西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型
常见方法
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b); (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2; (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2); (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2). 下面再补充两个常用的公式:
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca);
例.已知a b
c ,,是ABC ?的三边,且2
2
2
a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ?的形状是( )
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:2
2
2
2
2
2
222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++
222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局
部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式! =))((b a n m ++
例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --
练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:ay ax y x ++-2
2
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:原式=)()(2
2
ay ax y x ++-
=)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+
例4、分解因式:2
222c b ab a -+- 解:原式=2
2
2
)2(c b ab a -+- =2
2
)(c b a -- =))((c b a c b a +---
练习:分解因式3、y y x x 392
2
--- 4、yz z y x 22
2
2
---
综合练习:(1)3
2
2
3
y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-2
2 (3)1816962
2
2
-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 491262
2-++-
(5)922
34-+-a a a (6)y b x b y a x a 2
2
2
2
44+--
(7)2
22y yz xz xy x ++-- (8)12222
2++-+-ab b b a a
(9))1)(1()2(+---m m y y (10))2())((a b b c a c a -+-+
(11)abc b a c c a b c b a 2)()()(2
2
2
++++++(12)abc c b a 33
33-++
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<a ≤5,且a 为整数,若2
23x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a .
解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ,都要求24b ac ?=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ?=-为完全平方数,1a =
例5、分解因式:652
++x x
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 2
解:652
++x x =32)32(2
?+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:672
+-x x
解:原式=)6)(1()]6()1[(2
--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
(-1)+(-6)= -7
练习5、分解因式(1)24142
++x x (2)36152
+-a a (3)542
-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522
--y y (3)24102
--x x
(二)二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件:(1)21a a a = 1a 1c
(2)21c c c = 2a 2c (3)1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果:c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式:101132
+-x x
分析: 1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11 解:101132
+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式:(1)6752
-+x x (2)2732
+-x x
(3)317102
+-x x (4)101162
++-y y
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:2
21288b ab a --
分析:将b 看成常数,把原多项式看成关于a 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解:2
21288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -?+-++
=)16)(8(b a b a -+
练习8、分解因式(1)2
2
23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2
26b ab a --
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2
2
672y xy x +- 例10、232
2
+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式=)32)(2(y x y x -- 解:原式=)2)(1(--xy xy
练习9、分解因式:(1)2
2
4715y xy x -+ (2)862
2+-ax x a
综合练习10、(1)17836--x x (2)2
2
151112y xy x --
(3)10)(3)(2
-+-+y x y x (4)344)(2
+--+b a b a
(5)2
22265x y x y x -- (6)263442
2++-+-n m n mn m
(7)342442
2
---++y x y xy x (8)2
2
2
2
)(10)(23)(5b a b a b a ---++
(9)1036442
2
-++--y y x xy x (10)2
2
2
2
)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考:分解因式:abc x c b a abcx +++)(2
2
2
2
五、换元法。
例13、分解因式(1)2005)12005(20052
2
---x x
(2)2
)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解:(1)设2005=a ,则原式=a x a ax ---)1(2
2
=))(1(a x ax -+ =)2005)(12005(-+x x
(2)型如e abcd +的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=2
2
2
)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652,则x A x x 2672+=++ ∴原式=2
)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2
)(x A +=2
2
)66(++x x
练习13、分解因式(1))(4)(2
2
2
22
y x xy y xy x +-++
(2)90)384)(23(2
2
+++++x x x x
(3)2
22222)3(4)5()1(+-+++a a a
例14、分解因式(1)2622
34+---x x x x
观察:此多项式的特点——是关于x 的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
解:原式=)1162(222x x x x x +-
--=[]6)1
()1(2222-+-+x x x
x x
设t x x =+
1,则21
222-=+t x x ∴原式=[
]6)2222
---t t x (
=()10222--t t x =()()2522
+-t t x =??
? ??++??? ??-+215222x x x x x
=??
? ??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()122522
2+++-x x x x
=)2)(12()1(2
--+x x x
(2)144234+++-x x x x
解:原式=22241(41)x x x x x -+++=???
???+??? ??--??? ?
?+1141222x x x x x 设y x x =-1,则21
222+=+y x x
∴原式=22(43)x y y -+=2
(1)(3)x y y --
=)31)(11(2----x
x x x x =()()1312
2----x x x x
练习14、(1)673676234+--+x x x x
(2))(2122
234x x x x x +++++
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)4323+-x x
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x =)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =
)
331)(1(2+-+-+x x x x
=
)1(4)4)(1(++-+x x x x
=)44)(1(2
+-+x x x =)44)(1(2
+-+x x x =2
)2)(1(-+x x =2
)2)(1(-+x x
(2)3369-++x x x
解:原式=)1()1()1(3
6
9
-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(3
3
3
3
6
3
-++-+++-x x x x x x
=)111)(1(3
3
6
3
+++++-x x x x
=)32)(1)(1(3
6
2
++++-x x x x x
练习15、分解因式
(1)893
+-x x (2)4
224)1()1()1(-+-++x x x
(3)1724+-x x (4)2
2412a ax x x -+++
(5)4
44)(y x y x +++ (6)4
44222222222c b a c b c a b a ---++
七、待定系数法。
例16、分解因式61362
2
-++-+y x y xy x
分析:原式的前3项2
26y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+,则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解:设61362
2
-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62
2
∴61362
2
-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62
2
对比左右两边相同项的系数可得??
?
