 甲同学：F1和F2的方向互相垂直，F1＝3.0 N、F2＝3.8 N；乙同学：F1和F2方向间的夹角约为30°，F1＝F2＝4.0 N；丙同学：F1和F2方向间的夹角约为120°，F1＝F2＝4.0 N。这三位同学中操作不合适的是哪一位？并说明原因。 图2 解析：操作不合适的是乙同学，因为他这两个力的合力超过了测力计刻度的最大值5 N，下面再用一个弹簧测力计拉橡皮条时，结点不能被拉到O点。 答案：乙同学，原因见解析 3．(2017·湖北八校联考)某学习小组利用自行车的运动“探 究阻力做功与速度变化的关系”。人骑自行车在平直的路面上 运动，当人停止蹬车后，由于受到阻力作用，自行车的速度图3 会逐渐减小至零，如图3所示。在此过程中，阻力做功使自行车的速度发生变化。设自行车无动力后受到的阻力恒定。 (1)在实验中使自行车在平直的公路上获得某一速度后停止蹬车，需要测出人停止蹬车后自行车向前滑行的距离s, 为了计算自行车的初速度v，还需要测量________(填写物理量 第3讲立体几何中的向量方法 高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. 真题感悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为() A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系. 图(1) 图(2) 则B (0，0，0)，B 1(0，0，1)，C 1(1，0，1). 又在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，则A (－1，3，0). 所以AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→ ＝(1，0，1)， 则cos 〈AB 1→，BC 1→ 〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→| ＝ （1，－3，1）·（1，0，1） 5×2 ＝ 25×2 ＝10 5， 因此，异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为10 5. 法二 如图(2)，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则PN ∥BC 1，MN ∥AB 1， ∴AB 1与BC 1所成的角是∠MNP 或其补角. ∵AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， ∴MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝2 2. 取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，则可知△PQM 为直角三角形，且PQ ＝1，MQ ＝1 2AC ， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1× ? ???? －12＝7，AC ＝7， 则MQ ＝72，则△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝11 2， 则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 2 2·MN ·NP ＝? ????522＋? ????222－? ????1122 2×52×22 ＝－105， 又异面直线所成角范围为? ? ???0，π2，则余弦值为105. 答案 C 2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵ 上异于C ，D 的点. (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ； (2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值. (1)证明 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . 因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，又DM ?平面CDM ，故BC ⊥DM . 1．下列说法正确的是() A．强电解质的水溶液中不存在溶质分子，弱电解质的水溶液中存在溶质分子和离子B．强电解质的水溶液导电性比弱电解质的水溶液强 C．强电解质都是离子化合物，弱电解质都是共价化合物 D．强电解质易溶于水，弱电解质难溶于水 解析：选A。强电解质溶于水后，全部电离，不存在溶质分子；而弱电解质溶于水后，只部分电离，水溶液中存在溶质分子和离子，A正确。溶液的导电性由溶液中离子浓度的大小所决定，若强电解质溶液是稀溶液，则溶液中离子浓度小，导电性弱，B不正确。强电解质部分是离子化合物，部分是共价化合物，而弱电解质绝大部分是共价化合物，C不正确。强电解质有的难溶于水，如BaSO4、CaCO3；弱电解质有的是易溶于水，如H2SO3，D不正确。 2．(2011年沈阳四校高三阶段测试)已知反应：①Cl2＋2KBr===2KCl＋Br2，②KClO3＋6HCl===3Cl2↑＋KCl＋3H2O，③2KBrO3＋Cl2===Br2＋2KClO3，下列说法正确的是() A．氧化性由强到弱的顺序为：KBrO3>KClO3>Cl2>Br2 B．①中KCl是氧化产物，KBr发生还原反应 C．③中1 mol氧化剂参加反应得到电子的物质的量为2 mol D．反应②中氧化剂与还原剂的物质的量之比为1∶6 解析：选A。分析题给反应，氧化性①中：Cl2>Br2、②中：KClO3>Cl2、③中：KBrO3>KClO3，A对；①中KCl是还原产物，KBr发生氧化反应，B错；③中氧化剂是KBrO3，其转化为Br2，故1 mol KBrO3参加反应得到电子的物质的量为5 mol，C错；反应②中氧化剂是KClO3，Cl的化合价降低5价，还原剂是HCl，Cl的化合价升高1价，故氧化剂与还原剂的物质的量之比为1∶5，D错。 3.