第1章 流体力学的基本概念
流体力学是研究流体的运动规律及其与物体相互作用的机理的一门专门学科。本章叙述在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于其它基础内容在本科的流体力学或水力学中已作介绍，这里不再叙述。
连续介质与流体物理量
连续介质
流体和任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。例如，常温下每立方厘米水中约含有3×1022
个水分子，相邻分子间距离约为3×10－8
厘米。因而，从微观结构上说，流体是有空隙的、不连续的介质。
但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微观运动，而是大量分子“集体”所显示的特性，也就是所谓的宏观特性或宏观量，这是因为分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。因此，可以设想把所讨论的流体分割成为无数无限小的基元个体，相当于微小的分子集团，称之为流体的“质点”。从而认为，流体就是由这样的一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的“连续介质”。同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和能量等，具有随同位置而连续变化的特性，即视为空间坐标和时间的连续函数。因此，不再从那些永远运动的分子出发，而是在宏观上从质点出发来研究流体的运动规律，从而可以利用连续函数的分析方法。长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假定所得出的有关流体运动规律的基本理论与客观实际是符合的。
所谓流体质点，是指微小体积内所有流体分子的总体，而该微小体积是几何尺寸很小（但远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大量分子的统计平均特性，且具有确定性。
流体物理量
根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理量，如密度、速度、压强、温度和能量等。对于流体物理量，如流体质点的密度，可以地定义为微小特征体积内大量数目分子的统计质量除以该特征体积所得的平均值，即
V
M
V V ??=?→?'lim
ρ （1-1）
式中，M ?表示体积V ?中所含流体的质量。 按数学的定义，空间一点的流体密度为
V
M
V ??=→?0
lim
ρ （1-2）
由于特征体积'
V ?很小，按式（1-1）定义的流体质点密度，可以视为流体质点质心（几何点）的流体密度，这样就应予式（1-2）定义的空间点的流体密度相一致。为把物理概念与数学概念统一起来，方便利用有关连续函数的数学工具，今后均采用如式（1-2）所表达的流体物理量定义。所谓某一瞬时空间任意一点的物理量，是指该瞬时位于该空间点的流体质点的物理量。在任一时刻，空间任一点的流体质点的物理量都有确定的值，它们是坐标点),,(z y x 和时间t 的函数。例如，某一瞬时空间任意一点的密度是坐标点),,(z y x 和时间t 的函数，即
),,,(t z y x ρρ= （1-3）
描述流体运动的两种方法
描述流体运动的方法有拉格朗日（Lagrange ）法和欧拉（Euler ）法。
拉格朗日法
拉格朗日法是以个别的流体运动质点为对象，研究这些指定质点在整个运动过程中的轨迹以及运动要素随时间变化的规律。各个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。这种方法又称为质点系法。
在某直角坐标系0xyz 中，将0t t =时的某流体质点在空间的位置坐标),,(c b a 作为该质点的标记。在此后的瞬间t ，该质点),,(c b a 运动到空间位置),,(z y x 。不同的质点在0t 时，具有不同的位置坐标，如),,(c b a '''、),,(c b a ''''''……，这样就把不同的质点区别开来。同一质点在不同瞬间处于不同位置；各个质点在同一瞬间t 也位于不同的空间位置。因而，任一瞬时t 质点),,(c b a 的空间位置),,(z y x 可表为
??
?
??
===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x
(1-4a)
式中c b a ,,称为拉格朗日变数。若给定式中的c b a ,,值，可以得到某一特定质点的轨迹方程。将某质点运动的空间位置的时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。
将式（1-4a ）对时间t 取偏导数，可得该流体质点在任意瞬间的速度u 在z y x ,,轴向的分量
?
?????
???=??==??==??=
),,,(),,,(),,,(t c b a u t z u t c b a u t y u t c b a u t
x u z z y y x x （1-5a ）
若坐标用i x 表示，3,2,1=i ，即用321,,x x x 代替z y x ,,；用i u ，即321,,u u u ，代替
z y x u u u ,,；用k x 0，3,2,1=k ，即030201,,x x x ，代替c b a ,,；则式（1-4a ）~ (1-5a)可写
为
),(0t x x x k i i = （1-4b ）
),(0t x u t
x u k i i
i =??=
（1-5b ） 对于某一特定质点，给定c b a ,,值，就可利用式（1-4）~ (1-5)确定不同时刻流质点的坐标和速度。
欧拉法
欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。这种方法又叫做流场法。
采用欧拉法，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。在直角坐标系中，流速是随空间坐标),,(z y x 和时间t 而变化的。因而，流体质点的流速在各坐标轴上的投影可表示为
?
?
?
??
===),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x （1-6a ）
或
),(t x u u k i i = （1-6b ）
式中3,2,1,=k x k ，代表自变量z y x ,,。若令上式中z y x ,,为常数，t 为变数，即可求得在某一空间点),,(z y x 上，流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。若令t 为常数，
z y x ,,为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速分布情况（即流
速场，velocity field ）。
流速v ?
是一个矢量，所以流速场是一个矢量场。流速虽是流动的一个重要参数，但只有
流场不足以完全说明流动的全部情况，还应知道其他表达流动的各个参数的分布情况。一个标量，如流体的密度ρ，温度T 等，在空间和时间上的连续分布就成为一个标量场。应力ij σ是一个二阶张量，所以应力在空间和时间上的分布是一个张量场。表述流动的各种场的综合成为流场（flow field ），如流速场t)z,y,(x,v ?
，密度场),,,(t z y x ρ等。
质点的加速度公式和随体导数
质点加速度公式
质点加速度是质点速度向量随时间的变化率。在Lagrange 法中是以单个流体质点作为研究对象，因此位移函数（1-4）式对时间求二次偏导数可得流体质点的加速度a 在各轴向的投影：
?
???
???
??=??==??==??=),,,(),,,(),,,(22
22
22t c b a a t z
a t c
b a a t y
a t c
b a a t x
a z z y y x x （1-7a ）
或
),(022t x a t
x a k i i
i =??= （1-7b ）
欧拉法不追踪质点运动而着眼于流场，由速度场)t ,x (u ,k i 计算),(t x k 处的质点加速度
i a 时必须求出该质点在t δ时间内的速度增量，在求其极值，即
t )
t ,x (u )t t ,x x (u lim
a k i k k i 0x 0t i i δδδδδ-++=
→→ （1-8）
式中k x δ是质点在t δ时间内的位移。利用Taylor’s Series 展开，则
)x t ,x ,t (O )t
u t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k 2
k 2x i t k i k
k i k k i k δδδδδδδδ+??+??+=++ 略去高阶微小量，所以
t k
i k x i x i t k i k
k i k k i )x u
(x )t u (t )t u t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k k ??+??=??+??=-++δδδδδδ 代入式(1-8)，得
t
x x u t u a k
k i i i δδ??+??=
注意到i x δ是质点位移，因而
k k
t u t
x lim
=→δδδ 则得欧拉法描述流体质点加速度的表达式
k
i k i i x u
u t u a ??+??=
（1-9a ） 或写为
3
i 32i 21i 1i i x u
u x u u x u u t u a ??+??+??+??=
（1-9b ） 以矢量表示为
v )v (t
v a ??????+??= （1-9c ）
在直角坐标系下，加速度表述为
?
?????
???
??+??+??+??==??+??+??+??==??+??+??+??==
z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a z
u u y u u x u u t u dt du a z z z y z x z z y y z y y y x y y y x z x y x x x x x （1-9d ）
以上三式中等号右边第一项
t u x ??、t u y ??、t
u z
??表示在每个固定点上流速对时间的变化
率，称为时变加速度（当地加速度）。等号右边的第二项至第四项之和
z u u y u u x u u x z x y x x
??+??+??、z u u y u u x u u y z y y y x ??+??+??、z
u u y u u x u u z z z y z x ??+??+??是表示流速随坐标的变化率，称为位变加速度（迁移加速度）。因此，一个流体质点在空间点上
的全加速度应为上述两加速度之和。
质点的随体导数
将推导加速度公式的方法推广到质点上任意物理量的增长率的计算，引出质点的随体导数的概念。质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用Dt
D
表示。在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：
k
k x Q
u t Q Dt DQ ??+??= （1-10） 式中，),(t x Q Q k =可以是标量、向量或张量。质点导数公式对任意物理量都成立，故将质点随体导数的运算符号表示如下：
k
k x u t Dt D ??+??= （1-11a ） 或
3
32211x u x u x u t Dt D ??+??+??+??= （1-11b ） 其中，
t ??