??-==-=+6
13231
mn m n n m ,解得???=-=32n m
∴原式=)32)(23(+--+y x y x
例17、(1)当m 为何值时,多项式652
2
-++-y mx y x 能分解因式,并分解此多项式。
(2)如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ,求b a +的值。
(1)分析:前两项可以分解为))((y x y x -+,故此多项式分解的形式必为
))((b y x a y x +-++ 解:设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++
则652
2
-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2
2
比较对应的系数可得:?????-==-=+65ab a b m b a ,解得:?????==-=132m b a 或??
?
??-=-==132m b a
∴当1±=m 时,原多项式可以分解;
当1=m 时,原式=)3)(2(+--+y x y x ;
当1-=m 时,原式=)3)(2(--++y x y x
(2)分析:823+++bx ax x 是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因
式必为形如c x +的一次二项式。
解:设82
3+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++
则82
3+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2
3+++++
∴?????=+=+=82323c c b c a 解得???
??===4147c b a , ∴b a +=21
练习17、(1)分解因式291032
2
-++--y x y xy x
(2)分解因式675232
2
+++++y x y xy x
(3) 已知:p y x y xy x +-+--146322
2
能分解成两个一次因式之积,求常数p 并
且分解因式。
(4) k 为何值时,25322
2
+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积,并
分解此多项式。
经典题型
例01 选择题:对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式,分组正确的是() (A )mp np n m +++)22(
(B ))2()2(mp n np m +++
(C ))()22(nm mp n m +++ (D )np mp n m +++)22(
分析 本组题目用来判断分组是否适当.(A )的两组之间没有公因式可以提取,因而(A )不正确;(B )的两组,每一组第一次就没有公因式可提,故(B )不正确;(D )中两组也无公因式可提,故(D )不正确.
(C )中第一组可提取公因式2,剩下因式)(n m +;第二组可提取p ,剩下因式)(n m +,
这样组间可提公因式)(n m +,故(C )正确.
典型例题二
例02 用分组分解法分解因式:
(1)x xy y x 21372
-+-;(2)2
2
441y xy x -+-.
分析 本题所给多项式为四项多项式,属于分组分解法的基本题型,通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.
解 ⑴x xy y x 21372
-+-
)3()217(2xy y x x +-+-=(合理分组)
)3()3(7-+-=x y x x (组内提公因式) )7)(3(y x x +-=(组间提公因式)
)44(122y xy x +--=(注意符号) 2)2(1y x --=(组内运用公式)
[][])2(1)2(1y x y x ---+=(组间运用公式)
)21)(21(y x y x +--+=
说明 分组分解法应用较为灵活,分组时要有预见性,可根据分组后“求同”——有公因式或可运用公式的原则来合理分组,达到分解的目的.
另外在应用分组分解法时还应注意:①运用分组分解法时,可灵活选择分组方法,通常一
个多项式分组方法不只一种,只要能达到分解法时,殊途同归.
②分组时要添加带“-”的括号时,各项要注意改变符号,如⑵的第一步.
典型例题三
例03 分解因式:31552
3
+--x x x
分析 本题按字母x 的降幂排列整齐,且没有缺项,系数分别为5,15-,1-,3.系数比相等的有
31155-=-或3
1515-=
-,因而可分组为)5(3x x -、)315(2+-x 或)155(2
3x x -、)3(+-x .
解法一 31552
3
+--x x x
)3()155(23+-+-=x x x (学会分组的技巧) )3()3(52---=x x x )15)(3(2--=x x
解法二 31552
3
+--x x x
)315()5(23+-+-=x x x
)15(3)15(22---=x x x
说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组,可谓分组的一大技巧!
典型例题四
例04 分解因式:x xy y x 21372
-+-
分析 本例为四项多项式,可考虑用分组分解法来分解.见前例,可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.
解法一 x xy y x 21372
-+-
)3()217(2xy y x x +-+-=
)3()3(7-+-=x y x x )7)(3(y x x +-=
解法二 x xy y x 21372
-+-
)213()7(2x y xy x --++=
)7(3)7(y x y x x +-+= )7)(3(y x x +-=
说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题,对于四项式,并不是只要所分组的项数相等,便可完成因式分解.要使分解成功,需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组,可谓思维的独到之处,这样避免了盲目性,提高了分解的速度.
典型例题五
例05 把下列各式分解因式: (1)2
2
2z yz y xz xy -+--; (2)122222
+----a bc c b a
;
(3)142442
2
+--++y x y xy x .
分析 此组题项数较多,考虑用分组法来分解. 解法 (1)2
2
2z yz y xz xy -+--
)2()(22z yz y xz xy +---= 2)()(z y z y x ---=
))((z y x z y +--=
(2)122222
+----a bc c b a
)2()12(222c bc b a a ++-+-= 22)()1(c b a +--=
)1)(1(c b a c b a ---++-=
(3)142442
2
+--++y x y xy x
1)42()44(22++-++=y x y xy x 1)2(2)2(2++-+=y x y x 2)12(-+=y x
说明 对于项数较多的多项式合理分组时,以“交叉项”为突破口,寻找“相应的平方项”进行分组,这使分组有了一定的针对性,省时提速.
如⑴中,“交叉项”为yz 2,相应的平方项为2
y 、2
z ;⑵中,“交叉项”为bc 2,相应的
平方项为2b 、2
c .
典型例题六
例06 分解因式:
(1)652
+-a a ;(2)1032
-+m m .
分析 本题两例属于pq x q p x +++)(2
型的二次三项式,可用规律公式来加以分解.
解 (1)Θ)3()2(6-?-=,5)3()2(-=-+-,
∴)3()2()32(6522-?-++-=+-a a a a
(2)Θ
5210?-=-,352=+-,
∴=-+1032m m [])2()5()2(52-?++-++m m
)2)(5(-+=n m .