以Pt为电极，电解含有0.10 mol M＋和0.10 mol N3＋(M＋、N3＋ 均为金属阳离子)的溶液，阴极析出金属单质或气体的总物质的量(y) 与导线中通过电子的物质的量(x)的关系如图。对离子氧化能力的强弱 判断正确的是(选项中H＋为氢离子)() A．M＋>H＋>N3＋B．M＋>N3＋>H＋ C．N3＋>H＋>M＋D．条件不足，无法确定 解析：选A。从图象可以看出，开始导线中通过0.1 mol e－时，阴极析出产物的物质的量也为0.1 mol，此时应为M＋＋e－===M，然后导线中再通过0.2 mol e－时，阴极又得到0.1 mol 产物，可见此时为H＋放电，故离子的氧化性为：M＋>H＋>N3＋，即A项正确。 4．(2011年合肥高三第二次模拟)下列反应的离子方程式正确的是() A．过量石灰水与碳酸氢钙反应： Ca2＋＋2HCO－3＋2OH－===CaCO3↓＋CO2－3＋2H2O B．FeSO4酸性溶液暴露在空气中： 4Fe2＋＋O2＋4H＋===4Fe3＋＋2H2O C．向氯化铝溶液中滴加过量氨水： Al3＋＋4NH3·H2O===AlO－2＋4NH＋4＋2H2O D．H2SO4与Ba(OH)2溶液反应： Ba2＋＋OH－＋H＋＋SO2－4===BaSO4↓＋H2O 解析：选B。A应为Ca2＋＋HCO－3＋OH－===CaCO3↓＋H2O。C项NH3·H2O是弱碱，不能溶解氢氧化铝。D应为Ba2＋＋2OH－＋2H＋＋SO2－4===BaSO4↓＋2H2O。 5．(2011年高考安徽卷)室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是() A．饱和氯水中Cl－、NO－3、Na＋、SO2－3 B．c(H＋)＝1.0×10－13 mol·L－1溶液中C6H5O－、K＋、SO2－4、Br－ C．Na2S溶液中SO2－4、K＋、Cl－、Cu2＋ D．pH＝12的溶液中NO－3、I－、Na＋、Al3＋ 解析：选B。A项，氯水中的Cl2能将SO2－3氧化成SO2－4；B项，在碱性溶液中，C6H5O 第1讲 基本不等式与线性规划 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解. 真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋ 4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当 3 600 x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 30 2.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件???x －2y ＋4≥0， 2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0， 那么x 2＋y 2的取值范 围是________. 解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方. 由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2 )min ＝45； 点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是???? ?? 45，13. 答案 ???? ??45，13 3.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x ) －6恒成立，则实数m 的最大值为________. 解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立. 又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2 f （x ）·4 f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0） ＝4， ∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 4 4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________. 解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝ tan B ＋tan C tan B tan C －1 ， 所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A . 因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2， [课下——针对高考押题训练] 1．(2012·上海高考)A 、B 、C 三点在同一直线上，AB ∶BC ＝1∶2，B 点位于A 、C 之间，在B 处固定一电荷量为Q 的点电荷。当在A 处放一电荷量为＋q 的点电荷时，它所受到的电场力为F ；移去A 处电荷，在C 处放一电荷量为－2q 的点电荷，其所受电场力为( ) A ．－F /2 B ．F /2 C ．－F D ．F 解析：选B 如图所示，设B 处的点电荷带电荷量为正，AB ＝r ，则 BC ＝2r ，根据库仑定律F ＝kQq r 2，F ′＝kQ ·22r 2，可得F ′＝F 2 ，故选项B 正确。 2. (2012·福建质检)一静电场的方向平行于x 轴，其电势φ随x 的分布可简化为如图1所示的折线。现将带正电的试探电荷沿x 轴从x 1＝－d 移到x 2＝2d ，在此过程中，下列判断正确的是( ) A ．电场力的方向始终沿x 轴正方向 B ．电场力的大小先逐渐增大后逐渐减小 图1 C ．电势能先逐渐减小后逐渐增大 D ．电场力先做负功后做正功 解析：选D 由图可知在－d 到O 的过程中电势在升高，故电场线的方向沿x 轴的反方向，在O 到2d 的过程中电势在降低，故电场线的方向沿x 轴的正方向，所以电场线的方向先向x 轴的反方向再向正方向，电场力的方向先向反方向，再向正方向，故A 错；由图象知电势随x 均匀变化，故沿x 正方向和反方向的电场都是匀强电场，故B 错；在－d 到O 的过程中电势在升高，正电荷的电势能在增加，在O 到2d 的过程中电势在降低，正电荷的电势能在减小，电场力先做负功后做正功，故C 错D 对。 