称为局部随体导数，k
k x u ??称为对流随体导数，即在欧拉法描述得流动中，物理
量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。
体积分的随体导数
上面讲了质点的随体导数，研究流体运动，还需要考虑由流体质点组成的物质线、物质面和物质体。因为在流体质点组成的线、面、体上，往往定义有某种物理量，如物质线上的速度环量，物质面上的涡通量，物质体上的质量、动量、动能等。在流动过程中，连续的物质线、面、体随时间而不断改变其位置和形状，且将继续维持其连续性。同时，定义在这些线（面、体）上的物理量也随时间而不断变化着。描述这种变化过程就是这些线积分、面积分、体积分的随体导数。其中，体积分的随体导数公式在建立流体力学基本方程时经常用到，推导如下。
考虑一个由流体质点组成的以S 为界的流动体积V （图1-1）。设)t ,r (?
φ是V 内定义的标量函数，体积V 内φ的总量为
?V
dV φ。在运动过程中，组成体积V 的流体质点不断地改
变它的位置，因此流体质点组成的体积V 也不断地改变着它的大小和形状。此外，在体积V 中取值的标量函数φ在运动过程中也改变着它的数值。由此可见，上述积分在不同的瞬间将有不同的数值。上述体积分的变化过程将由该积分的随体导数?V dV dt
d
φ来描述。
图1-1 体积分的随体导数（图中的γ符号换为V ）
设t 时刻的体积为V ，其表面积为S 。过了t ?时段以后，即在t t ?+时刻，表面上的流体质点由于存在着速度的法向分量，在法线方向移动了t u n ?的距离。设t t ?+时隔立体的表面积为)(t t S ?+、体积为)(t t V ?+。根据随体导数的定义，我们有
????????????-+=???+→)
(0),(),(1lim t t V V t V dV t r dV t t r t dV dt d ????φφφ 令V V t t V ??+=+)(，于是，上式改写为
[]{}
?
??++-+=→V
V
t V
dV t t r dV t r t t r t dV dt d ?????),(),(),(1lim
0φφφφ （1-12）
上式表明，体积分的变化由两部分组成：右边第一项所代表的，即标量函数φ随时间t 所引起的变化。这部分变化可由下式表示为
???V dV t φ
（1-13）
第二部分的变化是由于流动，体积变化V ?所引起的。从图1-1可以看出，体积的变化
可表示为
tdS u dV n ?=
其中dS 为表面S 中的微小面积，n u 是法线n 方向的速度投影。于是，上式右边第二部分可写为
dS u t r dS u t t r dV t t r t n s n V s t t ???=?+=?+??→?→?),(),(lim ),(1
lim
00φφφ （1-14） 将式（1-13）和（1-14）代入式（1-12），得体积分的随体导数公式
???+??=V S n V dS u dV t dV dt d φφφ (1-15a) 依同理可得矢量a ?
的体积分的随体导数公式
???+??=V
V S n dS u dV t dV dt d (1-16a) 从上式可得重要结论，体积分的随体导数由两项组成：第一项是函数φ（或）对时间的偏导数沿体积V 的积分，它是由标量场（或矢量场）的非恒定性所引起的；第二项是函数φ（或）通过表面S 的通量
dS u S
n
?φ（或dS u
S
n
?），它是由于体积V 的改变引起的。
应用高斯公式（奥高定理）
?
?=V
S
n dS a dV a div ?
(1-17)
式（1-15a ）和（1-16a ）也可写为
dV v div Dt D dV )v (div t dS u dV t dV dt d V V V S n V ???????
?
???+=??????+??=+??=??φφφφφφφ
(1-15b)
???????
?
??+=??? ???+??=+??=V V V V S n dV )v div a Dt a D dV )v a (div t a dS a u dV t a dV a dt d ?????????
(1-16b)
式（1-15）和式（1-16）在流体力学应用很广，有时也称之为运输定理（transport theorem ）。
流体微团运动分析
亥姆霍兹速度分解定理
刚体运动的形式只有平移和转动，流体因为具有易流动性，极易变形，所以任一流体微团在运动过程中，不仅与刚体一样会发生平移和转动，而且还会发生变形运动。
定理：流场)t ,x (u j i 中微团上任意一点的运动可以分解为平动、旋转和变形三部分之和。
证明如下：任取一流体微团，其上的参考点oj x 在时间t 的速度)t ,x (u u oj i oi =，同一时刻，在流体微团上距点oj x 为j x δ任一质点j x ，j oj j x x x δ+=，的速度
)t ,x x (u u j oj i i δ+=。
利用Taylor’s Series 展开，则
)x (O x x u
x x u x x u )t ,x (u )t ,x x (u 2j 33
i 22i 11i oj i j oj i δδδδδ+??+??+??+
=+ 略去高阶微小量，则有
j j
i
oi j i x x u u )t ,x (u δ??+
= （1-20） 其中
j
i
x u ??是一个二阶张量，可以进一步分解一个对称张量和反对称张量之和，即 )x u x u (21)x u x u (21x u i
j
j i i j j i j i ??-??+??+??=?? （1-21）
上式右端第一项用ij D 表示，是对称张量，它有六个独立分量；第二项用ij R 表示，是反对称张量，有三个独立分量。因为
ji j i
i j i j j i ij D )x u x u (21)x u x u (21D =??+??=??+??=
ji j
i
i j i j j i ij R )x u x u (21)x u x u (21R -=??-??-=??-??=
因此，亥姆霍兹速度分解定理（Helmholtz velocity decomposing theorem ）的数学表达式为
j ij j ij oi j i x )R (x )D (u )t ,x (u δδ++= （1-22）
变形率张量
对于脚标z y x j i ,,3,2,1,或=，写出ij D 的所有分量，则
????????
?
???
???
?
??????+????+????+
??????+????+????+????=z u )
z u y u (21)z u x
u (21)y u z u (21y u )y u x u (21)x u z u (21)x u y u (21x u D z y z x z z y y x
y z
x y x x ij 令
)z
u y u (21),y u z u (21)z u x u
(21),x u z u (21)y
u x u (21),x u y u (21z
u ,
y u ,x
u y z zy z y yz
x z zx z x xz x y yx y x xy z
zz y
yy x
xx ??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??=
??=
??=εεεεεεεεε 或写为
)x u x u (21i
j
j i ij ??+??=ε （1-23）
则
????
?
?????=3332312322
211312
11εεεεεεεεεij D （1-24） 其中ii ε 表示所在方向的线性变形率，其余j i ij ≠,ε，为角变形率。ij D 称为变形率张量。
旋转角速度
同理，对于脚标z y x j i ,,3,2,1,或=，写出ij R 的所有分量，则
????????
?
???
???
?
????-????-????-
????-????-????-??=0)z u y u (21)z u x
u (21)y u z u (210)y u x u (21)x u z u (21)x u y u (210R y z x z z y x
y z
x y x ij 令
?
??
?
???
??
??-??=??-??=??-??=)z u y u
(21)x u z u (21)y u x u (
21y z x z x y x y z ωωω （1-25a ）
或写为
)x u x u (
21j
i
i j k ??-??=ω （1-25b ）
则
???
?
?
????
?---=00
0R x
y x z
y z ij ωωωωωω （1-26）
其中，z y z ωωω,,为流体微团的旋转角速度，显然，ij R 是一反对称张量。ij R 亦可写为
k ijk ij R ωε-= （1-27）
由以上分析得知，在亥姆霍兹速度分解定理的数学表示式（1-22）中， oi u 表示平动；
j ij x D δ)(表示变形，包括线变形和角变形，j ij x R δ)(表示旋转。
流体微团有无旋转对流动分析的影响很大，流体微团有无旋转成为流动分类的一个重要
指标。流体微团没有旋转的流动，称为无旋流动(irrotational flow)，或称无涡流动，亦称有势流动(potential flow)。流体微团有旋转的流动，称为有旋流动(rotational flow)，亦称有涡流动。
下面举例说明微团旋转的概念。
例1-1 设有两块平板，一块固定不动，一块在保持平行条件下作直线等速运动。在两块平板之间装有粘性液体。这时的液体流动称为简单剪切流动，如图1-2所示。其流速分布为 cy u x =，0=y u ，其中0≠c 。试判别这个流动是势流还是有涡流？
解：02
1)(21≠-=??-??=
c y u x u x y z ω 故该流动为有涡流。尽管质点都作直线运动，流线也都是平行直线，在表观上看不出有
旋转的迹象。
图1-2 简单剪切流动
例1-2 从水箱底部小孔排水时，在箱内形成圆周运动，其流线为同心圆，如图1-3所时，流速分布可表示为
0c ,y
x cx
u ,y x cy u 2
2y 22x ≠+=+-
= 试判断该流体运动是势流还是有涡流？
解：??