说明 抓住符号变化的规律,直接运用规律.
典型例题七
例07 分解因式:
(1)4)(5)(2
++++b a b a ;
(2)2
2127q pq p +-.
分析 对(1),利用整体思想,将)(b a +看作一个字母,则运用pq x q p x +++)(2
型分
解;对(2),将其看作关于
p 的二次三项式,则一次项系数为p 7-,常数项为212q ,仍可用
pq x q p x +++)(2型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.
解 (1)4)(5)(2
++++b a b a
)4)(1(++++=b a b a
(2)Θ)4()3(122
q q q -?-=,q q q 7)4(3-=-+-,
∴22127q pq p +-22127q pq p +-=
)4)(3(q p q p --=.
典型例题八
例08 分解因式:
)
3)(2(--=a a
⑴13
4
-+-x x x ;
⑵q p q pq p 3652
2
++++;
⑶)1)(1()1)(1(-+--+b b b a a a ; ⑷c c bc b a b a
--+++-222
424.
分析 本组题有较强的综合性,且每小题均超过三项,因而可考虑通过分组来分解. 解 ⑴法一:13
4
-+-x x x
)1()(34-+-=x x x )1()1(3-+-=x x x
)1)(1(3+-=x x (13+x 可继续分解,方法很简单:)1()(3++-x x x ,对于13-x 方
法类似,可以自己探索)
)1)(1)(1(2+-+-=x x x x
法二:13
4
-+-x x x
)()1(34x x x +-+-= )1()1)(1(222--+-=x x x x )1)(1(22x x x -+-= )1)(1)(1(2+--+=x x x x
法三:13
4
-+-x x x
)1()(34--++=x x x )1()1(33+-+=x x x )1)(1(3-+=x x
)1)(1)(1(2-+-+=x x x x
⑵q p q pq p 3652
2
++++
)3()65(22q p q pq p ++++=(看作ab x b a x +++)(2型式子分解)
)3()3)(2(q p q p q p ++++= )12)(3(+++=q p q p
⑶)1)(1()1)(1(-+--+b b b a a a
)1()1(22---=b b a a
b b a a +--=33 )()(33b a b a ---=
)())((22b a b ab a b a --++-= )1)((22-++-=b ab a b a
⑷c c bc b a b a
--+++-222
424
)2()44(222c b a c bc b a -+++--= )2()2(22c b a c b a -++--=
[][])2()2()2(c b a c b a c b a -++---+=
)2()2)(2(c b a c b a c b a -+++--+= )12)(2(++--+=c b a c b a
说明 ⑴中,虽然三法均达到分解目的,但从目前同学们知识范围来看,方法二较好,分组既要合理又要巧妙,使分组不仅达到分解目的,又能简化分解过程,降低思维难度.
⑵式虽超过四项,但通过分组仍可巧妙分解,只是分组后不是通常的提公因式或运用公式,而是利用了ab x b a x +++)(2
型二次三项式的因式分解.将2
2
65q pq p ++看做关于
p 的二次
三项式q q q 3262
?=,2
2
65q qp p ++q q p q q p 32)32(2
?+++=.
⑶式表面看无法分解,既找不到公因式,又不符合公式特点,对待此类题目,应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构,然后寻找合适的方法.
⑷式项数多,但仔细观察,项与项之间有着内在联系,可通过巧妙分组以求突破. 但应注意:①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式,不可在分解中,半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型,如⑵小题中2
2
65q pq p ++.
典型例题九
例09 分解因式:
(1)6)2)(1(---x x x ;(2))()1(2
2
2
b a x x ab +++
分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点,原题本身给出的分组形式无法继续进行,达到分解的目的,对此类型题,可采用先去括号,再重新分组来进行因式分解.
解 ⑴6)2)(1(---x x x
6)23(2-+-=x x x
62323-+-=x x x (乘法运算,去括号) )62()3(23-+-=x x x (重新分组) )3(2)3(2-+-=x x x )2)(3(2+-=x x
⑵)()1(2
2
2
b a x x ab +++
x b x a ab abx 222+++=(乘法运算去括号) )()(222x b ab x a abx +++=(重新分组)
)()(a bx b a bx ax +++= ))((bx a b ax ++=
说明 “先破后立,不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.
典型例题十
例10
分解因式673
+-a a
分析 因式分解一般思路是:“一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法)” .即:首先考虑是否有公因式可提,若有公因式,先提取公因式;其次考虑可否套用公式,用公式法分解;再考虑是否可以分组分解;对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”(或十字相乘法)分解.按照这样的思路,本题首应考虑用分组分解来尝试.
解
7176733+--=+-a a a a
)77()1(3---=a a
)1(7)1)(1(2--++-=a a a a )71)(1(2-++-=a a a )6)(1(2-+-=a a a
)3)(2)(1(+--=a a a
说明 当1=a 时,多项式673
+-a a 值为0,因而)1(-a 是673
+-a a 的一个因式,因
此,可从“凑因子”
)1(-a 的角度考虑,把6拆成71+-,使分组可行,分解成功.