3．如图2甲所示，A 、B 是某电场中一条电场线上的两点。一个带负电的点电荷仅受电场力作用，从A 点沿电场线运动到B 点。在此过程中，该点电荷的速度v 随时间t 变化的规律如图乙所示。则下列说法中正确的是( ) 图2 A ．A 点的电场强度比 B 点的大 B ．A 、B 两点的电场强度相等 C ．A 点的电势比B 点的电势高 第二部分专题一第3讲 【真题达标组】 A (2019 浙江卷，B) Money_with_no_strings_attached. It's not something you see every day. But at Union Station in Los Angeles last month, a board went up with dollar bills attached to it with pins and a sign that read, “Give What You Can, Take What You Need.” People quickly caught on. And while many took dollars, many others pinned their own cash to the board. “People of all ages, races, and socio－economic (社会经济的) backgrounds gave and took, ”said Tyler Bridges of The Toolbox, which creat ed the project. “We even had a bride in her wedding dress come up to the board and take a few dollars.” Most of the bills on the board were singles, but a few people left fives, tens and even twenties. The video clip (片段) shows one man who had found a $ 20 bill pinning it to the board. “What I can say for the folks that gave the most, is that they were full of smiles，” Bridges said. “There's a certain feeling that giving can do for you and that was apparent in those that gave the most.” Most people who took dollars took only a few, but Bridges said a very small number took as much as they could. While the clip might look like part of a new ad campaign, Bridges said the only goal was to show generosity and sympathy. He added that he hopes people in other cities might try similar projects and post their own videos on the Internet. “After all, everyone has bad days and good days，”he said. “Some days you need a helping hand and some days you can be the one giving the helping hand.” ()1.What does the expression “money with no strings attached” in Paragraph 1 mean? A．Money spent without hesitation. B．Money not legally made. C．Money offered without conditions. D．Money not tied together. ()2.What did Bridges want to show by mentioning the bride? A．Women tended to be more sociable. B．The activity attracted various people. C．Economic problems were getting worse. D．Young couples needed financial assistance. ()3.Why did Bridges carry out the project? A．To do a test on people's morals. B．To raise money for his company. 第3讲 不等式 [考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式 恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼 1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b . (2)a <0b >0,0 专题一第3讲 (2019·山东烟台模拟)阅读下面的文字，完成1～3题。 毫无疑问，反映现实生活应当是现实主义的首要任务。只有直面现实生活，真实反映生活现实和强力介入生活实践，才能更充分地体现现实主义精神。其次，从反映生活的内容来看，不能只是满足于描写庸常化的生活，而应该反映现实生活中那些更为人们普遍关注的现象，包括社会变革发展中的各种矛盾和现实问题，让人们更深刻地认识和理解现实。