?
???+--+-=??-??=222
2222222)()()()(2c )(21y x x y y x x y y u x u x y z ω 除原点)0,0(==y x 外0=z ω，该流动为势流。尽管质点沿圆周运动，但微团并无绕其自身轴的转动。
图1-3 水箱底部小孔排水时同心圆流线
涡量与环量
涡量
流体运动可以分为有旋运动和无旋运动，当流体的旋转角速度不为0，即ω≠0时，流体的运动是有旋的；当ω=0时,流体的运动是无旋的。所以判断流体是无旋流动还是有旋流动,应根据流体微团本身是否旋转,而与微团运动的轨迹并无关系。
流体的旋转角速度可以用张量式表示如下
???
?
????-??=j i i j k x u x u 21ω （1-28） 其中脚标k 表示流体运动平面的法线方向。
流体力学中多采用涡量(vorticity)来描述流体微团的旋转。定义旋转角速度的两倍为涡量，即
k k ω2=Ω （1-29a ）
涡量是一矢量，它与旋转的平面垂直，其方向的正负按右手法则确定，如图1-4所示。写成矢量形式
v rot v v curl =??==Ω （1-29b ）
在流场中，涡量是位置和时间的函数，即
)t ,z ,y ,x (k k ΩΩ= （1-30）
如同流速场描述质点的运动情况，涡量场则表达流体微团的旋转情况。
用流线用来描述流场，同样，可用与流线类似的涡线来描述涡量场。在某一瞬间,在流场中绘制的处处与涡矢量相切的曲线称为涡线(vortex line)。涡线一般不与流线重合，但相交，如图1-5所示。涡线微分方程与流线微分方程类似,可表示为
z
y x dz dy dx Ω=Ω=Ω （1-31） 以涡线为侧壁的管段称为涡管(vortex tube)。涡管里面绕同一旋转轴旋转着的流体称为涡束或涡丝(vortex filament)。
图1-4 涡量矢量（图中改ω为Ω） 图1-5 涡线（图中改ω为Ω）
速度环量
分析带旋转的流体运动常要用到速度环量的概念。速度沿封闭曲线的积分称为速度环量(circulation),通常用Γ表示
??=L
l d ρ
Γ （1-32）
在直角坐标系下为
dz u dy u dx u z L
y x ++=Γ? （1-33）
斯托克斯定理
环量与涡量之间由斯托克斯（Stokes ）定理联系。斯托克斯定理表述为：沿包围单连通域的有限封闭周线的速度环量，等于穿过此连通域的涡量通量。数学表述如下
????=?L
S
l d v ds n ρρ
ρΩ （1-34）
式中，S 为表面积，L 为周线长度。上式说明通过面的涡通量等于沿边界的速度环量。Stokes 定理应用很广，它把一个面积分和一个线积分联系在一起。
在直角坐标系下，式（1-34）表述为
()()()ds
z ,n cos y u x u y ,n cos x u z u x ,n cos z u y u dz u dy u
dx u S x y Z x y z z y
L
x
??????
????????? ????-??+???
????-??+???? ????-??=
++（1-35）
图1-7 环量与涡量
应力张量
实际流体具有粘滞性。由于粘滞性的存在，有相对运动的各层流体之间将产生切应力。因此，在运动的实际流体中，不但有压应力，而且还有切应力。如在运动流体中任一点A 取垂直于z 轴的平面（图1-8），则作用在该平面上A 点的表面应力并非沿内法线方向，而是倾斜方向的。表面应力在x 、y 、z 三个轴向都有分量：一个与z 平面成法向的正应力zz p ；两个与z 平面成切向的切应力zx τ及zy τ。压应力和切应力的第一个下标表示作用面的法线方向，即表示应力作用面与那个轴垂直；第二个下标表示应力的作用方向，即表示应力作用方向与那个轴平行。同样在垂直于y 轴平面上，作用的应力有yy p 、yx τ、yz τ；在垂直于x 轴的
平面上，作用的应力有xx p 、xy τ、xz τ。这样，任一点在三个互相垂直的作用面上的应力共有9个分量，其中三个压应力xx p 、yy p 、zz p 和六个切应力xy τ、xz τ、yx τ、yz τ、zx τ、zy τ。
写成矩阵形式
???
?
?
?????=??????????=zz zy
zx
yz yy
yx xz xy
xx
p p p p p p p p p p p p P ττττττ3332
31
232221
1312
11 （1-36a ）
或压应力与切应力均用统一符号ij p 表示，表述如下
????
?
?????==3332
31
232221
131211
p p p p p p p p p p P ij （1-36b ） 称为应力张量(stress tensor)，它是一个二阶张量，而且yx xy ττ=，zy yz ττ=，xz zx ττ=（证明见后）。因此，应力张量是一个对称张量。
图1-8 垂直于z 轴平面上A 点的表面应力
下面讨论切应力和压应力的特性。 1. 切应力的特性
切应力互等定律，即作用在两互相垂直平面上且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。表述如下：
yx xy ττ=，zy yz ττ=，xz zx ττ= （1-37）
证明如下：在实际流体中取一微小六面体，边长dx 、dy 、dz ，各表面的应力如图1-9所示。对通过六面体中心点S 并平行于x 轴的轴线取力矩，因质量力通过中心点S ，则得
02
1
)(2121)(2
1
=???+-?-???+
+?dy dxdz dy y dy dxdz dz dxdy dz z dz dxdy yz yz yz zy
zy zy ττττττ 忽略三阶以上的微量，则
0dxdydz dxdydz yz zy =-ττ
于是得
yz zy ττ=
同理，可以证明xz zx yx xy ττττ==及。
图1-9 实际流体微小六面体各表面的应力分量
2. 压应力的特性
压应力的大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直方向的压应力一般是不相等的，即
zz yy xx p p p ≠≠。但从几何关系上可以证明，同一点上，三个相互垂直面的压应力之和，
与那组垂直面的方位无关，即)(zz yy xx p p p ++值总保持不变。在实际流体中，任何三个互相垂直面上的压应力的平均值定义为动水压强，以p 表示，则
)p p p (3
1
p zz yy xx ++= （1-38）
因此，实际流体的动水压强也只是位置坐标和时间的函数，即),,,(t z y x p p =。
一般规定，切应力的方向与坐标轴一致时为正；法向应力的方向与作用面的外法线一致时为正，与作用面的内法线一致时为负，即压应力为负。
牛顿流体的本构方程
把应力张量ij p 与变形速率张量ij ε联系起来的方程称为本构方程(constitutive equation)。
满足切应力与剪切变形线形关系的流体为牛顿流体。一般的牛顿流体有水，空气，油等。本节只讨论不可压缩牛顿流体中应力张量与变形速率张量的关系。
1. 切应力与流速变化的关系
因变形和速度变化有关，所以切应力与流速变化有关。由牛顿内摩擦定律可知，在二维平行直线流动中，切应力的大小表述为
dt
d dy du x yx θ
μμ
τ== 即切应力与剪切变形速度（即角变形率）成比例。这个结论可以推广到三维情况。由流体微团运动分析知，xoy 平面上的角度形率为
)(21y
u x u x
y xy ??+??=ε
这是微团的角变形率，而实际上的直角变形率dt d θ应为上式的两倍。所以
)(
y
u x
u x
y yx ??+
??=μτ 同理，对三个互相垂直的平面上均可得出
?????