运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法. 法二:673
+-a a
663+--=a a a
)
1(6)1()66()(2
3---=---=a a a a a a
)1(6)1)(1(--+-=a a a a )6)(1(2-+-=a a a
)3)(2)(1(+--=a a a
法三:673
+-a a
14873+--=a a
)147()8(3---=a a (凑立方项) )2(7)42)(2(2--++-=a a a a )742)(2(2-++-=a a a )32)(2(2-+-=a a a
)3)(1)(2(+--=a a a
法四:673
+-a a
212773-+-=a a (与3a 凑立方项) )217()27(3+-+=a a
)3(7)93)(3(2+-+-+=a a a a (套用33b a +公式) )793)(3(2-+-+=a a a )23)(3(2+-+=a a a
)2)(1)(3(--+=a a a
法五:673
+-a a
6343+--=a a a (拆a 7项) )63()4(3---=a a a )2(3)4(2---=a a a
)2(3)2)(2(---+=a a a a )32)(2(2-+-=a a a
)3)(1)(2(+--=a a a
法六:673
+-a a
6293++-=a a a (凑平方差公式变a 7-项)
)62()9(3++-=a a a )3(2)9(2++-=a a a
)3(2)3)(3(++-+=a a a a )23)(3(2+-+=a a a
)2)(1)(3(--+=a a a
法七:令1+=
x a 则(1-a 为多项式一个因式,做变换1+=a x )
673+-a a 6)1(7)1(3++-+=x x
67713323+--+++=x x x x (做乘法展开) x x x 4323-+=
)4)(1()43(2+-=-+=x x x x x x
)31)(21)(11(++-++-=x x x
)3)(2)(1(+--=a a a (还原回a )
说明 以上七种方法中,前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”(或添项),这种技巧以基本方法为线索,通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时,需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法,通过换元寻找突破点.
本题还可以如下变形:
673
+-a a =)6)(1()1()67()(2
2
2
3
--+-=+-+-a a a a a a a a =……
典型例题十一
例11
若2542
++kx x 是完全平方式,求k 的值.
分析 原式为完全平方式,由2
2
)2(4x x =,2525=即知为2
)52(±x ,展开即得k 值. 解 Θ2542
++kx x 是完全平方式
∴应为2)52(±x
又Θ25204)52(2
2
+±=±x x x ,
故20±=k .
说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差,确定k 值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类,运用2
2
2
)(2b a b ab a ±=+±来求解.
典型例题十一
例11 把下列各式分解因式:
(1)1682
++x x ; (2)6
3
24
4914b b a a +-
(3)1)2(6)2(92
+---b a b a
解:(1)由于16可以看作2
4,于是有
222442168+??+=++x x x x
2
)4(+=x ;
(2)由幂的乘方公式,4
a 可以看作2
2)(a ,649b 可以看作2
3)7(b ,于是有
2332226324)7(72)(4914b b a a b b a a +??-=+-
2
32
)7(b a -=;
(3)由积的乘方公式,2
)2(9b a -可以看作2
)]2(3[b a -,于是有
1)2(6)2(92+---b a b a 11)2(32)]2(3[2+?-?--=b a b a
2
]1)2(3[--=b a
2)136(--=b a
说明(1)多项式具有如下特征时,可以运用完全平方公式作因式分解:①可以看成是关于某个字母的二次三项式;②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式,且符号相同;③其余的一项恰是这两数乘积的2倍,或这两数乘积2倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差”的
平方,取决于它的符号与平方项前的符号是否相同.
(2)在运用完全平方公式的过程中,再次体现换元思想的应用,可见换元思想是重要而且常用思想方法,要真正理解,学会运用.
典型例题十二
例12
求证:对于任意自然数n ,132
2323
+++-+-n n n n 一定是10的倍数.
分析 欲证是10的倍数,看原式可否化成含10的因式的积的形式. 证明 132
2323
+++-+-n n n n
)22()33(132++++-+=n n n n
)22(2)13(332+-+=n n
102103?-?=n n )23(10n n -=
Θ)23(10n n -是10的倍数,
∴1322323+++-+-n n n n 一定是10的倍数.
典型例题十三
例13 因式分解(1)y b x b y a x a 2
2
2
2
+++; (2)nx n mx mx --+2
解:(1))()(2
2
2
2
2
2
2
2
y b x b b a x a y b x b y a x a +++=+++
)()(2
2
y x b y x a +++=
))((2
2
b a y x ++=
或
)()(22222222y b y a x b x a y b x b y a x a +++=+++
)()(2
2
2
2
b a y b a x +++=
))((2
2
y x b a ++=;
2013组卷 1.在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法.例如,如果要因式分解x2+2x﹣3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?这时,我们可以采用下面的办法: x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =(x+1)2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题: (1)填空:在上述材料中,运用了_________ 的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解,这种方法就是配方法; (2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x﹣3; (3)请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5. 2.请看下面的问题:把x4+4分解因式 分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2) 人们为了纪念菲?热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照菲?热门的做法,将下列各式因式分解. (1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab. 3.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程. 解:设x2﹣4x=y 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步)
因式分解练习题(100题) 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p)2 -(x+q)2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b)2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y)2-(x+2y)2 33、1+10t+25t2 34、m2-14m+49