这就需要如鲁迅所说的那样，敢于直面和正视现实。再次，反映生活必然要求真实性。历来的现实主义理论，无不把真实性视为现实主义文学最根本的特性。然而问题在于，什么是现实主义文学的真实性？无论是巴尔扎克还是恩格斯，都不约而同地强调了细节描写的真实性。但仅限于此显然不够，恩格斯还特别强调真实地描写现实关系，真实地再现典型环境中的典型人物，真实地把握和描写推动现实生活发展的历史潮流。 现实主义并非自然主义式的照搬生活真实，而是要求高于生活真实达到典型化的高度，这本来也是人们所熟知的常识。然而以往对于文学典型的理解似乎存在偏差，有的典型理论将其解释为个性与共性统一，同时又把“共性”解释为某一类人物的共同特征，比如从几十个乃至几百个同类人物身上，把他们最有代表性的特点习惯等等抽取出来，综合在一个人物身上创造出典型，不过这种理解过于简单化了。现实主义文学的典型化，更重要的还在于，并不仅限于按照生活真实进行综合创造，而是要用深刻的思想洞察现实，用高于现实的审美理想烛照现实，创造具有典型意义的人物形象。 所谓创造典型人物，无论正面、反面还是多面性的复杂人物，都不只在于刻画其鲜明独特的性格，更需要穿透人物的精神灵魂，在艺术审美理想的烛照下，把人物真假善恶美丑的本来面目及其复杂性深刻揭示出来，这样才真正具有典型意义。如在《平凡的世界》中，自尊好强不屈服于命运的农家子弟孙少平，敢爱敢恨正义凛然的田晓霞，心系乡土不计得失的田福军，这些人物形象不仅个性鲜明独特让人印象深刻，而且的确抵达了人物的灵魂深处，揭示了人物精神信念的坚定或幻灭，应当说是融入了作者审美理想的典型化创造。 现实主义文学反映生活现实，必定有一个对待生活现实的态度问题，这通常被称为现实主义的思想倾向性。我们的基本立场，应当是基于社会的文明进步和合理健全发展，以及人合乎人性的自由全面发展，确立我们应有的文学观念和审美理想。从这种基本立场出发，就理应坚持批判反思与弘扬正气相统一的价值导向。当然，在文艺家的创作实践中，根据具体创作题材的不同往往有不同的侧重。比如《平凡的世界》既有对人民深恶痛绝的官僚主义腐败现象的深刻揭露与批判，也有对勇于改革担当为民造福的激情讴歌。铁凝的《永远有多远》，则侧重于对于小说主人公坚守传统价值观念却在现实变革中无所适从的现象进行反思，同样具有打动人心的力量。 总之，无论是对现实的批判、歌颂还是反思，都应当是基于促进社会和人的合理健全发展的审美理想。批判现实并不是为了个人情绪的发泄，而应当是为了理想而否定；歌颂现实也不是为了某种廉价的逢迎，而是真正出于弘扬正气和表达民心所向；反思现实同样不是为了把人引入精神虚无和迷惘，而是应当引导人们在反思中找到应有的价值方向和审美理想。现实主义文学不同于其他文学形态，其特性与力量正在于此。 (摘编自赖大仁《现实主义是一种精神品格》) ★1．下列关于原文内容的理解和分析，不正确的一项是() 《创新设计》图书 第2讲 三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：（1）一元二次不等式是 C 级要求，要求 在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联 系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题; 立问题、存在性问题通常以不等式为载体，体现了转化与化归思想 真题感悟 1.（2017江苏卷）记函数f （x ）"6+ X — X 2 的定义域为D.在区间［—4, 5］上随机 取 一个数X ,则x € D 的概率是 解析 由 6 + x — x 2>0 得一2< x <3,贝U D 为[—2, 3]. 故所求概率p = 3 一（一 2 ） = 9. 5—（— 4） 9 2.（2015江苏卷）不等式2x2— x <4的解集为 解析 由2x2— x <4,知x 2—x<2,解得一1 —专vm<〒，解得 3 —2 故实数m的取值范围为 答案—乎,0 普,0. 考点整合 1.三个二次”的关系 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图 象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号, 有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解 2.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：(1)对二次项系 数与0的大小进行讨论；(2)在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式 与0的大小进行讨论；⑶当判别式大于0,但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；(4)讨论根与定义域的关系 3.四个常用结论 (1)ax2+ bx+ c> 0(a工0恒成立的条件是a> 0, A< 0. (2)ax2+ bx+ CV 0(aM 0恒成立的条件是av 0, A< 0. (3)a>f (x)恒成立？ a>f (x) max， a< f(X)恒成立？ a< f (x)min. ⑷ 存在 f (x)f (x)min，存在 f (x)>a 成立？ 热点一含参一元二次不等式的解法 【例1】解关于x的不等式(X- 2)(ax—2)>0.2018年高考物理复习专题1 第3讲 演练
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 第二编 专题三 数列 第3讲 数列的综合问题练习 理
新高考专题1 阅读理解 第2部分 第3讲 专题强化训练 含答案精析
专题一 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)
高三地理专题复习：第一部分专题三第3讲专题针对训练
2020版 第1部分 专题3 第1讲 语言表达得体——老题型有可能披上“新嫁衣”
2018年高考物理第一阶段 专题五 第1讲 专题特辑
2020年高考数学专题三 第3讲
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