????????+??==??+??==??+??==)x u z
u ()z u y u ()y u x
u (z x
zx
xz y z yz zy x y xy yx μττμττμττ （1-39a ）
这就是粘性流体中切应力的普遍表达式，称为广义的牛顿内摩擦定律。以张量的形式表述为
)j i ,3,2,1j ,i (,
2p ij ij ≠==με （1-39b ）
2. 法向应力与线变形率的关系
各个方向的法向应力可以认为等于动水压强p 加上一个附加应力，即
zz zz yy yy xx xx p p p p p p p p p '+-='+-='+-=,,
这些附加应力可以认为是由于粘滞性所引起的相应结果，因而和流体的变形有关。因为粘性的作用，流体微团除发生角变形外，同时也发生线变形，即在流体微团的法线方向上有相对的线变形率
z
u x u z
x ??????、、y u y ，使法向应力（压应力）的大小与理想流体相比有所改变，产生附加压应力。在理论流体力学中可以证明，对于不可压缩均质流体，附加压应力与线变形率之间有类似于式（1-39）的关系，即
z
u
p y u p x u p z zz y yy x xx
??-=??-=??-=μμμ2,2,2'''
式中，负号是因为当x
u x ??为正值时，流体微团是伸长变形，周围流体对它作用的是拉力，xx
p '应为负值；反之，当x
u x ??为负值时，xx p '应为正值。因此，在z
u y u x u z
y x
??????、、的前面须加负号，与流体微团的拉伸与压缩相适应。因此，法向应力与线变形率的关系为
?
?
???
??????+-=??+-=??+-=z u 2p p y u 2p p x u 2p p z zz y yy x xx μμμ
（1-40a ）
上式右端第二项的加号考虑了附加压应力与作用面外法线方向相反。以张量得形式表述为
)j i ,3,2,1j ,i (,
2p p ij ij ij ==+-=μεδ （1-40b ）
综合式（1-39b ）与式（1-40b ），得
)3,2,1j ,i (,
2p p ij ij ij =+-=μεδ （1-41a ）
或写为
)3,2,1j ,i (),x u x u (
p p i
j
j i ij ij =??+??+-=μδ （1-41b ）
这就是不可压缩牛顿流体的本构方程。写成分量形式
????????
???????????+
??==??+??==??+
??==??+-=??+-=??+-=)
y
u z u (p p )x u
z u (p p )x u y u (p p z u
2p p y u 2p p x u 2p p z
y zy yz z
x xz zx y
x yx xy z
zz y
yy x
xx μμμμμ
μ （1-41c ）
需要说明的是，上述得出的是不可压缩牛顿流体的本构方程。对于可压缩牛顿流体，其本构方程要复杂些，推导过程请参考有关著作，这里只给出其表达式
v div 3
22p p ij ij ij ω
μμεδ-
+-= （1-42） 例1-3 不可压缩牛顿流体的流速场，xyz u x 4=， 2z u y =, 2
2yz u z -=，速度单位为
1-?s m ，x ，y ，z 的单位为m 。流体的动力粘滞系数s Pa ?=-310μ。求点（2,1,1）处的全
部应力分量，已知该处压强2
10300-?=m
N p 。
解：由式(1-41)得法向应力
yz p yz p p xx μμ8)4(2+-=+-= p p p yy -=+-=)0(2μ
yz p yz p p zz μμ8)4(2--=-+-=
在已给点(2,1,1)，法向应力为
23992.10299)1)(1)(10(810300--?-=+-=m N p xx
210300-?-=m N p yy
23008.10300)1)(1)(10(810300--?-=--=m N p zz
切应力按（1-41）式为
xz xz y
u
x v xy μμμτ4)40()(
=+=??+??= )22()(
2z z z
v
y yz +-=??+??=μωμτ )40()(
xy z
u
x xz +=??+??=μωμτ 在已给点(2,1,1)的切应力为
233108)1)(2(410---??=?=m N xy τ
0)22(103=+-?=-yz τ
233108)124(10---??=???=m N xz τ
本例题说明，已知流速场和μ及p 以后，从本构方程即可得任一点处的各个应力分量。
第四章作业答案 4-3水在变直径竖管中流动，已知粗管直径 d 1=300mm ，流速v 1=6m/s 。两断面相距3m,为使两断面的压力表读值相同。试求细管直径（水头损失不计）。 解： 221122122222 112222p v p v Z Z g 2g g 2g p v p v v 6 300 3 4.837m v 9.74m/s g 2g g 2g 2g 2g l h ρρρρ++=+++++=+++=+=?= 2 2 2211 21v d v d d 300235.5mm ==== 4—4变直径管段AB ，d A =0.2m,d B =0.4m ，高差△h=1.5m，测得p A =30kPa ，p B =40kPa ，B 点处断面平均流速v B =1.5m/s ，试判断水在管中的流动方向。 解： 222 2222 0.43061.5()6m/s 0 4.900.229.8240 1.51.5 5.69m 29.819.6 B A A A B A A A B B B B d p H z m d g g g p H Z g g υυυρυρ==?==++=++==++=++= H B >H A , 水由B 流向A; 水头损失5.69-4.90=0.79m 4—5用水银压差计测量水管中的点流速u ，如读值 △h=60mm ，（1）求该点流速；（2）若管中流体是30.8/kg m ρ=的油，△h 不变，不计水头损失，则该点的流速是多少？ 解： (1) 3.85m/s u === (2) 4.34m/s u === 4—6 利用文丘里管的喉管处负压抽吸基坑中的积水，已经知道管道直径1100d mm =， 喉管直径2 50d mm =，2h m =，能量损失忽略不计。试求管道中流量至少为多大， 才能抽出基坑中的积水？ 解：由题意知，只有当12 12()()p p z z h g g ρρ+-+=时，刚好才能把水吸上来，由文丘里流 量计原理有Q =， 其中211 d k π=， 代入数据，有12.7Q l s =。
全国2015年4月高等教育自学考试 --工程流体力学试题 一、单项选择题(每小题1分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.若流体的密度仅随( )变化而变化，则该流体称为正压性流体。 A.质量 B.体积 C.温度 D.压强 2.亚声速流动，是指马赫数( )时的流动。 A.等于1 B.等于临界马赫数 C.大于1 D.小于1 3.气体温度增加，气体粘度( ) A.增加 B.减小 C.不变 D.增加或减小 4.混合气体的密度可按各种气体( )的百分数来计算。 A.总体积 B.总质量 C.总比容 D.总压强 5.某单位购买了一台提升汽车的油压升降机(如图一所示)，原设计操纵方法是：从B管进高压油，A管排油时平台上升(图一的左图)；从A管进高压油，B管排油时平台下降。在安装现场工人不了解原设计意图，将A、B两管联在一起成为C管(图一的右图)。请你判断单靠一个C管通入高压油或排油，能操纵油压机升降吗?你的判断：( ) A.可以 B.不能动作 C.能升不能降 D.能降不能升 6.在一个储水箱的侧面上、下安装有两只水银U形管测压计(如图二)，当箱顶部压强p0=1个大气压时，两测压计水银柱高之差△h=h1-h2=760mm(Hg)，如果顶部再压入一部分空气，使p0=2个大气压时。则△h应为( )
C.△h=760mm(Hg) D.△h=1520mm(Hg) 7.流体流动时，流场各空间点的参数不随时间变化，仅随空间位置而变，这种流动称为( ) A.定常流 B.非定常流 C.非均匀流 D.均匀流 8.流体在流动时，根据流体微团( )来判断流动是有旋流动还是无旋流动。 A.运动轨迹是水平的 B.运动轨迹是曲线 C.运动轨迹是直线 D.是否绕自身轴旋转 9.在同一瞬时，流线上各个流体质点的速度方向总是在该点与此线( ) A.重合 B.相交 C.相切 D.平行 10.图示三个油动机的油缸的内径D相等，油压P也相等，而三缸所配的活塞结构不同，三个油动机的出力F1，F2，F3的大小关系是(忽略活塞重量)( ) A.F1=F2=F3 B.F1>F2>F3 C.F1
【2012年】《液压与气压传动》继海宋锦春高常识-第1-7章课后答案【最新经典版】 1.1 液体传动有哪两种形式？它们的主要区别是什么？ 答：用液体作为工作介质来进行能量传递的传动方式被称之为液体传动。按照其工作 原理的不同，液体传动又可分为液压传动和液力传动，其中液压传动是利用在密封容器 液体的压力能来传递动力的；而液力传动则的利用液体的动能来传递动力的。 1.2 液压传动系统由哪几部分组成？各组成部分的作用是什么？ 答：（1）动力装置：动力装置是指能将原动机的机械能转换成为液压能的装置，它是 液压系统的动力源。 （2）控制调节装置：其作用是用来控制和调节工作介质的流动方向、压力和流量，以 保证执行元件和工作机构的工作要求。 （3）执行装置：是将液压能转换为机械能的装置，其作用是在工作介质的推动下输出 力和速度（或转矩和转速），输出一定的功率以驱动工作机构做功。 （4）辅助装置：除以上装置外的其它元器件都被称为辅助装置，如油箱、过滤器、蓄 能器、冷却器、管件、管接头以及各种信号转换器等。它们是一些对完成主运动起辅助作