35、y2+y+0.25 36、(m+n)2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c)2 39、(a-b)2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空:(30分) 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是_ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+,则m=_______,n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中,可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ,其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x , ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式,则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ,的解是________。
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是( ) A 、-a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ,则m ,k 的值分别是( ) A 、m=—2,k=6, B 、m=2,k=12, C 、m=—4,k=—12、 D m=4,k=12、 3、下列名式:4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有( )A 、1个,B 、2个,C 、3个,D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是( ) A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………( ) (A )(x +2)(x –2)=x 2-4(B )x 2-4+3x =(x +2)(x –2)+3x (C )x 2-3x -4=(x -4)(x +1)(D )x 2+2x -3=(x +1)2-4 6.分解多项式 bc c b a 2222+--时,分组正确的是……………………………( ) (A )()2()222bc c b a --- (B )bc c b a 2)(222+-- (C ))2()(222bc b c a --- (D ))2(222bc c b a -+- 7.当二次三项式 4x 2 +kx +25=0是完全平方式时,k 的值是…………………( ) (A )20 (B ) 10 (C )-20 (D )绝对值是20的数 8.二项式15++-n n x x 作因式分解的结果,合于要求的选项是………………………( ) (A ))(4n n x x x -+ (B )n x )(5x x - (C ))1)(1)(1(21-+++x x x x n (D ))1(41-+x x n 9.若 a =-4b ,则对a 的任何值多项式 a 2+3ab -4b 2 +2 的值………………( ) (A )总是2 (B )总是0 (C )总是1 (D )是不确定的值
因式分解练习专题练习+全国中考因式分解 1. 利用乘法公式,展开下列各式: (1) ( 9x – 5 )2 =__________________。 (2) ( 2x + 7 ) ( 7 – 2x ) =__________________。 2. 化简 – 2 ( x 2 + 3x – 5 ) + 4x 2 – 7x + 5 =__________________。 (2) 展开 ( – 2x + 3 ) ( 4x – 5 ) =______。 3. B 为两多項式,已知A = x 2 + 4x – 3,且A + B = 2x 2 + 4x – 2,求B =______。 4. 已知x + 3 =0,则 x 2 + 4x + 3 =__________________。 5. 化简下列各式: (1) ( 4x 2 + 3x + 5 ) + ( 2x 2 + 5x – 3 ) =__________________。 (2) ( – 4x 2 + x – 3) – ( – 6x 2 – 2x – 4 ) =__________________。 6. 因式分解(a 2 – 2a + 1)– b (a – 1)=__________________。 7. 因式分解6(a 2 – b 2)–(a + b )=__________________。 8. ( x 2 – 3x + 5 ) – ( ax 2 + bx + c ) =3x 2 – 4x + 5,則a + b + c =______。 9. 在下面空格中填入适当的式子。 (1) ( –7x 2 – 8x + 6 ) + (___ ___ ) = 0。 (2) (___ ___ ) + ( 4x 2 – 7x + 4 ) = –x 2 + 8x – 3。 10.设xy – x + y = 5,求 ( x + 1 ) ( y – 1 ) 之值 =______。 11.若 ( x 2 +312 1 x ) –6A = 0,则A =______。 12.若x =13,则 ( x – 2 ) ( x + 2 ) 之值为______。 13.若一元二次式B = –x + 3x 2 + 5,则 (1) x 2项系数为______。(2) x 项系数为______。(3) 常数项为______。
因式分解练习题 一、填空题: 2.(a-3)(3-2a)=_______(3-a)(3-2a); 12.若m2-3m+2=(m+a)(m+b),则a=______,b=______; 15.当m=______时,x2+2(m-3)x+25是完全平方式. 二、选择题: 1.下列各式的因式分解结果中,正确的是( ) A.a2b+7ab-b=b(a2+7a) B.3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1) C.8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy) D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a+2b-3c)
A.(n-2)(m+m2) B.(n-2)(m-m2) C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(m-1) 3.在下列等式中,属于因式分解的是( ) A.a(x-y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn B.a2-2ab+b2+1=(a-b)2+1 C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.x2-7x-8=x(x-7)-8 4.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+b2 B.-a2+b2 C.-a2-b2 D.-(-a2)+b2 5.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,那么m的值是( ) A.-12 B.±24C.12 D.±12 6.把多项式a n+4-a n+1分解得( ) A.a n(a4-a) B.a n-1(a3-1) C.a n+1(a-1)(a2-a+1) D.a n+1(a-1)(a2+a+1) 7.若a2+a=-1,则a4+2a3-3a2-4a+3的值为( ) A.8 B.7 C.10 D.12 8.已知x2+y2+2x-6y+10=0,那么x,y的值分别为( ) A.x=1,y=3 B.x=1,y=-3 C.x=-1,y=3 D.x=1,y=-3 9.把(m2+3m)4-8(m2+3m)2+16分解因式得( ) A.(m+1)4(m+2)2 B.(m-1)2(m-2)2(m2+3m-2) C.(m+4)2(m-1)2 D.(m+1)2(m+2)2(m2+3m-2)2 10.把x2-7x-60分解因式,得( ) A.(x-10)(x+6) B.(x+5)(x-12) C.(x+3)(x-20) D.(x-5)(x+12) 11.把3x2-2xy-8y2分解因式,得( ) A.(3x+4)(x-2) B.(3x-4)(x+2) C.(3x+4y)(x-2y) D.(3x-4y)(x+2y) 12.把a2+8ab-33b2分解因式,得( ) A.(a+11)(a-3) B.(a-11b)(a-3b) C.(a+11b)(a-3b) D.(a-11b)(a+3b) 13.把x4-3x2+2分解因式,得( )
因式分解习题精选 一、填空:(30分) 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是_ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+,则m=_______,n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中,可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ,其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x , ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式,则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ,的解是________。 二、选择题:(8分) 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是( )
因式分解练习题(100题) 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2 -(x+q) 2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y) 2-(x+2y) 2 33、1+10t+25t2
34、m2-14m+49 35、y2+y+0.25 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
八年级上册整式的乘法与因式分解专题练习(解析版) 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难) 1.有5张边长为2的正方形纸片,4张边长分别为2、3的矩形纸片,6张边长为3的正方形纸片,从其中取出若干张纸片,且每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(原纸张进行无空隙、无重叠拼接),则拼成正方形的边长最大为 ( ) A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】C 【解析】 【分析】 设2为a ,3为b ,则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2,4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ,6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2,得出a 2+4ab+4b 2=(a+2b )2,再根据正方形的面积公式将a 、b 代入,即可得出答案. 【详解】 解: 设2为a ,3为b , 则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2, 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab , 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2, ∵a 2+4ab+4b 2=(a+2b )2,(b >a ) ∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8, 故选C . 【点睛】 此题考查了完全平方公式的几何背景,关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=(a+2b )2,用到的知识点是完全平方公式. 2.已知a 与b 互为相反数且都不为零,n 为正整数,则下列两数互为相反数的是( ) A .a 2n -1与-b 2n -1 B .a 2n -1与b 2n -1 C .a 2n 与b 2n D .a n 与b n 【答案】B 【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零,可得a 、b 的同奇次幂互为相反数,同偶次幂相等,由此可得选项A 、C 相等,选项B 互为相反数,选项D 可能相等,也可能互为相反数,故选B. 3.已知243m -m-10m -m -m 2=+,则计算:的结果为( ). A .3 B .-3 C .5 D .-5 【答案】A
因式分解易错题汇编含答案解析 一、选择题 1.下列各式分解因式正确的是( ) A .2112(12)(12)22a a a -=+- B .2224(2)x y x y +=+ C .2239(3)x x x -+=- D .222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式,完全平方公式的结构就可以求解. 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-,故本选项正确; B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++,,故本选项错误; C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+,,故本选项错误; D. ()22 ()x y x y x y -=-+,故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用,解题关键在于掌握平方差公式,完全平方公式. 2.已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20,y =a(2b -a ),则x 、y 的大小关系是( ). A .x ≤ y B .x ≥ y C .x < y D .x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系,把x y -进行整理,判断结果的符号可得x 、y 的大小关系. 【详解】 解:22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20, 2()0a b -≥Q ,20a ≥,200>, 0x y ∴->, x y ∴>, 故选:D . 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用;进行计算比较式子的大小;通常是让两个式子相减,若为正数,则被减数大;反之减数大.
因式分解习题 一、填空: 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+,则m=_______,n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中,可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ,其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x , ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式,则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ,的解是________。 二、选择题:(8分) 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是( ) A 、-a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ,则m ,k 的值分别是( ) A 、m=—2,k=6 B 、m=2,k=12 C 、m=—4,k=—12 D m=4,k=12 3、下列名式:4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式: 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
八年级数学上册分解因式专项练习题 一、选择题:(每小题 2 分,共 20 分) 1.下列各多项式中 , 不能用平方差公式分解的是 ( ) - 1 B .4-0.25a 2 C .- a 2-b 2 D .- x 2+1 2.如果多项式 x 2-mx+9是一个完全平方式 , 那么 m 的值为 ( ) A .- 3 B .- 6 C .±3 D .±6 3.下列变形是分解因式的是 ( ) A .6x 2y 2=3xy ·2xy B .a 2- 4ab+4b 2=(a -2b) 2 C .(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D .x 2 -9-6x=(x+3)(x -3) -6x 4.下列多项式的分解因式,正确的是( ) ( A ) 12xyz 9x 2 y 2 3xyz(4 3xyz) ( B ) 3a 2 y 3ay 6 y 3y( a 2 a 2) (C ) x 2 ( 2 ) D 2 2 xy xz x x y z b b(a 5a) ( )a b 5ab 5.满足 m 2 n 2 2m 6n 10 0 的是( ) ( A )m 1,n 3 (B )m 1, n 3(C )m 1, n 3 (D )m 1, n 3 6.把多项式 m 2 (a 2) m(2 a) 分解因式等于( ) A 、 ( a 2)(m 2 m) B 、 (a 2)( m 2 m) C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 7.下列多项式中,含有因式 ( y 1) 的多项式是( ) A 、 y 2 2xy 3x 2 、 ( y 1) 2 ( y 1)2 B ( 1) 2 ( 2 1) D 2 C 、 y y 2( y 1) 1 、 ( y 1) 8.已知多项式 2x 2 bx c 分解因式为 2( x 3)( x 1) ,则 b, c 的值为( ) A 、 b 3,c 1 B 、 b 6, c 2 C 、 b 9. a 、b 、c 是△ ABC 的三边,且 a 2 b 2 状是( ) A 、直角三角形 B 、等腰三角形 D 、等边三角形 6, c4 D 、 b 4,c 6 c 2 ab ac bc ,那么△ ABC 的形 C 、等腰直角三角形 10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形( a>b )。把余下的部分剪拼成一个矩形(如图) 。通过计算阴影部分的面积, 验证了一个等式,则这个等式是( ) A 、 a 2 b 2 (a b)(a b)