用的元件，在系统中是必不可少的，对保证系统正常工作有着重要的作用。（5）工作介质：工作介质指传动液体，在液压系统常使用液压油液作为工作介质。 1.3 液压传动的主要优缺点是什么？ 答：优点：（1）与电动机相比，在同等体积下，液压装置能产生出更大的动力，也就 是说，在同等功率下，液压装置的体积小、重量轻、结构紧凑，即：它具有大的功率密度 或力密度，力密度在这里指工作压力。 （2）液压传动容易做到对速度的无级调节，而且调速围大，并且对速度的调节还可 以在工作过程中进行。 （3）液压传动工作平稳，换向冲击小，便于实现频繁换向。 （4）液压传动易于实现过载保护，能实现自润滑，使用寿命长。 （5）液压传动易于实现自动化，可以很方便地对液体的流动方向、压力和流量进行调 节和控制，并能很容易地和电气、电子控制或气压传动控制结合起来，实现复杂的运动和 操作。 （6）液压元件易于实现系列化、标准化和通用化，便于设计、制造和推广使用。答：缺点：（1）由于液压传动中的泄漏和液体的可压缩性使这种传动无法保证严格
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 流体力学试卷 (课程代码03347) 本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题 (本大题共l0小题，每小题2分。共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．牛顿内摩擦定律表明，决定流体切应力的因素是 A．动力粘度和速度 B．运动粘度和速度 C．动力粘度和速度梯度 D．运动粘度和动力粘度 2．如图所示，静止容器内盛有两种不相混合的液体，密度分别为，并且．容 器中液面的压强大于当地大气压强，容器及两侧测压管的液面高度分别为、 4．圆管沿程水头损失的计算公式为
5．紊流附加剪应力等于 6．突然扩大管的局部水头损失为 7．水管末端阀门突然关闭产生水击波，其传播周期的第二阶段为 A．增压波从管道进口向阀门传播 B．增压波从阀门向管道进口传播 C．减压波从管道进口向阀门传播 D．减压波从阀门向管道进口传播 8．若明渠水流为急流，则 9．渗流模型与实际渗流相比 A．流量相同，阻力相同 B．流量相同，阻力不同 C．流量不同，阻力相同 D．流量不同，阻力不同 10．压强差，速度V，密度的无量纲组合是 第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题，每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 11．静止流体中，同一点不同方向压强的大小_______。 12．已知某点的真空度为0．48× 105Pa，若当地大气压强为1 ×105Pa，则该点的绝对压强为________Pa． 13．在伯努利方程中，表示单位重量流体具有的总势能项是________． 14．紊流光滑区、过渡区和粗糙区的划分是由________厚度和壁面粗糙突起高度的相 互关系决定的。 15．输水管道采用壁面粗糙系数n=0．013的铸铁管，管道直径d=0．1m，水力坡度J=0．056，若采用谢才公式计算，则通过的流量为________m3／s．
流体力学网上作业题参考答案 第一章：绪论（56） 一、名词解释 1. 流体：在任何微小剪切力的持续作用下能够连续不断变形的物质/液体和气体统称为流体。 2. 流体质点：质点亦称为流体微团，其尺度在微观上足够大，大到能包含大量的分子，使得在统计平均 后能得到其物理量的确定值；而宏观行又足够小，远小于所研究问题的特征尺度，使其平均物理量可看成是连续的。 3. 惯性：惯性是物体维持原有运动状态的能力的性质。 4. 均质流体：任意点上密度相同的流体，称为均质流体。 5. 非均质流体：各点密度不完全相同的流体，称为非均质流体。 6. 粘性：流体在运动状态下具有抵抗剪切变形能力的性质，成为粘性或者粘滞性。 7. 内摩擦力：流体在流动时，对相邻两层流体间发生的相对运动，会产生阻碍其相对运动的力，这种力称为内摩擦力。 8. 流体的压缩性：流体的宏观体积随着作用压强的增大而减小的性质，称为流体的压缩性。 9. 不可压缩流体：流体密度随压强变化很小，流体的密度可视为常数的流体。 10. 可压缩流体：流体密度随压强变化不能忽略的流体。 11. 表面张力：表面张力是液体自由表面在分子作用半径范围内，由于分子引力大于斥力而在表层沿表面方向产生的拉力。 12. 表面力：作用在所研究流体外表面上，与表面积大小成正比的力。 13.质量力：作用在液体每一个质点上,其大小与液体质量成正比。 14．牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 二、选择题 1. 理想流体是指可以忽略（ C ）的流体。A 密度 B 密度变化 C 粘度 D 粘度变化 2. 不可压缩流体是指忽略（ B ）的流体。A 密度 B 密度变化 C 粘度 D 粘度变化 3. 关于流体粘性的说法中，不正确的是（ D ）。 A 粘性是流体的固有属性 B 流体的粘性具有传递运动和阻碍运动的双重性 C 粘性是运动流体产生机械能损失的根源 D 流体的粘性随着温度的增加而降低 4．下列各种流体中，属于牛顿流体的是（ A ） A 水、汽油、酒精 B 水、新拌混凝土、新拌建筑砂浆 C 泥石流、泥浆、血浆 D 水、泥石流、天然气 5. 单位质量力的量纲与（ B ）的量纲相同。A 速度 B 加速度 C 粘性力 D 重力 6、在水力学中，单位质量力是指（ C ） a、单位面积液体受到的质量力； b、单位体积液体受到的质量力； c、单位质量液体受到的质量力； d、单位重量液体受到的质量力。 7、运动粘度与动力粘度的关系是（ A ） A μ υ ρ = B g μ υ= C υ μ ρ = D g υ μ=
绪 论 1．在一个标准大气压下，4℃以上水的容重随温度的升高而（ C ） A ．增大 Ｂ．不变 Ｃ．减小 Ｄ．不一定 2、容重与密度 c 。 a ．是单位不同的同一个物理量； b ．前者是矢量后者是标量； c ．前者反映单位质量力的大小，后者反映单位体积的物质量； d ．两者的值总是相等的。 3．液体不能承受的力是（C ） A ．剪切力 Ｂ．压力 Ｃ．拉力 Ｄ．表面张力 4、下列说法正确的是（ B ）。 A 、液体不能承受拉力，也不能承受压力； B 、液体不能承受拉力，但能承受压力； C 、液体能承受拉力，但不能承受压力； D 、液体能承受拉力，也能承受压力。 5．理想液体与实际液体最主要的区别是（D ） A ．不可压缩 Ｂ．不能膨胀 Ｃ．没有表面张力 Ｄ．没有粘滞性 6.理想流体是一种( A )的假想流体。 A.动力粘度μ为0 B.速度梯度dy du 为0 C.速度u 为一常数 D.流体没有剪切变形 7.理想流体的总水头线沿程的变化规律为( C )。 A.沿程下降 B.沿程上升 C.沿程不变 D.前三种情况都有可能 8.理想流体边界层在( D )中存在。 A.圆柱绕流 B.均匀流中顺流放置的薄平板 C.管道进口段 D.任何边界中都不可能 9、 理想流体的特征是（ B ）。 A) 粘度为常数；B) 无粘性；C) 不可压缩；D) 符合RT p ρ= 10、水的粘滞性会随着温度的升高____（1）___ 。 （1）变小 （2）变大 （3）不变 （4）不一定 11．液体粘性系数值随温度的升高而（ C ） A ．增大 B ．不变 C ．减小 D ．可增大，可减小 12.气体与液体的粘度随着温度的升高分别( D )。 A.减小、减小 B.减小、增大 C.增大、增大 D.增大、减小 13、不同的液体其粘滞性______, 同一种液体的粘滞性具有随温度_______而降低的特性。 答案（D ）。 A 、相同 降低； B 相同 升高； C 、不同 降低； D 、 不同 升高 14.在常压下，气体的动力粘度随温度和压强的变化关系是（B ） A.温度升高，动力粘度变小 B.温度升高，动力粘度变大 C.压强升高，动力粘度变小 D.压强升高，动力粘度变大 15.某流体的运动粘度v=3×10-6m2/s,密度ρ=800kg/m3,其动力粘度μ为( B ) 16．如图所示，一平板在油面上作水平运动。已知平板运动速度V=1m/s ，平板与固定边界的距离δ=5mm ，油的动力粘度μ＝0.1Pa·s ，则作用在平板单位面积上的粘滞阻力为（ C ） A ．10Pa B ．15Pa C ．20Pa D ．25Pa 17、一直径d = 0.2 m 的输油管道，过流断面的速度分布为u x = 1 – 160 r2 m/s ，若油的密度ρ = 900kg/m3，动力粘性系数μ = 0.05 Pa·s ，则管中的平均速度是（ ）。 A ：0.8； B ：0.65、 C ：0.5； D ：0.32； E ：0.25。
流体力学复习题 ——2013制 一、填空题 1、1mmHO= 9.807 Pa 2、描述流体运动的方法有欧拉法和拉格朗日法。 3、流体的主要力学模型是指连续介质、无粘性和不可压缩性。 4、雷诺数是反映流体流动状态的准数，它反映了流体流动 时粘性力与惯性力的对比关系。 5、流量Q1和Q2,阻抗为S1和S2的两管路并联，则并联 后总管路的流量Q为Q= Q1 + Q2，总阻抗S为 __________ 。串联后总管路的流量Q为Q=Q1=Q2,总阻抗S为S1+S2 。 6、流体紊流运动的特征是脉动现行___________ ，处理方法是时均法__________ 。 7、流体在管道中流动时，流动阻力包括沿程阻力 和局部阻力。 &流体微团的基本运动形式有：平移运动、旋转流动和变形运动。 9、马赫数气体动力学中一个重要的无因次数，他反映了惯性力
与弹性力的相对比值。 10、稳定流动的流线与迹线重合__________ 。 2 11、理想流体伯努力方程z 二常数中，其中Z」称为测 r 2g r 压管水 头。 12、一切平面流动的流场，无论是有旋流动或是无旋流动都 存在流线，因而一切平面流动都存在流函数，但是， 只有无旋流动才存在势函数。 13、雷诺数之所以能判别卫态__________ ，是因为它反映了 惯性力和粘性力___________ 的对比关系。 14、流体的主要力学性质有粘滞性、惯性、重力 「表面张力性和压缩膨胀性。 15、毕托管是广泛应用于测量气体和水流一种仪器。 16、流体的力学模型按粘性是否作用分为理想气体和粘性气体。作用与液上的力包括质量力,表面力。 17、力学相似的三个方面包括几何相似__________ 、运动相似________ 与 _______ 。 18、流体的力学模型是连续介质_________ 模型。 19、理想气体伯努力方程P（Z1 -Z?（ - g）?乎中， Pll2 P（Z1-Z2）（li g）称势压_______________________ ，P— _____ 全压_______ ，- P '（乙-Z2）（1_-爲）■ —称总压
流体力学作业答案-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
例题1：如下图所示，一圆锥体绕自身轴线等速旋转，锥体与固定壁面间的距离为K ，空隙全部被动力粘滞系数为 μ的牛顿流体所充满。当旋转角速度为ω，锥体底部半径 为R ，高为H ，求作用于圆锥的阻力矩。 解：M= ????====K dh r K dA r K dAr K u dAr 3 22cos 2πμω απμωωμμτ= H K R α πμωcos 23 而 22cos R H H +=α;故：M=223 2R H K R +?πμω 例题2：涵洞进口处，装有与水平线成600倾角而边长为1m 的正方形平板闸门（AB=1m ），求闸门所受静水总压力的大小及作用点。
解：坐标只能建在水面上。 a A kp p 807.91807.9=?= a B kp p 300.18)2 3 1(807.9=+?=
KN p p P B A 050.14112 =??+= h h A y I y y C C C C C D 6.160sin 433.1121 60sin 433.1160 sin 121160sin 00 30=+=??+=+= 0=D x 矩形和圆形的 C y 和C I 值 矩形： 2h y C = 123 bh I C =
圆形： r y C = 4 4 r I C π= 例题3：一直立矩形闸门，用三根工字梁支撑，门高及上游水深H 均为3m,把此闸门所受静水压强分布图分为三等份，每根工字梁分别设在这三等份的重心，求三个工字梁的位置？ 解：设静水压力分布图的面积为A ，则每一等份为A/3
第1章 绪论 选择题 【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体的固体颗粒；（c ） 几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有 诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。 （d ） 【1.2】 与牛顿摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变形 速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。 解：牛顿摩擦定律是d d v y τμ =，而且速度梯度d d v y 是流体微团的剪切变形速度d d t γ，故d d t γτμ=。 （b ） 【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2/s ；（b ）N/m 2；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2。 解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2。 （a ） 【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ 。 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （c ） 【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ） 1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。 解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 95d 1d 0.51011020 000k p ρ ρ-==???=。 （a ） 【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时 不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切 应力。 （c ） 【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。 解：满足牛顿摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （a ） 【1.8】 15C 时空气和水的运动黏度6215.210m /s υ-=?空气， 621.14610m /s υ-=?水，这说明：在运动中（a ）空气比水的黏性力大；（b ）空气比水的黏性力小；（c ）空气与水的黏性力接近；（d ）不能直接比较。 解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水 的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有 关，因此它们不能直接比较。 （d ） 【1.9】 液体的黏性主要来自于液体：（a ）分子热运动；（b ）分子间聚力；（c ）易变形性； （d ）抗拒变形的能力。解：液体的黏性主要由分子聚力决定。 （b ）第2章 流体静力学 选择题： 【2.1】 相对压强的起算基准是：（a ）绝对真空；（b ）1个标准大气压；（c ）当
流体力学标准化作业（三） ——流体动力学 本次作业知识点总结 1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。 2.流体流动的加速度、质点导数 流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即 流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即 投影式为 或 ()du u a u u dt t ?==+??? 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t ??为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。()u u ??为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。 欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标 量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。例如不可压缩流体，密度的随体导数 3.流体流动的分类 （1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线 流线微分方程 迹线微分方程 （2）流管、流束与总流 （3）过流断面、流量及断面平均流速
体积流量 3(/)A Q udA m s =? 质量流量 (/)m A Q udA kg s ρ=? 断面平均流速 A udA Q v A A ==? （4）渐变流与急变流 5. 连续性方程 （1）不可压缩流体连续性微分方程 （2）元流的连续性方程 （3）总流的连续性方程 6. 运动微分方程 （1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程） 矢量表示式 （2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程） 矢量表示式 21()u f p u u u t νρ?+?+?=+??? 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程 （2）理想流体总流的伯努利方程 8.实际流体的伯努利方程 （1）实际流体元流的伯努利方程 （2）实际流体总流的伯努利方程 10.恒定总流的动量方程 投影分量形式