因式分解难题经典题 1、若实数满足,则. 2、已知,则的值为 3、分解因式: a3+a2-a-1=______________. 4、已知a+b=2,则a2-b2+4b的值. 5、因式分解: 6、已知实数满足,则的平方根等于. 7、若,则的值是_______________. 8、,则___________。 9、如果是一个完全平方式,则= . 10、已知实数x 满足x+=3,则x2+的值为_________. 11、若a2+ma+36是一个完全平方式,则m= . 12、已知,则 . 13、-a4÷(-a)=; 15、把下列各式分解因式:
18、如果,求的值. 19、已知a+b=﹣5,ab=7,求a2b+ab2﹣a﹣b的值. 20、(x﹣1)(x﹣3)﹣8. 22、 23、(1)已知a m=2,a n=3,求①a m+n的值;②a3m﹣2n的值 (2)已知(a+b)2=17,(a﹣b)2=13,求a2+b2与ab的值. 24、先化简,再求值:已知:a2+b2+2a一4b+5=0求:3a2+4b-3的值。 三、选择题 25、若的值为() A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 26、下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()。 A、x2+4y2 B、x2-2y+1 C、-x2+4y2 D、-x2-4y2
27、不论为什么实数,代数式的值() A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 28、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m的值为() A.24 B.﹣12 C.±12D.±24 29、下列各式中与2nm﹣m2﹣n2相等的是() A.(m﹣n)2B.﹣(m﹣n)2C.﹣(m+n)2D.(m+n)2 30、.若+(m-3)a+4是一个完全平方式,则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或-1 D.-1 31、下列计算中,①x(2x2-x+1)=2x3-x2+1;②(a+b)2=a2+b2;③(x-4)2=x2-4x+16;④(5a-1)(-5a-1)=25a2-1;⑤(-a-b)2=a2+2ab+b2;其中准确的个数有…() A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 四、计算题 32、因式分解:; 33、已知a+b=3,ab=2,试求(1)a2+b2;(2)(a b)2。
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一:确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二:利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”,使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五:把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
人教版八年级数学上册《因式分解》专题练习 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C) ①x3+2xy+x=x(x2+2y); ②x2+4x+4=(x+2)2; ③-x2+y2=(x+y)(x-y). A.3个B.2个C.1个D.0个 2.(广东中考)把x3-9x分解因式,结果正确的是( D) A.x(x2-9) B.x(x-3)2 C.x(x+3)2D.x(x+3)(x-3) 3.(台湾中考)下列四个选项中,哪一个为多项式8x2-10x+2的因式( A) A.2x-2 B.2x+2 C.4x+1 D.4x+2 解析:8x2-10x+2=2(4x2-5x+1)=2(x-1)(4x-1),有因式2(x-1),即2x-2 4.若实数x,y,z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,则下列式子一定成立的是( D) A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0 C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0 解析:左边=[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=(x-y)2-2(x-y)(y-z)+(y-z)2=[(x-y)-(y-z)]2,故(x-y)-(y-z)=0,x-2y+z=0 5.(宜宾中考)将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为( B) A.(x-3)2+11 B.(x+3)2-7 C.(x+3)2-11 D.(x+2)2+4 二、填空题(每小题6分,共24分) 6.(泸州中考)分解因式:3a2+6a+3=__3(a+1)2__. 7.(潍坊中考)分解因式:2x(x-3)-8=__2(x-4)(x+1)__. 8.(呼和浩特中考)把多项式6xy2-9x2y-y3因式分解,最后结果为__-y(3x-y)2__.9.(宜宾中考)已知P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,当x≠0时,3P-2Q=7恒成立,则y的值为__2__. 三、解答题(共46分) 10.(15分)分解因式: (1)3x2-3; 3(x+1)(x-1) (2)x2-4x-12; x2-4x-12=x2-4x+4-16=(x-2)2-16=(x-2+4)(x-2-4)=(x+2)(x-6) (3)8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy. 8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y) 11.(10分)若△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,判断△ABC的形状.解:∵a+2ab=c+2bc,∴a-c+2ab-2bc=0,(a-c)+2b(a-c)=0,∴(1+2b)(a -c)=0.∵1+2b≠0,∴a-c=0,a=c,∴△ABC是等腰三角形
初中数学因式分解经典测试题含解析 一、选择题 1.下列因式分解中:①32(2)x xy x x x y ++=+;②2244(2)x x x ++=+;③22()()x y x y y x -+=+-;④329(3)x x x x -=-,正确的个数为( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】B 【解析】 【分析】 将各项分解得到结果,即可作出判断. 【详解】 ①322(2+1)x xy x x x y ++=+,故①错误; ②2244(2)x x x ++=+,故②正确; ③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-,故③正确; ④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误. 则正确的有2个. 故选:B. 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 2.下列分解因式正确的是( ) A .x 3﹣x=x (x 2﹣1) B .x 2﹣1=(x+1)(x ﹣1) C .x 2﹣x+2=x (x ﹣1)+2 D .x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2 【答案】B 【解析】 试题分析:根据提公因式法分解因式,公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解. 解:A 、x 3﹣x=x (x 2﹣1)=x (x+1)(x ﹣1),故本选项错误; B 、x 2﹣1=(x+1)(x ﹣1),故本选项正确; C 、x 2﹣x+2=x (x ﹣1)+2右边不是整式积的形式,故本选项错误; D 、应为x 2﹣2x+1=(x ﹣1)2,故本选项错误. 故选B . 考点:提公因式法与公式法的综合运用. 3.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是( ) A .a 2﹣2a +1=(a ﹣1)2 B .a (a +1)(a ﹣1)=a 3﹣a