09流体力学习题1及参考答案 一、单项选择题（共15分，每小题１分） 1、下列各力中，属于质量力的是（ ）。 A ．离心力 B ．摩擦力 C ．压力 D ．表面张力 2、下列关于流体粘性的说法中，不准确的说法是（ ）。 A ．粘性是实际流体的固有属性 B ．构成流体粘性的因素是流体分子间的吸引力 C ．流体粘性具有传递运动和阻碍运动的双重性 D ．动力粘度与密度之比称为运动粘度 3、在流体研究的欧拉法中，流体质点的加速度由当地加速度和迁移加速度组成，当地加速度反映（）。 A ．流体的压缩性 B ．由于流体质点运动改变了空间位置而引起的速度变化率 C ．流体速度场的不稳定性 D ．流体速度场的不均匀性 4、重力场中流体的平衡微分方程为（ ）。 A ．gdz dp -= B ．gdz dp ρ= C ．dz dp ρ-= D ．gdz dp ρ-= 5、无旋流动是指（ ）的流动。 A ．速度环量为零 B ．迹线是直线 C ．流线是直线 D ．速度环量不为零 6、压强的量纲 []p 是（ ）。 A.[]2-MLt B.[]21--t ML C.[]11--t ML D.[]1 -MLt 7、已知不可压缩流体的流速场为 则流动不属于（ ）。 A ．非均匀流 B ．非稳定流动 C ．稳定流动 D ．三维流动 8、动量方程的适用条件是( ) 。 0 ),,(),(?????===w t z x f z y f u υin out QV QV F )()(ρρ∑-∑=∑
A．仅适用于理想流体作定常流动 B．仅适用于粘性流体作定常流动 C．适用于理想流体与粘性流体作定常或非定常流动 D．适用于理想流体与粘性流体作定常流动 9、在重力场中作稳定流动的系统，沿流动方向总水头线维持水平的条件是 ( ) 。 A．管道是水平放置的B．流体为不可压缩流体 C．管道是等径管D．流体为不可压缩理想流体 10、并联管道系统中,其各支管内单位质量流体的能量损失（）。 A．不相等 B．之和为总能量损失 C．相等D．不确定 11、边界层的基本特征之一是（）。 A．边界层内流体的流动为层流 B．与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小C．边界层厚度沿流动方向逐渐减薄 D．边界层内流体的流动为湍流 12、指出下列论点中的错误论点：（） A．平行流的等势线与流线相互平行B．涡流的径向速度为零 C．无旋流动也称为有势流动D．点源的圆周速度为零 13、关于涡流有以下的论点，指出其中的错误论点：( )。 A．以涡束诱导出的平面流动，称为涡流B．点涡是涡流 C．涡流的流线是许多同心圆 D．在涡流区域速度与半径成正比 14、超音速气体在收缩管中流动时，气流速度（）。 A．逐渐增大 B．不变C．不确定D．逐渐减小 15、为提高离心泵的允许安装高度，以下哪种措施是不当的？（） A．提高流体的温度B．增大离心泵吸入管的管径 C．缩短离心泵吸入管的管径 D．减少离心泵吸入管路上的管件 参考答案：1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A 13.D 14.D 15.A
删掉的题目：1-14、2-6、2-9、2-11、2-17、3-10、3-19、4-5、4-13 《流体力学与流体机械之流体力学》 第一章 流体及其物理性质 1-8 1.53m 的容器中装满了油。已知油的重量为12591N 。求油的重度γ和密度ρ。 解：312591 856.5kg/m 9.8 1.5 m V ρ= ==?；38394N/m g γρ== 1-11 面积20.5m A =的平板水平放在厚度10mm h =的油膜上。用 4.8N F =的水平力拉它以0.8m/s U =速度移动（图1-6）。若油的密度3856kg/m ρ=。求油的动力粘度和运动粘度。 解：29.6N/m F A τ= =，U h τμ=， 所以，0.12Pa s h U τμ==，42/0.12/856 1.410m /s νμρ-===? 1-12 重量20N G =、面积2 0.12m A =的平板置于斜面上。其间充满粘度 0.65Pa s μ=的油液（图1-7）。当油液厚度8mm h =时。问匀速下滑时平板的速度是多少。
解：sin 20 6.84F G N ==，57Pa s F A τ==， 因为U h τμ =，所以570.0080.7m/s 0.65 h U τμ?=== 1-13 直径50mm d =的轴颈同心地在50.1mm D =的轴承中转动（图1-8）。间隙中润滑油的粘度0.45Pa s μ=。当转速950r/min n =时，求因油膜摩擦而附加的阻力矩M 。 解：将接触面沿圆柱展开，可得接触面的面积为： 20.050.10.016m A dL ππ==??= 接触面上的相对速度为：2 2.49m/s 2260d d n u πω= == 接触面间的距离为：0.05mm 2 D d δ-== 接触面之间的作用力：358.44N du F A A dy u δ μμ=== 则油膜的附加阻力矩为：8.9N m 2 d M F == 1-14 直径为D 的圆盘水平地放在厚度为h 的油膜上。当驱动圆盘以转速n 旋转时，试证明油的动力粘度μ与驱动力矩M 的关系为： 24 960hM nD μπ= 证明：26030n n ππω= =，30 nr v r πω== 2dA rdr π=，2215v nr dr dF dA h h μπμ==，2315nr dr dM dFr h μπ==
工程流体力学练习题 第一章 1-1解：设：柴油的密度为ρ，重度为γ；40 C 水的密度为ρ0，重度为γ0。则在同一地点的相对密度和比重为： 0ρρ=d ，0 γγ=c 30/830100083.0m kg d =?=?=ρρ 30/81348.9100083.0m N c =??=?=γγ 1-2解：336/1260101026.1m kg =??=-ρ 3/123488.91260m N g =?==ργ 1-3解：269/106.191096.101.0m N E V V V V p p V V p p p ?=??=?-=?-=????-=ββ 1-4解：N m p V V p /105.210 41010002956 --?=?=??-=β 299/104.0105.211m N E p p ?=?==-β 1-5解：1）求体积膨涨量和桶内压强 受温度增加的影响，200升汽油的体积膨涨量为： ()l T V V T T 4.2202000006.00=??=?=?β 由于容器封闭，体积不变，从而因体积膨涨量使容器内压强升高，体积压缩量等于体积膨涨量。故： 26400/1027.16108.9140004 .22004.2m N E V V V V V V p p T T p T T ?=???+=?+?-=?+?-=?β 2）在保证液面压强增量个大气压下，求桶内最大能装的汽油质量。设装的汽油体积为V ，那么：体积膨涨量为：
T V V T T ?=?β 体积压缩量为： ()()T V E p V V E p V T p T p p ?+?=?+?=?β1 因此，温度升高和压强升高联合作用的结果，应满足： ()()???? ? ??-?+=?-?+=p T p T E p T V V T V V 1110ββ ()())(63.197108.9140001018.01200006.012001145 0l E p T V V p T =???? ?????-??+=???? ???-?+=β ()kg V m 34.1381063.19710007.03=???==-ρ 1-6解：石油的动力粘度：s pa .028.01.010028=?= μ 石油的运动粘度：s m /1011.39 .01000028.025-?=?==ρμν 1-7解：石油的运动粘度：s m St /1044.0100 4025-?===ν 石油的动力粘度：s pa .0356.010 4100089.05=???==-ρνμ 1-8解：2/1147001 .01147.1m N u =?==δμ τ 1-9解：()()2/5.1621196.012.02 15.0065.021m N d D u u =-?=-==μδμτ N L d F 54.85.16214.01196.014.3=???=???=τπ 第二章 2-4解：设：测压管中空气的压强为p 2，水银的密度为1ρ，水的密度为2ρ。在水银面建立等压面1-1，在测压管与容器连接处建立等压面2-2。根据等压面理论，有 21p gh p a +=ρ （1） gz p z H g p 2221)(ρρ+=++（2） 由式（1）解出p 2后代入（2），整理得：
一、判断题（每题1分，共10分） 1、紊流可以是均匀流，也可以是非均匀流。 （ ） 2、均匀流中只考虑沿程水头损失，渐变流中只考虑局部水头损失。 （ ） 3、公式g v d l h f 22 λ=既适用于层流，也适用于紊流。 （ ） 4、不可压缩液体连续方程既适用于恒定流，也适用于非恒定流。 （ ） 5、理想流体是指不考虑粘性作用的流体。 （ ） 6、不管是层流还是紊流，其运动要素在时间和空间上都具有脉动性。 （ ） 7、恒定流时，流线的形状不随时间变化，流线不一定与迹线相重合。 （ ） 8、圆形管的直径就是其水力半径。 （ ） 9、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据。 （ ） 10、仅由液体产生作用在水平平面上的总压力与容器的形状无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1、流体是在任何微小的 的作用下都能够发生 的物质。 2、当压力体与液体在 时为实压力体，否则为虚压力体。 3、在工程流体力学中，描述流体运动的常用方法有__ 和__ __。 4、简单管路是指 和 沿程不发生变化的管路系统。 5、局部阻力系数与 、 、 有关。 三、单项选择题（每题2分，共30分） 1、不可压缩流体指忽略 的流体。 A ．密度 B ．密度变化 C ．粘度 D ．粘度变化 2、连续介质模型意味着 。 A ．流体分子之间没有间隙 B ．流体中的物理参数是连续函数 C ．流体分子之间有间隙 D ．流体不可压缩 3、已知不可压缩流体的流速场为u x =f （y ，z ），u y =f （x ），u z =0，则该流动为 。 A ．恒定一元流 B ．恒定二元流 C ．恒定三元流 D ．非恒定均匀流 4、静水压力的方向 。 A ．与受力面平行 B ．与受力面斜交
流体力学-课后习题答案
第一章习题答案 选择题（单选题） 1.1 按连续介质的概念，流体质点是指：（d ） （a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 1.2 作用于流体的质量力包括：（c ） （a ）压力；（b ）摩擦阻力；（c ）重力；（d ）表面张力。 1.3 单位质量力的国际单位是：（d ） （a ）N ；（b ）Pa ；（c ）kg N /；（d ）2 /s m 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是：（b ） （a ）剪应力和压强；（b ）剪应力和剪应变率；（c ）剪应力和剪应变；（d ）剪应力和流速。 1.5 水的动力黏度μ随温度的升高：（b ） （a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。 1.6 流体运动黏度ν的国际单位是：（a ） （a ）2 /s m ；（b ）2 /m N ；（c ）m kg /；（d ）2 /m s N ?。 1.7 无黏性流体的特征是：（c ） （a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无 黏性；（d ）符合RT p =ρ 。 1.8 当水的压强增加1个大气压时，水的密度增 大约为：（a ） （a ）1/20000；（b ）1/10000；（c ）1/4000；（d ）1/2000。 1.9 水的密度为10003 kg/m ，2L 水的质量和重量
是多少？ 解： 10000.0022m V ρ==?=（kg ） 29.80719.614 G mg ==?=（N ） 答：2L 水的质量是2 kg ，重量是19.614N 。 1.10 体积为0.53 m 的油料，重量为4410N ，试求该油料的密度是多少？ 解： 44109.807 899.3580.5 m G g V V ρ====（kg/m 3） 答：该油料的密度是899.358 kg/m 3 。 1.11 某液体的动力黏度为0.005Pa s ?，其密度为8503 /kg m ，试求其运动黏度。 解：6 0.005 5.88210850μνρ-===?（m 2/s ） 答：其运动黏度为6 5.88210-? m 2 /s 。 1.12 有一底面积为60cm ×40cm 的平板，质量为 5Kg ，沿一与水平面成20°角的斜面下滑，平面与斜面之间的油层厚度为0.6mm ，若下滑速度0.84/m s ，求油的动力黏度μ。
第十章机翼和叶栅工作原理 本章将分别讨论机翼和叶栅最基本的工作原理，讨论机翼工作原理是为叶栅理论奠定基础的。二者均为叶轮机械(汽轮机，泵与风机及燃气轮机等)流体动力学的基础，同时也是力学理论在解决流体与被绕流物体间相互作用问题的一个重要应用。 §10-1 机翼的几何特性 机翼一词常用于航空工程，也可泛指相对于流体运动的各种升力装置。因此，叶轮机械中的工作轮叶片(汽轮机叶片、轴流泵与风机叶片等)就是一个机翼。 工程上引用机翼主要是为了获取升力。由于在流体中运动的物体，必然会受到粘性阻力的作用。因此对机翼提出的技术要求首先就是尽可能大的升力和尽量小的阻力，这就要求机翼采用适当的几何形状。图10-1是机翼的外形图。将机翼顺着来流方向切开的剖面形状称为翼型，翼型的周线称为型线，翼型的形状直接决定了翼(或叶片)的空气动力特性。通常翼型具有：圆滑的头部、尖瘦的尾巴、拱曲的背(上弧)，至于腹(下弧)形状则有凹的、也有凸的，也有半凹半凸及平的。 表征机翼的几何特性基本参数如下(参照图10-2)： (1) 翼型中线翼型型线内切圆心的连线称为翼型中线，或称翼型骨线。 (2) 翼弦b翼型中线与型线的两个交点分别称为前缘点和后缘点，前缘点与后缘点的边线长度b称为翼弦或弦长。 (3) 翼型厚度d翼型型线内切圆的直径d称为翼型厚度，最大厚度d max与
翼弦之比d max/b称为最大相对厚度。 (4) 翼型弯度f翼型中线至翼弦的距离f称为翼型弯度，最大弯度f max与翼弦之比f max/b称为最大相对弯度。若相对弯度等于零，则中线与翼弦重合，称为对称翼型。 (5) 翼展h机翼(或叶片)在垂直于流动方向的最大长度h称为翼展(或叶片高度)。翼展与翼弦之比h/b称为展弦比。 根据展弦比的大小，可把机翼分为两种：一为无限翼展机翼(大展弦比)，一为有限翼展机翼，如图10-1所示。实际机翼翼展都是有限的，且翼弦b沿翼展是变化的。
第一章 绪论 思考题 1-1 何谓流体连续介质模型？含有气泡的液体是否适用连续介质模型？ 答： 所谓流体的连续介质模型，即把流体视为没有间隙地由流体质点充满它所占据的整个空间的一种连续介质其物理性质和物理量也是连续的。 若气泡相对于液体而言可以看作孤立的点的话，则含有气泡的液体可以适用连续介质模型。 习题1 1-3 如题图所示，设平行板间隙为0.5mm ，中间充满液体，上板以U ＝0.25m/s 的速度平移，施于单位面积的力为2Pa ，试求液体的粘度为多少？ 解： Y U dy du A F μμτ=== 液体粘度s Pa AU FY ??=??==--33 10425 .0105.02μ 1-4 求题图所示的轴与轴套之间的流体粘度。 解： s Pa dLU FY dL A Y U dy du A F ?=??????==?==== --0648.0493 .010)140120(14.3102.034.863 πμπμμτ 第二章 流体静力学 习题2 2-5 用多管水银测压计测压，，题图中标高的单位为m ，试求水面的压强p 0。 解： Pa m g m g p pa p m m g p p m m p p m m g p p m m g p p D D C C B B A A 5001065.29.298002.21334169.22.20) 2.1 3.2()2.15.2(g ) 4.1 5.2()4.10.3(?=?-?=?-?=?????? ?? ??=-+=--=-+=-+=水汞汞水汞水ρρρρρρ
2-9 一盛水的敞口容器作加速运动，试求下列两种情况下容器内静压强的分布规律：（1）自由降落；（2）以等加速度a 向上运动。 解： h a g p p )sin (0αρ++= （1） 0,900=∴=?-=p p 相对压强α （2）) (,900a g h p p p p a a ++=∴=?=ρα绝对压强 2-12 试求开启题图所示水闸闸门所需的单宽拉力F 。不计闸门自重及转轴摩擦力。 解： N b h h h g h b F 42112 11005.91 )]23(3[98002 322 )]([60sin 2?=?++? =?++? = ?Ω=ρ闸门所受的单宽静压力 m h h h h h h h y F c 25.1) () (260sin 321121121=++++??=作用点 kN F F F h F y F c 05.9860cos ,60sin 22 2 1=??=? =所求拉力 2-16 试定性绘出题图中各ABC 曲面的压力体图。 答：
一、单项选择题 1．与牛顿内摩擦定律有关的因素是（A） A压强、速度和粘度；B流体的粘度、切应力与角变形率； 2C切应力、温度、粘度和速度； D压强、粘度和角变形。2．流体是一种（D）物质。 A不断膨胀直到充满容器的；B实际上是不可压缩的； C不能承受剪切力的； D 在任一剪切力的作用下不能保持静止的。0年考研《（毛中 3.圆管层流流动，过流断面上切应力分布为（B） A.在过流断面上是常数； B.管轴处是零，且与半径成正比； C.管壁处是零，向管轴线性增大； D. 按抛物线分布。2014年考研《政治》考前点题（毛中特） 4.在圆管流中，层流的断面流速分布符合（C） A.均匀规律； B.直线变化规律； C.抛物线规律； D. 对+曲线规律。 5. 圆管层流，实测管轴线上流速为4m／s，则断面平均流速为（） A. 4m／s； B. 3.2m／s； C. 2m／s； D. 1m ／s。2014年考研《政治》考前点题（毛中特） 6.应用动量方程求流体对物体的合力时，进、出口的压强应使用 （） A 绝对压强 B 相对压强 C 大气压 D 真空度
7.流量为Q ，速度为v 的射流冲击一块与流向垂直的平板，则平板受到的冲击力为（） A Qv B Qv 2 C ρQv D ρQv 2 8.在（D ）流动中，伯努利方程不成立。 (A)定常 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 9.速度水头的表达式为（D ） (A)h g 2 (B)2ρ2v (C) 22v (D) g v 22 10.在总流的伯努利方程中的速度v 是（B ）速度。 (A) 某点 (B) 截面平均 (C) 截面形心处 (D) 截面上最 大 2014年考研《政治》考前点题（毛中特） 11.应用总流的伯努利方程时，两截面之间（D ） 。 (A)必须都是急变流 (B) 必须都是缓变流 (C) 不能出现急变流 (D) 可以出现急变流 12.定常流动是（B ）2014年考研《政治》考前点题（毛中特） A.流动随时间按一定规律变化； B.流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C.各过流断面的速度分布相同； D.各过流断面的压强相同。 13.非定常流动是 （B ） A. 0=??t u B. 0≠??t u C. 0=??s u D.0≠??s u 2014年考研《政治》考前点题（毛中特）