14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是( ). A .a (x +y )=ax +ay B .y 2-4y +4=y (y -4)+4 C .10a 2-5a =5a (2a -1) D .y 2-16+y =(y +4)(y -4)+y 【例2】 把多项式6a 3b 2-3a 2b 2-12a 2b 3分解因式时,应提取的公因式是( ). A .3a 2b B .3ab 2 C .3a 3b 3 D .3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式: (1)12x 2y -18xy 2-24x 3y 3; (2)5x 2-15x +5; (3)-27a 2b +9ab 2-18ab ; (4)2x (a -2b )-3y (2b -a )-4z (a -2b ). 用平方差公式分解因式 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.即a 2-b 2=(a +b )(a -b ). 【例4】 把下列多项式分解因式: (1)4x 2-9; (2)16m 2-9n 2; (3)a 3b -ab ; (4)(x +p )2-(x +q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2+2a b +b 2=(a +b )2,a 2-2ab +b 2=(a -b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式: (1)x 2+14x +49; (2)(m +n )2-6(m +n )+9; (3)3ax 2+6axy +3ay 2; (4)-x 2-4y 2+4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为:一提、二套、三查. 【例6】 把下列各式分解因式: (1)18x 2y -50y 3; (2)ax 3y +axy 3-2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ). ①4x 2-4xy -y 2;②x 2+25x +125;③-1-a -a 24 ;④m 2n 2+4-4mn ;⑤a 2-2ab +4b 2;⑥x 2-8x +9. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
> 因式分解练习题 一、填空题: 2.(a-3)(3-2a)=_______(3-a)(3-2a); 、 12.若m2-3m+2=(m+a)(m+b),则a=______,b=______; 15.当m=______时,x2+2(m-3)x+25是完全平方式.三、因式分解:
1.m2(p-q)-p+q; 2.a(ab+bc+ac)-abc; 3.x4-2y4-2x3y+xy3; 4.abc(a2+b2+c2)-a3bc+2ab2c2; 5.a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b); 6.(x2-2x)2+2x(x-2)+1; — 7.(x-y)2+12(y-x)z+36z2; 8.x2-4ax+8ab-4b2; 9.(ax+by)2+(ay-bx)2+2(ax+by)(ay-bx); 10.(1-a2)(1-b2)-(a2-1)2(b2-1)2; 11.(x+1)2-9(x-1)2; 12.4a2b2-(a2+b2-c2)2; : 13.ab2-ac2+4ac-4a; 14.x3n+y3n; 15.(x+y)3+125; 16.(3m-2n)3+(3m+2n)3;
17.x6(x2-y2)+y6(y2-x2); 18.8(x+y)3+1; 19.(a+b+c)3-a3-b3-c3; 20.x2+4xy+3y2; 21.x2+18x-144; 22.x4+2x2-8; > 23.-m4+18m2-17; 24.x5-2x3-8x; 25.x8+19x5-216x2; 26.(x2-7x)2+10(x2-7x)-24;27.5+7(a+1)-6(a+1)2; 28.(x2+x)(x2+x-1)-2; 29.x2+y2-x2y2-4xy-1; 30.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-48;/ 四、证明(求值): 1.已知a+b=0,求a3-2b3+a2b-2ab2的值.
For personal use only in study and research; not for commercial use 1.)3a3b2c-12a2b2c2+9ab2c3 2.)16x2-81 3.)xy+6-2x-3y 4.)x2(x-y)+y2(y-x) 5.)2x2-(a-2b)x-ab 6.)a4-9a2b2 7.)x3+3x2-4 8.)ab(x2-y2)+xy(a2-b2) 9.)(x+y)(a-b-c)+(x-y)(b+c-a) 10.)a2-a-b2-b 11.)(3a-b)2-4(3a-b)(a+3b)+4(a+3b)2 12.)(a+3) 2-6(a+3) 13.)(x+1) 2(x+2)-(x+1)(x+2) 2 14.)16x2-81 15.)9x2-30x+25 16.)x2-7x-30 17.) x(x+2)-x 18.) x2-4x-ax+4a 19.) 25x2-49 20.) 36x2-60x+25
21.) 4x2+12x+9 22.) x2-9x+18 23.) 2x2-5x-3 24.) 12x2-50x+8 25.) 3x2-6x 26.) 49x2-25 27.) 6x2-13x+5 28.) x2+2-3x 29.) 12x2-23x-24 30.) (x+6)(x-6)-(x-6) 31.) 3(x+2)(x-5)-(x+2)(x-3) 32.) 9x2+42x+49 33.) x4-2x3-35x 34.) 3x6-3x2 35.)x2-25 36.)x2-20x+100 37.)x2+4x+3 38.)4x2-12x+5 39.)3ax2-6ax 40.)(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4) 41.)2ax2-3x+2ax-3 42.)9x2-66x+121
精心整理 第一讲:因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3 (1(345.,这种 6.(1)(2)【1.(1)2x x +(3)(n m +(5)32x -2.把下列各式分解因式 (1)a ab a 3692+- (2)4324264xy y x y x +-- 例1、把下列各式分解因式 (1))2(3)2(2y x b y x a --- (2))2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- (3)32)2()2(2x y b y x a -+- (4)32)3(25)3(15a b b a b -+- (5)432)(2)(3)(x y x y y x -+--- (6)n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+ 例2.利用分解因式计算
(1)5.12346.45.12347.115.12349.2?-?+?(2)9910098 992 222-- 例3.已知2,3 2==+ab b a ,求代数式22222ab b a b a ++的值。 例4、利用因式分解说明:127636-能被140整除。 【随堂练习】 1.下列各式从左到右的变形中是因式分解的是() A 、1(2-a 1121 C 、y x -2A 、,3=b 3A 、+ax 4.将(3a A 、a -35A 、2(a -)1+ 678.已知:1000,133==+ab b a 。22ab b a +的值为。 9.把下列各式分解因式 (1)2222262ab b a b a +- (2)32223229123bc a c b a bc a ++- (3))()(y x b y x a --- (4))()(22y x x x y --- 【课后强化】 1.432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ,则m 的值为。 2.xy nxy mxy xy 3963-=+--()=---+-)()()(a x c x a b a x a 。